2024年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

2024年广东省广州市海珠区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.—之的相反数是（）

11

22CD

A.-2--2-

2.简华字典》是新中国最有影响力的现代汉语字典，阖华字典》自1950年开头启动编

写和出版工作，至今已历经70余年，出版至第12版，从1953年版本收录单字6840个（含异体

字），到12版收录13000字，收字数增加了将近一倍，将“13000”用科学记数法表示为（）

A.0.13x104B.1.3x106C.1.3x104D.13x103

3.下列运算正确的是（）

A.C=±3B.a，+d2=a4C.|3.14—兀|=0D.7~2+4~3=V~5

4.如图，在矩形4BCD中，对角线交于点。，已知NBOC=120°,

AB=3,则AC的长为（）

A.3B.CC.2V-3D.6

5.2。是ABC的角平分线，若4B=4,BD=3,则点。到

AC距离为（）

A.3B.4C.5D.6

6.如图，数轴上的点4可以用实数a表示，下面式子成立的是（）।।4।।

-2-I0I

A.|a|>1B.|a—1|=a—1C.a+1>0D.—<1

7.某校为了了解本校同学课外阅读的状况，现随机抽取了部分同学，对他们一周的课外阅

读时间进行了调查，并绘制出如图统计图，依据相关信息，下列有关课外阅读时间（单位：小

时）的选项中，错误的是（）

人数

A.本次抽取共调查了40个同学B.中位数是6小时

C.众数是5小时D.平均数是5.825小时

8.若点4（一1,%）,B（、厂2y2），。（4己%）在反比例函数的图象丫=：上，则%、％、%的大

小关系是（）

A.yi>y2>y-iB.y3>y2>C.yi>y3>y-iD.y2>y3>Yi

9.仇章算术》中有一道题的条件是：“今有大器五小器一容三斛,大器一小器五容二斛

大致意思是：有大小两种盛米的桶，5大桶加1小桶共盛3斛米，1大桶加5小桶共盛2斛米，依

据该条件，求1个大桶和1个小桶分别可以盛多少斛米？设1个大桶盛x斛米，1个小桶盛y斛米

,可列方程组（）

Af5x+y=3°（x+5y=3-（5%+3y=1「（3x+y=5

A-u+5y=2B-（5x+y=2C,（x+2y=5D-\2x+5y=1

10.已知二次函数y=a久2+b久+c,y与自变量x之间的部分对应值如表所示.下列结论：

①abc>0；当②一2<久<1时，y>0；③4a+2b+c>0；④关于x的一元二次方程a/+

bx+c+3=0（a丰0）的解是=-3,x2—1.其中正确的有（）

X-3-2-10

y-3010

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

11.分解因式3x—6-.

12.已知：如图，点。在边AB上，若Nl=Z时，则△ADCsA

ACB.

13.如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若41=

38°,贝吐2=.

14.若关于x的一元二次方程（a-l）x2-ax+a2=0的一个根为1,则a=.

15.若直线y=2x和y=k久-2相交于点Q（-3,m）,则关于x的不等式（2-k）x<-2的解集

是______

16.如图，点D为等边三角形ABC边BC上一动点，4B

以4。为边作正方形2DEF,连接CE、CF,则当BD=

CEF的面积为最小值______.

三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（本小题8.0分）

解不等式组：.一

U—2%<3

18.（本小题8。分）

如图，O。中，AB=CD,求证：4ABEmDCE.

19.（本小题8.0分）

a+b_a2—b2

已知:M=

2a2b—2ab2a2—2ab+b2

(1)化简M；

(2)如图，a、b分别为圆锥的底面半径和母线的长度，若圆锥侧面积为24兀，求M的值.

20.(本小题8.0分)

梅雨季节来临，某电器店开头销售4、B两种型号的便携式小型除湿器，B型除湿器每台价格

是a型除湿器的1.5倍.销售若干周后，a型除湿器总销售额为20000元，B型除湿器销售额为

45000元，其中B型除湿器比力型除湿器多销售50台.求2型号的除湿器每台价格是多少元？

21.(本小题8.0分)

为熬炼同学的社会实践力量，某校开展五项社会实践活动，要求每名同学在规定时间内必需

且只能参与其中一项活动，该校从全体同学中调查他们参与活动的意向，将收集的数据整理

后，绘制成如图两幅不完整的统计图(五个综合实践活动分别用4BCDE表示)：

各项活动意向参加人数的条形统计图各项活动意向参加人数的扇形统计图

(1)扇形统计图中的几％=%,B项活动所在扇形的圆心角的大小是°.

(2)甲同学想参与4、B、C三个活动中的一个，乙同学想参与B、C、E这三个活动中的一个,

若他们随机抽选其中一个活动的概率相同，请用列表法或画树状图法，求他们同时选中同一

个活动的概率.

22.(本小题8.0分)

如图，AAB。中，4(0,4),B(-3,0),AB绕点B顺时针旋转与BC重合，点C在久轴上，连接4C,

若反比例函数y=:与直线4c仅有一个公共点E.

(1)求直线AC和反比例函数y=孩的解析式；

(2)把AACB沿直线4C翻折至以居。，4。与反比例函数交于点F,求△丸£)的面积.

23.(本小题8.0分)

已知：Rt△48c中，ZC=90°,BM1AB.

(1)尺规作图：求作的中点。，连C。并延长，交8M于点D(保留作图痕迹，不写作法);

(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求NBDC的余弦值.

条件①：△4。。和4<8。。的面积为51和52，且Si：S2=3：5；

条件②：ABOC和4人。。的周长为6和。2，且G—C2=4C-

M

24.(本小题8.0分)

如图1,Rt^ABC^,NB4c=90。，在28边上找一点。，以B。为半径作圆.分别交BA,BC于

点。，E.4E是O。的切线.且DE=3C，CE=4V-5.

图1图2

(1)证明：乙4EC=N4CE；

(2)求。。的面积；

(3)如图2,过点力作BC的平行线交。。点于点K,P为劣弧BR上一动点，连接4P,在4P上取

点尸，使得乙DFP=4ABE,连接CF交力D于”，求得的最大值.

25.(本小题8.0分)

二次函数月=mx2—2mx—3的图象记为G「

(1)请直接写出二次函数月=mx2-2mx-3与y轴的交点4及其对称轴；

(2)若二次函数yi=爪/一2很久一3过点其与x轴的另一个交点为C,抛物线G】上是

否存在点N,使AACN是直角三角形，若存在，恳求出点N的横坐标，若不存在，请说明理由；

(3)在(2)的条件下，二次函数为=a/+6%+c的图象为G2,且夹在直线y=2x-7与抛物线

G］之间，二次函数丫2同时符合以下三个条件：

①当p-4<x<2-p时,二次函数%=ax2+bx+c最大值与最小值之差为9；

②当-5<xW—2时，月随久的增大而减小；

③若把图象G2向左平移3个单位，当-5WXW-2时，为随”的增大而增大；

求实数p的值.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：-颛勺相反数是看

故选：C.

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案.

本题考查相反数，关键是把握相反数的定义.

2.【答案】C

【解析】解：将13000用科学记数法表示为1.3x104.

故选：C.

科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中lW|a|<10,n为整数.确定n的值时，要看把原

数变成a时，小数点移动了多少位，门的确定值与小数点移动的位数相同.当原数确定值210时，

九是正数；当原数的确定值<1时，n是负数.

此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX的形式，其中1<|a|<io,n

为整数，表示时关键要正确确定a的值以及几的值.

3.【答案】B

【解析】解：4、C=3,故A不符合题意；

B、a64-a2=a4,故8符合题意；

C>|3.14-7r|=nr—3.14,故C不符合题意；

D、，至与「不能合并，故。不符合题意；

故选：B.

依据同底数塞的除法，确定值，算术平方根的意义，二次根式的加法法则，进行计算逐一推断即

可解答.

本题考查了同底数塞的除法，实数的运算，精确娴熟地进行计算是解题的关键.

4.【答案】D

【解析】解：在矩形ABCD中，

OB=0C,

・••Z.OCB=乙OBC,

•••乙BOC=120°,

•・•OA=OBf^AOB=60°,

为等边三角形.

AB=AO=3,

AC=2AB=6,

故选：D.

由矩形的性质可得到。4=。8,于是可证明AAB。为等边三角形，于是可求得答案.

本题主要考查的是矩形的性质、等边三角形的性质和判定、求得4。的长是解题的关键.

5.【答案】A

【解析】解：作DH14C于H,

•••2。是Rt△ABC的角平分线，DB1AB,DH1AC,

BD=DH,CHA

•••BD=3,

DH=3,

•・・点。到AC距离为3,

故选：A.

作。“1AC于"，利用角平分线的性质得=D"，即可解决问题.

本题主要考查了角平分线的性质，娴熟把握角平分线的性质是解题的关键.

6.【答案】C

【解析】解：由数轴可知，一1<。<0,

•••\a\<1,A选项错误；

\a-1\=1—CL,8选项错误；

a+1>0,C选项正确；

—->1,。选项错误.

a

故选：c.

有数轴学问得到a的取值范围，再推断选项正误.

本题考查了实数与数轴、确定值的定义，解题的关键是把握数轴学问和确定值的定义.

7.【答案】B

【解析】解：由统计图可得，

本次抽取共调查了6+14+8+5+7=40个同学，故选项A正确，不符合题意；

中位数是(5+6)+2=5.5,故选项8错误，符合题意；

众数是5,故选项C正确，不符合题意；

平均数是：4x6+5xl4+?：8+7x5+8x7=5.825,故选项。正确，不符合题意；

故选：B.

依据统计图中的数据，可以推断各个选项中的说法是否正确，本题得以解决.

本题考查众数、中位数、加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.【答案】D

【解析】解：•••反比例系数k=4>0,

・•・函数在第一、三象限，在每个象限内的函数值随x的增大而减小，

V-1<0<7_2<AO>

yi<0<y3<y2,

,,,%>%>为，

故选：D.

先由k=4>0得到函数在第一、三象限，在每个象限内的函数值随x的增大而减小，然后依据点

的坐标特征以及函数的增减性得到为，丫3的大小关系.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知反比例函数的增减性.

9.【答案】A

【解析】解：由题意得

故选：A.

直接利用5个大桶加上1个小桶可以盛米3斛，1个大桶加上5个小桶可以盛米2斛，分别得出等式组

成方程组求出答案.

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组的学问，正确得出等量关系是解题关键.

10.【答案】B

【解析】解:①•.•图象经过点(0,0),

••・c=0,

・•・abc=0,故说法错误；

②,・,由于二次函数y=ax2+b%+c有最大值，

a<0,开口向下，

•・・抛物线与工轴的交点为(一2,0)和(0,0),

・••当—2V%<0时，y>0,

，当一2<%V1时，y>0,故说法正确；

③当久=2时，y<0,

4a+2Z)+c<0,故说法错误；

④•・•对称轴为直线第=——1，

•••点(—3,—3)关于直线久=—1的对称点是(L—3),

•,・关于］的一元二次方程a/++。+3=0(aH0)的解是%i=-3,x2=1,故说法正确.

故选：B.

依据图象经过点(0,0),得出c=0由此推断①；观看图表可知，开口向下，依据抛物线与1轴的交

点，即可推断②；依据％=2,y<0即可推断③，二次函数y=ax2+bX+c在％=-2与％=0时，

y值相等，得出对称轴为直线久=-1,即可依据抛物线的对称性求得点(-3,-3)关于直线i=-1的

对称点是(1,-3),即可推断④.

本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征,二次函数与方程的关系，

二次函数的性质，难度适中.能够从表格中猎取信息确定出开口方向和对称轴是解题的关键.

11.【答案】3(%-2)

【解析】解：3%-6=3(%-2).

故答案为:3(x-2).

用提取公因式法分解.

本题考查了整式的因式分解，把握提公因式法是解决本题的关键.

12.【答案】B

【解析】解：•，/-DAC=/.CAB,

当N1=NB时，&ADCFACB.

故答案为：B.

由相像三角形的判定：有两角对应相等的两个三角形相像，即可得到答案.

本题考查相像三角形的判定，关键是把握相像三角形的判定方法.

13.【答案】520

【解析】解：如图.

由题意得，a//b,z3=90°.

z.2+z3=z.4.

•••zl=38°,

Z4=180°-N1=142°.

•••N2+43=142°.

z.2=142°-90°=52°.

故答案为：52。.

依据平行线的性质、邻补角的定义解决此题.

本题主要考查平行线的性质、邻补角，娴熟把握平行线的性质、邻补角的定义是解决本题的关键.

14.【答案】-1

【解析】解：把x=1代入(a-1)/-a%+a?=0中，得

a1—1,

a=+1,

由题意得：

a—1。0,

■■■a1,

ci=-1,

故答案为：-1.

依据题意把久=1代入方程(a-1)/-ax+a?=1中，可得a=±1,然后依据一元二次方程的定

义可得aKl,即可解答.

本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，娴熟把握一元二次方程的定义是解题的关

键.

15.【答案】%>-3

【解析】解：把(2(-3,771)代入丫=2%得：m=-6,贝的坐标是

3,—6).

所以2久=kx—2的解是久=—3,

不等式(2—k)x<—2即2K<kx-2,

依据图象，得：不等式的解集是：%>-3.

故答案为：%>-3.

首先求得Q的坐标，不等式(2-k)久<-2,BP2%<fc%-2,依据图象即可直接求得解集.

本题考查了一次函数与一元一次不等式的学问，解题的关键是求得根的值，然后利用数形结合的

方法确定不等式的解集.

16.【答案】2—C

2

【解析】解：如图，过点/作41于点/,EK1BC交的延长线于点K,过点F作F”1ZC于

点”，过点。作。T1/C于点T.设。/=%.

••・△ABC是等边三角形，AJLBC,

.・.B]=CJ=2,A]=2V"3,

••・AD2=DJ2+AJ2=/+12,

•・•乙AJD=AADE=乙DKE=90°,

・•・乙DAJ+乙ADJ=90°,乙ADJ+Z.KDE=90°,

・•・乙DAJ=乙KDE,

AD=DE,

：^AJD=^DKE(AAS),

.・.DJ=DK=x,

•・•Z.ATD=乙AHF=^DAF=90°,

・•・^DAT+乙FAH=90°,Z.FAH+Z.AFH=90°,

•••^DAT=乙4F”，

•・•AD=AF,

••・△。兀4三△A”F(44S),

AT=FH,

1i

・・・”=衿=其％+2),

1i

...”=F/=4—久％+2)=3-"，

'S阴=S正方形ABCD-S^ADC-SRDCE-S^ACF

=x2+12-ix(2+%)x2AT3-i(%+2)xx-1x4x(3-1x)

=-—V~3x+6-2A/~~3>

1

・・•j>0,

曰,/+、［,,—r_L曰I/+、r4x^x(6—2V-3)—(A/-3)9—4A/-3“,—

•••eS掰有最小值，当久=q时，最小值为'---招--------=--一，此时BD=2-q.

故答案为：2—「，匕竽1

如图，过点4作41BC于点/,EK1BC交BC的延长线于点K,过点尸作FH1AC于点H,过点。作

DTAC于点T,设D/=久.构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题.

本题考查二次函数的最值，等边三角形的性质，正方形的性质等学问，解题的关键是学会利用参

数构建二次函数解决问题.

%-3<20

.【答案】解:

171-2x<3②'

解不等式①得：%<5,

解不等式②得：x>-l,

・•.不等式组的解集为：一l<x<5.

【解析】依据解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答.

本题考查了解一元一次不等式组，娴熟把握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.

18.【答案】解：由题意得：乙B=NC,

在AABE与ADCE中，

NAEB=乙DEC

Z.B=ZC

AB=CD

••.△ABE三△DCEQ44S).

【解析】首先利用圆周角定理得到NB=NC,然后利用A4s判定两三角形全等即可.

本题考查了圆周角定理及全等三角形的判定的学问，解题的关键是了解同弧所对的圆周角相等,

难度较小.

2

.【答案】解：(1)M

19')一2ab广{a—b)、•(，a+弁b)(a—b八)

_1

2ab'

(2)由题意得：jx27mxb=24TT,

则ab=24,

"-2x24_48,

【解析】（1）依据分式的除法法则化简；

（2）依据扇形面积公式求出代入计算即可.

本题考查的是圆锥的计算、分式的化简求值，把握扇形面积公式是解题的关键.

20.【答案】解:设4型号的除湿器每台价格是支元，依据题意可得：

20000,「八45000

=+50=工，

解得：x=200,

经检验x=200是原方程的解，

答：a型号的除湿器每台价格是200元.

【解析】设4型号的除湿器每台价格是x元，利用B型除湿器比4型除湿器多销售50台即可得出分

式方程，解之即可得出结论.

此题考查分式方程的应用，关键是依据题意得出分式方程解答.

21.【答案】1572

【解析】解：（1）由题意，得小％=420+右后;20%,

•••n%=100%-10%-20%-25%-30%=15%,

B项活动所在扇形的圆心角为：20%X360。=72。，

故答案为：15,72；

（2）如图所示，画树状图如下：

由图可知，共有9种等可能的状况，分别是：AB.AC.AD.BB、BC、BD、CB、CC、CD,其中,

两人同时选中同一个活动有2种，分别是：BB、CC,

二P（两人同时选中同一个活动）=

(1)先求出8所占的百分比，再用100%减去4B,C,E所占百分比即可得九，将8的百分比乘以360。

即可得到B项活动所在扇形的圆心角的大小；

(2)用列表法或树状图法得到全部等可能的结果数，再从中找出他们同时选中同一个活动的结果数,

利用概率公式求解即可.

本题考查条形统计图与扇形统计图的读图与计算，列表法或树状图法求等可能大事的概率，把握

列表法和树状图法求等可能大事的概率的方法是解题的关键.

22.【答案】解：⑴•••4(0,4),5(-3,0),

OA=4,OB=3,

・•・AB=V42+32=5，

•・•BC=AB,

OC=5—3=2,

・•・C(2,0),

设直线/C的解析式为y=fc%+4,

代入C(2,0)得，0=2k+4,

解得土二-2,

・•・直线AC为y=-2%+4,

令-2%+4=上整理得2/-4x+fc=0,

x

・・,反比例函数y=T与直线AC仅有一个公共点E，

4=0,即(-4)2-4x2xm=0,

解得771=2,

・••反比例函数的解析式为y=|；

(2)由题意可知48=BC=CD=DA.

・•・四边形ZBCD是菱形，

・•.AD//BC,

•••尸点的纵坐标为4,

把y=4代入y=|得，%=

1

•••Fa4)，

AF=p

AD=AB=5,

.AF_1

AD10

ii

•'-S^ACD=^LABC~辽BC,OA=2X5X4=10,

・•.△FCD的面积为9.

【解析】⑴利用勾股定理求得=5,依据旋转的性质得出BC=5,即可求得OC=2,即C(2,0),

利用待定系数法即可求得直线4c的解析式为y=-2x+4,令一2x+4=：,整理得2久2-4x+k=

0,与反比例函数y=；与直线AC仅有一个公共点E,则4=(-4)2-4X2XTH=0,解得租=2,

即可求得反比例函数的解析式为y=|；

(2)由题意可知4B=BC=CD=ZM,即可得出四边形力BCD是菱形，从而求得点F的坐标，得到

桨=1，由于S-CO=S"BC=；BC-O4=；X5X4=10,即可得出△FCD的面积为9.

ADJ.UZZ

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，旋转的性质，

轴对称的性质，三角形的面积，证得四边形4BCD是菱形是解题的关键.

23.【答案】解:(1)图形如图所示：

(2)选择条件①，过点C作CE14B于点E.

AO=OB,

CO=OA=OB,

•・,AB1BM,

SI=ACE,

,2：。•4S2=2>OB•DB,

Si：S2=3：5,

•••CE：BD=3：5,

•・•乙CEO=乙EBD=90°,

CE//BD,

.CE_CO_3

••丽―丽一寸

设C。=3%,则。。=5%,

CO=BO=3x,

在中，BD=VOD2-OB2=4x，

.-BD4x4

••・COSZ-DBDnC

OD5%5

选择条件②Cl=Of+。8+BC,C2=AC+AO+CO,

G—6'2—BC-ACf

Ci—C2=AC，

•••BC—AC—AC,

BC=2AC,

设AC=x,则BC=2%,AB=

：.OA=OB=OC=?x，

11

VYAC-CB=YAB-CE,

AC-BC215

・•・CE=H=M*

•・•EC“BM,

•••(ECO=Z.BDC,

EC-E-x4

•••cos乙BDC=cosZ-ECO=—=区=

L（JV55

~x

【解析】（1）作线段48的垂直平分线，垂足为0,连C。并延长，交BM于点D；

⑵选择条件①，过点C作CE14B于点E.由CE〃BD,推出需=需=|，设。°=3K，贝切。=5%,

CO=BO=3x,利用勾股定理求出BD,可得结论；

选择条件②由Cl=OC+OB+BC,C2=4。+4。+。。，推出。1一。2=BC-AC,由G-=人。，

推出BC-AC=AC,推出BC=2AC,设力C=x,则BC=2x,AB=yT5x,禾!J用面积法求出EC,

可得结论.

本题考查作图-简单作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等学问，解题

的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型.

24.【答案】⑴证明:连接。E,

・••4E是。。的切线，且点E在。。上，

・••Z.OEA=90°,

・•・乙OEB+Z.AEC=90°,

在。。中，OB=OE,

Z.OEB=乙B,

・•.+乙AEC=90°,

•・•A.BAC=90°,

・•・乙B+乙ACB=90°,

•••Z-AEC=Z.ACB；

(2)解：连接DC,过点/作4V1CE垂足为N,AN与CD交于点M,

•••80是。。的直径，

在RMDEC中，/-DEC=90°,

则CD=VDE2+CE2=V45+80=5门，

由(1)得NAEC=AACB,

AE—AC,

vANICEf

・•・N是CE的中点，

即CN=NE=，E=2底,

•・•乙BED=乙ANC=90°,

・•.DE//AN,

CMN~ACDE,

.CM_MN_CN_1

~CD=~DE=~CE=29

可得知是。。的中点，MN=p)E=

在中，AM=，CD=亨，

・•.AN=AM+MN=4底,

••・DE//AN,

BDEfBAN,

.BE_DE_3

••丽―丽—下

日nBE_3

艮BE+EN-I，

•••NE=2<T,

BE=6A/-5；

^.RtADEB^P，乙DEB=9Q°,

BD=VBE2+DE2=15,

115

•••r=-BD=—,

•••O。的面积=nr2=竽Jr；

4

(3)解:过点F作FQ14D于Q,由(2)知点M是CD的中点,

-1

在Rt△£)£1£1中，EM=^CD,

图2

故EM=AM=CM=DM=^CD,

D,E,C,力在以CD为直径的OM上，

•••Z-DFP=乙ABE,

・•・乙DFA=180°-乙DFP=180°-^ABE,

Z.OEA=Z.OED+Z-DEA=90°,

•・•乙DEB=Z-OED+乙OEB=90°,

・•・乙DEA=Z-OEB=Z.ABE,

・••Z.DFA+A.DEA=180°,

・・・点F在以CD为直径的。M上，

FQ1AD,

・•・（FQH=MAH=90°,

•・•乙FHQ=乙CHA,

.♦△FHQfCHA,

FHFQ

：.——=—,

CHCA

•・•乙DEB=（CAB=90°,

Z-B=Z-B,

DEB〜乙CAB,

.BD_DE_BE_15

''~BC~~CA~~AB~6c+4C'

・•・CA=10,AB=20,

——FH=—FQ,

CH10

当FQ最大时，瞿才有最大值，过M作MG12。于G,

Cn

在G）M中，DG=\AD=^=^=|,DM=|CD=

乙乙乙乙乙

在Rt△DMG中，MG=A/DM2-DG2=5，由点F在劣弧4。上，

当点Q与点G重合时，FQ取最大值，最大值为亨—5=|（，石—2），

故当Q为4。的中点时，霁有最大值，最大值为/（/亏-2）.

【解析】（1）连接。E，依据切线的性质得到NOEA=90°,求得NOEB+乙4EC=90°,依据等腰三

角形的性质得到NOEB=4B,于是得到结论；

（2）连接。C,过点4作AN1CE垂足为N,AN与CD交于点M,依据勾股定理得到CD=

VDE2+CE2=V45+80=5/可，由（1）得CN=NE="E=2，石，依据相像三角形的性质得

到累=等=殍得到M是CD的中点，于是得到“％=/。6=卑，依据相像三角形的性质

LUDr.ChZ22

得点而=p依据勾股定理得到BD=7BE2+DE2=15,依据圆的面积公式即可得到结论；

BE+EN4

(3)过点尸作FQ1AD于Q,由(2)知点M是CD的中点，依据直角三角形的性质得到EM=推

出。，E,C,4在以CD为直径的OM上，得至此以明+ND瓦4=180。，依据相像三角形的性质得

到翳=普=喘=A益K求得S=I。，AB=20,当FQ最大时，得才有最大值，过M作MG1

DCLA/IDOV5十□Ln

4。于G,依据勾股定理MG=7DM?—DG2=5,当点Q与点G重合时，FQ取最大值，最大值为

=|(/^-2).当Q为力。的中点时，最大值为］(口一2).

本题是圆的综合题，考查了切线的性质，相像三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，四

点共圆，正确地作出帮助线是解题的关键.

25.【答案】解：(1)抛物线的对称轴为x=胃=1,

对于%=—3,令x=0,则为=-3,即点4(0,-3)；

(2)存在，理由：

将点B的坐标代入抛物线表达式得：0=?n+2nl-3,则=1

故抛物线的表达式为：y=x2-2x-3@,

由抛物线的表达式知，。/1=0C=3,则直线2C和久轴的夹角为45。

当NBHC为直角时，则直线4N和万轴负半轴的夹角为45。，

故设直线4N的表达式为：y=一久一3②，

联3£。)回)得：比2—2%—3=-x—3,

解得：%=