金融工程课后题13-20习题解答renzhengliang(Lite)

Chl3

13.1不是可交易证券价格的变量的风险价格是如何定义的？

解：不是可交换证券价格的变量的风险市场价格是通过求可交换证券的风险市

场价格而来，但必须满足该可交换证券的价格与不是可交换证券价格的变量

瞬态完全正相关。

13.2假设黄金的风险市场价格为零，如果贮存成本为每年1%,无风险年利率为

6%,那么黄金价格的期望增长率为多少？

解：由公式m-2s=r-y+u,jfu2=0,r=0.06,y=0,u=0.01所以m=0.07.即期望增长率为

0.07o

13.3一个证券的价格与以下两个变量正相关：铜的价格和日元兑美元的汇率，假

设这两个变量的风险市场价格分别为0.5和0.1。若铜的价格固定，则该证

券的波动率为每年8%；如果日元对美元的汇率固定，则该证券的波动率为

每年12%。无风险利率为每年7%。证券的预期回报率为多少？如果两个变

量彼此之间是不相关的，该证券的波动率为多少？

解（1）令u为证券的预期收益率，已知无风险利率r=0.07,铜价和日圆兑美

圆汇率的风险市场价格分别为几1=0.5和42=0.1,铜价固定时汇率引起的

证券波动率为02=0.08,汇率固定时铜价引起的证券波动率为b1=0.12。因

此由公式u-r=2i<71+几2<72可得u=0.138即证券的预期收益率为每年

0.138

（2）由cridzi+cr2dz2=V<7i2+（722dz3代入cri,cr2的值可得

而FlE*SrSoe（"心）xr为。」44即铜价和日圆兑美圆汇率不相关时证券的

波动率为0.144

13.4某个石油公司只是为了开发德克萨斯一个很小区域的石油。其价值主要依赖

于如下两个随机变量：石油的价格和以探明石油的储存量。讨论：这两个变

量中的风险市场价格为正数、负数还是零？

解：第二个变量的风险市场价格为0。这是因为这种风险是非系统的，它与经济

社会的其他风险完全不相关，投资者不能因为承担这种不可转换的风险而要

求更高的回报。

13.5通过两个无红利支付的交易证券和两个依赖于这两个无红利支付交易证券

价格的衍生工具构成一个无风险组合，推导出这个衍生工具的微分方程。证

明此微分方程和13B.11所给的微分方程一样。

解：假定两个无红利支付交易证券的价格分别为Si和S2,而依赖于它们的衍生

工具的价格为f，可以得到如下等式：

dSi=U]Sidt+criSjdzj;dS2=U2S2dt+cr2s2dz2

乂根据It。定理可得式：

",cWcdfdf1222fl2存于

J55.dS.dt2aS?255?

dSidS2oS1dS2

n=r/+rSi+r———S2dt

ldS：

由

H+-S〜总+%驾+所6d-f

dtdS,dS.2aS.22dS?”dS、dSz

可得d口=-df+亚dS,+或-dS,

dS>dSz

一(”金+〃噌+…")力

dt2as』2as』"65,as/

所以，根据无风险组合特性：dH^rUdt

我们可以得到等式:

盏+P6G黑和+符,+需2

因此

.dxa（x。一无）山+与屋.驾+〃2%+小6粤

rf=—

x62dSr2dS?dS,dSz

乂由13B.11知道〃2i-A,i（yi—till—A,2（y：-r

所以这个衍生工具的微分方程和13B.11所给的微分方程一样。

13.6一个远期合约在T时刻盈亏状态为（ST—K）日元，其中ST是T时刻黄金

的价格，K是以美元计的交割价格。假设储存成本为零，若有必要可定义其

他变量，计算远期价格。

解：假设£是从日圆投资者来看的风险中性世界中的期望值，。，是T时刻用日

圆表示的一美圆的价值，八/7分别是美圆和日圆的无风险利率，q是指数

的红利收益率，P是S和。的瞬时相关系数，小和c是S和Q的波动率，F

是远期价格

由本章可得如下等式：F=£涓"、昂。『]=。,e（〃f）（J）

以及耳SrQ]=S,。虺⑵rT+35）g）

所以，远期价格尸=5"〃-4+"5"-'）

13.7豆油的便利收益是年率5%,年贮存成本为1%,无风险利率为年率6%。豆

油价格期望增长率为0。那么6个月的期货价格和6个月的期望价格之间有

何联系？

解：y=r+u-m+2s，已矢口y=0.05.r=0.06,u=0.01,m=0,可求得2s=-0.02

因为F=E*(ST)=S。/〃?一词",E(ST)=5OemT

所以F=E(Sr)e-"sxT=E(Sr)e002x0-5=1.01E(5r)

即六个月的期货价格比六个月的期望价格高出百分之一。

13.8铜的风险市场价格为0.5,铜的年波动率为20%,即期价格为每磅80美分,

6个月期货价格为每磅75美分。问在下6个月中预期铜价的相应增长率为

多少？

解:由上题知道F=E(Sr)eTs"。而4=0.5,s=0.2,5。=0由,F=0.75和T=0.5

可求得E(*)=0.7885又因为So=0.8,E(ST)=SOemT,所以m=-0.03

即期望增长率为负百分之三。

13.9假设一利率x遵循如下过程：

dx=a(x»-x)dt+c>[xdz

其中a、x。、和。是正常数。假设x的风险市场价格是4。当用扩展后的风

险中性原理估计一个衍生工具时，漂移率是如何被调整的？

解：题中等式可改写为：虫=gf)dJ十二dz,其中“(乂一幻是利率的期望

XXy/xX

增长率，。是它的干扰项，那么在风险中性世界期望增长率为

y/X

Q（Xo-X）

X

a（x（）-x）.cl,c,

因此,过程变为丝=------力+〒废,

XXy/x]yJX

所以，漂移率调整为

13.10一个证券在T时刻的盈亏状态为S1S2,其中Si是标准普尔500指数的水平,

S2是石油的价格。假设$和S2都遵循几何布朗运动且不相关。若有必要，

可定义其他变量，计算T时刻该证券的价值。

解：假设外〃分别是标准普尔500指数和石油价格增长率，，是无风险利率

由公式13.14：f=e~r(T-,}E[fi],以及考虑本题有方=SS

而根据布朗运动知道耳SS]=

r_《(q+/2+p(y\(y2)(r-z)

所以,T时刻该证券的价值为/—e

m2-42s2

13.11应用风险中性定价原理证明：6个月后以一股IBM股票兑两股柯达股票的

期权价格与利率无关。

解：由题意可假设现时刻一股IBM股票刚好可兑换两股柯达股票，那么六个月

后一股IBM股票兑两股柯达股票的期权价格即是后者与前者的远期价格之

差，令Si。、S20分别是IBM股票和柯达股票的现时刻价格,即SIO=2S2O；再

令n、m2分别是两股票的预期增长率，根据风险中性定价原理，在风险中

性世界中两者的预期增长率为/Is、九s-IBM股票和柯达股票

22

六个月的远期价格为Si。e、S2()e所以在风险中性世界中

一(m2-Qs2)

2

期权价格为2s2。e-Sl02,即与利率无关，根据风险中

性定价原理将其应用到风险世界中同样成立

13.12假设有一商品，其波动率o■为一常数，无风险收益率也为常数。证明在风

险中性的世界中：InSr①InF-J(TT),cr6：

2

其中Sr为T时刻商品的价值，F是到期日T时刻期货合约的价格。

2-

解：由第11章我们可得InSr①lnS+("——，而尸=5年小77,

即In尸=InS+〃(T—f)

所以，InSr①InF--(T-t),b近一t

2

14.1•个看涨期权的delta值为0.7意味着什么？若每个期权的delta均为0.7,

如何使一个1000个看涨期权的空头变成delta中性？

解：Delta为0.7意味着：当股票价格上涨一个小量△S时，期权价格上涨70%△

So反之亦然。1000个看涨期权空头其Delta是-700,可以购买700股使之

变成Delta中性。

14.2无风险年利率为10%,股票价格的年波动率为25除计算标的物为不分红股

票,6个月期两平期权欧式看涨期权的delta值。

S0=X,r=0.1,o=0.25,T=0.5

g/X)+(0.尸/2)0.5=037]2

0.25V(15

看涨期权delta为N(di)或0.64

14.3若以年计，一个期权头寸的theta值为-0.1意味着什么？若一个交易者认

为股票价格和隐含波动率都不会变，那么期权头寸是什么类型？

解：Theta为-0.1意味着：如果At年后，股票价格和波动率都不变，期权价

值下降0.1At。如果交易者认为股票价格和隐含波动率都不会变，期权头

寸会选择一个尽可能高的theta值，相对来说，短期平价期权具有最高的

theta值。

14.4期权头寸的gamma是代表什么？当一个期权空头头寸的gamma为很大的负

值时，并且delta为零，其风险是什么？

解：Gamma代表某种标的资产的衍生证券组合的delta变化相对于标的资产价格

变化的比率。当一个期权空头头寸的gamma为很大负值，而delta为0,风

险在于：如果资产价格有大的变化(上升或下降)，该交易者会遭受巨大损

14.5“构造一个合成期权头寸的过程就是对冲该期权头寸的逆过程。”请你解释

这句话的意思。

解：要为一个期权套期保值，必须构造一个数量相同、头寸方向相反的合成期

权。比如说，要为一个看跌期权多头套期保值，就必须构造一个合成看跌

期权的空头。这就是说：构造一个合成期权头寸的过程就是对冲该期权头

寸的逆过程。

14.6为什么在1987年10月19日证券组合的保险方式失效了？

解：如果指数波动率变化迅速或者股票指数产生很大的跳跃，那么构造基于指

数的合成看跌期权不是很有效的办法。因为他们无法足够快的卖出股票或

者指数期货以保护原头寸免遭损失。1987年10月19日，市场下跌的太快,

以至于证券组合不能及时做出反应。

14.8一个执行价格为$40的处于虚值状态的看涨期权，其black-scholes公式的

价格为$4.00。一个出售了该期权合约的交易商计划使用第14.3节中的止亏

17

策略。交易商计划以$40-买入，以$39—卖出。估计股票被买入或卖出的

88

预期次数。

解：在该策略中，交易者每次买卖股票要花费$1/8,预期总成本是$4,意味着:

股票买卖次数大约为32次。买和卖的次数分别大约为16次。

14.9利用看涨-看跌期权之间的平价关系推导不分红股票的如下二者之间的关

系：

(a)一个欧式看涨期权的delta值和一个欧式看跌期权的delta值

(b)■—个欧式看涨期权的gamma值和一个欧式看跌期权的gamma值

(c)一个欧式看涨期权的vega值和一个欧式看跌期权的vega值

(d)一个欧式看涨期权的theta值和一个欧式看跌期权的theta值

解：对于不分红股票，根据看涨-看跌平价关系有：在t时刻，

p+S=c+X"g)

(a)对S求偏导

生+「如或者羽=生_1

dsdsdsds

这表示，欧式看跌期权的delta值等于对应的欧式看涨期权的delta值减去

lo

(b)再次对S求二阶偏导

d2p_d2c

ds2ds2

表示：欧式看跌期权的gamma值与对应的欧式看涨期权的gamma值相等。

(c)对。求偏导

dp_de

dada

表示：欧式看涨期权的vega值与对应的欧式看跌期权的vega值相等。

(d)对T求偏导

史」Xe-g)+生

dtdt

欧式看涨期权和欧式看跌期权的theta值存在以上关系。

14.10假设一股票现价为$20,假象一个执行价格为25的看涨期权，由频繁变

化的股票头寸合成的。考虑下面两种情况：

(a)在期权有效期内，股票价格由$20稳定增长至$35

(b)股票价格波动剧烈，最终价格为$35

请解释哪种方案使合成的期权更值钱？解释你的答案。

解：该策略为买高卖低。第一种情况，股票价格稳定增长，因此，一直都是买

进；第二种情况则是不断的买进、卖出、买进、卖出……最终股票价格一

样。显然后者比前者花费更高。

14.111000个白银期货的欧式看涨期权的空头头寸的delta值为多少？该期权有

效期为8个月，期权的标的期货合约有效期为9个月。当前9个月期的白银

期货价格为每盎司$8.00,期权执行价格为每盎司$8.00,无风险年利率为

12%,白银价格的年波动率为18%o

解：期货的欧式看涨期权的delta值是期权价格变化和期货价格的比率。是

本题中，Fo=8,X=8,r=0.12,o=0.18,T=0.6667

ln(8/8)+(0.182/(2l5667

a,=---------------/-----------=U.U/33

0.1840.6667

N(di)=0.5293,所以delta值为e-°’2*°"67x0.5293=0.4886

因此，1000个白银期货的欧式看涨期权的空头头寸的delta值为-488.6

14.12在习题14.11中，若进行delta套期保值，白银期货的初始头寸至少应为

多少？如果使用白银本身，初始头寸为多少？如果是一年期期货，初始头

寸应为多少？假设没有储存费用。

解：前者指的是期货delta值，后者指的是现货delta值。对于前者，从上题

的答案得出，要进行delta套期保值，必须持有488.6盎司的有效期为9

个月的白银期货多头头寸。对于后者，delta值为e°g°75=L094(无储存

费用)。因此,期货头寸的当前delta值为-488.6XI.094=-534的,所以

须持有534.6盎司多头头寸来套期保值。

若使用一年期期货，当前delta值为e""=1.1275,所以，初始头寸应为

012

e-x534.6=474.1盎司。

14.13--家公司打算对一个货币的看涨看跌期权组成的多头头寸组合进行

delta套期保值。请解释下面哪种情况结果最佳？

解：无论是看跌期权还是看涨期权，多头头寸都有正的gamma值，意味着，对

于套期保值者，股票价格大幅波动比稳定的效果要好。因此（b）的结果

最佳。

14.14一家金融机构拥有一种货币的看涨看跌期权组成的空头头寸组合，请重新

分析习题14.13o

解：无论是看跌期权还是看涨期权，空头头寸都有负的gamma值，意味着，对

于套期保值者，股票价格大幅波动比稳定的效果要差。因此（a）的结果

最佳。

14.15一个金融机构刚刚卖出一些日元的7个月期欧式看涨期权。假设即期汇率

为0.8美分/日元，执行价格为0.81美分/日元，美元的无风险年利率为8%,

日元的无风险年利率为5%,日元的年波动率为15%o计算并解释说明期

权的delta,vega,theta和rho。

解：本题中，50=0.80,%=0.81^=0.08,?7=0.05,CT=0.15,7=0.5833

,ln(0.80/0.81)+(0.08-0.05+0.152/2)x0.5833…

d.=--------------------7---------------=0.10

0.1540.5833

4=4-0.15V0.5833=-0.0130

N(4)=0.5405;TV(J2)=0.4998

看涨期权的delta值为

/RN(4)=e„33X0.5405=0.5250

N⑷=一=6々"2==03969

所以看涨期权的gamma值为

N\d.)e~r/T0.3969x0.9713

ScrVF_0.80x0.15x70.5833-

看涨期权的vega值为

S°VFN'(4=O.8OVO.5833x0.3969x0.9713=0.2355

看涨期权的theta值为

rT

_回誉二fS°#N@)eR-rXe-N(d2)

27T

0.8x0.3969x0.15x0.9713

240.5833

+0.05X0.8X0.5405X0.9713-0.08X0.81X0.9544X0.4948

=—0.0399

看涨期权的rho为

rT

XTe^N(d2)

=0.81X0.5833X0.9544X0.4948

=0.2231

解释：delta表示，现价上升一个小量，期权价值上升0.525倍该小量；vega

表示，当波动率上升一个小量，期权价值上升0.2355倍该小量；theta表

示，时间过去一个小量，期权价值下降0.0399倍该小量；rh。表示，利率

上升一个小量，期权价值上升0.2231倍该小量。

14.19某个基金经理拥有一个风险分散的组合，该组合的状况可由S&P500来反

映，价值$9000万。S&P500的点数为300,该组合的经理打算购买保险,

防止在随后的6个月中组合价值下跌超过5%o无风险年利率为6%o该

组合以及S&P500的红利率为3%,指数的年波动率为30%o

(a)如果基金经理购买可交易欧式看跌期权，保险费为多少？

(b)详细解释包括可交易欧式看涨期权在内的几种策略，并说明他们如何

得到相同的结果。

(c)如果基金经理决定通过部分无风险证券组合来提供保险，初始头寸应

该为多少？

(d)如果基金经理决定通过使用9个月期指数期货来提供保险，初始头寸

应该为多少？

解：

(a)

N(4)=0.6622;N@)=0.5818

N(—4)=03378;'(―4)=0.4182

一份看跌期权价值为

1140e"-'W(—d2)T200eFJ>N(—dj

=285e"06mx0.4182-3OOe-°O3x0-5x0.3378

=63.40

因此总的保险费为300,000X63.40=$19,020,000

(b)由看涨-看跌平价关系S0e-"+p=c+Xe-"

表明一份看跌期权可以这样构造：卖空的指数，买一份看涨期权，剩

下的投资于无风险资产。应用到本题情况，该基金经理应该：

1)卖出360e4°34=$354,640,000的股票

2)买入300,000份S&P500看涨期权，执行价1140,期限为6个月

3)投资剩余现金到无风险资产获得每年6%的无风险利率。

该策略和直接买进看跌期权有同样的效果。

(c)一份看跌期权的delta值为

=e-。"(06622-1)

=-0.3327

表示，初始头寸为，卖出资产组合的33.27%(即$119,770,000)并投资

于无风险证券。

(d)9个月期指数期货合约的delta值为

=”3皿5=1.023

当前空头头寸必须为I、'77°，00°=99,808除以指数,所以，空头头寸为:

300

99,808

=390份期货合约。

1.023x250

14.20假设某证券组合的beta为1.5,年红利率为4%,重复习题14.19的几个问

题。

解：6个月内，证券组合价值下跌5%,证券组合的总回报，包括分红，为：一

5+2=3%

即每年6虬比无风险年利率少了12队既然证券组合的beta值为1.5,那

么可以预测，市场回报率比无风险利率少8临即为一2机瞬红利率为3%,

可以预测市场指数每年下降5%,即6个月下降2.5临市场预计会下降到

1170o因此需要总计450,000=(1.5X300,000)份S&P500看跌期权,

执行价1170,执行时间为6个月。

(a)So—1200,X-1170,r=0.06,cr=0.3,T=0.5,q=0.03

所以

,ln(l200/1170)+(0.06-0.03+0.09/2)x0.5，

a.=-----------------------------------------------------=0.2961

0.3V(X5

4=4-0.3757=0.0840

N©)=0.6164;N(d?)=0.5335

N(—4)=0.3836;N(—4)=0.4665

看跌期权价值为：

rTqT

Xe-N(-d2)-Soe-N(-di)

=1170e-006x0-5x0.4665—1200e«°3、°5x0.3836

=76.28

所以，保险费总计为：450,000X76.28=$34,326,000

(b)策略1：卖出$354,640,000的股票；2：买进450,000S&P500看涨

期权，执行价1170,执行期6个月；3：投资剩余现金于无风险资产。

(c)证券组合的波动率比S&P500高50%,以证券组合来提供保险，参数为：

So=36O,X=342,r=0.06,o=0.45,T=0.5,q=0.04

,ln(360/342)+(0.06-0.04+0.452/2)x0.5……

d.-------------------T=--------------=0.3517

0.45VO5

N(4)=0.6374

期权delta值为：

e[N(4)-1]

="0.03x0.5(06474—1)

=-0.355

这表明，证券组合中的35.5%(即$127,800,000)应该被卖出并投资于

无风险证券。

(d)此时，每份看跌期权的delta值为

=e《.03*。5(06164-1)

=-0.3779

看跌期权总头寸的delta值为-450,000X0.3779=-170,000o9个月期

指数期货的delta值为1.023o所以初始头寸应该为：

17°网°=665份指数期货合约空头。

1.023x250

14.21证明代入®,△,「和f,等式(14.4)在以下情况仍成立：

(a)不分红股票的欧式看涨期权

(b)不分红股票的欧式看涨期权

(c)任何不分红股票的欧式看涨期权和看跌期权的组合。

解(a)对于不分红股票的欧式看涨期权

△=N(dJ

r=N'(4)

SQG•近

0=_SoNWa_rXeG(d,)

2y/T-

代入14.4,等式左边等于：

rT

=-rXe-N(d2)+rS.N(d^+-oSa

2yjT2y]T

=「[5心(4)一乂""刈出)]

=rTI

(b)对于不分红股票的欧式看跌期权

△=N(4)—1=—N(—4)

SQtJy/T

SoN'(d、)orT

+rXe~N(-d2)

2近

代入14.4,等式左边等于:

=/”+rXe*Nf-%）一一S0N（—4）+gbS°

=r[Xe-"N（—力）一5。'（一4）]

=rTL

（C）对于期权组合，n,△,@和『是证券组合中的单个期权的价值的总

和，因此，14.4对于任何不分红股票的欧式看涨期权和看跌期权的组合成

乂。

14.22与等式（14.4）相对应的一种货币衍生产品的组合的等式是怎样的？

解：货币提供连续的分红率口，这点和股票类似。货币衍生产品组合的微分等

式为：

a2n

=rll

因此：O+（r—o）SA+gcr2s2==「口

类似的，对于独立于期货价格的衍生产品组合，o+'b2s2「=「n

2

14.23假设要为$700亿的权益资产组合做个保险计划。假设此计划可防止资产

价值在一年内下跌不超过5%o做任何你认为必要的估计，计算如果在一

天之内市场下降23%,该组合保险计划的管理者应出售价值多少的股票或

期货合约？

解：可以把所有资产组合保险头寸看作一份单个的看跌期权。在下降23%之前,

三个已知参数为：So=7O,X=66.5,T=l0其他参数估计为r=0.06,。=0.25,

q=0.03□那么:

ln(70/66.5)+(0.06-0.03+0.25?/2)

=0.4502

4025

N（4）=0.6737

期权delta值为:

eqN（4）T

（0.6737-1）

=-0.3167

这表明，市场下降之前，必须卖出资产的31.67%或者$221.7亿。

下降以后，S°=53.9,X=66.5/=0.06,cr=0.25,7=1,4=0.03

ln(53.9/66.5)+(0.06-0.03+0.252/2)…一

aJ.=-----------------------------------------------=0.5953

10.25

N(4)=0.2758

期权delta值下降为

=e-o.o3xo.5(o2758-l)

=-0.7028

这表明，总共必须卖出资产的70.28%或者$492亿(以下跌前价格衡量)。

即，市场下降的结果导致大约270亿的附加资产必须被卖出。

Chl5

15.1美式期权的Delta、Gamma、Vega>Theta和Rho参数，哪一个可以通过构

造单一的二叉树图来估值？

解:就(15.8)、(15.9)和(15.10)及例15.2的计算知,Delta、Gamma和Theta

可以通过构造单一的二叉树图直接估值；由Ve挚的定义知，可以通过对股

价波动率的微调，然后重新构造一个二叉树图间接估值；由Rho的定义知，

可以通过对利率的微调，然后重新构造一个二叉树图间接估值。

15.2某不分红股票的美式看跌期权，有效期3个月，股票市价和执行价格均为

60美元，无风险利率为年率10%,波动率为45%o请构造时间间隔为一个

月的期的二叉树图模型为该期权估值。

解：已知S=X=60,厂=0.1,cr=0.45,T=3/12=0.25,A/=1/12»0.0833，则

由(15.4)—(15.7)有:

u=e。而=e°-45®丽1.1387

d=-0.8782

U

a=eW=e°」x°°8331.0084

a-d1.0084-0.8782n,nno

P=一斤=1-co0.4998

u-a1.1387-0.8782

l-p=1-0.4998=0.5002

计算二叉树图的结果如下:

由此可知，该期权的价格约为5.16美元。

15.3请解释当用树图法估计美式期权价值时，如何应用控制变量技术。

解：当用树图法估计美式期权价值时，控制变量技术主要有以下应用：

（1）利用二叉树图中常用的的方式对美式期权定价。（记为小）

（2）使用与（1）中相同的二叉树图，并保持所有的参数不变，对相应的欧式期

权定价。（记为先）

（3）使用B—S对欧式期权定价。（记为力s）

美式期权价格的估计值是fA+fBS-fE.

15.4某谷物期货的美式看涨期权，有效期为9个月，期货市价为198美分，执

行价格为200美分，无风险利率为年率8%,波动率为年率30%。请构造时

间间隔为3个月的二叉树图模型为该期权估值。

解:已知尸=198,X=200/=0.08,。=0.3,7=0.75,4=3/12=0.25,则有：

"=”疝=心3厄1,1618

1_1

0.8607

厂1.1618

C_0.08x0.251

—匕—v1

_a-d_1-0.8607

y0.4626

'—"-「1.1618-0.8607

1-/7=0.5374

计算二叉树图的结果如下:

由此可知，该期权的价格约为20.34美元。

15.5试想一个期权，其最终收益为期权有效期期末的股票价格高出有效期期中最

低股价的部分。试问这■-期权能否用二叉树图方法定价？请解释说明。

解：这一期权不能用二叉树图方法定价。原因如下：

此题中最终收益为期权有效期期末的股票价格高出有效期期中最低股价的

部分，即其最终收益不仅与股票在期末时的价格有关，而且决定于股票价格

的运动路径，故我们不能使用二叉树图方法从后向前推算，从而不能使用二

叉树图方法对该期权定价。

15.6"对于支付红利的股票，其股价的树图不重合，但从股价中减去将来的红利

的现值之后，其树图重合。”请解释这一论述。

解：假设在某时间段内股票将支付价值为D的红利，S为股票的初始价格，则

股票的在该时间段的期末价格将变为Su—D或Sd—D,在下一个时间段的

期末价格将变为(Su—D)u、(Su-D)d、(Sd—D)u及(Sd—D)d中的某一个

值，由于u与d不相等，故(Su—D)d与(Sd—D)u是不可能相等的。这表明

对于支付红利的股票，其股价的树图不重合。但是，当开始时就将将来的

红利的现值从股价中剔除后(即减去将来的红利的现值后)，其树图必然重

合。

15.7请说明在脚注6所示的情况下，应用Cox、Ross和Rubinstein的二叉树图

方法时，概率将出现负值。

解:在脚注6所示的情况下，cr<卜尸-即(r-g)VZF>-0■或(r-q)VZF<cr,

故有疝或底，止匕即:

a<d或a>w

则概率或l.p二胃＜0。

15.8当股指美式期权的标的股指的红利收益率为时间的函数时，你如何用二叉

树方法对该期权定价？

解：当股指美式期权的标的股指的红利收益率q为时间t的函q(t)时，以下式子

仍然成立：

d=e。而

11=厂内

a=e(r-g(，))A，

pa(t)-d

1u-d

由以上式子可知，“、d独立于时间而a、p依赖于时间"当用二叉

树方法对期权定价时，二叉树图的形态仅依赖于〃、d,故标的股指的红

利收益率为时间的函数与其为常数所用的二叉树图的形态相同，不同的是

在计算每个不同时间对应节点处的期权的价值时，p值应该随着时间作相

应的调整，然后重复与收益率为常数时计算期权价值的程序。

15.9请解释说明为什么蒙特卡罗模拟不适用于于美式衍生证券的定价。

解：由于在用蒙特卡罗模拟方法计算风险中性世界中衍生证券的样本价值时，依

赖于该衍生证券标的变量的路径的模拟，在每次的模拟中，标的变量的价值

就首先在4时刻确定，然后在24时刻确定，然后3Af等等。这样在时刻

(i=0,1,2…)就不可能决定提请执行期权是最优选择，原因是iAr时刻

可能的路径没有被考察。总之，蒙特卡罗模拟是沿着时间从，到T顺次进行

的，不适用于于美式衍生证券的定价。

15.10某个不付红利股票的美式看跌期权，有效期为1年，执行价格为18美元。

股票市价为20美元，无风险利率为年率15%,股价的波动率为年率40%。

请将该有效期等分为四个时间段，每个时间段为期三个月。用树图方法对该

期权定价。请用控制变量技术对这一估计进行修正。

解：已知S=20,X=18/=0.15,cr=0.40,7=1,4=0.25,由此可计算二叉树

的有关参数如下:

〃=e"=e（）.4庇1,2214

0.8187

厂1.2214

a=""=e°15x0.25La

_1.0382-0.8187

P=u-d=1.2214-0.81870.5450

1-/7=0.4550

(1)利用二叉树法对该美式看跌期权定价如图15.3所示，由此得该美式看跌

期权的价格约为1.29美元。

(2)利用二叉树法对该看跌期权对应的欧式期权定价如图15.4所示，由此得

该看跌期权对应的欧式期权价格约为1.14美元。

(3)用Black—Scholes公式对该看跌期权对应的欧式期权定价如下：

,ln(S/X)+(r+o~2/2)Tln(20/18)+(0.15+04()2/2)xl

0.8384

1—o-VF-o.4oVI

,ln(5/X)+(r-o-2/2)Tln(20/18)+(0.15-0.402/2)x1

di—-------.-----=----------=------0.4384

N(—d。0.2009,N(—d2)0.3306

故该看跌期权对应的欧式期权价格为：

Xe-rTN{-di)-Si)=1Se-0'5x'x0.3306-20x0.20091.10

故用控制变量法计算出的修正值为1.29+1.10-1.14=1.25美元。

注：保留小数点后四位有效数字。

注：保留小数点后四位有效数字。

图15.4

15.11某个白银金属期货的美式看涨期权，有效期为1年，执行价格为9美元。

期货合约的市价为8.50美元，无风险利率为年率12%,期货价格的波动率

为年率25%。请将该有效期等分为四个时间段，每个时间段为期三个月。用

树图方法对该期权定价。请用控制变量技术对这一估计进行修正。请估计该

期权的Delta参数。

解：已知T—1,X=9,f=0.85,r=0.12,b=0.25,4=3/13=0.25,由此得:

d=—0.8825

1-0.8825

0.4689

u-d~1.3331-0.8825

1—p=0.53U

(1)利用二叉树法对该美式看涨期权定价如图15.5所示，由此得该美式看涨

期权的价格约为力=0.60美元。

(2)利用二叉树法对该看涨期权对应的欧式期权定价如图15.6所示，由此得

该看涨期权对应的欧式期权价格约为%=0.59美元。

(3)用Black—Scholes公式对该看涨期权对应的欧式期权定价如下：

,ln(F/X)+(cr2/2)7,ln(8.50/9)+(0.252/2)xl

(11=----------=--------=----------------0.103o

ay/r0.25*

ch=dLcrVr=-0.1038-0.25x&=-0.3538

N(di)=N(-0.1038)0.4587

N(d2)=N(—0.3538)0.3618

故该看涨期权对应的欧式期权价格为：

fis=S-Xe-rTN(d2)=8.5x0.4587-9xe-0'25xlx0.36180.57

故用控制变量法计算出的修正值为：

力+加一%=0.60+0.57—0.59=0.58美元。

(4)对应于(1)的Delta参数为：

1.1052-0.1802

'Su-Sd9.6314-7.5013'、'

对应于(2)的Delta参数为：

A»,s=N(di)-0.4587

对应于(3)的Delta参数为：

故用控制变量法计算出的Delta参数修正值为:

AA+ABS-AE0.47

注：保留小数点后四位有效数字。

图15.5

注：保留小数点后四位有效数字。

15.12主要市场指数MMI的美式看跌期权，有效期为两个月，执行价格为480。

目前的指数水平为484,无风险利率为年率10%,股票指数年红利收益率为

3%,指数的波动率为年率25%o请将该有效期等分为四个时间段，每个时

间段为期半个月。用树图方法对该期权定价。

解：已知：

S=484,X=480,r=0.10,。=0.25,T=1,,q=0.03,T=2/120.1667,X=0.0417

由此可计算二叉树的有关参数如下:

疝=於.25»171.0524

1_1

«=1.05240.9502

Ar-q)M_〃(0.10—0.03)x0.25

c-e1.0029

_«-6/_1.0029-0.9502

〃==1.0524-0.95020.5160

l-p=0.4840

计算二叉树图的结果如下:

由图15.7知该期权价格约为14.93美元。

15.13某个股票的美式看涨期权，有效期为6个月，预计在第二个和第五个月的

月末将支付每股1美元的红利。该股价的市价为30美元，执行价格为34

美元,无风险利率为年率10%,不支付红利的股价部分的波动率为年率30%o

请将该有效期等分为6个时间段，每个时间段为期1个月。用树图方法对该

期权定价。并且将这一结果将Black近似方法得到的结果（参见第11.12节）

相比较。用该树图估计该期权的Delta和Theta参数。

解：（1）已知：

5=30,X=34,r=0.10,<T=0.30,7=6/12=0.50,A/=7/60.0833,

为=2/120.1667,T2=5/120.4167,D,=£>：=1

由此可计算二叉树的有关参数如下:

u=e。瓜=6。3。*加丽1,0904

,11

d———=--------।0.9171

U1.0904

C-0内—,0.10x0.30

Ct一匕一V1.0084

p=0.5268

u-a

1-/9=0.4732

期权有效期内红利的现值为:

D=。/用=e-oio><oi667+e-o.ioxo.4i67美元。

所以S*=S-。=30—1.94=28.06美元。根据以上条件，可以模拟S*的

二图如图15.8,根据图15.8得出S的二图如图15.9。由图15.9,得出该

股票的美式看涨期权的价格约为0.91美元，并可估计Delta和Theta参

数分别如下：

1.54-0.22

△=--------=----------------u.z/

Su-Sd32.56-27.69

cf2、一foo0.42—0.91„

0=-———=----------2.92

2加2x0.0833

(2)Black近似方法计算该股票的美式看涨期权的价格:

由于

X(1—e-⑴-加)=34(l-e-°10x0-25)0.84<1

X(l-e-"F>)=34(1-e-°」°'°0833)0.28<1

故存在提前执行的可能。现比较在提前执行期权预提前执行期权的情

况下，该股票的美