高考理数一轮课件2第二章函数8-第五节指数与指数函数

第一节指数与指数函数总纲目录教材研读1.指数幂的概念考点突破2.有理数指数幂3.指数函数的图象与性质考点二指数函数的图象与性质考点一指数幂的运算考点三指数函数的应用教材研读1.指数幂的概念(1)根式的概念根式的概念符号表示备注如果①

xn=a

,那么x叫做a的n次方根

n>1且n∈N*当n为奇数时,正数的n次方根是一个②

正数

,负数的n次方根是一个③

负数

零的n次方根是零当n为偶数时,正数的n次方根有④

两个

,

它们互为⑤

相反数

±

负数没有偶次方根(2)两个重要公式

=

(

)n=⑨

a

(注意a必须使

有意义).2.有理数指数幂(1)分数指数幂的表示(i)正数的正分数指数幂:

=⑩

(a>0,m,n∈N*,n>1).(ii)正数的负分数指数幂:

=

=

(a>0,m,n∈N*,n>1).(iii)0的正分数指数幂是

0

,0的负分数指数幂无意义.(2)有理数指数幂的运算性质(i)aras=

ar+s

(a>0,r,s∈Q).(ii)(ar)s=

ars

(a>0,r,s∈Q).(iii)(ab)r=

arbr

(a>0,b>0,r∈Q).3.指数函数的图象与性质

a>10<a<1图象

定义域

R

值域

(0,+∞)

性质过定点

(0,1)

当x>0时,

y>1

;当x<0时,

0<y<1

当x>0时,

0<y<1

;当x<0时,

y>1

在(-∞,+∞)上是

单调增函数

在(-∞,+∞)上是

单调减函数

1.化简

(x<0,y<0)得

()A.2x2y

B.2xy

C.4x2y

D.-2x2y答案

D∵x<0,y<0,∴4

=(16x8·y4

=1

·(x8

·(y4

=2x2|y|=-2x2y.D2.函数f(x)=3x+1的值域为

()A.(-1,+∞)

B.(1,+∞)

C.(0,1)

D.[1,+∞)答案

B∵3x>0,∴3x+1>1,即函数f(x)=3x+1的值域为(1,+∞).B3.已知奇函数y=

如果f(x)=ax(a>0,且a≠1)对应的图象如图所示,那么g(x)=

()

A.

B.-

C.2-x

D.-2x

答案

D由题图知f(1)=

,∴a=

,f(x)=

,由题意得g(x)=-f(-x)=-

=-2x,选D.D4.设a=0.23,b=log20.3,c=20.3,则

()A.b<c<a

B.c<b<aC.a<b<c

D.b<a<c答案

D因为0<a=0.23<1,b=log20.3<0,c=20.3>1,所以b<a<c,故选D.D5.当a>0且a≠1时,函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点(2,-2)

.答案(2,-2)解析令x-2=0,则x=2,此时f(x)=1-3=-2,故函数f(x)=ax-2-3的图象必过定点

(2,-2).6.若指数函数f(x)=(a-2)x为减函数,则实数a的取值范围为

(2,3)

.答案(2,3)解析∵f(x)=(a-2)x为减函数,∴0<a-2<1,即2<a<3.考点一指数幂的运算典例1化简:考点突破(1)

+2-2·

-(0.01)0.5;(2)

·b-2·(-3

b-1)÷(4

·b-3

;(3)

.解析(1)原式=1+

×

-

=1+

×

-

=1+

-

=

.(2)原式=-

b-3÷(4

·b-3

=-

b-3÷(

)=-

·

.(3)原式=

=

·

=

.易错警示(1)指数幂的运算首先将根式、小数指数幂统一为分数指数幂,以便利

用法则计算,但应注意:①必须同底数幂相乘,指数才能相加;②运算的先

后顺序.(2)当底数是负数时,先确定符号,再把底数化为正数.(3)运算结

果中数字因式以外的部分不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有

分母又含有负指数.1-1计算:

+0.00

-10×(

-2)-1+π0.解析原式=

+

-

+1=

+50

-10(

+2)+1=

+10

-10

-20+1=-

.考点二指数函数的图象与性质典例2(1)函数f(x)=ax-b的图象如图,其中a,b为常数,则下列结论正确的

是

()A.a>1,b<0

B.a>1,b>0C.0<a<1,b>0

D.0<a<1,b<0(2)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则

()A.2x<3y<5z

B.5z<2x<3yC.3y<5z<2x

D.3y<2x<5zDD答案(1)D(2)D解析(1)由f(x)=ax-b的图象可以观察出,函数f(x)=ax-b在定义域上单调递

减,所以0<a<1.函数f(x)=ax-b的图象是在f(x)=ax图象的基础上向左平移得到的,所以b<0,

故选D.(2)D由2x=3y=5z,可设(

)2x=(

)3y=(

)5z=t,因为x,y,z为正数,所以t>1,因为

=

=

,

=

=

,所以

<

;因为

=

=

,

=

,所以

>

,所以

<

<

.分别作出y=(

)x,y=(

)x,y=(

)x的图象,如图.

则3y<2x<5z,故选D.方法技巧(1)已知函数解析式判断其图象一般是取一些特殊点,判断选项中的图

象是否过这些点,若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题,

一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而

得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.(3)有关

指数的方程、不等式问题的求解,往往利用相应的指数型函数图象,数

形结合求解.2-1已知a=1,b=

,c=30.9,则a,b,c的大小关系是

()A.a<b<c

B.b<c<aC.c<a<b

D.b<a<c答案

D解析∵b=

<

=1,30.9>30=1,∴b<a<c,故选D.D考点三指数函数的应用典例3(1)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数.记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2m),则a,b,c的大小关系为

()A.a<b<c

B.a<c<b

C.c<a<b

D.c<b<a(2)设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1]上的最大值是14,则a的值为

令t=ax(t>0)

令t=ax(t>0),

.C答案

C解析(1)∵f(x)=2|x-m|-1为偶函数,∴m=0.∵a=f(log0.53)=f(log23),b=f(log25),

c=f(0),log25>log23>0,而函数f(x)=2|x|-1在(0,+∞)上为增函数,∴f(log25)>f(log23)>f(0),即b>a>c,故选C.(2)令t=ax(t>0),则y=(t+1)2-2(t>0).令y=f(t)=(t+1)2-2(t>0).①当0<a<1时,t=ax∈

,此时f(t)在

上为增函数,所以f(t)max=f

=

-2=14,所以

=16,所以a=-

或a=

.又0<a<1,所以a=

.②当a>1时,t=ax∈

,此时f(t)在

上是增函数,所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1)2=16,所以a=-5或a=3,又a>1,所以a=3.综上,a=

或a=3.所以f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14,所以(a+1)2=16,所以a=-5或a=3,又a>1,所以a=3.综上,a=

或a=3.规律总结与指数函数有关的复合函数问题的解题策略1.与指数函数有关的复合函数的定义域、值域问题(1)函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域与f(x)的定义域相同.(2)先确定f(x)的值域,再确定函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的值域.2.与指数函数有关的复合函数的单调性问题利用复合函数单调性判断形如y=af(x)(a>0,且a≠1)的函数的单调性,它的

单调区间与f(x)的单调区间有关.若a>1,则函数y=f(x)的单调增(减)区间

即为y=af(x)的单调增(减)区间;若0<a<1,则函数y=f(x)的单调增(减)区间即

为函数y=af(x)的单调减(增)区间,概括起来即“同增异减”.3.与指数函数有关的复合函数的最值问题,往往转化为二次函数的最值

问题.3-1记x2-x1为区间[x1,x2]的长度,已知函数y=2|x|,x∈[-2,a](a≥0),其值域

为[m,n],则区间[m,n]的长度的最小值是

3

.答案3解析令f(x)=y