【最优控制理论在经济学中的应用探究8900字（论文）】

最优控制理论在经济学中的应用研究摘要最优控制理论是现代控制理论的核心之一，着重于研究的是控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。本文阐述了最优控制理论的发展、现状以及系统模型，详细讨论了最优控制问题的控制手段与解决方法，并通过集中分析银行贷款动态定价问题与宏观经济管理中一类系统，恰当地应用动态规划与最大值原理，建立适当模型将问题转化为最优控制问题，并在实际应用中达到了目的。关键词：最优控制数学模型贷款定价分布参数系统经济控制论目录TOC\o"1-2"\h\z\u一、引言 1（一）最优控制理论的产生与发展 1（二）最优控制理论的现状、应用与前景 1二、最优控制理论的预备知识 2（一）系统模型 2（二）最优控制系统 2（三）稳定性 3（四）最优控制问题常用的解决方法 4（五）基本求解方法 5三、银行贷款动态定价问题的最优控制解法 7（一）经济模型 7（二）求解模型 8（三）数值模拟 10四、宏观经济管理中一类系统的最优控制解法 11（一）宏观经济系统的最优控制模型 11（二）求解模型 12（三）应用实例 12五、小结 13主要参考文献 15最优控制理论在经济学中的应用一、引言最优控制理论是上世纪60年代迅速发展的现代控制理论中的主要内容之一，它研究的是在给定系统模型的条件下找到一个控制律，使得该控制系统达到一定的最优性指标的问题。它是变分法（variations）的扩展，是一种用于推导（求解）最优控制策略的数学优化方法。（一）最优控制理论的产生与发展最优控制理论的先期工作可以追溯到1948年维纳（N.Wiener）发表的题为《控制论——关于动物和机器中控制与通讯的科学》的论文，该论文第一次科学地提出了信息、反馈和控制的概念，为最优控制理论的诞生和发展奠定了基础。此后，我国著名学者钱学森在1954编著的《工程控制论》直接促进了最优控制理论的发展。最优控制理论的开创性工作主要是由美国著名数学家贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和原苏联著名数学家庞特里亚金的“最大值原理”，开辟了求解最优控制问题的新途径。此外，库恩和图克共同推导的关于“不等式约束条件下的非线性最优必要条件（库恩——图克定理）”以及卡尔曼的关于“随机控制系统最优滤波器”等是构成最优控制理论及现代最优化理论基础的代表性内容。（二）最优控制理论的现状、应用与前景随着自动化的不断进步，最优控制理论形成了更多更为实用的分支，例如：鲁棒控制理论、随机最优控制、分布参数系统的最优控制、大系统的次优控制、离散系统的最优控制及最优滑模变结构控制等。在应用方面，最优控制理论在许多领域发挥了重要作用，在随机最优控制、分散最优控制、时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题、伺服机构问题等中起到关键作用。特别是在系统工程、经济管理与决策、空间技术等领域的应用，得到了十分显著的效果。最优控制理论正处于数学、工程学和计算机科学交叉发展的前沿。但是，最优控制有一个十分显著的缺点就是：最优控制理论与实践的发展并不同步。许多先进最优控制理论已经趋于成熟，但这些理论还未能在实践中取得成效。很多需要最优控制理论去解决的实际应用问题还未开发，很多领域对于最优控制理论的应用才初露头角，还需要进一步地拓展和应用。二、最优控制理论的预备知识（一）系统模型系统模型是指以某种确定的形式（如文字、符号、图表、实物、数学公式等），对系统某一方面本质属性的描述。一方面，根据不同的研究目的，对同一系统可建立不同的系统模型，另一方面，同一系统模型也可代表不同的系统，例如，对系统模型y=kx（k为常量），若k为弹簧系数，x为弹簧的伸长量，y为弹簧力大小，则该模型表示一个物理上的弹簧运动系统；若k为直线斜率，x、y分别为任意点的横坐标和纵坐标，则该模型表示一个数学上过原点的直线系统。1.系统模型的特征系统模型是对于系统的描述、模仿和抽象，它反映系统的物理本质和主要特征：（1）它是现实系统的合理抽象或模仿；（2）它是由反映系统本质或特征的主要因素构成的；（3）它集中体现了这些主要因素之间的逻辑关系或定量关系。2.系统模型的分类常用的系统模型通常可分为物理模型、概念模型和数学模型三类，其中物理模型与数学模型又可分为若干种，如下图所示在所有模型中，通常采用数学模型来分析系统工程问题，其原因在于：（1）它是定量分析的基础；（2）它是系统预测和决策的工具；（3）它可变性好，适应性强，分析问题速度快，省时省钱，且便于使用计算机。3.系统建模的要求、遵循原则和方法系统建模的要求可概括为：现实性、简明性、标准化。系统建模的遵循原则是：（1）切题；（2）模型结构清晰；（3）精度要求适当；（4）尽量使用标准模型。（二）最优控制系统最优控制系统，是指对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，即系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。1.系统的动态方程（状态方程）分为连续系统（）和离散系统（）两种状态方程。系统的状态方程给出了系统的内部状态随系统控制输入的变化关系，或是内部状态的一种约束关系。2.系统状态的初始条件和终端条件系统状态方程给出了系统状态在整个控制过程的转移约束关系，初始条件和终端条件给出了系统状态在系统控制开始和结束时的约束条件。端点条件一般有三种类型：固定端、自由端和可变端。3.系统的控制域在实际控制系统中，控制输入u（t）往往是受限制的，所以在大多数最优控制问题中，需要规定一个允许的控制域，称为容许控制域，常记为Uad。4.系统的目标泛函（性能指标）系统的目标泛函就是系统的性能指标函数。因为最优控制问题中的性能指标一般都是泛函，所以称为系统目标泛函。对于连续系统和离散系统，其泛函的表达式也有所区别。一个最优控制问题的复杂程度，即求解实现最优控制的难易程度是由上述四个方面的具体规定综合决定的，特别是由系统的性能指标的具体形式来决定的。一般来说，两端固定的线性系统，其控制不受限制，且系统性能指标为积分型时，这样的最优控制问题是比较简单的。（三）稳定性1.稳定性的定义稳定性是指“测量仪器”保持其计量特性随时间恒定的能力。稳定性可以进行定量的表征，主要是确定计量特性随时间变化的关系。最优控制系统的种类很多，完成的功能也有千差万别，但所有系统都需满足稳定性的要求才可以正常工作。2.测量仪器通常有以下两种方式来进行定量表示：用计量特性变化某个规定的量所需经过的时间，或用计量特性经过规定的时间所发生的变化量。对于测量仪器，尤其是基准、测量标准或某些实物量具，稳定性是重要的计量性能之一，示值的稳定是保证量值准确的基础。3.稳定性的判别稳定性的判别定理一般基于系统的数学模型，根据数学模型的形式，经过一定的计算就能够得出稳定与否的结论，这些定理中应用较为广泛的有：劳斯判据、赫尔维茨判据、李亚普若夫三个定理等。这些稳定性的判别方法适合于不同的数学模型，前两者主要通过判断系统的特征值是否小于零进而判断系统是否稳定，后者主要是通过考察系统能量是否衰减来判断系统的稳定性。当然，一个好的控制系统不仅需要系统的稳定性，还需要其他指标，例如：过渡时间、超调量、稳态误差、调节时间等。（四）最优控制问题常用的解决方法动态规划、最大值原理和变分法是给最优控制理论的基本内容和常用方法。1.变分法变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理函数的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。它最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大值或极小值。古典变分法只能用于控制变量的取值范围不受限制的情况。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题往往是无能为力的。2.动态规划（贝尔曼）动态规划是数学规划中的一种，是贝尔曼在20世纪50年代中期为解决多阶段决策过程而提出来的。这个方法的关键是建立在他提出的最优性原理（全局最优必定是局部最优，如果此全局最优解可以取到的话）基础上的,这个原理归结为用一组基本的递推关系式使过程连续的最优转移。他可以求以计算每个决策的后果并对今后的决策制定最优决策为基础的最优解，但在求最优解时要从最终状态到最初状态来进行。动态规划可用于控制变量受限制的情况，是一种很适合于在计算机上进行计算的比较有效的方法动态规划对于最优控制理论的重要性主要有以下几点：（1）它可以得出离散时间系统的理论结果；（2）用动态规划的方法可以得出离散时间系统最优解的迭代算法；（3）动态规划的连续性是可以给出它与古典变分发的联系。在一定的条件下，也可以给出它与最大值原理的联系。3.最大值原理（庞特里亚金）最大值原理是经典最优控制理论的重要组成部分也是控制理论发展史的一个里程碑。它是分析力学中汉密尔顿方法的推广，由于它放宽了求解问题的前提条件，使得许多古典变分法和动态规划无法处理的工程技术问题得到了解决。其突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。（五）基本求解方法对于一个最优控制问题，就是寻找一个方案或规律，使系统能够达到最优目标。在最优控制问题的数学模型建立后，主要问题是如何通过不同的求解方法寻优问题。一般而言，最优控制问题的求解方法大致可分为四类：1.解析法对于目标函数及约束条件、性能指标具有简单而明确的数学表达式的最优控制问题，通常可采用解析法来解决，其求解方法是先用求导方法或变分法取出最优控制必要条件，即一组不等式方程，通过数学分析方法求出其解析解，然后按照问题的实际条件或物理意义确定其最优解。本文中，应用一种非常常用的函数，即汉密尔顿函数：汉密尔顿函数是19世纪英国数学家汉密尔顿用变分原理推导出的汉密尔顿正则方程，次方程是以广义坐标和广义动量为变量，用汉密尔顿函数来表示的一阶方程组。在一个可完全预见的经济中，不论是中央计划的经济还是竞争的经济，其运动规律都可以用汉密尔顿的动态体系或用它的一个简单的扰动体系来描述。在最优控制中，变量分为两类，一类是状态变量：即有微分方程约束的变量，状态变量的变化一定是连续的变化，本期的值会影响到下一期的值，在时间上呈现连续的变化。另一类是控制变量，即没有微分方程约束的变量，可以连续变化，也可以跳跃变化。例如，在面对如下问题时：其中t0代表初始时刻，t1代表最终时刻；x0代表状态变量在初始时刻的值，x（t1）=x1代表状态变量在最终时刻的值，在这个问题中，x（t）是状态变量，u（t）是控制变量。解该问题：建立汉密尔顿函数：最优条件方程：乘子方程：状态方程：一般地，最优控制在经济中涉及的问题类型都是自由终点问题，即x(t1)的值自由，这样的话横截性条件就是λ(t1)=0，再结合关于状态变量的值的已知条件即可求解这个问题。其中，引入参数λ(t)有着丰富的经济学含义，即状态变量在时刻t的边际价值。由汉密尔顿函数引入最大值原理：设分布参数系统具有如下状态方程和初边值条件：其中。目标泛函为：其中Ω是允许控制的集合。假设函数G和L有连续偏导数，控制变量u（t）只为时间t的函数。则最优控制策略u*满足：其中H是如下定义的汉密尔顿函数： （1）伴随函数λ(x,t)满足偏微分方程2.数值法若性能指标较为复杂，无法用解析式表达，则可通过数值分析的方法，通过迭代搜索找到最优点。一般可分为区间消去法（一维）和爬山法（多维）。3.梯度型法梯度型法是一种结合而解析和数值的方法。4.网络最优化方法这种方法是以网络图作为数学模型，用图论方法进行搜索的寻优方法。三、银行贷款动态定价问题的最优控制解法在利率市场化的条件下，商业银行贷款定价不是由中央优化集中来决定的，而是通过市场竞争机制分散决定的，在这个过程中，商业银行的主观性，随意性加大，对贷款利率是否进行浮动或浮动多少一般都缺乏规范、精细的标准，其利率浮动的幅度通常也不能反映贷款人的信用水平以及贷款项目的风险大小。事实上，贷款需求会随着经济的波动而变化，继而产生信贷市场的动态波动。因此，使用动态系统模型能更好地描述商业银行贷款的定价机制。给定这种动态性，商业银行的贷款定价问题即可转化为一个最优控制问题。假设信贷市场不存在不确定性，考虑到信贷市场的动态性，需要在企业贷款投资收益最大化的基础上构建商业银行贷款定价动态机制的最优控制理论模型。（一）经济模型1.企业贷款投资收益最大化模型假设信贷市场存在n家商业银行，在完全竞争市场的条件下，商业银行发放贷款达到供需均衡，市场出清。商业银行产品的差异仅为信贷价格间的差异，即商业银行之间仅能通过各国贷款价格的高低来参与市场竞争。假设商业银行i面临的信贷市场的需求函数，即对应企业i面临的贷款的需求函数为： （2）其中，qi是商业银行i面临的信贷需求，即企业i的贷款需求。ri是商业银行i的贷款价格，也就是贷款利率。ai,bi是商业银行i发放贷款的需求参数。dij是不同商业而银行信贷产品的替代系数。rj是除商业银行i以外的其他银行的贷款利率。假定银行和企业有相同那个的生产成本函数，且都是线性的，则： （3）其中，作为企业的生产成本，该函数包含了企业贷款的利息支出等费用。为了分析方便，假设ci对企业来说是相同的值，但对于各商业银行来说是不同值。假定企业贷款的投资收益率为r，则企业向银行借款的利润最大化函数为： （4）其中，qi是r的函数。对（4）中的企业投资收益率一阶求导，得到满足企业利润最大化的一阶最优条件，即： （5）解得： （6）其中1r−c2.商业银行贷款的最优控制模型商业银行主要关注的是单个时期内的最优，目标函数是单期利润的最大化，而长期最优则是经营期内利润之和的最大化。如果系统只考虑单个时期的利润最大化，则各期利润是独立的。然而，事实上，各期利润可能并非独立，总利润可能大于各期利润之和,我们将应用最优控制理论来研究商业银行的贷款定价。在这里，单个银行i长期决策的目标是使各期利润之和最大化，即： （7）目标函数（7）受约束于（6）。由此，（6）和（7）构成了商业银行长期贷款最优决策的最优控制系统，即： （8）其中（6）是状态方程，（7）是目标函数，ri为控制变量，qi为状态变量。（8）是反映商业银行贷款长期动态定价机制的最优控制模型。通过求解该模型，我们可以的达到商业银行贷款定价的均衡解和商业银行贷款利率与企业贷款投资收益率之间的关系。（二）求解模型为了求解上述最优控制问题，构造如下汉密尔顿函数： （9）其中，λi为协态变量。令（9）两边对ri一阶求导并令其等于0，得到汉密尔顿函数的最优性条件： （10）再令（10）两边对qi（t）求一阶导数得到汉密尔顿函数的共态方程： （11）汉密尔顿函数（9）的横截性条件为： （12）通过对（10）和（11）求解，可以得到下式： （13） （14）再令（13）两边对t微分，得到： （15）将（13）和（15）代入（14），得： （16）即得到商业银行i贷款利率调整所需遵循的动态方程。对其他n-1家银行进行类似分析，可得到一个n维动态系统。可以表示为n个微分方程，即为n家银行进行信贷价格调整的动态系统。若将有关参数代入，则可以得到每家银行信贷定价的调整过程，通过其特征值还可以判断商业银行利率是否存在均衡。考虑以下情况，假设只有两家银行，银行1和银行2。于是有： （17）化简得： （18）其中，当r1=r2=0时，对应的方程组的解即为商业银行1和商业银行2进行信贷竞争的均衡利率（r1 （19）将实际数值代入（19）即可得到商业银行贷款利率与企业贷款投资收益率之间的关系。（三）数值模拟对商业银行在利率市场化的条件下对贷款定价进行数值模拟。给定银行1和银行2（其他银行）的各项参数。表1企业和银行参数aedcr银行1153010.080.1银行2102010.100.1将数值代入（18），运用matlab2020b，可求出动力系统的特征值为0.0270和0.0030由动态系统的奇点理论可知，当两个特征值均为正值时，该系统是不稳定的。因此，可以得出结论：商业银行贷款定价问题不存在纳什均衡。将数值代入（19），可得到下图：图1利率与企业投资收益率关系图由图可知，当企业贷款投资收益率不超过临界值时，企业贷款投资收益率高于商业银行贷款利率，利率随企业贷款投资收益率的增加而上升，而商业银行1和2的利率基本相同。当企业贷款投资收益率超过一定临界值时，企业贷款投资收益率开始下降，且银行利率随着企业贷款投资收益率的下降而增加，而商业银行的贷款利率将超过贷款投资收益率。四、宏观经济管理中一类系统的最优控制解法当政府部门分析同一行业中的企业，或公司与企业研究具有相同文化背景的消费者时，组成宏观经济系统的每个单元通常有相似的运行规律。但是，由于每个经济单元的自身条件有所差异，在进行分析和决策时需将它们差别对待。从最优控制理论的角度来说，这种只有量的差异而无质的不同的经济单元构成的宏观经济系统可以抽象成状态方程相同、但各自状态不同的系统构成的组合系统，当子系统无穷多时，我们将其看做一个最优控制问题。（一）宏观经济系统的最优控制模型假定组合系统的每个子系统均有如下形式的状态方程： （20）其中是一组刻画子系统差异的经济变量，它反映了各子系统内部条件的不同；表示宏观经济管理者对经济单元的控制作用。设t时刻组合系统中经济变量的第i个分量值不超过的子系统数为，当所考察的经济单元足够多时，可以假设是连续变化的，并且适当光滑。表示子系统数关于各分量的分布密度。引入定理1：当组合系统中子系统的个数为无穷多时，若子系统的状态方程由（20）给出，则子系统的分布密度满足如下偏微分方程： （21）其中为子系统关于经济变量x的初始分布密度。当子系统的状态方程不同时，分布密度也满足与（21）具有相同的偏微分方程，其中的为子系统的平均变化率。记xi的上下限分别为ximax和ximin （22）记当宏观系统中经济单元的个数为无穷多时候，其运动规律可由分布参数系统（21）来描述，因此对宏观组合系统的控制可转化为对该分布参数系统的控制。（二）求解模型根据上文中的最大值原理和定理1考虑组合系统关于一组宏观经济指标Y（t）的最优控制问题。取目标泛函为： （23）其中为各宏观经济指标的权向量。把（22）代入（23）得：构造汉密尔顿函数：经计算得： （24）上式分别运用了部分积分法和如下条件： （25）即变量在取值范围外的经济的单元分布为零。综上，宏观经济系统的最优控制u*是如下优化问题的解 （26）其中由（21）确定，伴随函数λ可按引理2中方法确定。如果把汉密尔顿函数①的前后两项分别看成是对宏观经济指标的直接贡献和间接贡献，那么（23）中的和分别是对微观经济指标的直接和间接的贡献，而最优控制策略u*将使这两种贡献以“经济单元分布为权数”的加权和最大。（三）应用实例下面用最优控制理论解决最优广告策略的制定问题。令x表示某公司在消费者心中以元为单位的商誉值，并假定某一地区内每个消费者的商誉值有如下变化规律，即子系统状态方程为：其中，u（t）为公司的广告费用（假定每个消费者受到的广告影响相同），δ为商誉的平均衰减系数。则消费者关于商誉值的分布密度函数满足：假定公司单位时间内的利润与消费者的商誉值成正比（比例系数为r）。在这种情况下，该公司可以把该地区内总的商誉值和总的广告费用作为宏观经济指标，而把每个消费者的商誉值及人均广告费用作为微观经济指标，并把未来一段时间内扣除广告费用的净利润作为自己的优化目标： （27）其中为消费者综述。根据经济背景，假设允许控制集有如下形式：其中u是控制变量的上限。由（24）和（27）直接可得：若记,则最优控制策略u*可表示为：Q(t)表示在t时刻单位广告费用在全体消费者中产生的以货币表示的“效果”，若它大于由此引入的费用（一单位的货币），则应进行投资，否则停止投资。五、小结本文详细介绍了最优控制理论及其系统模型与常用的控制手段、方法等。并将最优控制理论应用于经济金融领域。在第三、四部分中分别将动态规划和最大值原理运用到两个不同的最优控制模型中，并通过数值模拟及实际应用来检验模型的适用性和稳定性。利用MATLAB程序，让求解微分方程组变得更加容易。最优控制理论和其它技术科学理论一样，它的产生和发展主要由于人类生产和发展的需求并且由人类已有的技术和知识水平所决定。面对一些复杂的系统，单由控制领域的理论和方法，很难使问题得到圆满的解决。由此，多门学科相互交叉，采用多种手段互为补充，这也是今后发展的一个方向。主要参考文献1.朱珊珊、罗棋，“Pontryagin最大值原理在一类最优控制问题中的应用”，《唐山师范学院学报》，2018，40，3。2.字如钧、郝云康、崇凌俊、范向前，“国有商业银行贷款定价模型构建分析”《云南财经大学学报》，2011，3。3.关大宇，“我国商业银行贷款定价的最优化模型设计”，《金融论坛》，2006，23。4.李丽滢、刘钟钦，“利率市场化条件下农村信用社的贷款定价研究”，《商业研究》，2006，23。5.蒋东明，“论国外贷款定价模式及其对我国商业银行的启示”，《北京理工大学学报（社