2025版高考数学一轮总复习考点突破第3章导数及其应用第1讲导数的概念及运算考点2导数的几何意义

导数的几何意义角度1求切线方程1．已知f(x)＝(x＋1)ex，函数f(x)的图象在x＝0处的切线方程为_2x－y＋1＝0__.[解析]由f(x)＝(x＋1)ex得f′(x)＝ex＋(x＋1)ex，所以在x＝0处的切线的斜率为f′(0)＝e0＋(0＋1)e0＝2，又f(0)＝1，故切点坐标为(0,1)，所以所求的切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.2．(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为y＝eq\f(1,e)xy＝－eq\f(1,e)x.[解析]先求当x>0时，曲线y＝lnx过原点的切线方程，设切点坐标为(x0，y0)，则由y′＝eq\f(1,x)，得切线斜率为eq\f(1,x0)，又切线的斜率为eq\f(y0,x0)，所以eq\f(1,x0)＝eq\f(y0,x0)，解得y0＝1，代入y＝lnx，得x0＝e，所以切线斜率为eq\f(1,e)，切线方程为y＝eq\f(1,e)x.同理可求得当x<0时的切线方程为y＝－eq\f(1,e)x.综上可知，两条切线方程为y＝eq\f(1,e)x，y＝－eq\f(1,e)x.名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型1．在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点．2．在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．3．求过点P的曲线的切线方程的步骤为：第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))；第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)；第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1；第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程．注：也可利用f′(x1)＝eq\f(fx1－fx0,x1－x0)＝k切求切点坐标(x1，y1)，有几组解就有几条切线．角度2求切点坐标已知曲线y＝eq\f(x2,2)－3lnx的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为(A)A．3 B．2C．1 D．eq\f(1,2)[解析]设切点坐标为(x0，y0)，且x0>0，由y′＝x－eq\f(3,x)，得切线斜率k＝x0－eq\f(3,x0)＝2，∴x0＝3.故选A．名师点拨：求切点坐标的方法已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，然后让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度3导数的几何意义如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)－3f′(3)＝(A)A．1 B．0C．2 D．4[解析]将点(3,1)代入直线y＝kx＋2的方程得3k＋2＝1，得k＝－eq\f(1,3)，所以f′(3)＝k＝－eq\f(1,3)，由于点(3,1)在函数y＝f(x)的图象上，则f(3)＝1，对函数g(x)＝xf(x)求导得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)－3f′(3)＝f(3)＝1，故选A．角度4求参数的值(或范围)(2022·全国新高考卷Ⅰ)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞).[解析]导数的几何意义(理性思维、数学探索)因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝y′|x＝x0＝(x0＋a＋1)ex0＝eq\f(x0＋aex0,x0)化简，得xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程xeq\o\al(2,0)＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a>0，解得a<－4或a>0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．【变式训练】1．(角度1)(2019·全国卷Ⅱ，5分)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为(C)A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0[解析]依题意得y′＝2cosx－sinx，y′eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝π))＝(2cosx－sinx)eq\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝π))＝2cosπ－sinπ＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C．2.(角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝(C)A．2 B．1C．－2 D．－1[解析]因为切线l过点(－2,0)和(0，－2)，所以f′(－1)＝eq\f(0＋2,－2－0)＝－1，所以切线l的方程为y＝－x－2，令x＝－1，则y＝－1，即f(－1)＝－1，所以f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2，故选C．3．(角度3)(2022·贵阳模拟)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，且曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线与直线x＋y＝0垂直，则切点P(x0，f(x0))的坐标为(A)A．(0,0) B．(a,1)C．(1,1) D．(－1,2)[解析]∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，f′(x)＝3x2＋1，令3xeq\o\al(2,0)＋1＝1，得x0＝0，f(x0)＝0，∴切点P(x0，f(x0))的坐标为(0,0)．选A．4．(角度4)(2023·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝lnx＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(B)A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)[解析]函