大学物理A习题答案(东北林业大学)

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第1章质点运动学

1-1已知质点的运动方程为，=e"+3e）+64。（］）求：自片。至片1质点

的位移。（2）求质点的轨迹方程。

解：（1）尸（0）=，+3/+65r（l）=ei+3e'1j+6k

质点的位移为Ar=（e-l）z

（2）由运动方程有x=e\y=3e~r,z=6消，得

轨迹方程为肛，=3且z=6

1・2运动质点在某瞬时位于矢径的端点处，其速度的大小为［D1

1-3如图所示，堤岸距离湖面的竖直高度为A,有人用绳绕过岸边的定滑

轮拉湖中的小船向岸边运动。设人以匀速率为收绳，绳不可伸长且湖水静止。

求：小船在离岸边的距离为$时，小船的速率为多大？（忽略滑轮及船的大小）

解：如图所示，在直角坐标系xOy中，t时刻船离岸边的距离为x=s,船

的位置矢量可表示为

f=xi+（-/2）］

船的速度为v=—=—i=vi

dtdt

其中x=飞/-h2

因绳子的长度随时间变短，所以丝=-%

at

则船的速度为▼=.

S

J‘2+小

所以船的速率为J%

S

1-4已知质点的运动方程为/•=（Rcoso/）i+（HsincW）j+5A（SI）。求：⑴质点在

任意时刻的速度和加速度。（2）质点的轨迹方程。

解：（1）由速度的定义得

=—=-to/?sin(co/)i+cuRcos(cot)j

dt

由加速度的定义得

a=-=-co2/?cos(<yf)/-co2火sin(tof)j

（2）由运动方程有x=Rcosa）t,y=Rsincot,z=5消/得

质点的轨迹方程为一+/=配且z=5

1-5一质点在平面上运动，已知质点的运动方程为r=5/2i+3b/,则该质

点所作运动为[B]

（A）匀速直线运动（B）匀变速直线运动

（C）抛体运动（D）一般的曲线运动

1-6一质点沿Ox轴运动，坐标与时间之间的关系为x=3「-2f（SI）。则质

点在4s末的瞬时速度为142m,瞬时加速度为72nrs°；Is末到4s末的位

移为183m,平均速度为61ms",平均加速度为45m8汽

解题提示：瞬时速度计算丫=处，瞬时加速度计算。=小；位移为

dtdt2

zh-=x（4）-A-（l）,平均速度为*=x⑷一x（l）,平均加速度为NJ⑷-咐

4—14—1

1-7已知质点沿Ox轴作直线运动，其瞬时加速度的变化规律为

2

ax=3/m.s-o在片0时，vx=0,x=10m,求：（1）质点在时刻/的速度。（2）

质点的运动方程。

解：⑴由4*=^得

dt

dvx=axdt

两边同时积分，并将初始条件片0时，匕=0带入积分方程，有

白面

解得质点在时刻，的速度为匕=3/

2

（2）由“与dx得

at

dx=vxdt

两边同时积分，并将初始条件Z=0时，x=10m带入积分方程，有

£小小威=比康

解得质点的运动方程为x=10+l?

2

1-8一物体从空中由静止下落，已知物体下落的加速度与速率之间的关系

为。=为常数）。求：物体的速度和运动方程。

解：（1）设物体静止时的位置为坐标原点，向下为y轴正方向，则片0时,

v=0,y=0o

由石=史得

dt

dv=adt=(4—Bv)dt

1」」

整理得---------dv=dt

A-Bv

对方程两边同时枳分,并将初始条件带入积分方程，有

——-——dv=fdt

A-Bv小

解得物体的速率为v=,方向竖直向下

B

⑵由T得

对方程两边同时积分,并将初始条件带入积分方程，有

f改呜(13卜

解得物体的运动方程为

1-9一质点作半径r=5m的圆周运动，其在自然坐标系中的运动方程为

s=2f+；产(SI),求：，为何值时，质点的切向加速度和法向加速度大小相等。

解：由运动方程得

dsC

v=—=2+/

dt

质点的切向加速度为4,=包=1

dt

a」〔(2+,)2

质点的法向加速度为

当两者相等时，有驾”=1

解得时间/的值为/=(V5-2)s

1-10质点做半径为1m的圆周运动，其角位置满足关系式6=5+2,3(Sl)。

/=ls时，质点的切向加速度12m-s。，法向加速度36m,总加速度

37.95m・s"。

解：由运动方程。=5+2/3得

角速度为。=羽=6丛7,角加速度为。=也=12""

dtdt

/时刻，质点的切向加速度的大小为a,=aR=12/xl=12fm-s-2

质点的法向加速度的大小为4=。*=(6尸)41=36-m-s-2

质点的总加速度的大小为a=4+a：=’(⑵1+前，)2m.s-2

将片Is代入上面方程，即可得到上面的答案。

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第2章质点动力学

2-1质量为m的质点沿Qx轴方向运动，其运动方程为x=/sins/。式中/、

。均为正的常数，，为时间变量，则该质点所受的合外力厂为［CJ

(A)F=a)2x(B)F=-mcox(C)F=-mco2x(D)F=m(o2x

解：因为a=--=-Aarsmcot=-co2x

dt2

所以F-ma--moj2x

2-2质量为，〃的物体在水平面上作直线运动，当速度为v时仅在摩擦力作

用下开始作匀减速运动，经过距离s后速度减为零。则物体加速度的大小为

。,物体与水平面间的摩擦系数为〃=。

解：设运动方向为正方向，由匕2一%2=2发得

所以加速度的大小为。=三

因摩擦力是物体运动的合外力，所以

-/JN=—ymg=ma

将(1)式带入上式，得

2gs

2-3如图所示，两个物体Z、8的质量均为旭=3kg,物体N向下运动的加

速度。=1ms-?。求物体8与桌面间的摩擦力。(绳的质量不计，且不可伸长)

解：选地面为惯性参照系，采用隔离法

对两物体进行受力分析，如图所示。因绳质

量不计，所以绳中各点张力处处相等。根据

牛顿第二定律，有

T-f=maB(1)

PA-2T=maA(2)

其中,PA=PB=mg.

两个物体2、8间坐标的关系为

2以=xB

对上式求时间z的二次导数，得

2%=%(3)

将3个方程联立，可得

/=7.2N

2-4一根长为/=0.5m的轻绳，一端固定在天花板上，另一端系一质量为股

的重物，如图所示。重物经推动后，在一水平面内作匀速圆周运动，转速

〃=lr.sL这种装置叫作圆锥摆。求这时绳和竖直方向所成的角度。

解：选地面为惯性参照系，对重物进行受力分

析，重物受到绳子的拉力T和重力尸(=〃?g)，如图

所示。重物作匀速圆周运动，加速度为向心加速度。

建立如图所示坐标系，根据牛顿第二定律，有

竖直方向：TeosB=mg(1)

水平方向：7sin0=mrco2(2)

由图可知，圆的半径/二/sin。，重物在圆周上运动

的角速度大小为

co=2jm(3)

将上面三个方程联立，可得

cos6=-f—=0.497

4/庐

查表得6=60。13'

由此题可知，物体的转速〃越大，e越大，与重物的质量无关。

2-5/、B两质点的质量关系为叫〉啊，同时受到相等的冲量作用，则

ID1

(A)N比8的动量增量少(B)N与8的动能增量相等

(C)N比5的动量增量大(D)N与5的动量增量相等

提示：动量定理：合外力的冲量等于动量的增量。

2-6如图所示，一质量为0.05kg、速率为lOm/T的小球，以与竖直墙面

法线成45。角的方向撞击在墙上，并以相同的速率和角度弹

回。已知球与墙面的碰撞时间为0.05s。求在此碰撞时间内墙

面受到的平均冲力。

解：按照图中所选坐标，匕和匕均在X、夕平面内，山

动量定理，小球在碰撞过程中所受的冲量为

及4=加%一加%

凡&=mv2y-mvXy

其中，匕、=一ucos。,v2x=vcosO,vlv=vsin^,v2r=vsin/9。

即FxAt=2wvcos0,Fv=0

所以，小球受到的平均冲力为

—_—_2机ycos。

_*__IT

设F为小球对墙面的平均冲力，根据牛顿第三定律，可知

HrFImvcosO

F——F-----------=-14.IN

At

即墙面受到的平均冲力大小为14.1N,方向沿x轴负向。

2-7质量为2kg的物体，在变力尸(x)的作用下，从x=0处由静止开始沿x

方向运动，已知变力F(x)与x之间的关系为

lx(0<x<5)

F(x)=-10(54x410)

30-2x(10<x<15)

式中，x的单位为m,尸(x)的单位为N。求：(1)物体由x=0处分别运动到x=5,

10,15m的过程中，力尸(x)所做的功各是多少？(2)物体在x=5,10,15m处

的速率各是多少？

解：(1)根据功的定义P.dT,得

x=5时，有%=(2x杰=25J

x=10时，有叫°=(29+'10/=25+50=75J

x=15时，有%=%+%o+f：(30-2x)dr=75+25=100J

(2)根据动能定理少=，户"亍=延卜，得

1,

W5=：机试-0

1

所以，物体在x=5m处的速率v5=5m-s-

畋>="脸-o

1

所以，物体在x=10m处的速率vI0=8.66m-s-

%=5加嘘-0

1

所以，物体在x=15m处的速率v15=10m-s-

2-8如图所示，劲度系数％=1000N.m'的轻质弹簧一端固定在天花板上,

另一端悬挂一质量为，〃=2kg的物体，并用手托着物体使弹簧无伸长。现突然

\\

撒手，取g=10m-s-2,则弹簧的最大伸长量为[C]A

A

(A)0.01m(B)0.02mA

A

A

(C)0.04m(D)0.08mA

解：应用动能定理求解此题。设弹簧原长处为坐标原点，利

竖直向下为x轴正方向。物体在运动后，受到竖直向上的

弹力E=-左x和竖直向下的重力P=mg作用。

设物体运动到/位置时，速度为0,此时弹簧达到最大伸长量，则此过程中，

外力做功为

2

W=WF+IVp=^—kxdx+mgdx=―-kl+mgI

根据动能定理有

1,

2

W=--kl+mgl=AEk=0

可得弹簧的最大伸长量为/=0.04m。

2-9关于保守力，下面说法正确的是[D]

(A)只有保守力作用的系统动能和势能之和保持不变

(B)只有合外力为零的保守内力作用系统机械能守恒

(C)保守力总是内力

(D)物体沿任一闭合路径运动一周，作用于它的某种力所做之功为零，则该

力称为保守力

2-10在光滑的水平面内有两个物体4和8,已知为=2«?B。(1)物体力以

一定的动能生与静止的物体8发生完全弹性碰撞，则碰撞后两物体的总动能

为:(2)物体/以一定的动能生与静止的物体8发生完全非弹性碰

撞，则碰撞后两物体的总动能为。

解：(1)因两物体发生完全弹性碰撞，故满足动能守恒。所以£卜2=di=&

(2)由动量守恒定律有

加AVA+0=(/«A+MB)V'

2

所以碰后两物体的速度为v'=——vy—i匕=*巳

%3

1219

，2

贝I」碰后两物体的总动能为々2=/(〃?，+/»B)v=-£k

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第3章刚体力学

3-1当飞轮作加速转动时，对于飞轮上到轮心距离不等的两点的切向加速

度为和法向加速度."有[D]

(A)%相同，*相同(B)“，相同，明不同

(C)见不同，%相同(D)为不同，见，不同

解题提示：可从a,=ra和4=。2厂来讨论，转动的刚体上半径不同的质点均具

有相同的角位移，角速度和角加速度。

3-2—力尸=3i+5/N,其作用点的矢径为r=4i-3/m,则该力对坐标原点

的力矩为〃=o

解：M=rxF=(4/-3；)x(3Z+5j)

其中，ixj=-jxi=k,ixi=jxj=0,对上式计算得

M=29k

3-3两个质量分布均匀的圆盘N和B的密度分别为幺和外(夕,>4)，且

两圆盘的总质量和厚度均相同。设两圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动

惯量分别为〃和人，则有［］

(A)JA>JB(B)JA<JB(C)J尸JB(D)不能确定J4、JB哪个

大？

解题提示：圆盘对通过盘心且垂直于盘面的轴的转动惯量为

J=—mR2

2

质量m=pV=pytR'17

因为0>/，所以RIB，则有，〈小。故选择(B)。

3-4如图所示，两长度均为工、质量分别为叫和叫的均匀细杆，首尾相连

地连成一根长直细杆(其各自的质量保持分布不变)。试计算该长直细杆对过端

点。(在叫上)且垂直于长直细杆的轴的转动惯量。

解：左边直棒部分对。轴的转动惯量

1--------L——；-------L--------

」例=二机1。「ii

3mxm2

由平行轴定理，右边直棒部分对。轴转动惯量

J01=■加2=+加2(万£

整个刚体对O轴的的转动惯量

2

3

Jo=Joi+Jo2=+—ml}+加21~L

22

12

—(/77)+7m2)L

3-5有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上，下列说法不正确的是［

(A)这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零

(B)这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零

(C)当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零

(D)只有这两个力在转动平面内的分力对转轴产生的力矩，才能改变刚

体绕转轴转动的运动状态

解题提示：(C)不正确。因为力矩不仅与力有关，还与力的作用点有关。当转动

平面内两个大小相等的力方向相同时，如果这两个力对轴的位置矢量恰好大小

相等，方向相反时，其合力矩为零，但合力为力的二倍。

3-6如图所示，质量均为,"的物体力和5叠放在水平面上，由跨过定滑轮

的不可伸长的轻质细绳相互连接。设定滑轮的质量为，〃，半径为R,且“与8

之间、N与桌面之间、滑轮与轴之间均无摩擦，绳与滑轮之间无相对滑动。物

体N在力尸的作用下运动后，求：

(1)滑轮的角加速度。

(2)物体4与滑轮之间的绳中的张力。

(3)物体5与滑轮之间的绳中的张力。

解：以滑轮，物体工和8为研究

对象，分别受力分析，如图所示。物

体A受重力色、物体B的压力、

地面的支持力72、外力尸和绳的拉

力与作用；物体B受重力P»、物体A

的支持力2和绳的拉力T,作用；滑轮

受到重力P、轴的支持力N、上下两

边绳子的拉力耳和外的作用。

设滑轮转动方向为正方向，则根据刚

体定轴转动定律有

T；R-T；R=Ja

其中滑轮的转动惯量J=L〃R2

2

根据牛顿第二定律有

物体/：F-T2=ma

其中，7\=T；,T2=T'

因绳与滑轮之间无相对滑动，所以有

a=Ra

将4个方程联立，可得滑轮的角加速度

F2F

CL---------------=------

2mR+J/R5)nR

物体N与滑轮之间的绳中的张力

3

T2=T;=1F

物体8与滑轮之间的绳中的张力T[=T：=^F

3-7如图所示，质量分别为叫和牝的物体4和8用一根质量不计的轻绳相

连，此绳跨过一半径为R、质量为，〃的定滑轮。若物体力与水平面间是光滑接

触，求：绳中的张力t和心各为多少？(忽略滑轮转动时与轴承间的摩擦力，且

绳子相对滑轮没有滑动)

解：对滑轮、物体N和8分别进行受力分析，如

图所示。因绳子不可伸长，故物体4和B的加速度大

小相等。根据牛顿第二定律，有

1=加口(1)

P2~T2-m2g—T2-m2a(2)

滑轮作转动，受到重力P’、张力窘和与以及轴对它

的作用力N'等的作用。由于P'和N'通过滑轮的中

心轴，所以仅有张力£和看对它有力矩的作用。由刚体的定轴转动定律有

RT；-RT；=Ja(3)

因绳子质量不计，所以有

邛=4，T；=R

因绳子相对滑轮没有滑动，在滑轮边缘上一点的切向加速度与绳子和物体的加

速度大小相等，它与滑轮转动的角加速度的关系为

a=Ra(4)

滑轮以其中心为轴的转动惯量为

,1c2

J=—mR"(5)

2

将上面5个方程联立，得

T机〃2g

T'=-

+tn-,+—m

'22

m,+机,H■—m

'22

3-8下面说法中正确的是［A|

(A)物体的动量不变，动能也不变

(B)物体的动量不变，角动量也不变

(C)物体的动量变化，角动量也一定变化

(D)物体的动能变化，动量却不一定变化

3-9一质量为m的质点沿着一条空间曲线运动，该曲线在直角坐标系下的

定义式为r="COSco”+6sinco/_/,其中八b、co皆为常数.则此质点所受的对原

点的力矩〃=;该质点对原点的角动量入=.

d°r,

解：因为f=加——=-ma>~r

dt~

所以M=rxF=rx(-mco1r)=0

d,

因为P=mv=m——=m(-acosmcoti+bcx.Qsa)tj)

dt

L=rxP=(acosa)ti+bsincoty)x(-acosma)ti+bcocoscotj)m

其中，ixj=-jxi=k,ixj=jxj=0,对上式计算得

L=abmcok

3-10—人手拿两个哑铃，两臂平伸并绕右足尖旋转，转动惯量为J,角速

度为若此人突然将两臂收回，转动惯量变为如忽略摩擦力，求：此

人收臂后的动能与收臂前的动能之比。

解：因人在转动过程中所受重力和支持力对转轴的力矩均为零，所以此人

的转动满足刚体绕定轴转动的角动量守恒定律。设人收回两臂后的角速度为

co',由乙=&得

1J,

Jco——(0

3

即co'=3a)

所以，收臂后的动能与收臂前的动能之比为

1J,2

一一23°-3

稣1疗1

2

3-11一质量为m的人站在一质量为半径为R的水平圆盘上，圆盘可

无摩擦地绕通过其中心的竖直轴转动。系统原来是静止的，后来人沿着与圆盘

同心，半径为r(r<R)的圆周走动。求：当人相对于地面的走动速率为v时，

圆盘转动的角速度为多大？

解：对于转轴，人与圆盘组成的系统角动量守恒。

人的转动惯量为J人=”1户

圆盘的转动惯量为J盥=；mR2

选地面为惯性参照系，根据角动量守恒定律，有

J人0人+J盘啰盘=°

其中G人=上V，代入上式得

r

2r

微R2

负号表示圆盘的转动方向和人的走动方向相反。

3-12—转动惯量为J的圆盘绕一固定轴转动，起初角速度为。°,设它所受

阻力矩与转动角速度之间的关系为例=-43（A为正常数）。则在它的角速度从

。。变为gg过程中阻力矩所做的功为多少？

解：根据刚体绕定轴转动的动能定理，阻力矩所做的功为

W=^Mdd=^Jco1--Jcoj-

将。=g%代入上式，得

3-13一根质量为〃八长为/的均匀细棒，可绕通过其一段的光滑轴。在竖

直平面内转动。设f=0时刻，细棒从水平位置开始自由下摆，求：细棒摆到竖

直位置时其中心点C和端点A的速度。

解：解法一：对细棒进行受力分析可知，在转动过

程中，细棒受到重力P和轴对棒的支持力N的作

用。其中支持力N的大小和方向是随时变化的。

在棒转动过程中，支持力N通过轴O,所以对轴。

的力矩始终为零•重力对轴。的力矩为变力矩，是

棒运动的合外力矩。设在转动过程中某时刻，棒与水平方向成。角，则重力矩

为

M=mg-cos0

所以细棒在由水平位置转到竖直位置的过程中，重力矩做的功为

W=^Mde

=mg—cosOd0=mg—

设棒在水平位置的角速度为g=0,在竖直位置的角速度为口。根据刚体定轴

转动的动能定理，有

/1,

W=mg-=Ek-EM=-Ja>--0

其中，棒的转动惯量为J=1机"，代入上式得

3

空

根据速度和角速度的关系v=w，细棒摆到竖直位置时其中心点C和端点”的

速度分别为

vA=col=-J3gi

解法二：由于棒在转动过程中只有重力矩做功，所以机械能守恒，有=

mg—=—Jar,J——ml~

223

vc=

VA=col=

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第4章机械振动

4-1对同一简谐振动的研究，两个人都选平衡位置为坐标原点，

但其中一人选铅直向上的Ox轴为坐标系，而另一个

人选铅直向下的OX轴为坐标系，则振动方程中不同

的量是[C]

…去…平衡位置

0

（A）振幅；（B）圆频率；

（C）初相位；（D）振幅、圆频率。

4-2三个相同的弹簧（质量均忽略不计）都一端固

定，另一端连接质量为，〃的物体，但放置情况不同。如图所示，其中一个平放,

一个斜放，另一个竖直放置。如果忽略阻力影响，当它们振动起来时，则三者

的[C]

(A)周期和平衡位置都不相同;(B)周期和平衡位置都相同；

(C)周期相同，平衡位置不同;(D周期不同，平衡位置相同。

4-3一轻弹簧，上端固定，下端挂有质量为，”的重物，其自由振动的周期

为T.今已知振子离开平衡位置为x时，其振动速度为也加速度为则下列

计算该振子劲度系数的公式中，错误的是[]

(A)k=；(B)k=mg/x；

(C)k=4n2m/T2；(D)k=ma/x.)

答:(B)因为zng-Ax=

4-4某物体按余弦函数规律作简谐振动，它的初相位为-%/2,则该物体

振动的初始状态为[A]

(A)x0=0,v0>0；(B)=0,r0<0；

(C)X。=0,%=0；(D)xo——A,=Oo

4-5一个质点作简谐振动，振幅为A,周期为T,在起始时刻

(1)质点的位移为A/2,且向无轴的负方向运动；

(2)质点的位移为-A/2,且向x轴的正方向运动；

(3)质点在平衡位置，且其速度为负；

(4)质点在负的最大位移处；

写出简谐振动方程，并画出t=0时的旋转矢量图。

,_,./2zr2%、

(2)x=Acos(—t---)

A

O

71A

71

o

⑶图(4)图

4-6两个质点各自作简谐振动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点

的振动方程为Xi=/cos(m+a)。当第一个质点从相对于其平衡位置负的位移处

回到平衡位置时，第二个质点正处在正的最大位移处.则第二个质点的振动方

程为[]

(A)x2=Acos(<w/+a+y)；(B)x2=Acos(a)t+a；

(C)x2=Acos((y?+a-；(D)x2=Acos(<y?+a+万)。

解：(A)利用旋转矢量法判断，如附图所示：

7T

所以?:—

▼

4

=Acos(cot+a+马

-2

即答案(A)

4-7一简谐振动曲线如图所示，则由图确定质点的振动方程

为,在t=2s时质点的位移

为,速度为,加速度为

答:x=0.06cos(^Z+y)/7?；0；-0.060

4-8一简谐振动的曲线如图所示，则该振动的周期为,简谐振动方

程为o

A

解：/=0,%=彳,%>0,旋转矢量

图如附图所示，所以9=

v<0,

/=5s,x5=~，5由旋转矢量图，得

7C

.+3=3

7T

co=一

6

解周期

7=12s

.rTCTC、

简谐振动方程为x=Acos(—t---)m

63

4-9一质点沿x轴作简谐振动，其角频率s=10rad/s。其初始位移x0=7.5

cm,初始速度uo=75.0cm/So试写出该质点的振动方程。

752

解：振幅A=7.5**H——=11cm==O.11m

初相(p=arctan—=arctan(-1)

叫

冗工口37

得(P=-----不I」(p=——

44

由初始条件可知(p=---,

4

质点的振动方程为x=0.11cos(10/--)m

4

4-10质量为2kg的质点，按方程x=0.2cos(0.8m-乃/3)(SI)沿着x轴振

动。求(1)振动的周期、初相位、最大速度和最大加速度；(2)f=ls时振动的相

位和位移。

解：⑴山振动方程得。=0.8%，振动的周期7=生=2.5s

(D

由振动方程得初相9=

速度为v=-0.2x0.8^sin(0.8^-y)ms-1

1

最大速度为vw=0.2x0.8^-=0.5024m-s'

加速度为a=-0.2x(0.8)了cos(0.8加--)m-s-2

2

最大加速度am=-0.2x(0.8^-)=1.26ms

jr

(2)，=ls时，振动的相位为0.8万=0.47万B0.5%

3

位移为x=0.02m