广东省广州市花都一中2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题

花都区第一中学20232024学年高二上学期10月段考试题数学测试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的铅笔或签字笔将自己的姓名和考号写在答题卡上.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效.第一部分选择题一、单选题．（本题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题列出的选项中，进出符合题目的一项）1.在空间四边形中，等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面向量的加法运算法则，即可求解.【详解】.故选：C2.直线l经过两点，则直线l的倾斜角是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据斜率公式及倾斜角范围求解.【详解】因为线l经过,所以，即，因为，所以，故选：B3.如图所示,在正方体中,点F是侧面的中心,设,则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据空间向量基本定理将转化为即可选出答案.【详解】解:由题知,点F是侧面的中心,为中点,则,故选:A4.空间四边形中，等于（）A. B.0 C.1 D.不确定【答案】B【解析】【分析】令，利用空间向量的数量积运算律求解.【详解】令，

则，，.故选：B5.已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若，则＝（）A.﹣3 B.3 C.6 D.9【答案】B【解析】【分析】根据线面垂直的向量表示即可求解.【详解】因为，所以，解得，所以.故选：B6.已知为直线l的方向向量，、分别为平面、的法向量（、不重合），那么下列说法中：①；②；③；④其中正确的有（

）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】利用空间向量法分别判断即可得到答案.【详解】因为、不重合，对①，平面、平行等价于平面、的法向量平行，故①正确；对②，平面、垂直等价于平面、的法向量垂直，故②正确；对③，若，故③错误；对④，或，故④错误.故选：B7已知向量，，且，那么等于（）A. B. C. D.5【答案】C【解析】【分析】先根据向量垂直数量积为零求坐标，再根据坐标求模长计算即可.【详解】因为，，且，所以，即，所以，所以，故选：C．8.在三棱锥中，平面，，，则直线与夹角的余弦值是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】过B作Bz//AS.以分别为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.不妨设，则，，，.所以,.设直线与夹角为，则.故选：C.二、多选题.（本题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的选项中，有多项符合题目婴求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知向量，，则下列正确的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项计算判断作答.【详解】向量，，则，A正确；显然，B正确；由数量积的定义得，C错误；显然，则，即有，D错误.故选：AB10.下列说法正确的是（）A.直线的倾斜角取值范围是B.若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为C.平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率D.直线的倾斜角越大，其斜率就越大【答案】AC【解析】【分析】根据直线倾斜角和斜率关系判断各项的正误.【详解】A：直线倾斜角范围为，正确；B：当直线斜率为，则该直线的倾斜角为内正切值为的角，错误；C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确；D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误.故选：AC11.已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.和夹角的余弦值是 D.平面的一个法向量是【答案】BD【解析】【分析】根据向量共线定理可判断A；根据单位向量的概念可判断B；由向量夹角的余弦公式可判断C；根据法向量的特征可判断D.【详解】因为，，，所以，，，对于A：若存在实数使得，则，显然方程组无解，所以不存在使得，即与不共线，故A错误；对于B：因为，所以与同向的单位向量，故B正确；对于C：，故C错误；对于D：设平面的法向量，则，取，得，故D正确；故选：BD12.如图，正方体的棱长为2，动点分别在线段上，则（）A.异面直线和所成的角为B.点到平面的距离为C.若分别为线段的中点，则平面D.线段长度的最小值为【答案】BCD【解析】【分析】利用异面直线所成角方法求解即可判断选项A，利用等体积法求解点到面的距离即可判断B，利用线面平行的判定定理判断选项C，建立空间直角坐标系利用向量共线的性质建立关系式，然后利用两点间的距离公式表示出来分析即可判断选项D.【详解】因为，所以异面直线和所成的角即为和所成的角，因为，所以为等边三角形，即，故错误.连接如图所示：点到平面的距离为，因为，所以.因为，所以，所以点到平面的距离为，故B正确，当分别为线段的中点时，则为的中位线，所以，又平面，平面，所以平面，故C正确.以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：则，设，，所以，所以，设，，又所以，所以，所以当时，有最小值，即，故D选项正确，故选：BCD.第II卷（非选择题）三、填空题.（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.过点斜率为3的直线的点斜式方程是______【答案】【解析】【分析】由点斜式方程的定义和特征即可求解.【详解】由题意知：斜率为3，点为，故点斜式方程为：故答案为：14.已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面外一点O，满足，则_____________．【答案】【解析】【分析】根据题意和空间向量的基本定理列方程，解之即可求解.【详解】由题意得，因为A、B、C、D满足四点共面且任意三点不共线，，所以，解得.故答案为：4.15.—个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)，则该四面体的体积为________.【答案】【解析】【详解】分析：满足条件的四面体为正方体的一个角，利用三棱锥的体积计算公式即可得出结果.详解：如图所示，满足条件的四面体为正方体的一个角，该四面体的体积，故答案为.点睛：本题主要考查空间直角坐标系与三棱锥的体积计算公式，考查了空间想象力、推理能力与计算能力，属于中档题.16.二面角为，,是棱上的两点，，分别在半平面，内，，，且，，则的长为_____．【答案】【解析】【分析】将分解为，再求模即可.【详解】由题意，∵二面角为，，，∴与夹角为，∴与夹角为，，∴，即的长为.故答案为：.四、解答题.（本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明，证明过程成演算步骤）17.已知，.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)利用空间向量夹角公式的坐标运算直接求解；(2)根据两向量的共线定理，利用坐标运算求解.【小问1详解】由已知可得，，∴.【小问2详解】，，∵，∴存在实数使得，∴，，，联立解得.18.已知四边形的顶点.（1）求斜率与斜率；（2）求证：四边形为矩形.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用斜率公式求解即可；（2）利用直线平行与垂直的性质依次证得，，，从而得证.小问1详解】因为，所以，即.【小问2详解】因为，所以.又因为，所以，所以四边形为平行四边形，又因为，所以，所以四边形为矩形.19.在空间直角坐标系中，已知向量，，.（1）求，；（2）求平面BCD的一个法向量；（3）求点到平面BCD的距离.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意，直接写出结果即可；（2）根据题意，由平面法向量的计算公式，列出方程，然后计算，即可得到结果；（3）根据题意，由点到平面的距离公式，代入计算，即可得到结果.【小问1详解】由题意可得，，；【小问2详解】设平面BCD的一个法向量，则，即，令，则，，即，即平面BCD的一个法向量为；【小问3详解】点到平面BCD的距离，点到平面BCD的距离为.20.如图所示，四棱锥的底面是矩形，底面，，，，．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)建立空间直角坐标系，证明与平面的法向量垂直即可；(2)利用空间向量求线面角即可.【小问1详解】由题意知，，，两两互相垂直，以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，．底面，底面，又，，且平面,平面，所以是平面的一个法向量．因为，所以．又平面，所以平面．【小问2详解】因为，，，，，所以，，，设平面的法向量为，则由，解得，令，得平面的一个法向量为．设直线与平面所成的角为，则．故：直线与平面所成角的正弦值为．21.如图，在四棱锥中，，底面ABCD为菱形，边长为2，，，且，异面直线PB与CD所成的角为.（1）求证:平面ABCD;（2）若E是线段OC的中点，求点E到直线BP的距离.【答案】（1）证明见解析（2）.【解析】【分析】（1）根据线面垂直的性质定理、判定定理证明；（2）利用空间向量的坐标运算，求点到直线的距离.【小问1详解】因为四边形为菱形，所以,因为，平面，所以平面，因为平面，所以,因为，为中点，所以，又因为平面，所以平面.【小问2详解】以原点，方向为轴方向，建系如图，因为,所以为异面直线所成的角，所以，在菱形中，，因为，所以,设，则，在中，由余弦定理得，，所以，解得，所以,,所以,所以点E到直线BP的距离为.22.三棱柱中，侧面是矩形，，.（1）求证：面面ABC；（2）若，，，在棱AC上是否存在一点P，使得二面角的大小为45°？若存在求出，不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在点P满足条件，此时（即P是AC中点时）.【解析】【分析】（1）由题，根据平面与平面垂直的判