数学（广东专用01新题型结构）-2024年高考押题预测卷（全解全析）

第第页2024年高考押题预测卷【广东专用01】数学·全解全析第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知某地最近天每天的最高气温（单位：）分别为，则天最高气温的第百分位数是（

）A．15 B．21 C． D．22【答案】C【详解】将此组数据从小到大排列：，且共有个数，因为，所以第百分位数为.故选：C.2．已知向量，若向量满足，且，则的值是（

）A． B．12 C．20 D．【答案】A【详解】由可设，由可得，解得，所以，则.故选：A3．已知数列为等比数列，为数列的前项和.若成等差数列，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设等比数列的公比为，若成等差数列，可得：，当时，此时恒成立，即为，得，即，显然不成立；当时，即为：，其中，得，得或（舍去），，故选：A.4．已知函数，，那么“”是“在上是增函数”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】当，,单调递增.则当时，是增函数,当时,在单调递增，可得在上是增函数；当时,在单调递增，可得在上是增函数；反之，当在上是增函数时，由，可知，此时，即不成立.所以“”是“在上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.5．“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成．若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5200的偶数个数是（

）A．87 B．129 C．132 D．138【答案】A【详解】若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有（个）；（①一个四位数为偶数，则其个位上的数字一定是偶数；②组成的四位数要大于5200，则其千位上的数字是5，7或8）若千位数字是7，则共有（个）；若千位数字是8，则共有（个）．故符合条件的四位数共有（个）．故选：A6．如图，四棱锥是棱长均为2的正四棱锥，三棱锥是正四面体，为的中点，则下列结论错误的是（

）

A．点共面 B．平面平面C． D．平面【答案】D【详解】选项A：如图，取中点，连接，，，，因为是正四棱锥，是正四面体，为的中点，所以，，，因为，平面，所以平面，因为，平面，所以平面，所以四点共面，由题意知，，所以四边形是平行四边形，所以，因为，所以，所以四点共面，故A说法正确；选项B：由选项A知，又平面，平面，所以平面，因为，且平面，平面，所以平面，又平面，平面，且，所以平面平面，故B说法正确；C选项：由选项A可得平面，又平面，所以，故C说法正确；D选项：假设平面，因为平面，则，由选项A知四边形是平行四边形，所以四边形是菱形，与，矛盾，故D说法错误;故选：D7．已知函数对均满足，其中是的导数，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】，令，求导得：，当时，当时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，对于A，，则，即，A正确；对于B，，则，即，B错误；对于C，，则，即，C错误；对于D，，则，即，D错误．故选：A8．已知椭圆的左焦点为，过作圆的一条切线交椭圆于，两点，若，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设直线，与椭圆联立，化简得，设，，则由根与系数的关系得①，又，所以，代入①得②，又直线与圆相切，所以，即，代入②整理得，得，因此椭圆的离心率，故B正确.故选：B．【点睛】将直线与椭圆联立后结合根与系数的关系及几何关系，从而求解.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若是非零复数，且，则 D．若是非零复数，则【答案】BC【详解】对于A项，若，，显然满足，但，故A项错误；对于B项，设，则，，故而，故B项正确；对于C项，由可得：，因是非零复数，故，即，故C项正确；对于D项，当时，是非零复数，但，故D项错误.故选：BC.10．在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有（

）A．B．若，则为直角三角形C．若为锐角三角形，的最小值为1D．若为锐角三角形，则的取值范围为【答案】ABD【详解】对于中，由正弦定理得，由，得，即，由，则，故，所以或，即或（舍去），即，A正确；对于B，若，结合和正弦定理知，又，所以可得，B正确；对于，在锐角中，，即.故，C错误；对于，在锐角中，由，，令，则，易知函数单调递增，所以可得，D正确；故选：ABD.11．已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（

）A． B．C．在定义域内单调递减 D．为奇函数【答案】BC【详解】对于，令，则，因，故得，故A正确；对于由，令，则，则，即，故是以为首项，2为公比的等比数列，于是，故B错误；对于，由题意，函数的定义域为，关于原点对称，令，则①，把都取成，可得②，将②式代入①式，可得，化简可得即为奇函数，故D正确；对于C，在上单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减，但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故C错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于对已知的函数抽象表达式的处理，一般以赋值化简为主，根据选项信息对自变量进行针对性赋值，求出函数值，或者推导出递推式，或者构造出的关系式即可判断奇偶性等.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合，则.【答案】【详解】，解得，故；，解得，故，故.故答案为：13．若的展开式中有理项的系数和为2，则展开式中的系数为．【答案】1【详解】时为有理项，，由系数：,故答案为：1.14．如图，将正四面体每条棱三等分，截去顶角所在的小正四面体，余下的多面体就成为一个半正多面体，亦称“阿基米德体”．点A，B，M是该多面体的三个顶点，点N是该多面体表面上的动点，且总满足，若，则该多面体的表面积为，点N轨迹的长度为．

【答案】【详解】根据题意该正四面体的棱长为，点分别是正四面体棱的三等分点．该正四面体的表面积为，该多面体是正四面体截去顶角所在的小正四面体，每个角上小正四面体的侧面面积为，每个角上小正四面体的底面面积为，所以该多面体的表面积为：．如图设点为该多面体的一个顶点，为所在棱的顶点，则，

在中，，则，所以，得，即；同理，，由，平面，所以平面．由点是该多面体表面上的动点，且总满足，则点的轨迹是线段，所以点轨迹的长度为：．故答案为：；四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．（13分）已知函数的图象经过点，且是的极值点.(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间和最值.【答案】(1)(2)增区间为，减区间为，最小值为，无最大值【详解】（1）解：由函数，可得， 1分因为函数过点，且是的极值点，可得，解得， 3分经检验符合题意； 5分所以函数的解析式为. 6分（2）解：由（1）知，令，解；令，解， 8分所以函数在上单调递增，在上单调递减， 10分所以，当时，函数取得最小值，最小值为，无最大值. 12分即函数的增区间为，减区间为，最小值为，无最大值. 13分16．（15分）如图1，在等边三角形中，，点分别是的中点.如图2，以为折痕将折起，使点A到达点的位置（平面），连接.(1)证明：平面平面；(2)当时，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， 1分由题意易知，，， 2分不妨设，则，由余弦定理可知，， 4分由勾股定理知，所以， 5分又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面； 7分（2）分别取中点，连接， 8分由余弦定理可知，而，显然，则，易知，，又平面，所以平面， 9分因为平面，所以，则两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则有，取，即， 12分设直线与平面所成角为，则， 14分所以直线与平面所成角的正弦值为. 15分17．（15分）已知某种机器的电源电压U（单位：V）服从正态分布．其电压通常有3种状态：①不超过200V；②在200V~240V之间③超过240V．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．(1)求该机器生产的零件为不合格品的概率；(2)从该机器生产的零件中随机抽取n（）件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时n的值．附：若，取，．【答案】(1)0.09；(2).【详解】（1）记电压“不超过200V”、“在200V~240V之间”、“超过240V”分别为事件A，B，C，“该机器生产的零件为不合格品”为事件D． 1分因为，所以，，． 4分所以， 6分所以该机器生产的零件为不合格品的概率为0.09． 7分（2）从该机器生产的零件中随机抽取n件，设不合格品件数为X，则， 9分所以． 10分由，解得． 13分所以当时，；当时，；所以最大．因此当时，最大． 15分18．（17分）如图，已知四边形的四个顶点都在抛物线上，且A，B在第一象限，轴，抛物线在点A处的切线为l，且．

(1)设直线的斜率分别为k和，求的值；(2)P为与的交点，设的面积为，的面积为，若，求的取值范围．【答案】(1)0(2)【详解】（1）设，，， 1分由轴得，点的坐标为，由得，，所以抛物线在点处的切线斜率为， 3分又，由得，所以，因为，， 5分所以； 7分（2）因为，所以，，所以直线的方程为，即， 8分由，得，所以，得，又直线的方程为，即，由，得，所以，得，所以直线的方程为，即，所以， 11分由，即，解得：， 12分因为，，所以，，所以， 15分又，所以，即的取值范围为. 17分【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立用解析思想解决几何问题，用点的坐标表示的坐标，从而达到解决几何问题的目的.19．（17分）已知数列的前项和为，若数列满足：①数列项数有限为；②；③，则称数列为“阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列为“10阶可控摇摆数列”，求的通项公式；(2)若等差数列为“阶可控摇摆数列”，且，求数列的通项公式；(3)已知数列为“阶可控摇摆数列”，且存在，使得，探究：数列能否为“阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.【答案】(1)或(2)(3)不能，理由见解析【详解】（1）若，则，