2017-2018年度湖南师大附中教育集团九年级(上)期末数学试卷

2017-2018学年湖南师大附中教育集团九年级（上）期末数学试

卷

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡

中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）在实数-3、2、0、-n中，最小的数是（）

A.-3B.2C.0D.-Ji

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.a-^a-aB.J2=a

C.2a2+。2=3。4D.（a-b）2=a2-b2

3.（3分）用百度搜索关键词“十九大”，百度为您找到相关结果约11700000个,

把11700000这个数用科学记数法表示为（）

A.1.17X105B.11.7X106C.1.17X107D.117X105

4.（3分）下列图形中既是中心对称又是轴对称的图形的是（）

5.（3分）一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则Na的度数是

C.150°D.135°

6.（3分）当生-2例+如+b-3=0时，直线产丘+。经过点（）

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(-1,-3)D.1,3)

7.（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是:

31,35,31,34,30,32,31,这组数据的中位数、众数分别是（）

A.32,31B.31,32C.31,31D.32,35

8.（3分）下列说法中，正确的是（）

A.为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式

B.两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳

定

c.抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是L

3

D.“打开电视，正在播放广告”是必然事件

9.（3分）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍获利20%,若该书进价为20

元，则标价（）

A.24元B.26元C.28元D.30元

10.（3分）如图，菱形A3CD的边长为4,过点A、。作对角线AC的垂线，分

别交和AD的延长线于点E、F,AE=3,则四边形AECR的周长为（）

11.（3分）如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径

几何."用几何语言可表述为：CD为。。的直径，弦于E,CE=1寸,

AB=1Q寸，则直径CD的长为（）

12.（3分）如图，将△ABC沿角平分线3。所在直线翻折，顶点A恰好落在边

3c的中点E处，AE=BD,那么tan/A3D=()

A,

B.25D.返

6

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.（3分）因式分解：3X2+6X+3=.

14.（3分）若直线y=-2x+0经过点（3,5）,则关于x的不等式-2x+Z?<5的解

集是.

15.（3分）等腰三角形的两边长分别是4c机和8c/n,则它的周长是.

16.（3分）如图，已知AB〃CD,ZAEF=8Q°,则NDCT为°.

AEB

17.（3分）如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点3落在AD边上的点R

处.若AE=1CD,则长ER与CR的比值是

8

18.（3分）已知左为任意实数，随着左的变化，抛物线y=f-2（左-1）X+F-5

的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积

是.

三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）

19.（6分）计算:瓜^《尸+停（n-3）o+2sin3O°

5x<2(x+l)-8

20.（6分）解不等式组：3x-i、并把它的解集在数轴上表示出来.

-7-6-5-4-3-2-101234'

四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

21.（8分）湖南师大附中组织集团校内七、八、九年级学生参加“12KM”作文

比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅

不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题.

各年级参赛作文篇数条形统计图各年级参赛作文篇数扇形统计图

图1图2

（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度.八年级参赛

作文篇数对应的百分比是.

（2）请补全条形统计图.

（3）经过评审，全集团校内有4篇作文荣获特等奖，其中一篇来自九年级，学

校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校报上，请利用画树状图或列表的方

法求出九年级特等奖作文被选登在校报上的概率.

22.（8分）在东西方向的海岸线/上有一长为1加1的码头（如图），在码头

西端M的正西19.5左加处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船

位于A的北偏西30°,且与A相距40切?的3处；经过1小时20分钟，又测

得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距为演机的C处.

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？

请说明理由.

入北

东

A/

五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）

23.（9分）如图，△ABC内接于。。，AD是。。直径，E是底延长线上一点,

且NB4E="

（1）求证：直线AE是。。的切线；

（2）若/BAE=30°,。。的半径为2,求阴影部份的面积；

（3）若EB=AB,cosE=&,AE=24,求防的长及。。的半径.

24.（9分）荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司

协商，计划租用甲，乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全

部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装

该种货物18吨.已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；

租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆

租车费用相同.

（1）求租用一辆甲型汽车，一辆乙型汽车的费用分别是多少元？

（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元.通过计算求出该公司有几种

租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用.

（3）该商业公司生产的此时令商品每件成本为15元，经过市场调研发现，这种

商品在未来20天内的日销量机（件）与时间/（天）的函数关系：m=-2/+100；

该商品每天的价格y（元/件）与时间/（天）的函数关系为：y=L+20（1W/

-4

W20）,其中/取整数；在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品

就捐赠。元利润（a<4）给希望工程.公司通过销售记录发现，前20天中，

每天扣除捐赠后的日销售利润时间/（天）的增大而增大（含20天的日销售

利润和第19天的日销售利润相等的情况），求。的最小值.

六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）

25.（10分）规定：若y表示一个函数，令M=|y|,我们则称函数般为函数y的

“幸福函数”.

（1）请写出一次函数产X-3的“幸福函数”〃的解析式（解析式中不能含有绝

对值）;

（2）若一次函数产超*用与反比例函数产&@>0）的“幸福函数”M有三

33x

个交点，从左至右依次为A,B,C三点，并且BC=回，求点A的坐标；

3

（3）已知a、b为实数,二次函数产f+ax+6的“幸福函数"M=2恒有三个

不等的实数根.

①求6的最小值；

②若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求。和人的值.

26.（10分）如图，抛物线产-旦（x+型应）（x-3m）（其中m>0）与％轴分别

458

交于A,3两点（A在8的右侧），与y轴交于点c.

（1）求△AOC的周长，（用含机的代数式表示）

（2）若点P为直线AC上的一点，且点P在第二象限，满足。尸=pc・必，求tan

ZAPO的值及用含m的代数式表示点P的坐标；

（3）在（2）的情况下，线段。尸与抛物线相交于点Q,若点。恰好为。P的中

点，此时对于在抛物线上且介于点C与抛物线顶点之间（含点C与顶点）的

任意一点M（沏，刃）总能使不等式nW4女巧及不等式2n-

备》-4x雪怛成立，求〃的取值氾围.

2017-2018学年湖南师大附中教育集团九年级（上）期末

数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡

中填涂符合题意的选项，本大题共12个小题，每小题3分，共36分）

1.（3分）在实数-3、2、0、-n中，最小的数是（）

A.-3B.2C.0D.-Ji

【分析】根据两负数比较大小的法则进行比较即可.

【解答】解：：卜3|=3,|-n|=n,

.\3<Ji,

•二-3>-兀，

A2>0>-3>-兀，

则最小的数是：-n.

故选：D.

【点评】本题考查的是实数的大小比较，熟知两负数比较大小的法则是解答此题

的关键.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.<734-<72=47B.J-^=a

C.2a2+a2=3a4D.（a-b）~=cT-b2

【分析】根据同底数幕的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母

和字母的指数不变；同底数募的乘法，底数不变指数相加；募的乘方，底数

不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解.

【解答】解：A、正确；

B、当。三0时，当。<0时，^2=-a,故选项错误；

C、2a2+a2=3a2,故选项错误；

D、（a-b）2=cT+b1-lab,故选项错误.

故选：A.

【点评】本题考查同底数累的除法，合并同类项，同底数累的乘法，哥的乘方很

容易混淆，一定要记准法则才能做题.

3.（3分）用百度搜索关键词“十九大”，百度为您找到相关结果约11700000个,

把11700000这个数用科学记数法表示为（）

A.1.17X105B.11.7X106C.1.17X107D.117X105

【分析】科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其中lW|a|<10,附为整数.确

定〃的值时，要看把原数变成。时，小数点移动了多少位，〃的绝对值与小数

点移动的位数相同.当原数绝对值>1时，〃是正数；当原数的绝对值<1时,

〃是负数.

【解答】解：把H700000这个数用科学记数法表示为1.17X107.

故选：C.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aXlO”的

形式，其中lW|a|<10,〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及〃的值.

4.（3分）下列图形中既是中心对称又是轴对称的图形的是（）

【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心

对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出.

【解答】解：A、..•此图形旋转180°后不能与原图形重合，.•.此图形不是中心

对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；

3、•.•此图形旋转180°后能与原图形重合，I.此图形是中心对称图形，不是轴

对称图形，故此选项错误；

C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对

称图形，故此选项错误；

•此图形旋转180°后能与原图形重合，I.此图形是中心对称图形，也是轴

对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状

是解决问题的关键.

5.(3分)一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则Na的度数是

()

A.165°B.120°C.150°D.135°

【分析】利用直角三角形的性质求得N2=60°；则由三角形外角的性质知N2=

/1+45。=60°,所以易求Nl=15°；然后由邻补角的性质来求Na的度数.

【解答】解：如图，•.,N2=90°-30°=60°,

AZ1=Z2-45°=15°,

AZa=180°-Zl=165°.

故选：A.

【点评】本题考查了三角形的外角性质.解题时，注意利用题干中隐含的已知条

件：Zl+a=180°.

6.(3分)当忙-26|+,Jk+b-3=0时，直线广质+。经过点()

A.(-1,-1)B.(-1,1)C.(-1,-3)D.(-1,3)

【分析】根据非负性得出左与》的值解答即可.

【解答】解：因为忙-2例+痈石=0,

可得：(卜2b=0,

lk+b-3=0

解得：(k=2,

lb=l

所以直线产Ax+0的解析式为y=2x+l,

把x=T代入y=2x+l=-1,

故选：A.

【点评】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，理解题意并根据题意进

行计算是解此题的关键.

7.（3分）2010年3月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是:

31,35,31,34,30,32,31,这组数据的中位数、众数分别是（）

A.32,31B.31,32C.31,31D.32,35

【分析】利用中位数及众数的定义确定答案即可.

【解答】解：•••数据31出现了3次，最多，

•••众数为31,

：排序后位于中间位置的数是31,

•••中位数是31,

故选：C.

【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数、众数的能力.一些学

生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项.注意找中

位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如

果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数

的平均数.

8.（3分）下列说法中，正确的是（）

A.为检测我市正在销售的酸奶质量，应该采用抽样调查的方式

B.两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳

定

C.抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是上

3

D.“打开电视，正在播放广告”是必然事件

【分析】根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起

来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可.

【解答】解：A.为检测我市正在销售的酸奶质量，此事件调查难度较大破坏性

强，应该采用抽样调查的方式，故此选项正确；

B.两名同学连续五次数学测试的平均分相同，方差较小的同学数学成绩更稳定,

故此选项错误；

c.抛掷一个正方体骰子，点数为奇数的概率是L,故此选项错误；

2

D“打开电视，正在播放广告”是随机事件，故此选项错误；

故选：A.

【点评】本题考查的是调查方法的选择以及方差的意义和概率求法、随机事件等

知识；熟练掌握区分这些知识是解题关键.

9.（3分）某书店把一本新书按标价的八折出售，仍获利20%,若该书进价为20

元，则标价（）

A.24元B.26元C.28元D.30元

【分析】根据题意，实际售价=进价+利润.八折即标价的80%；可得一元一次

的等量关系式，求解可得答案.

【解答】解：设标价是x元，根据题意有：

0.8x=20（1+20%）,

解可得：x=30.

故标价为30元.

故选：D.

【点评】本题考查一元一次方程的应用，关键在于找出题目中的等量关系，根据

等量关系列出方程解答.

10.（3分）如图，菱形A3CD的边长为4,过点A、C作对角线AC的垂线，分

别交C3和AD的延长线于点E、F,AE=3,则四边形AECT的周长为（）

【分析】根据菱形的对角线平分一组对角可得NB4c=N3C4,再根据等角的余

角相等求出NB4E=NE,根据等角对等边可得然后求出EC,同理可

得AF,然后判断出四边形AECT是平行四边形，再根据周长的定义列式计算

即可得解.

【解答】解：在菱形ABCD中，ZBAC=ZBCA,

'：AE±AC,

：.ZBAC+ZBAE=ZBCA+ZE=90°,

ZBAE=ZE,

：.BE=AB=4,

：.EC=BE+BC=4+4=8,

同理可得AR=8,

,JAD//BC,

•••四边形AECT是平行四边形，

・•.四边形AECR的周长=2(AE+EC)=2(3+8)=22.

故选：A.

【点评】本题考查了菱形的对角线平分一组对角的性质，等角的余角相等的性质，

平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出EC的长度是解题的关键.

n.(3分)如图，“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题:

“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径

几何."用几何语言可表述为：CD为。。的直径，弦ABLCD于E,CE=1寸,

AB=10寸，则直径CD的长为()

C

A.12.5寸B.13寸C.25寸D.26寸

【分析】根据垂径定理和勾股定理求解.

【解答】解：设直径8的长为2x,则半径OC=x,

：CD为。。的直径，弦A3LCD于E,A3=10寸，

:.AE=BE=1AB=LX10=5寸，

22

连接。4,则。4r寸，根据勾股定理得f=52+(x-1)2,

解得x=13,

CD=2x=2X13=26(寸).

故选：D.

【点评】此题是一道古代问题，其实质是垂径定理和勾股定理.通过此题，可知

我国古代的数学已发展到很高的水平.

12.(3分)如图，将△ABC沿角平分线5。所在直线翻折，顶点A恰好落在边

3c的中点E处，AE=BD,那么tanNA3D=()

A

3362

【分析】作CMLAE交AE的延长线于M,作DN1AB于N,DF1BC于F,AE

与BD交于点、K,设DK=a,先证明AD：CD=1：2,再证明ABKE注

得BK=CM=3a,根据tan/A3D=逃即可解决问题.

BK

【解答】解：如图，作CM±AE交AE的延长线于M,作DN±AB于N,DF±

BC于F,AE与5。交于点K,设DK=a.

'：AB=BE=EC,

：.BC=2AB,

平分NABC,

：.DN=DF,

...s△*加叩［皿

DC

.S5CD1cB・DF

坦），AD=1,

…而枳而冶

'：DB±AM,CM±AM,

：.DK//CM,

/.Dl-AD_1,ZKBE=ZMCE,

CM-AC"3

/.CM=3a,

在aBKE和△CME中,

，ZKBE=ZMCE

'ZBEK=ZCEM-

,BE=EC

ABKE2ACME,

：.BK=CM=3a,

.\BD=AE=4a,

:.AK=KE=2a,

【点评】本题考查翻折变换、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定

理等知识，解题的关键是发现AD：DC=1：2这个条件，学会常用辅助线的添

加方法，属于中考常考题型.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

13.（3分）因式分解：3X2+6X+3=3（x+1）2.

【分析】原式提取3,再利用完全平方公式分解即可.

【解答】解：原式=3（d+2x+l）=3（x+1）2,

故答案为：3（x+1）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法

是解本题的关键.

14.（3分）若直线y=-2x+。经过点（3,5）,则关于x的不等式-2x+Z?V5的解

集是x>3.

【分析】根据直线产-2x+。经过点（3,5）,以及y随x的增大而减小即可求出

关于x的不等式-2x+b<5的解集.

【解答】解：•.•直线产-2x+6经过点（3,5）,且仁-2<0,y随x的增大而减

小,

・•.关于X的不等式-2x+》<5的解集是x>3.

故答案为x>3.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使

一次函数产以+。的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象

的角度看，就是确定直线产h+0在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标

所构成的集合.

15.（3分）等腰三角形的两边长分别是4c机和8c处则它的周长是2三分.

【分析】题目给出等腰三角形有两边长为4c机和8c机，而没有明确腰、底分别是

多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形.

【解答】解：①8c机为腰，4c/n为底，此时周长为8+8+4=20cm；

②8c机为底，4c机为腰，•••4+4=8,.•.两边和等于第三边无法构成三角形，故舍

去.

故它的周长是20cm.

故答案为：20cm.

【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形的三边关系的掌握情

况.已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还

应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关

键.

16.（3分）如图，已知A3〃CD,ZAEF=80°,则NDCR为100

【分析】由AB//CD,ZAEF=8Q°,根据两直线平行，内错角相等，即可求得

NDCE的度数，又由邻补角的定义，即可求得/OCT的度数.

【解答】解：•.•A3〃CD,ZAEF=80°,

：.ZDCE=ZAEF=80°,

ZDCF=180°-ZDCE=180°-80°=100°.

故答案为：100.

【点评】此题考查了平行线的性质与邻补角的定义.此题难度不大，注意掌握两

直线平行，内错角相等定理的应用，注意数形结合思想的应用.

17.（3分）如图，将矩形A3CD沿CE向上折叠，使点3落在AD边上的点R

处.若AE=4-CD,则长ER与CR的比值是_工_.

【分析】设AE=34，CD=8k,根据勾股定理求出后三不04左，根据相似三

角形的判定定理得到△EARs△㈤0,根据相似三角形的性质得到比例式，

计算即可.

【解答】解：,.•AE=』CD,

8

设AE=3左，CD=8k,

.\AE=3k,BE=5k,

：.AB=AE-^-BE=8k,

由折叠的性质可知，EF=BE=5k,

由勾股定理得，4加2-AE*4左，

VZEFC=ZB=90°,

：.AEAF^AFDC,

•EAAFpn3k_4k

FD-CDDF_8k

解得，DF=6k,

：.AD=AF+FD=10k,

：.AD：AB=10k：8k,

:.BE：BC=5k：10左=1：2,

,/将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点3落在AD边上的点R处.

：.EF=BE,CF=BC,

：.EF：CF=1：2

故答案为：1.

2

【点评】本题考查的是翻转变换的性质，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前

后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

18.（3分）已知左为任意实数，随着左的变化，抛物线y=f-2（左-1）x+武-5

的顶点随之运动，则顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积是

4.

【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（k-1,2k-6）,利用顶点横纵

坐标的关系可判断抛物线的顶点在直线y=2x-4上，再求出直线产2x-4与

坐标轴的交点坐标，然后计算直线y=2x-4与两条坐标轴围成图形的面积即

可.

【解答］解：-2（左-1）x+lc-5=x2-2Ck-1）x+Ck-1）2+2k-6,

，抛物线的顶点坐标为（左T,2k-6）,

\"2k-6=2Ck-1)-4,

，抛物线的顶点在直线y=2x-4上，

当x=0时，产-%直线产2x-4与y轴的交点为（0,-4）；

当y=0时，2%-4=0,解得x=2,直线y=2x-4与x轴的交点为（2,0）；

・••顶点运动时经过的路径与两条坐标轴围成图形的面积=LX2X4=4.

2

故答案为4.

【点评】本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何

性质计算相应的几何量.也考查了二次函数的性质.

三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）

19.（6分）计算:瓜^吗『+耨n-3)°+2sin30°

【分析】原式利用平方根、立方根定义，零指数募、负整数指数易法则，以及特

殊角的三角函数值计算即可求出值.

【解答】解：原式=1-2+上+1+1=2.

22

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

，5x<2（x+l）-8

20.（6分）解不等式组：3x-i、并把它的解集在数轴上表示出来.

1I!111111111AX

-7-6-5-4-3-2-101234'

【分析】首先分别计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集规律：同小

取小确定解集即可.

(5x<2(x+l)-8(l)

【解答】解:1^->0②

解不等式①，得：x<-2,

解不等式②，得：xWl,

・••不等式组的解集为-2,

将解集表示在数轴上如下：

----------6----i-------1——>x

-7-6-5-4-3-2-101234

【点评】此题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取

大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到.也考查了用数轴表示不

等式组的解集.

四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）

21.（8分）湖南师大附中组织集团校内七、八、九年级学生参加“12KM”作文

比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅

不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题.

各年级参翦短篇数新统计图各年级参赛作文篇数扇形统计图

图1图2

（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是_圾_度.八年级参赛

作文篇数对应的百分比是45%.

（2）请补全条形统计图.

（3）经过评审，全集团校内有4篇作文荣获特等奖，其中一篇来自九年级，学

校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校报上，请利用画树状图或列表的方

法求出九年级特等奖作文被选登在校报上的概率.

【分析】（1）求出总的作文篇数，即可得出九年级参赛作文篇数对应的圆心角的

度数；求出八年级的作文篇数，再用360。乘以对应比例可得；

（2）补全条形统计图即可：；

（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D,其中A代表九年级获奖

的特等奖作文.列表求解即可得出答案.

【解答】解：（1）•••参赛作文的总数量为20・20%=100（篇）,

.•.九年级参赛作文篇数对应的圆心角是360°乂更_=126°,八年级的参赛数量

100

为100-（20+35）=45（篇为

则八年级参赛作文篇数对应的百分比是生X100%=45%；

100

七年徽八年锹九年级年级

各年级参赛作文篇数条形统讨图各年级参赛作文篇数扇形统计图

图1图2

（3）假设4篇荣获特等奖的作文分别为A、B、C、D,

列表如下：

ABCD

AABACAD

BABBCBD

CACBCCD

DADBDCD

由表格可知，共有12种可能性结果，它们发生的可能性相等，其中九年级特等

奖作文被选登在校刊上的可能性有6种，

所以九年级特等奖作文被选登在校报上的概率为&=1.

122

【点评】本题主要考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等

可能的结果求出小再从中选出符合事件A或3的结果数目如然后根据概

率公式求出事件A或3的概率.一般来说，用样本去估计总体时，样本越具

有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确.

22.（8分）在东西方向的海岸线/上有一长为1km的码头MN（如图），在码头

西端M的正西19.5左加处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船

位于A的北偏西30°,且与A相距40切z的3处；经过1小时20分钟，又测

得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距8倔机的C处.

（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；

（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头靠岸？

【分析】（1）根据Nl=30°,Z2=60°,可知△ABC为直角三角形.根据勾股

定理解答.

（2）延长3c交/于T,比较AT与AM、AN的大小即可得出结论.

【解答】解：（1）VZl=30°,Z2=60°,

.'.△ABC为直角三角形.

AB=40km,AC=,

BC=7AB2+AC^/402+（873）1“机）•

VI小时20分钟=80分钟，1小时=60分钟，

.•.@1x60=127?（千米/小时）.

80

⑵能.

理由：作线段5RLA7V于R,作线段CSLA7V于S,延长3c交/于T.

VZ2=60°,

/.Z4=90°-60°=30°.

VAC=8V3(km),

・・・CS=8j5sin30。=4圾Qkm).

|f

.*.AS=8'.(3cos30°=8«X^1=12(km).

2

又・・・Nl=30°,

AZ3=90°-30°=60°.

AB=40km,

.•.酸=40”出60。=20^/3(km).

/.A7?=40Xcos60°=40XA.=20(km).

2

易得，丛STCsARTB,

所以地=生，

RTBR_

ST二蛆:

ST+20+12~2()V3,

解得：ST=8(km).

所以AT=12+8=20(km).

又因为AM=19.5左MN长为\km,.".AN=20.5km,

V19.5<AT<20.5

故轮船能够正好行至码头MN靠岸.

【点评】此题结合方向角，考查了阅读理解能力、解直角三角形的能力.计算出

相关特殊角和作出辅助线构造相似三角形是解题的关键.

五、解答题(本题共2个小题，每小题9分，共18分)

23.(9分)如图，△ABC内接于。。，AD是。。直径，E是底延长线上一点,

且

(1)求证：直线AE是。。的切线；

(2)若/BAE=30°,。。的半径为2,求阴影部份的面积；

(3)若EB=AB,cosE=2,AE=24,求仍的长及。。的半径.

5

【分析】(1)连接BD,如图，利用圆周角定理得到NA3D=90°,则ND+N

DAB=90°,再利用等量代换证明/D4E=90°,然后根据切线的判定定理得

到结论；

(2)连接如图，先计算出/。43=60°得到△A03为等边三角形，所以N

A0B=6Q°,然后根据扇形的面积公式，利用阴影部份的面积=S扇形A03-S^AOB

进行计算；

(3)作于如图，利用等腰三角形的性质得AH=EH=L4E=12,Z

2

E=ZBAE,在RtABEH中利用余弦的定义可计算出BE=15,则A3=15,由于

ZD=ZC=ZBAE=ZE,则cosD=A,在RtZkABD中，cosD=%&,设3D=4x,

5AD5

AD=5x,易得3x=15,解出x得到AD的长，从而得到。。的半径.

【解答】(1)证明：连接3D,如图，

•.ND为直径，

ZABD=90°,

/.ZD+ZDAB=90°,

'：ZC=ZD,ZBAE=ZC.

：.ZBAE+ZDAB=9Q°,即ND4E=90°,

：.AD±AE,

直线AE是。。的切线；

(2)解：连接。3,如图，

VZBAE=30°,

/.ZOAB=60°,

而OA=OB,

：.△AOB为等边三角形，

ZAOB=6Q°,

阴影部份的面积=5扇形AOB-5.=丝口2_叵义听=2页-如；

36043

(3)解：作3HLAE于H,如图，

,:EB=AB,

：.AH=EH=1AE=12,ZE=ZBAE,

2

在Rt^BEH中，，.飞05石=里=当，

BE5

：.BE=12XL=15,

4

：.AB=BE=15,

"：ZD=ZC=ZBAE=ZE,

cosD=~,

5

在RtAABD中，COSD=^-=A,

AD5

设BD=4x,AD=5x,

.\AB=3x,

即3x=15,解得x=5,

：.AD=25,

•••。。的半径为空.

【点评】本题考查了切线的判定与性质：：经过半径的外端且垂直于这条半径的

直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理和

解直角三角形.

24.（9分）荣昌公司要将本公司100吨货物运往某地销售，经与春晨运输公司

协商，计划租用甲，乙两种型号的汽车共6辆，用这6辆汽车一次将货物全

部运走，其中每辆甲型汽车最多能装该种货物16吨，每辆乙型汽车最多能装

该种货物18吨.已知租用1辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元；

租用2辆甲型汽车和1辆乙型汽车共需费用2450元，且同一种型号汽车每辆

租车费用相同.

（1）求租用一辆甲型汽车，一辆乙型汽车的费用分别是多少元？

（2）若荣昌公司计划此次租车费用不超过5000元.通过计算求出该公司有几种

租车方案？请你设计出来，并求出最低的租车费用.

（3）该商业公司生产的此时令商品每件成本为15元，经过市场调研发现，这种

商品在未来20天内的日销量机（件）与时间/（天）的函数关系：-2/+100；

该商品每天的价格y（元/件）与时间/（天）的函数关系为：y=L+20（1W/

--4

W20）,其中/取整数；在实际销售的前20天中，该公司决定每销售一件商品

就捐赠。元利润（a<4）给希望工程.公司通过销售记录发现，前20天中，

每天扣除捐赠后的日销售利润时间t（天）的增大而增大（含20天的日销售

利润和第19天的日销售利润相等的情况），求。的最小值.

【分析】（1）找出等量关系列出方程组再求解即可.本题的等量关系为“租用1

辆甲型汽车和2辆乙型汽车共需费用2500元”和“租用2辆甲型汽车和1辆

乙型汽车共需费用2450元”；

（2）设租用甲型汽车z辆，租用乙型汽车（6-z）辆.根据荣昌公司要将本公

司100吨货物运往某地销售，以及计划此次租车费用不超过5000元列出不等

式组，求解即可；

（3）设日销售利润为攻元，根据攻=日销量机X（售价一成本-捐赠），利用对

称轴解决问题.

【解答】解：（1）设租用一辆甲型汽车的费用是x元，租用一辆乙型汽车的费用

是y兀.

由题意得，卜+2y=2500；

l2x+y=2450

解得：卜=800,

ly=850

答：租用一辆甲型汽车的费用是800元，租用一辆乙型汽车的费用是850元.

（2）设租用甲型汽车z辆，租用乙型汽车（6-z）辆.

由题意得（16Z+18（6-Z）>100,

l800z+850（6-z）<500C

解得2WzW4,

由题意知，z为整数，

z=2或z=3或z=4,

•••共有3种方案，分别是：

方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；

方案二：租用甲型汽车3辆，租用乙型汽车3辆；

方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆.

方案一的费用是800X2+850X4=5000（元）；

方案二的费用是800X3+850X3=4950（元）；

方案三的费用是800X4+850X2=4900（元）；

V5000>4950>4900；

•••最低运费是方案三的费用：4900元；

答：共有三种方案，分别是：

方案一：租用甲型汽车2辆，租用乙型汽车4辆；

方案二：租用甲汽车3辆，租用乙型汽车3辆；

方案三：租用甲型汽车4辆，租用乙型汽车2辆.最低运费是4900元.

（3）设日销售利润为攻元，

2

则w=（-2/+100）（lr+20-15-a）=-lt+（2a+15）r+500-100a,

42

对称轴是：/=2a+15,

•••1W/W20,且每天扣除捐赠后的日销售利润时间/（天）的增大而增大，

当x=19与x=20是对称点时，7=19.5,

；.2a+15219.5,

4

"：a<4,

gWa<4,

4

的最小值是2.

4

【点评】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式组的应用及二次函数的应

用.解题关键是要读懂题目的意思，找出合适的等量关系和不等关系，利用

方程和不等式组解决问题，并与二次函数的增减性结合，第3问有难度，理

解二次函数的增减性是关键.

六、解答题(本题共2个小题，每小题10分，共20分)

25.(10分)规定：若y表示一个函数，令M=|y|,我们则称函数M为函数y的

“幸福函数”.

(1)请写出一次函数y=x-3的“幸福函数””的解析式(解析式中不能含有绝

对值)；

(2)若一次函数产与反比例函数产&(左>0)的“幸福函数”〃有三

33x

个交点，从左至右依次为A,B,C三点，并且BC=回，求点A的坐标；

3

(3)已知a、b为实数,二次函数产f+ax+6的“幸福函数"M=2恒有三个

不等的实数根.

①求6的最小值；

②若该方程的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边，求。和人的值.

【分析】(1)根据“幸福函数”求解即可；

(2)由题意设3Cm,-则C(m+1,由3、C都

33333

在反比例函数y=N上，可得加(-a7什型)=(m+1)(-hn+lL),解得：

x3333

f8

y=—

m=2,B(2,4),把3(2,4)代入产k得到七8,解方程组,可

*

得的A坐标；

(3)①由题意：抛物线产¥+依+人的顶点坐标的纵坐标为-2,由此构建二次函

数，利用二次函数的性质即可解决问题；

②当y=2时，2^+ax+b,可得f+ax+6-2=0,设方程的两个根为Xi，xi,(xi<

X2)，则X1+X2=-a，x「X2=b-2,由方程M=2的三个不等实根恰为一直角三角

22

形的三条边，则有：x2=xr+(-A)

2

构建方程组求出。、人即可；

【解答】解：⑴3a受

[3-x(x<3)

(2)由题意设3(m,-_£m+型)，则C(m+1,-Am+^L-A),

33333

:B、C都在反比例函数产工上，

x

.".m(-=(m+1)(-A/71+AL),

3333

解得：M=2,

：.B(2,4),

把3(2,4)代入产N得到"8,

r_1/x=6

解得［x-T或14,

ly=8|y=—

AA(-1,8).

(3)①由题意：抛物线产丫+依+人的顶点坐标的纵坐标为-2,

•_0_4b_a2

••乙------,

4

b=^-cT-2,

4

vl>o,

4

••普有最小值，最小值为-2.

②当y=2时，2=x1+ax+b,

.,.x2+ax+b-2=0,设方程的两个根为尤i，X2>(xi<%2)>

贝!JXi+X2=-a,X\*X2=b-2,

方程M=2的三个不等实根恰为一直角三角形的三条边,

22

则有：X2=X1+（-旦）2,

2

2

（X2+X1）（%2-）=-5—,

4

•a

.•%2-",

4

...（X1+X7）2-4%1%2=-^-02>

16

.".a2-