数学（人教版选修22）课件221第1课时综合法及其应用

第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1综合法和分析法第1课时综合法及其应用1．了解直接证明的证明方法——综合法，掌握其证明方法、步骤．(重点)2．了解综合法的思考过程、特点，会用综合法证明数学问题．(难点)已知条件定义定理公理推理论证结论已知条件定义定理公理证明的结论1．以下命题中正确的是(

)A．综合法是执果索因的逆推法B．综合法是由因导果的顺推法C．综合法是因果互推的两头凑法D．综合法就是举反例解析：综合法就是从已知条件(因)出发，利用已有知识进行证明结论(果)的方法．答案：B1．综合法是中学数学证明中最常用的方法，它是从已知到未知，从题设到结论的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断出发，经过一系列的中间推理，最后导出所要求证的命题．综合法是一种由因导果的证明方法．综合法的证明步骤用符号表示是：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒Pn(结论)综合法

2．综合法证明问题的步骤第一步：分析条件，选择方向．仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法．第二步：转化条件，组织过程．把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化．组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路．第三步：适当调整，回顾反思．解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取．3．综合法格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达是“∵，∴”或“⇒”．【想一想】综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．用综合法证明不等式

用综合法证明几何问题[思路探究](1)由B1C1＝A1C1，M为A1B1的中点可知C1M⊥A1B1，再根据C1M⊥A1A即可得证．(2)要证A1B⊥AM，可转化为证明A1B⊥平面AC1M.(3)要证面面平行，应转化证明线面平行．[自主解答](1)∵在直三棱柱ABC－A1B1C1中，B1C1＝A1C1，M是A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1.又∵C1M⊥A1A，A1A∩A1B1＝A1，A1A，A1B1⊂平面AA1B1B，∴C1M⊥平面AA1B1B.(2)∵A1B⊂平面AA1B1B，由(1)知C1M⊥平面AA1B1B，∴A1B⊥C1M.又A1B⊥AC1，AC1，C1M⊂平面AC1M，AC1∩C1M＝C1，∴A1B⊥平面AC1M.又∵AM⊂平面AC1M，∴A1B⊥AM.(3)在矩形AA1B1B中，易知AM∥B1N，AM⊄平面B1NC，B1N⊂平面B1NC，∴AM∥平面B1NC.又C1M∥CN，CN⊂平面B1NC，C1M⊄平面B1NC，∴C1M∥平面B1NC.又∵C1M∩AM＝M，C1M，AM⊂平面AC1M，∴平面AC1M∥平面B1NC.2．综合法证明问题的步骤：2．将本例条件“B1C1＝A1C1，AC1⊥A1B，M，N分别是A1B1，AB的中点”改为“AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点”，求证：(1)B1C∥平面A1BD.(2)B1C1⊥平面ABB1A1.证明：(1)如图，连接AB1.令AB1∩A1B＝O，则O为AB1的中点．连接OD，∵D为AC的中点，∴在△ACB1中，有OD∥B1C.又∵OD⊂平面A1BD，B1C⊄平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.(2)∵AB＝B1B，三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，∴四边形ABB1A1为正方形．∴A1B⊥AB1，又∵AC1⊥平面A1BD，A1B⊂平面A1BD，∴AC1⊥A1B.又∵AC1⊂平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，AC1∩AB1＝A，∴A1B⊥平面AB1C1.又∵B1C1⊂平面AB1C1，∴A1B⊥B1C1.又∵A1A⊥平面A1B1C1，B1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥B1C1.又∵A1A⊂平面ABB1A1，A1B⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B＝A1，∴B1C1⊥平面ABB1A1.用综合法证明数学中的其他问题1．综合法的特点是从“已知”看“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．2．综合法不但是数学证明中的重要方法之一，也是其他解答题步骤书写的重要方法，其特点是“执因索果”．综合法在数学证明中的应用非常广泛，用它不但可以证明不等式、立体几何、解析几何问题，也可以证明三角恒等式、数列问