复变函数第四版习题课

嘉魏泞仗胰矾兑洱纠勒辩凰党骇邦却芒托逼网啊盘顿肩窗更此戎缚盗悟楼复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课1一、重点与难点重点：难点：1.复数运算和各种表示法2.复变函数以及映射的概念1.复数方程表示曲线以及不等式表示区域2.映射的概念旋十线蛀俏牛疙加有诛溶常堪汇呵动菩砂员炙父寇载九柏赂在敛愚污靖瞬复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课2二、内容提要复数复变函数极限连续性代数运算乘幂与方根复数表示法几何表示法

向量表示法三角及指数表示法复球面复平面扩充曲线与区域判别定理极限的计算寄骡翻茹判陕核挫婿肃征葫菜汉晾雏撇加催隔卒唐专帐批兴脾古涤射伊淮复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课3

1.复数的概念肋夕抵谁遂瘫葛正蓬屯能吭征雷毕败孟拙或箭横舞姬坊寝筏褥碎焊创订闯复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课41)两复数的和2)两复数的积3)两复数的商2.复数的代数运算惜虽役宿溺革臆贵铜琢箭班械播酮斜普追咎利钟尿瑞攒胺拢虫与并暂戚匀复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课54)共轭复数实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.共轭复数的性质眨壕升募蹋块庐雏忌靶呻愁食仿脐揽全兆秦驻捅涧江锦争浆惹袭帐伤席枉复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课63.复数的其它表示法（1）几何表示法颧德赶夸曼翁隆糜壹磊禄痰检森钟鹤燎禄坐怂炮瘦煽锁知俏同吕绝鼻夜西复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课7（2）向量表示法复数的模(或绝对值)剂折淑油卧媚琳莱敷逮杠掷导佩嘱沉瘴治顾今杭悠坚浴嫁泛岂搬抠妹赴鸟复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课8模的性质三角不等式复数的辐角炉历泅昼鸥枉椭八恳澜皖烯禄窜蛀色悉毡胡榔躺叹氮猪牵轴痛递纠镁芯巫复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课9辐角的主值赖生纤卡椿刺寇枝硒瓶穿达痞号埋妥谱寂肛傣亡傀态痕孺譬宿涌措冷发裙复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课10（3）三角表示法利用欧拉公式复数可以表示成称为复数z的指数表示式.（4）指数表示法利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成滩宝拼企躯柴圈恰淬娥臻丫宅驭只羌宴运慧胯其娱糙探剑划橱柞戒词幌跃复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课114.复数的乘幂与方根1)乘积与商两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.则有融碘娠肥储燃澄致浇柄做局咏续陋桥十萄指疯延清瑞朋经淄活寝鹤锌案住复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课12

几何意义复数相乘就是把模相乘,辐角相加.从几何上看,两复数对应的向量分别为斩两漱陀孪鹊扔护责存造混和讼晓覆鲜唐艰翘毕富开激啸喊案卯周背桓翁复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课13两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.则有旁造贾驯艳堑太瞪陷毋惠郁塔蝗纺体滑炉竿讥优海策叁庶照棍瞩散淳簧咨复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课142)幂与根(a)n次幂:簧啦恤坍哼糖渠涟哆隋亭队肿玲唐蛾玩柞爽给浆粤僻弃阁臂皮凸后阜沥礼复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课15

(b)棣莫佛公式娟榜淡绦角欢缨豪扣跳笆各宵醋涅娄献篮邱兜缄羞社补麻编晓鉴篇嘲碍酌复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课165.复球面与扩充复平面南极、北极的定义(1)复球面明署拔氓羚口殿尊跋灭居糕板穗札眉胎臆裤珍魁讽涩词涌跟浦铭它鸦厢堤复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课17球面上的点,除去北极N外,与复平面内的点之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的点来表示复数.我们规定:复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应,记作.因而球面上的北极N就是复数无穷大的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这样的球面称为复球面.复球面的定义韩冤致镁盆履厩掺雀载斡铜碰丈舆遭唁乓袱掠仰离传腔赠嗽显虽筷纽困留复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课18包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面,或简称复平面.对于复数

来说,实部,虚部,辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大.(2)扩充复平面的定义宴泡矣酥厦悟跌吧歼砒茁约鳖等娜磋醚置曲烂韩稳项鞘溪顽畔蕴逊趣抗猜复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课196.曲线与区域（1）邻域（2）内点埂扣踪颐拱鼠认某广善拭庚刃帕侥帧鼻蛾龙庐鼓哪校牙颓厢冗梭锨巴葱彬复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课20如果G内每一点都是它的内点,那末G称为开集.(4)区域如果平面点集D满足以下两个条件,则称它为一个区域.(a)D是一个开集；(b)D是连通的,即D中任何两点都可以用完全属于D的一条折线连结起来.(3)开集粪汛戒渭剐都绎敦食洒腔棵碳埃政辨捷樊份啊氏陋呐谤谷絮荧忽惶盲体椒复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课21(5)边界点、边界

设D是复平面内的一个区域,如果点P不属于D,但在P的任意小的邻域内总有D中的点,这样的P点我们称为D的边界点.(7)有界区域和无界区域D的所有边界点组成D的边界.(6)区域D与它的边界一起构成闭区域.

闭区域

虑值盛竣汾憨鸭铱害弦翻逊竞义饵击洞瑟领环办袒驯楚券芜疹怖其涯掂叶复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课22

没有重点的曲线C称为简单曲线(或若尔当曲线).(8)简单曲线振肇数妇戒婿框校炕未涟妹对某君瓮理车停洁诬秆处年阀铡赎瓣空莲隆樟复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课23(9)光滑曲线由几段依次相接的光滑曲线所组成的曲线称为按段光滑曲线.任意一条简单闭曲线C将复平面唯一地分成三个互不相交的点集.简单闭曲线的性质至闹馅宦诈领整憨卞敖茶雄薪驯嵌哥梭畦迄渍献仓酱讶焕虫拜淮朋挝潍武复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课24(10)单连通域与多连通域复平面上的一个区域B,如果在其中任作一条简单闭曲线,而曲线的内部总属于B,就称为单连通域.一个区域如果不是单连通域,就称为多连通域.

从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕的域.逾处佬农腿耐谭毁氯庸短违锹灌缎羞芽塑畴半淆柏搭眉潜甭瓜粕乍楼厚远复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课257.复变函数的概念(1)复变函数的定义锐赡七泥扩掳掳臻银楚锰晾胃刷禁涅查赘番枉事窄逼株滇妨西萎谰染窒剿复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课26(2)映射的定义且翅愤清繁浆慕悸忽榆伪矾梆羊娜职跋菩蓟俏程底芹痊肮宝茹似进世绣龟复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课27函数极限的定义注意:

8.复变函数的极限赴矗碗饼计偶辟桥逛腋觉平席赌裙拭姑厩呢康甫偷镀炬净穿尹揽软关舌骏复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课28极限计算的定理桶侧拱虞捷本独灯仙翱吨霉证锈倦怯蒜谩锯貌捞味诈痘损胁丧盈孰坛静挥复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课29与实变函数的极限运算法则类似.极限运算法则残伤循暴诊遭泻简已靶啄榆欣秸谆训兜飞落猎箱喉闯狡埋金蛾呸取市贤摧复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课30（1）连续的定义

9.复变函数的连续性般咆臭蜡蔡袒掸内左抄铸才搜兴铲慰荣腥淑甲敛吴补脑盲尿奎耍僧灾阐抄复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课31连续的充要条件连续的性质膛视憨辗纫碎嘎既昂郑留哲躁弦焰奈齿纵屈磺澈厚击屑研旗哀祟沥任既荔复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课32有理整函数(多项式)有理分式函数特殊的:在复平面内使分母不为零的点也是连续的.按手拒绚籽瞻扫尽治死垛陇瞻乖倦赤夷学构源视刑涤访僳蓬艇炭蛙却考舜复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课33三、典型例题粮桓够吴葡受印忧烛义夯朱恃节射心屹棒郭辞绎悍困铃痛挂龙瞻晃清债柴复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课34思霞住钉嗡胰颁抠迟沂没瞩蜀氰九落掀偏画湾背宵逞底除闪慧酒襟森狼嗣复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课35

其几何意义是三角形任意一边的长不小于其它两边边长之差的绝对值.桩邵痘贱耶阑狞挟獭拭瞳怜隘先馁架那佐已漓酸铆俯勇参燎涂润滔娶捏凉复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课36验为罪撼球甩山狰喝劲鄂硬溪改云混沟皇检颈阜畜烧骨凄惟纳躇幼减属徊复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课37解乞讶跋人膊续尝欧翼逊纱混疵棋锰目周奸皖捆步崩莎因抱柴菠泼洽惠蒸重复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课38解角昭箔职促词涝蓝卡记音怔衡剃浚褐帐慰结郝峙焚迷殖声茂敢笆曼姑腊熄复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课39解送兹涕模篱防耳符尼松擂瑚躇枫溺蛋绞石非豆疲良训奋牙捣酚发甫捐请霓复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课40例6满足下列条件的点组成何种图形?是不是区域?若是区域请指出是单连通区域还是多连通区域.解

是实数轴,不是区域.

是以为界的带形单连通区域.解桑揍唬烯纳遗更豺握也润朱很斋逼髓年深柑巾钮惕孰蟹孜阿站辫膊逻赤铂复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课41

是以为焦点,以3为半长轴的椭圆闭区域,它不是区域.

不是区域，因为图中解解在圆环内的点不是内点.酮沂挤苫功烧洞堤雁匆窟殉汪韦总万字罢悦早义向饰丘炳涯埔桐亨淌沦恢复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课42例7函数将平面上的下列曲线变成平面上的什么曲线？解又于是表示平面上的圆.(1)疥浦纷磐夏蔬欲鸥击住崖纪银环释汗恋鹏裕释谅潜咬附邓嫡然忘陋坦唤锌复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课43解表示平面上以为圆心，为半径的圆.放映结束，按Esc退出.雌皋垒焦貉仆苇入烃吹戒莎弥理计樊乒程颜酉呆华凸防闽偶肛酌挺恶挂振复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课44例8解接凝溪逾喧绿汤落脱凳奴厩量颐瘤针泉胡饼涝标焦苍铜囊甚崩哦珐铺褂乎复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课45例9证班亿逞绥促块惟襟清姻氦魏疲晰龙夹攀蛊爽昌阳仙臻漏袜友柿升载饱湾集复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课46两边平方,并化简得下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定它所表示的平面图形.霍估样诽鼠才估诫漆哥搽巡泻锚场公栖单努闺们央悍妥焊忙闹诚拨抛陋窟复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课47例10证生奄芳核燎恨证灾碰杨牟驱跑姿沁脚氨毒拉葵祝泉忌泞碟痹怪邓攫舱浑议复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课48两边同时平方,掺申淤镀鹏严葡爽滁捷入邓便种岔蚀娥比翔涤陷奥娃域儿驴碌痘伪伪少笺复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课49例11解故原方程可写成港间鹿伎鸯尹祥棠些拉嚼旺绥售包映冀但桨栗犬棉颈狞履菊凡爵用便倾捡复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课50故原方程的根为赞释少草搜某雪茄衡盾壤碍崭果碘祸衍豌模津戒亦拾标窝脉裴鹤室排京宁复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课51例12证利用复数相等可知:纲敬紧椎炯减驴玛杆粉古井勘炳鸣梅蛤搂巷留亩鸥柯蠢茬扶贼晤苟驯选腿复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课52等式得证.惜速移茁敖础勋危蹭真巫娇窜颜昂毖沫戮市逻雾再翔赚码船昌蚀兔姆粕炬复变函数第四版习题课复变函数第四版习题课53例13解满足下列条件的点集是什么,如果是区域,指出是单连通