人教A版高中数学选修1-1测试题全册及答案

最新人教A版高中数学选修1-1测试题全册带答案

考前过关训练（一）

常用逻辑用语

（30分钟50分）

一、选择题（每小题3分，共18分）

1.（2017•三明高二检测）命题：“若x2〈l,则-的逆否命题是（）

A.若x?Nl,贝！Jx》l或xWT

B.若-则x2<l

C.若x>l或x<T,则x?>l

D.若x，l或xW-l,贝!J

2

【解析】选D.X2<1的否定为x^l;-Kx<l的否定为x'l或xWT,故原命题的

逆否命题为若x2l或xWT,则x2^l.

2.（2017•长沙高二检测）命题p:Vx>0,ex>l,则①是（）

A.mxoWO,.xowiB.3xo>O,gxo^l

C.Vx>0,eWlD.VxWO,e'Wl

【解析】选A.rp是mx0>0,@XoWl.

3.命题p:x>2是X2>4的充要条件;命题q:若则a>b,则（）

A.“pVq”为真B.“pAq”为真

C.p真q假D.p,q均为假

【解析】选A.命题p:x>2是X2>4的充要条件是假命题；命题q:“若：>之则a>b"

C2C2

是真命题，所以“pVq”为真.

4.（2017•茂名高二检测）“直线y=x+b与圆x?+y2=l相交”是“0<b〈l”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.若“直线y=x+b与圆x2+y2=1相交”,则圆心到直线的距离为d^<1,

即|b|<、2不能推出0<b<1;

反过来，若(Kb<1,则圆心到直线的距离为d=鸟<工<1,所以直线y=x+b与圆

v2xZ

x2+y-1相交.

【补偿训练】设向量a=(l,x),b=(2,l-x),则“x=T”是“a_Lb”的()

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选A.由a±b可得：x。-x)+2=0=>x=2或x=T,所以“x=T”是“a_Lb”

的充分而不必要条件.

5.下列命题中的真命题是()

3

A.mx°£R,使得sinx()cosxo=二

5

Xt，

B.3x0e(-oo,0),2>l

C.VxGR,x?>xT

D.Vx£(0,n),sinx>cosx

qA

［解析］选C.由sinxocosx()=二，得sin2x=->l,故A错误；结合指数函数和三角函

505

数的图象，可知B,D错误；

因为X2-X+1=(X-7)~+7>0恒成立，所以C正确.

6.(2017•安康高二检测)“直线x-y-k=0与圆(x-12=2有两个不同的交点”

的一个充分不必要条件可以是()

A.-l<k<3B「lWkW3

C.0<k<3D.k<-l或k>3

【解析】选C.“直线x-y-k=O与圆(x-l)2+y2=2有两个不同交点”等价于匕坐

v,2

也就是ke(-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集，故充分不必要条件

可以是0<k<3.

【补偿训练】已知命题p:在△知C中，“在B”是“sinOsinB”的充分不必要

条件;命题q：“a>b”是“ac2>bc2”的充分不必要条件,则下列选项中正确的

是()

A.p真q假B.p假q真

C.“pVq”为假D.“pAq”为真

【解析】选C.在4ABC中，设角C与角B所对应的边分别为c,b,由C〉B,知c>b,

由正弦定理二二上可得sinOsinB,当sinOsinB时，易证C>B,故“C>B”是

sinCsinB

"sinOsinB”的充要条件.当c=0时，由a>b得ac2=bc2,由ac^Abc?易证a>b,故

“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，即命题p是假命题，命题q也是假命题，

所以“pVq”为假.

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.在下列结论中，

①“pAq”为真是“pVq”为真的充分不必要条件；

②“pAq”为假是“pVq”为真的充分不必要条件；

③“pVq”为真是“R”为假的必要不充分条件；

④“R”为真是“pAq”为假的必要不充分条件.

正确的是.

【解析】①“pAq”为真是同时为真，可得到“pVq”为真，反之不成立；②“p

Aq”为假说明至少一个为假，此时“pVq”可真可假;③中当“R”为假时可得

到“pVq”为真，所以“pVq”为真是“rp”为假的必要不充分条件;④“R”为

真可得“pAq”为假.

答案:①③

8.(2017•嘉峪关模拟)已知命题p:不等式|x-l|>m的解集是R,命题q：f&)=心

在区间(0,+OO)上是减函数,若命题“P或q”为真,命题“P且q”为假,则实数m

的范围是.

【解析】因为不等式|x-1|>m的解集是R,

所以m<0,即p:m<0.

若f(x)三在区间(0,+8)上是减函数，

X

则2-川>0,即m<2,即q：m<2.

若P或q为真命题,p且q为假命题，则p,q一^真一假.

若p真,q假，则此时m无解，若p假,q真，

则F-f解得0Wm<2.综上：0Wm<2.

Ini<4

答案:0Wm<2

【补偿训练】设P：方程x2+2mx+l=0有两个不相等的正根；q:方程

X2+2(m-2)x-3m+10=0无实根.则使pVq为真,p/\q为假的实数m的取值范围

是.

【解析】设方程x2+2mx+l=0的两根分别为x1，X2,由［△=*0,得

(Xi+x2=-2m>0,

m<-l,

所以p:m<-1;

2

由方程X+2(m-2)x-3m+10=0无实根，可得△2=4(m-2)-4(一3m+10)<0,知-2cm<3,

所以q：-2<m<3.

由pVq为真,p/\q为假，可知命题p,q―真一假，

（m<-1,

当P真q假时，｛=此时mW-2;

（m之3联m<一2

当P假q真时，91三此时TWm<3,

所以m的取值范围是mW-2或-1Wm<3.

答案：（一8,-2]U[-1,3）

9.下列结论：

①若命题p:mxoGR,tanxo=2;命题q:VxGR,x2-x+->0.则命题"p/\（p）”是假

2

命题；

②已知直线/i：ax+3yT=0,然x+by+l=O,则八J_，2的充要条件是且=-3;

b

③“设a,beR,若ab32,贝ija2+b2>4"的否命题为：“设a,b£R,若ab<2,贝ija2+b2

W4”.

其中正确结论的序号为.（把你认为正确结论的序号都填上）.

【解析】在①中，命题p是真命题，命题q也是真命题，故"pA（p）”是假命题是

正确的.在②中/」/2Oa+3b=0,所以②不正确.在③中“设a,b£R,若ab22,则

22,?

a?+b2>4”的否命题为：“设a,bGR,若ab<2,贝Ua+b^4,正确.

答案:①③

三、解答题（每小题10分,共20分）

10.（2017•湛江高二检测）已知a,b,c,d均为实数,且2bd-c-a=0.

命题P：关于x的方程ax2+2bx+l=0有实根；

命题q：关于x的方程cx2+2dx+l=0有实根；

证明：“P或q”为真命题.

【证明】由ax2+2bx+1=0得△尸4b2-4a,

由cx2+2dx+1::0得△2=4C|2-4C,

又因为2bd-c-a=0,所以a+c=2bd,

所以△1+△2-4[b2+d2-(a+c)]

=4(b2+d2-2bd)

=4(b-d)220,

即△“△2中至少有一个大于或等于0,

所以两方程至少有一个有实根，即“p或q”为真命题.

11.(2017•临汾高二检测)已知c>0,设命题p:函数y=c'在R上为减函数,命题q:

当x£时一，函数f(X)=x+1』恒成立.如果“p或q”为真命题，“p且q”为假

命题，求C的取值范围.

【解题指南】根据指数函数的图象和性质可求出命题P为真命题时，C的取值范

围；根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q

为真命题时,c的取值范围，进而根据“p或q”为真命题，“p且q”为假命题,

可知p和q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，即可求出答案.

【解析】因为c>0,所以如果命题p:函数y=c、在R上为减函数，是真命题，那么

0<c<1.

门1

如果命题q:当xG，函数千(X)=x+二>-恒成立是真命题，

又因为函数f(x尸X+!》2,

当且仅当X」时，即x=1时，函数f(x)=2,

X

所以当x£,，2],函数f(x)£[2,；]>:，所以：<2,即c>!

又因为p或q为真命题,p且q为假命题，所以p或q—^个为真命题一个为假命题.

如果p为真命题q为假命题，那么0<c<1且CW?,所以0<cW?

如果p为假命题q为真命题，那么cWO或c21且c>2,所以c^1.

综上所述，C的取值范围为0<cW二或C21.

2

考前过关训练（二）

圆锥曲线与方程

（30分钟60分）

一、选择题（每小题4分，共24分）

1.（2015糊南高考）若双曲线£-£=1的一条渐近线经过点（3,-4）,则此双曲线的

离心率为（）

K.—B.-C.-D.-

3433

【解析】选D.因为双曲线的一条渐近线经过点（3,-4）,所以3b=4a,所以

9（c2-a'）=16a2,所以e=-=-.

a3

【补偿训练】（2017•长沙高二检测）已知椭圆C:斗与l（a>b>0）的左右焦点分别

b2

为Fi,F2,过F2的直线与圆x?+y'b"相切于点A,并与椭圆C交于不同的两点P,Q,

如图，若PF-PQ,则椭圆的离心率为（）

A.—B.—C.—D.—

3333

【解题指南】连接0A,PF“则0AJ_PQ,又PR_LPQ,所以A为线段PF2的中点，于是

PF尸2b.结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,由此能求出椭圆的离心率.

【解析】选C.连接0A,PE,

则0A±PQ,又PRJLPQ,可得0A〃PF“

所以A为线段PF2的中点，

于是PE=2b.

结合椭圆的定义有PF2=2a-2b,

在直角三角形PFE中，

利用勾股定理得(2a-2b)2+(2b)2=(2c)2,

将c2-a2-b2代入，

2.(2017•南昌高二检测)过双曲线的右顶点作x轴的垂线与C的一条

渐近线相交于A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A,0两点(0为坐标

原点)，则双曲线C的方程为()

A.t±=lB.二-匕1

41279

c.t上=1D.t-匕1

99124

【解题指南】设右焦点为F,|0F|=|AF|=4.

【解析】选A.设右焦点为F.由题意得|0F|=|AF|=4,即a2+b2=16,

可设A(a,b),由F(4,0)可得(a-4)2+b2=16,

故a=2,b2=12,所以双曲线的方程为亘二Si.

412

3.(2017•广州高二检测)以(-6,0),(6,0)为焦点，且经过点(-5,2)的双曲线的标

准方程是()

B.匕工=1

162Q162Q

c.±4D.，-J

2Q162Q16

【解析】选C.设双曲线的标准方程是二-亡口(a>o,b>0),因为双曲线以

a2b2

(-6,0),(6,0)为焦点，且经过点(-5,2),

(c=Va2+b2=6,

2

所以炉g=

京=L

解之得a2=20,b2=16,

因此，该双曲线的标准方程为立己1.

2016

4.(2017•西安高二检测)已知Fi,Fz为双曲线C:x2-y-2的左、右焦点，点P在C

上，|PF』二2|PF21，贝I」COSNFFF2=()

A.lB.-C.-D.-

4545

［解析］选C.依题意:a=b=v2所以c=2.

因为|PF』=21PF?|,则设|PF2|=m,则|PF』=2m,

又|PR|一|PF21=2、冬m.

所以|PFJ=4谑,|PF?|=2谑.

又|FR|=4,

所以cosNFFF2其4'郎⑦丁注

2X4V2X2Y24

5.(2017•桂林高二检测)过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线/与抛物线在第

一象限的交点为A,与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线准线上的射影为C,

若&=FB,BA-BC=48,则抛物线的方程为()

A.y2=4xB.y2=8x

C.y2=16xD.y2=4V'2x

【解析】选A.设抛物线的准线与x轴的交点为D,依题意，F为线段AB的中点，

故|AF|=|AC|=2|FD|=2p,

|AB|二2|AF|二2|AC|=4p,

所以NABC=30°,|BCl=2V3p,

BA•BC=4p•2V3p•cos30°=48,解得p=2,

所以抛物线的方程为y2=4x.

6.已知椭圆£+£=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为点B,F为其右焦点.若

a*b2

AF1BF,设NABF=a,且a£LI,则该椭圆离心率e的取值范围为()

64.

A.悟道-1]B.悟1)

C

-[T)T)2」停康

【解析】选A.已知椭圆£+£=1(a>b>0)上一点A关于原点的对称点为B,F为其右

A』

焦点，设左焦点为N

连接AF,AN,BN,BF,

所以：四边形AFBN为长方形.

根据椭圆的定义得|AF|+|AN|=2a,

ZABF=a,则ZANF=a.

所以:2a=2ccosa+2csina

利用e=^=-------------=------1-讣

2astna+waa、告59

二n7i

所以应Wa+Ew二

1242

则亘W_〔■,£、总7,

2y2slnia+^

即椭圆离心率e的取值范围为俘,雷-斗

二、填空题(每小题4分，共12分)

7.(2017•济南高二检测)已知双曲线二-二=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,

抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且

|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.

【解题指南】本题考查了双曲线的知识，利用双曲线与抛物线准线的交点为突破

口求出a,b之间的关系，进而求得双曲线的渐近线方程.

【解析】由题意知吐v'c2-&z=b,

2

抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为（1一与），

即（c,-b）,代入双曲线方程为£-黑1，得凄2,

所以°二!—-『1,所以渐近线方程为y=±x.

a\a2

答案:y=±x

【补偿训练】若曲线二+二=1的焦距与k无关，则它的焦点坐标是.

k-2k+5--------

【解析】因为k+5>k-2,

又曲线工+上二1的焦距与k无关，

k-Zk-5

所以k+5>0,k-2<0,曲线是焦点在y轴上的双曲线，且a2=k+5,b2=2-k,c2=a2+b2=7,

故焦点坐标为（0,±<7）.

答案：（0,±77）

8.（2017•青岛高二检测）已知椭圆岁+E=1,过点P（l,1）作直线I与椭圆交于A,B

42

两点,且点P是线段AB的中点,则直线I的斜率为.

,,件+¥=L①

【解析】设A（xi,y）,B（X2,丫2）,则

与+?=L②

①.②得约十M）｛沏-电>曰工+&》（?广¥2）0

42

又点P（1,1）是AB的中点，

=z:

所以XI+X22,y1+y22,

所以HXLMM网的一。

42

从而X-'"'+yi_y2=0,

2

又Xi：#X2,所以直线/的斜率又、-"一，

M-X22

答案：-；

9.（2017•重庆高二检测）设双曲线C的中心为点0,若有且只有一对相交于点。

所成的角为60°的直线AB和A2B2,使角BUIA2B2I,其中A”Bi和Az,成分别是这

对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是.

[解题指南】根据双曲线的对称性找到渐近线与直线AB和A2B2的斜率之间的关

系即可.

【解析】由题意知，直线AB和A2B2关于x轴对称，又所成的角为60°,所以直线

方程为y=±l^x或y=±V3x.又因为有且只有一对相交于点0所成的角为60°的

3

直线AB和A2B2,使IABRA2B2I,所以渐近线斜率满足解得建<eW2.

3a3

答案:每,2]

三、解答题(每小题12分,共24分)

10.(2017•衡水高二检测)已知A,B.C均在椭圆Mq+y2=l(a>l)上，直线AB,AC

分别过椭圆的左右焦点FbF2,当费•F[F2=0时,有9AFX-•

(1)求椭圆M的方程.

(2)设P是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x?+(y-2尸=1的任一条直径，求PE・PF的

最大值.

【解析】⑴因为&:•02=0,所以有

所以△AFF2为直角三角形，

所以IAF】IcosNF1AF2—|AF^I,

因为9AFL，丘广AFf，

所以9AFL•|AF2|COSZFIAF2

=9|AF2I-AFi=lAFj；

所以1后11二3|扇』

又lAFj+lA^ga,

所以IAFiI=~r,IAF2I

在RtZkAFF?中，

有1Api|2=|细2「+匹12『，

即⑤YT+4(af，，

解得a?=2,椭圆M的方程为3y=l.

2

⑵FE・PF=(NE-NP)•(NF-NP)

=(-NF-NP)•(而一而)二(一加)2-向2:位"7,从而将求pE♦即的最大值转化

为求NF?的最大值，P是椭圆M上的任一点，设P(x0,y。)，则有争媚二1,即

X乔2-2蓝,

22

又N(0,2),所以加2=*1+(y0-2)=-(y0+2)+10,

而y°£[7,1],所以当yo=-1时，而2取最大值外

故PE・际的最大值为8.

【补偿训练】设抛物线y2=2px(p〉0),Rt4A0B内接于抛物线,0为坐标原点,A0,

BO,A0所在的直线方程为y=2x,|AB|=5/区,求抛物线的方程.

【解题指南[根据AO±BO,直线A0的斜率为2,可知直线B0的斜率为」,进而得

2

出直线B0的方程.把这两条直线方程代入抛物线方程，分别求出A.B的坐标.根

据两点间的距离为求得p.

【解析】因为AO_LBO,直线A0的斜率为2,

所以直线B0的斜率为-?，即直线BD的方程为y=-?x,

22

把直线y=2x代入抛物线方程解得A坐标为g,p),

把直线y二—x代入抛物线方程解得B坐标为(8p,-4p).

2

因为|AB|=5代,

所以(£/+p2+64p2+l6P2=25X13,所以p2=4,

因为p>0,所以p=2.故抛物线方程为y2=4x.

11.(2017啷州高二检测)已知经过点A(-4,0)的动直线/与抛物线G:x2=2py(p>0)

相交于B,C.

(1)当直线I的斜率是:时,AC=g薪,求抛物线G的方程.

⑵设线段BC的垂直平分线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.

【解析】⑴设B(x“y),C(X2,y2),由已知得，当时，/方程为厂*+4),即

x=2y-4.由卜=2py，得2y2-(8+p)y+8=0,所以由根与系数的关系得

(x=2y-4,

(71%=4,--

\9+p又因为AC二-AB,所以y2=—yi或yi—4y2.

电+¥2==44

2

由p>0得：y［二4,y2=1,p=2,即抛物线G的方程为x=4y.

⑵由题意知/的斜率存在.设/:y=k(x+4),BC中点坐标为(xo,y0),

2

由=4y,得x-4kx-16k=0.①

ly=k(x+4),

2

所以xo二'±f」2k,y=k(x+4)=2k+4k.

200

所以BC的垂直平分线的方程为

y-2k2-4k---(x-2k),

k

所以BC的垂直平分线在y轴上的截距为b=2k2+4k+2=2(k+1)2,

对于方程①由△=16k2+64k>0得k>0或k<-4.

所以b£(2,+8).

所以b的取值范围为(2,+8).

考前过关训练(三)

导数及其应用

（30分钟50分）

一、选择题（每小题3分，共18分）

1.（2017・临沂高二检测）曲线y=rU3x2在点（1,2）处的切线方程是（）

A.y=3xTB.y=-3x+5

C.y=3x+5D.y=2x

【解析】选A.y'=-3X2+6X,曲线在点（1,2）处的切线斜率k=-3X12+6X1=3,又切

线过点（1,2）,则切线方程为y-2=3（xT）,整理得:y=3xT.

【补偿训练】若曲线y=x"的一条切线/与直线x+4y-8=0垂直,则I的方程

为（）

A.4x-y-3=0B.x+4y-5=0

C.4x-y+3=0D.x+4y+3=0

【解析】选A.与直线x+4y-8=0垂直的直线I为4x-y+m=0,即y=x’在某一点的导

数为4.而y'=4x\所以y=x"在（1,1）处导数为4,此点处的切线方程为4x-y-3=0.

2.设函数f（x）在定义域内可导,y=f（x）的图象如图所示,则导函数y=f'（x）的图

象可能为（）

【解析】选D.原函数的单调性是：当x<0叱增；当x>0时，单调性变化依次为增、

减、增.故当x<0时，*（x）>0;当x>0时，*（x）的符号变化依次为+,-,+.

3.如图所示是函数f(x)=x、bx2+cx+d的大致图象,则xf+x宠等于()

【解析】选C.由图象知f(x)=O的根为0,1,2,

所以d=0.

所以f(x)=x3+bx2+cx=x(x2+bx+c).

所以x?+bx+c=0的两根为1和2.

所以b=-3,c=2.

所以千(x)=X3-3X2+2X,则f'(x)=3x-6x+2.

因为x“X2是方程f'(x)=0的两根,

2

所以Xi+x2—2,X1X2二—・

3

2

所以xj+x/二(Xi+x2)-2XIX2=2-2X自日.

4.(2017•聊城高三模拟)f(x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数,且满足

xf'(x)+f(x)W0对任意正数a,b,若a<b,则必有()

A.af(a)^f(b)B.bf(b)^f(a)

C.af(b)Wbf(a)D.bf(a)Waf(b)

【解析】选C.设g(x)=xf(x),

则由g'(x)=xf'(x)+f(x)WO,

知g(x)在(0,+8)上递减.

又0<a<b,f(x)20,

所以bf(b)<af(a),

所以af(b)<bf(b)<af(a)<bf(a).

当f(x)=0时,f(b)=f(a)=0,

所以af(b)Wbf(a).

5.(2017•山东高考)若函数y=f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两

点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是

()

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=exD.y=x3

【解题指南】利用基本初等函数的导数公式，求导后，表示出两“切线”的斜率，

判断它们的乘积是否为7.

【解析】选A.对于A,函数y=sinx,y'二cosx,设图象上存在这样两点

(xbsinxO,(x2,sinx2),那么两切线的斜率kFcosxi,k2=cosx2,令

ki,k2=cosxi•cosx2=-1,则xi=2kn,x2=2kn+n(x2=2kn,x1=2kn+n),kGZ,即存

在这样的两点，所以具有T性质.

对于B,函数y=lnx,v'」，冗•k2=-•而Xl>0,x2>0,所以k,•k2不一1,所以函数

x必必

y=lnx不具有T性质.

对于C,函数y=e；v'=ex,冗=曰工，|^二父3显然均大于。.所以函数y=ex不具有T性

质.

对于D,函数v二弋，V,=3x2,k-3X2,k2=3x^,显然k,•卜2力一1,所以函数y=x，不具有

T性质.

6.把一个周长为12的长方形卷成一个圆柱，当圆柱的体积最大时一，该圆柱的底面

周长与高的比为()

A.1：2B,1：JiC.2：1D.2：Ji

【解析】选C.设圆柱高为x,即长方形的宽为x,

则圆柱底面周长即长方形的长为与二6-x,

所以圆柱底面半径：R=QW,

2二

2

所以圆柱的体积V=nR2h=n（三二）x

x'-12；d+36x

所以V，（X-2XX-S）

4714X'

当x<2或x>6时,V'>0,函数单调递增;

当2<x<6时,V'<0,函数单调递减；

当x>6时，函数无实际意义，

所以x=2时体积最大，此时底面周长=6-2=4,

该圆柱底面周长与高的比:4：2=2：1.

二、填空题（每小题4分，共12分）

7.（2017・海南高二检测）函数f（x）=ax3+x+l有极值的充要条件是.

【解析】要使f（x）=3ax2+l=0有解，

则x2=-->0,

3a

所以函数f（x）有极值的充要条件是a<0.

答案：a<0

8.（2017•武汉高二调研）若函数y=-ix3+ax有三个单调区间，则a的取值范围

是.

【解析】因为y'=-4x2+a,且y有三个单调区间，

所以方程y'=-4x2+a=0有两个不等的实根，

所以△=（）2-4X（-4）Xa>0,

所以a>0.

答案：（0,+