2024年初中升学考试模拟测试湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）

第1页（共1页）2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项）1．（4分）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．32．（4分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a﹣2a＝1 C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a6÷a2＝a33．（4分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（）A． B． C． D．4．（4分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．科克曲线 C．斐波那契螺旋 D．笛卡尔心形线5．（4分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（）A．该组数据的中位数为98 B．该组数据的方差为0.7 C．该组数据的平均数为98 D．该组数据的众数为96和986．（4分）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．28° B．56° C．36° D．62°7．（4分）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（）A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3 C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×508．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm9．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（）A． B． C． D．10．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为．12．（4分）﹣＝．13．（4分）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为．14．（4分）若反比例函数的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大，则k＝．（写出一个满足条件的值）15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为．16．（4分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，分别以OA，OB长为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为．17．（4分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为米．18．（4分）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示；根据图象信息请你计算∠BAC的度数是度，当AP恰好平分∠BAC时t的值为．三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝cos60°．21．（8分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）教育局抽取的初中生有人，扇形统计图中m的值是；（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是；（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生约有人．22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．（1）求证：AE＝CF；（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．23．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．24．（10分）知识再现如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵sinA＝，sinB＝，∴c＝，c＝．∴．拓展探究如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．解决问题如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．25．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC＝∠ABC．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若DE＝4，AC＝2BC，求线段CE的长．26．（12分）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）．①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围．

2023年湖南省永州市中考数学模拟试卷（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分.每个小题只有一个正确选项）1．（4分）如图，数轴上点A表示的数的相反数是（）A．﹣2 B．﹣ C．2 D．3【答案】C【分析】根据数轴得到点A表示的数为﹣2，再求﹣2的相反数即可．【解答】解：点A表示的数为﹣2，﹣2的相反数为2，故选：C．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a2•a3＝a6 B．3a﹣2a＝1 C．（﹣2a2）3＝﹣8a6 D．a6÷a2＝a3【答案】C【分析】选项A根据同底数幂的乘法法则判断即可，同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；选项B根据合并同类项法则判断即可，合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变；选项C根据积的乘方运算法则判断即可，积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；选项D根据同底数幂的除法法则判断即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减．【解答】解：A．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B．3a﹣2a＝a，故本选项不合题意；C．（﹣2a2）3＝﹣8a6，故本选项符合题意；D．a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；故选：C．3．（4分）如图是运动会领奖台，它的主视图是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．【解答】解：从正面看，可得如图形：故选：A．4．（4分）下面用数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．赵爽弦图 B．科克曲线 C．斐波那契螺旋 D．笛卡尔心形线【答案】B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；B．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；C．不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；故选：B．5．（4分）学校组织学生进行知识竞赛，5名参赛选手的得分分别为：96，97，98，96，98．下列说法中正确的是（）A．该组数据的中位数为98 B．该组数据的方差为0.7 C．该组数据的平均数为98 D．该组数据的众数为96和98【答案】D【分析】根据中位数的定义判断A选项；根据算术平均数的计算方法判断C选项；根据方差的计算方法判断B选项；根据众数的定义判断D选项．【解答】解：A、将这组数据从小到大排列为：96，96，97，98，98，中位数为97，故A选项不符合题意；C、平均数＝＝97，故C选项不符合题意；B、方差＝×[（96﹣97）2×2+（97﹣97）2+（98﹣97）2×2]＝0.8，故B选项不符合题意；D、该组数据的众数为96和98，故D选项符合题意；故选：D．6．（4分）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若∠1＝28°，则∠2的度数为（）A．28° B．56° C．36° D．62°【答案】D【分析】过直角的顶点E作MN∥AB，利用平行线的性质解答即可．【解答】解：如图所示，过直角的顶点E作MN∥AB，交AD于点M，交BC于点N，则∠2＝∠3．∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∵AB∥MN，∴MN∥CD，∴∠4＝∠1＝28°，∵∠3+∠4＝90°，∴∠3＝90°﹣∠4＝62°．∴∠2＝∠3＝62°．故选：D．7．（4分）在数学活动课上，兴趣小组的同学用一根质地均匀的轻质木杆和若干个钩码做实验．如图所示，在轻质木杆O处用一根细线悬挂，左端A处挂一重物，右端B处挂钩码，每个钩码质量是50g．若OA＝20cm，OB＝40cm，挂3个钩码可使轻质木杆水平位置平衡．设重物的质量为xg，根据题意列方程得（）A．20x＝40×50×3 B．40x＝20×50×3 C．3×20x＝40×50 D．3×40x＝20×50【答案】A【分析】利用重物的质量×OA的长度＝3个钩码的质量×OB的长度，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：依题意得：20x＝40×50×3．故选：A．8．（4分）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝44cm，则高AD约为（）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51）A．9.90cm B．11.22cm C．19.58cm D．22.44cm【答案】B【分析】根据等腰三角形性质求出BD，根据角度的正切值可求出AD．【解答】解：∵AB＝AC，BC＝44cm，∴BD＝CD＝22cm，AD⊥BC，∵∠ABC＝27°，∴tan∠ABC＝≈0.51，∴AD≈0.51×22＝11.22cm，故选：B．9．（4分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E．若AB＝26，CD＝24，则∠OCE的余弦值为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用垂径定理求得CE，利用余弦的定义在Rt△OCE中解答即可．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝12，∵AB＝26，∴OC＝13．∴cos∠OCE＝．故选：B．10．（4分）已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：①c≥﹣2；②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大；③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3；④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．其中正确的是（）A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④【答案】D【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确；当顶点运动到y轴右侧时，根据二次函数的增减性判断出②错误；当顶点在A点时，D能取到最小值，当顶点在B点时，C能取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确；令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确；∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误；若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，∴点C的横坐标最大值为3，故③正确；令y＝0，则ax2+bx+c＝0，CD2＝（﹣）2﹣4×＝，根据顶点坐标公式，＝﹣2，∴＝﹣8，即＝8，∴CD2＝×8＝，∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，∴＝42＝16，解得a＝，故④正确；综上所述，正确的结论有①③④．故选：D．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4分）习近平总书记指出“善于学习，就是善于进步”．“学习强国”平台上线的某天，全国大约有124600000人在平台上学习，将这个数据用科学记数法表示为1.246×108．【答案】1.246×108．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．【解答】解：124600000＝1.246×108．故答案为：1.246×108．12．（4分）﹣＝．【答案】见试题解答内容【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．【解答】解：原式＝3﹣2＝，故答案为：．13．（4分）某超市糯米的价格为5元/千克，端午节推出促销活动：一次购买的数量不超过2千克时，按原价售出，超过2千克时，超过的部分打8折．若某人付款14元，则他购买了3千克糯米；设某人的付款金额为x元，购买量为y千克，则购买量y关于付款金额x（x＞10）的函数解析式为y＝．【答案】3；y＝．【分析】根据糯米的价格为5元/千克，如果一次购买2千克以上糯米，超过2千克的部分的糯米的价格打8折，即可得出解析式；再把x＝14代入即可．【解答】解：∵x＞10时，∴一次购买的数量超过2千克，∴y＝，＝．∵14＞10，∴y＝，＝，＝3．故答案为：3；y＝．14．（4分）若反比例函数的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大，则k＝﹣2（答案不唯一）．（写出一个满足条件的值）【答案】﹣2（答案不唯一）．【分析】根据反比例函数的增减性可得k＜0，写一个负数即可．【解答】解：∵反比例函数的函数值y在每个象限随着自变量x值的增大而增大，∴k＜0，∴k＝﹣2（答案不唯一），故答案为：﹣2（答案不唯一）．15．（4分）如图，在平面直角坐标系中，△OAB为等腰三角形，OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，则点B′的坐标为（﹣4，8）．【答案】（﹣4，8）．【分析】过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，先求出ON＝8，再证明△AOB≌△A′OB′（AAS），推出OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，从而求出点B′的坐标．【解答】解：过点B作BN⊥x轴，过点B′作B′M⊥y轴，∴∠B′MO＝∠BNO＝90°，∵OA＝AB＝5，点B到x轴的距离为4，∴AN＝3，∴ON＝8，∵将△OAB绕点O逆时针旋转90°，得到△OA′B′，∴∠BOB′＝90°，OB＝OB′，∴∠BOA′+∠B′OA′＝∠BOA+∠BOA′，∴∠BOA＝∠B′OA′，∴△NOB≌△MOB′（AAS），∴OM＝ON＝8，B′M＝BN＝4，∴B′（﹣4，8），故答案为：（﹣4，8）．16．（4分）如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如图2所示，它是以O为圆心，分别以OA，OB长为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面，若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为．【答案】．【分析】利用扇形面积公式，根据S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC即可求解．【解答】解：S阴影＝S扇形AOD﹣S扇形BOC＝＝＝＝，故答案为：．17．（4分）在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图，利用黄金分割法，所作EF将矩形窗框ABCD分为上下两部分，其中E为边AB的黄金分割点，即BE2＝AE•AB．已知AB为2米，则线段BE的长为（﹣1+）米．【答案】（﹣1+）．【分析】根据BE2＝AE•AB，建立方程求解即可．【解答】解：∵BE2＝AE•AB，设BE＝x，则AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴线段BE的长为（﹣1+）米．故答案为：（﹣1+）．18．（4分）如图1，在△ABC中，∠B＝36°，动点P从点A出发，沿折线A→B→C匀速运动至点C停止．若点P的运动速度为1cm/s，设点P的运动时间为t（s），AP的长度为y（cm），y与t的函数图象如图2所示；根据图象信息请你计算∠BAC的度数是72度，当AP恰好平分∠BAC时t的值为2+2．【答案】72；2+2．【分析】由图象可得AB＝BC＝4cm，通过证明△APC∽△BAC，可求AP的长，即可求解．【解答】解：如图，连接AP，由图2可得AB＝BC＝4cm，∵∠B＝36°，AB＝BC，∴∠BAC＝∠C＝72°，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠PAC＝∠B＝36°，∴AP＝BP，∠APC＝72°＝∠C，∴AP＝AC＝BP，∵∠PAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△APC∽△BAC，∴，∴AP2＝AB•PC＝4（4﹣AP），∴AP＝2﹣2＝BP，（负值舍去），∴t＝＝2+2，故答案为：72；2+2．三、解答题（本大题共8个小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）解不等式组：，并写出它的所有整数解．【答案】见试题解答内容【分析】分别求解两个不等式，得到不等式组的解集，写出整数解即可．【解答】解：解不等式①得：x＜3，解不等式②得：x≥1，∴原不等式组的解集为：1≤x＜3，∴整数解为1，2．20．（8分）先化简，再求值：，其中x＝cos60°．【答案】，﹣2．【分析】根据分式混合运算法则进行化简计算，然后再代入求值即可．【解答】解：＝•﹣＝＝∵，∴原式＝．21．（8分）某市教育局为了解“双减”政策落实情况，随机抽取几所学校部分初中生进行调查，统计他们平均每天完成作业的时间，并根据调查结果绘制如下不完整的统计图：请根据图表中提供的信息，解答下面的问题：（1）在调查活动中，教育局采取的调查方式是抽样调查（填写“普查”或“抽样调查”）；（2）教育局抽取的初中生有300人，扇形统计图中m的值是30；（3）已知平均每天完成作业时长在“100≤t＜110”分钟的9名初中生中有5名男生和4名女生，若从这9名学生中随机抽取一名进行访谈，且每一名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到男生的概率是；（4）若该市共有初中生10000名，则平均每天完成作业时长在“70≤t＜80”分钟的初中生约有3000人．【答案】（1）抽样调查；（2）300，30；（3）；（4）3000．【分析】（1）根据教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查即可得出答案；（2）根据60≤t＜70的人数45人占所有抽样学生的15%即可求出抽样学生的人数，根据扇形统计图各部分的百分比之和为1即可求出m的值；（3）根据概率公式求解；（4）根据样本中70≤t＜80的人数占抽样人数的30%估计全市人数即可．【解答】解：（1）∵教育局随机抽取几所学校部分初中生进行调查，∴教育局采取的调查方式是抽样调查，故答案为：抽样调查；（2）45÷15%＝300（人），1﹣15%﹣3%﹣7%﹣45%＝30%，故答案为：300，30；（3）∵所有可能抽到的结果数为9，抽到男生的结果数为5，且每一名学生被抽到的可能性相同，∴P（抽到男生）＝，故答案为：；（4）10000×30%＝3000（人），故答案为：3000．22．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，CD上，且四边形BEDF为正方形．（1）求证：AE＝CF；（2）已知平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，求CF的长．【答案】（1）证明过程见解答；（2）1．【分析】（1）根据正方形的性质可以得到DF＝EB，根据平行四边形的性质可以得到AB＝CD，然后即可得到结论成立；（2）根据平行四边形的面积，可以得到DE的长，然后根据正方形的性质，可以得到BE的长，从而可以求得AE的长，再根据（1）中的结论，即可得到CF的长．【解答】（1）证明：∵四边形BEDF为正方形，∴DF＝EB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB，∴DC﹣DF＝AB﹣EB，∴CF＝AE，即AE＝CF；（2）解：∵平行四边形ABCD的面积为20，AB＝5，四边形BEDF为正方形，∴5DE＝20，DE＝EB，∴DE＝EB＝4，∴AE＝AB﹣EB＝5﹣4＝1，由（1）知：AE＝CF，∴CF＝1．23．（10分）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．（1）求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；（2）在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为a元，销售猪肉粽的利润为w元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．【答案】（1）每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；（2）该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．【分析】（1）设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，根据猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元列出方程组，解出即可．（2）根据当a＝50时，每天可售出100盒，每盒猪肉粽售价为a元时，每天可售出猪肉粽[100﹣2（a﹣50）]盒，列出二次函数关系式，再化成顶点式即可得解．【解答】解：设每盒猪肉粽的进价为x元，每盒豆沙粽的进价为y元，由题意得：，解得：，∴每盒猪肉粽的进价为40元，每盒豆沙粽进价为30元；（2）w＝（a﹣40）[100﹣2（a﹣50）]＝﹣2（a﹣70）2+1800，∵﹣2＜0，∴当a＝70时，w有最大值，最大值为1800元．∴该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润为1800元．24．（10分）知识再现如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．∵sinA＝，sinB＝，∴c＝，c＝．∴．拓展探究如图2，在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c．请探究，，之间的关系，并写出探究过程．解决问题如图3，为测量点A到河对岸点B的距离，选取与点A在河岸同一侧的点C，测得AC＝60m，∠A＝75°，∠C＝60°．请用拓展探究中的结论，求点A到点B的距离．【答案】拓展研究：；解决问题：30m．【分析】拓展研究：作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，根据正弦的定义得AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，从而得出结论；解决问题：由拓展探究知，，代入计算即可．【解答】解：拓展探究如图，作CD⊥AB于点D，AE⊥BC于点E，在Rt△ABE中，sinB＝，同理：sinB＝，sin，sin，∴AE＝csinB，AE＝bsin∠BCA，CD＝asinB，CD＝bsin∠BAC，∴，，∴；解决问题在△ABC中，∠CBA＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，∵，∴，∴AB＝30，∴点