【数学】条件概率与全概率测试-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第1页（共1页）条件概率与全概率一．选择题（共8小题,每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。）1．先后两次抛一枚质地均匀的骰子，记事件A＝“第一次抛出的点数小于3”，事件B＝“两次点数之和大于3”，则P（B|A）＝（）A． B． C． D．2．小明爬楼梯每一步走1级台阶或2级台阶是随机的，且走1级台阶的概率为，走2级台阶的概率为．小明从楼梯底部开始往上爬，在小明爬到第4级台阶的条件下，他走了3步的概率是（）A． B． C． D．3．小明和小华进行乒乓球比赛，比赛规则是：若其中一人连续赢两局，则比赛结束，已知每局比赛结果相互独立，且每局小明赢的概率为0.6（没有平局），则在已知比赛是第三局结束条件下，小明获胜的概率为（）A．0.6 B．0.4 C．0.36 D．0.1444．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中至少有3个阳爻”．则P（B|A）（）A． B． C． D．5．托马斯•贝叶斯在研究“逆向概率”的问题中得到了一个公式：，这个公式被称为贝叶斯公式（贝叶斯定理），其中称为B的全概率．春夏换季是流行性感冒爆发期，已知A，B，C三个地区分别有3%，6%，5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是9：8：5，现从这三个地区中任意选取1人，若选取的这人患了流感，则这人来自B地区的概率是（）A．0.25 B．0.27 C．0.48 D．0.526．一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为（）A． B． C． D．7．某中学开展高二年级“拔尖创新人才”学科素养评估活动，其中物化生、政史地、物化政三种组合人数之比为6：3：1，这三个组合中分别有10%，6%，2%的学生参与此次活动，现从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为（）A．0.044 B．0.18 C．0.034 D．0.088．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐中取出的球是红球的事件．下列结论正确的个数是（）①事件A1与A2相互独立；②A1，A2，A3是两两互斥的事件；③P（B|A2）＝；④P（B）＝；⑤P（A1|B）＝A．5 B．4 C．3 D．2二．多选题（共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）（多选）9．设A，B，C均为随机事件，且0＜P（A）＜1，0＜P（B）＜1，0＜P（C）＜1，则下列结论中一定成立的是（）A． B． C．若B⊆A，则 D．若，则P（AB）＝P（A）P（B）（多选）10．甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”“环境检测”、“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项．记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，事件B为“只有甲同学一人报‘关怀老人’项目”，则（）A．四名同学的报名情况共有43种 B．“每个项目都有人报名”的报名情况共有72种 C．“四名同学最终只报了两个项目”的概率是 D．（多选）11．已知A，B，C三个盒子，其中A盒子内装有2个红球，1个黄球和1个白球；B盒子内装有2个红球，1个白球；C盒子内装有3个红球，2个黄球．若第一次先从A盒子内随机抽取1个球，若取出的球是红球放入A盒子中；若取出的球是黄球放入B盒子中；若取出的球是白球放入C盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）A．在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为 B．第二次抽到红球的概率为 C．如果第二次抽到的是红球，则它来自B号盒子的概率最大 D．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种（多选）12．下列四个选项中，说法正确的是（）A．从人群中随机选出一人，设事件A＝“选出的人患有心脏病”，B＝“选出的人是年龄大于60岁的心脏病患者”，则有：P（A）＞P（B） B．抛一枚骰子，设事件A＝“掷出2点”，B＝“掷出的点数不大于4点”，则有： C．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设A＝“第一枚正面朝上”，B＝“第二枚反面朝上”，则有：P（B|A）＝P（B）D．两批同种规格的产品，第一批占50%，次品率为6%；第二批的次品率为4%，从混合产品中任取1件，设事件A＝“取出的产品为合格品”，则有：P（A）＝0.95三．填空题（共4小题，每小题5分，共20分。）13．若事件A，B满足A⊆B，且P（A）＝0.3，P（B）＝0.8，则＝．14．两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为．15．已知某厂甲、乙两车间生产同一批衣架，且甲、乙两车间的产量分别占全厂产量的60%，40%，甲、乙车间的优品率分别为95%，90%．现从该厂这批产品中任取一件，则取到优品的概率为（用百分数表示）．16．已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量药物C进行肺癌筛查，检查结果分阳性和阴性，阳性被认为是患病，阴性被认为是无病．医学研究表明，化验结果是存在错误的，化验的准确率为98%，即患有肺癌的人其化验结果98%呈阳性，而没有患肺癌的人其化验结果98%呈阴性．则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为；现某烟民的检验结果为阳性，请问他患肺癌的概率为．四．解答题（共6小题，共70分）17．（10分）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个．每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回．求：（Ⅰ）第一次摸到红球的概率；（Ⅱ）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（Ⅲ）第二次摸到红球的概率．18．（12分）某工厂有三个车间生产同一种通讯器材，第1个车间生产该通讯器材的优等品率为6%，第2和第3个车间生产该通讯器材的优等品率均为5%，生产出来的产品混放在同一个仓库里．已知第1，2，3车间生产的通讯器材数量分别占总数的25%，30%，45%．（1）现从仓库中任取一个该通讯器材，试问它是优等品的概率是多少？（2）如果取到的通讯器材是优等品，计算它是第i（i＝1，2，3）个车间生产的概率．19．（12分）某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动．（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率．20．（12分）有三个同样的箱子，甲箱中有2只红球，6只白球，乙箱中有6只红球，4只白球，丙箱中有3只红球，5只白球．（1）随机从甲、乙、丙三个箱子中各取一球，求三球都为红球的概率；（2）从甲，乙、丙中随机取一箱，再从该箱中任取一球，求该球为红球的概率．21．（12分）某单位入口处有一台摄像机用于记录进入该入口的人员．下面是在系统测试中对不同气候条件下检测到的人数与未检测到的人数的统计表：晴天阴天雨天下雪刮风检测到的人数212282267185未检测到的人数066310合计2123423210195（1）在阴天条件下，监控系统检测到进入者的概率是多少？（2）已知监控系统漏检了一个进入者，气候条件是下雪天的概率是多少？22．（12分）根据社会人口学研究发现，一个家庭有X个孩子的概率模型为：X1230概率αα（1﹣p）α（1﹣p）2其中α＞0，0＜p＜1．每个孩子的性别是男孩还是女孩的概率均为且相互独立，事件Ai表示一个家庭有i个孩子（i＝0，1，2，3），事件B表示一个家庭的男孩比女孩多（例如：一个家庭恰有一个男孩，则该家庭男孩多．）（1）若，求α，并根据全概率公式，求P（B）；（2）为了调控未来人口结构，其中参数p受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）．①若希望P（X＝2）增大，如何调控p的值？②是否存在p的值使得，请说明理由．

条件概率与全概率参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．【解答】解：由题意可知，所以．故选：B．2．【解答】解：设事件A＝“小明爬到第4级台阶“，B＝“小明走了3步爬到第4级台阶“，事件A包含三种情况：①小明走了4步到第4级台阶，概率为；②小明走了3步到第4级台阶，概率为，即；③小明走了2步到第4级台阶，概率为；所以P（A）＝P1+P2+P3＝，P（B|A）＝＝＝．故选：B．3．【解答】解：设事件A表示“比赛在第三局结束”，事件B表示“小明获胜”，则比赛在第三局结束，小明获胜的概率为：P（B|A）＝＝＝0.6．故选：A．4．【解答】解：每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“一”和阴爻“——”，在所有重卦中随机取一重卦，记事件A＝“取出的重卦中至少有1个阴爻”，事件B＝“取出的重卦中恰有3个阳爻”，事件AB＝“取出的重卦中有3阳3阴或4阳2阴或5阳1阴”，P（A）＝，P（AB）＝，则P（B|A）＝．故选：C．5．【解答】解：记事件M表示“这人患了流感”，事件N1，N2，N3分别表示“这人来自A，B，C地区”，A，B，C三个地区分别有3%，6%，5%的人患了流感，且这三个地区的人口数之比是9：8：5，则，P（M|N2）＝0.06，P（M|N3）＝0.05，P（M）＝P（N1）P（M|N1）+P（N2）P（M|N2）+P（N3）P（M|N3）＝＝，故．故选：C．6．【解答】解：设事件A表示“考生答对”，设事件B表示“考生选到有思路的题”．则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为：P（A）＝P（B）P（A|B）+P（A|）＝＝．故选：C．7．【解答】解：设事件A表示“这名学生参与此次活动”，事件B1表示“这名学生选择物化生组合”，事件B2表示“这名学生选择政史地组合”，事件B3表示“这名学生选择物化政组合”，则P（B1）＝＝0.6，P（B2）＝＝0.3，P（B3）＝＝0.1，P（A|B1）＝0.1，P（A|B2）＝0.06，P（A|B3）＝0.01，由全概率公式得从这三个组合中任选一名学生，这名学生参与此次活动的概率为：P（A）＝P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+P（B3）P（A|B3）＝0.6×0.1+0.3×0.06+0.1×0.02＝0.08．故选：D．8．【解答】解：显然，A1，A2，A3是两两互斥的事件，且，，而P（A1A2）＝0≠P（A1）•P（A2），①错误，②正确；，，所以，③正确；，④正确；，⑤错误，综上：结论正确个数为3．故选：C．二．多选题（共4小题）9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，因为0＜P（A）＜1，则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＜P（B|A）+P（B|），A错误；对于B，P（A）P（B|A）P（C|AB）＝，故B正确；对于C，当B⊆A时，P（AB）＝P（B），此时，故C正确；对于D，因为若，则有＝，变形可得：P（AB）P（）＝P（A）P（B），又由P（B）＝P（AB）+P（B），即P（AB）P（）＝P（A）[P（B）﹣P（AB）]，则有P（AB）＝P（A）P（B），故D正确．故选：BCD．10．【解答】解：对于选项A，由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共有34种，故选项A错误；对于选项B，现将四名志愿者分为2，1，1三组，共有种情况，再将其分到三个活动中，共有种，由分步乘法计数原理得到6×6＝36种，故“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，故选项B错误；对于选项C，“四名同学最终只报了两个项目”的概率是，故选项C正确；对于选项D，由已知有：，，所以，故选项D正确．故选：CD．11．【解答】解：记第一次抽到红、黄、白球的事件分别为A1，A2，A3，则有，，对于A，在第一次抽到黄球的条件下，则黄球放入B盒子内，因此第二次抽到红球的概率为，A正确；记第二次在第A，B，C号盒内抽到红球的事件分别为∁i（i＝1，2，3），而A1，A2，A3两两互斥，和为Ω，由题意可知，，，，记第二次抽到红球的事件为C，，B不正确；若取出的球是红球放入A盒子中，若取出的球是黄球放入B盒子中，若取出的球是白球放入C盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，，，，即第二次抽到的是红球，则它来自A盒子的概率最大，C不正确；把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，所以不同的方法种数是种，D正确．故选：AD．12．【解答】解：对于A，设事件C＝“选出的人年龄大于60岁”，则，∴P（A）＞P（B），故A正确；对于B，∵事件A与B不互斥，∴，故B错误；对于C，∵事件A，B相互独立，∴P（B|A）＝P（B），故C正确；对于D，两批同种规格的产品，第一批占50%，次品率为6%；第二批的次品率为4%，从混合产品中任取1件，设事件A＝“取出的产品为合格品”，根据全概率公式得：P（A）＝0.5×0.94+0.5×0.96＝0.95，故D正确．故选：ACD．三．填空题（共4小题）13．【解答】解：事件A，B满足A⊆B，且P（A）＝0.3，则P（AB）＝P（A）＝0.3，P（B）＝0.8，P（B）＝P（AB）+P（B），则P（B）＝0.5，P（）＝1﹣P（A）＝0.7，故＝＝．故答案为：．14．【解答】解：从6人中随机选出2人，有＝15种方法，其中这2人来自同一个家庭的有＝6种方法，所以这2人来自同一个家庭的概率P1＝＝，则这2人来自不同家庭的概率P2＝1﹣＝，所以游戏成功的概率P＝＝0.42．故答案为：；0.42．15．【解答】解：记事件A＝“任取一件，取得优品”，事件B1＝“取到甲车间的产品”，事件B2＝“取到乙车间的产品”，则P（B1）＝60%，P（B2）＝40%，P（A|B1）＝95%，P（A|B2）＝90%，所以取到优品的概率P（A）＝P（A|B1）P（B1）+P（A|B2）P（B2）＝95%×60%+90%×40%＝93%．故答案为：93%．16．【解答】解：某地区烟民的肺癌发病率为1%，没有患肺癌的人其化验结果98%呈阴性．则该地区烟民没有患肺癌且被检测出阳性的概率为P＝（1﹣1%）×（1﹣98%）＝0.0198；设事件A表示某地区烟民患肺癌，则P（A）＝1%＝0.01，P（）＝1﹣1%＝0.99，设事件B表示检查结果为阳性，P（B|A）＝98%＝0.98，P（B|）＝1﹣98%＝0.02，∴某烟民的检验结果为阳性的概率为：P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|）＝0.01×0.98+0.99×0.02＝0.0296，∴现某烟民的检验结果为阳性，他患肺癌的概率为：P（A|B）＝＝＝＝．故答案为：0.0198；．四．解答题（共6小题）17．【解答】解：根据题意，设事件A：第一次摸到红球；事件B：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球．（Ⅰ）袋中有10个球，第一次从10个球中摸一个共10种不同的结果，其中是红球的结果共3种，所以，（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，，前两次都摸到红球的概率P（AB）＝×＝，则P（B|A）＝＝；（Ⅲ），则P（）＝1﹣P（A）＝，P（B）＝×＝，则P（B）＝P（AB）+P（B）＝+＝；所以第二次摸到红球的概率．18．【解答】解：（1）设事件A表示“抽取的通讯器材来自第1个车间”，事件B表示“抽取的通讯器材来自第2个车间”，事件C表示“抽取的通讯器材来自第3个车间”，事件D表示“抽取的通讯设备是优等品”，则P（A）＝0.25，P（B）＝0.3，P（C）＝0.45，P（D|A）＝0.06，P（D|B）＝0.05，P（D|C）＝0.05，∴从仓库中任取一个该通讯器材，它是优等品的概率是：P（D）＝P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）＝0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05＝0.0525．取到的通讯器材是优等品，则它是第1个车间生产的概率为：P（A|D）＝＝＝；取到的通讯器材是优等品，则它是第2个车间生产的概率为：P（B|D）＝＝＝；取到的通讯器材是优等品，则它是第3个车间生产的概率为：P（C|D）＝＝＝．19．【解答】解：（1）从6名成员中挑选2名成员，共有15种情况，记“男生甲被选中”为事件A，事件A所包含的基本事件数为5种，故．（2）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，