2024届河北省新高二年级上册数学期末考试试题含解析

2024届河北省新高二上数学期末考试试题

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看

作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30。，侧棱长为亚米，则以下说法不正确()

A.底面边长为6米B.体积为12百立方米

C.侧面积为24^/3平方米D.侧棱与底面所成角的正弦值为£

2.已知锐角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若向量)=(a-b,sinC),w=(c-^,sinA+sinB),

u1Z?]

m=0),则—I---tanC的最小值为。

c24

A.2B.2V3

2

「26n373

32

3.日常饮用水通常都是经过净化的，随若水纯净度的提高，所需净化费用不断增加.已知"水净化到纯净度为X%时

所需费用(单位：元)为。(力=鲁匕(80<^<100),那么净化到纯净度为95%时所需净化费用的瞬时变化率是()

元/t.

A.120B.160

C.-160D.-100

4.数学家歌拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到

垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知一ABC的三个顶点分别为A(L1),5(7,1),C(5,5),

则ABC的欧拉线方程是()

A.％+y—6=。B.x-y-2=0

C.2x-y-6=0D.x+2y-ll=0

5.已知双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4,虚半轴长为5,则双曲线的标准方程为()

A.­=122

B.土-匕=1

25161625

22DV---1

c"二=1

25161625

6.设S,是等差数列｛4｝的前"项和，若4=8,

52=13,则%二()

A.26B.-7

C.-10D.-13

7.已知函数/（犬）=三—12%,则（）

A.函数/(%)在0)上单调递增

B.函数/(%)(-8,。)上有两个零点

C.函数/(%)有极大值16

D.函数〃％)有最小值-16

8.直线y=H+l与曲线/(X)=alnx+A相切于点尸(1,2),则加+/=()

A.4B.3

C.2D」

9.已知直线/：龙+了一机=0与圆必+/=4交于A,B两点,。为原点，且QbO3=2，则实数机等于()

A.+y[6B.±2

C.土百D.土亚

10.若4(0,1,2),5(2,5,8)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()

A.（3,2,l）B.（l,3,2）

C.（2,l,3）D.（l,2,3）

11.函数尸/+/一入+1在区间［-2,口上的最小值为()

22

A.—B.2

27

C.11D.-4

12.函数丁=6一％的导函数为（）

A.y=-eB.y=-e~x

C.y=exD.y=e~x

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛q｝满足q=1,an+l=an+2"^',则。5=.

14.已知球。的半径为4,圆M与圆N为该球的两个小圆，A3为圆M与圆N的公共弦，AB=4,若OM=ON=3,

则两圆圆心的距离MN=

15.已知直线—2x+y+1=0在两坐标轴上的截距分别为a,b,贝!la+b=.

16.若一个球表面积为不，则该球的半径为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知｛4｝是公比不为1的等比数列，4=1,且%为出，%的等差中项.

（1）求｛%｝的公比;

（2）求｛4｝的通项公式及前"项和S,.

18.（12分）如图，已知抛物线（？：丁=2内（0〉0）的焦点为尸，抛物线C上的点到准线的最小距离为1

（1）求抛物线C的方程；

穹）过点尸作互相垂直的两条直线儿/2,与抛物线C交于4,8两点，，2与抛物线C交于C,O两点，M,N分别

为弦A3,CZ＞的中点，求|MFHNF|的最小值

19.（12分）已知数列｛4｝的首项4=1,其前"项和为S“，且满足S〃+i=S“+a”+l.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

117

⑵设b*=------,数列也｝的前“项和为7“，且(=数，求加

anan+230

20.(12分)如图，OP为圆锥的高，A8为底面圆。的直径，C为圆。上一点，并且AC=BC，E为劣弧上的一

点，且AB=6,OP=4.

(1)若E为劣弧的中点，求证：平面POE；

(2)若E为劣弧5c的三等分点(靠近点C),求平面PE。与平面PE3的夹角的余弦值.

21.(12分)已知直线4：2x—y+6=0和4：尤一丁+1=。的交点为P

(1)若直线/经过点P且与直线/3：4x-3y-5=0平行，求直线/的方程；

(2)若直线机经过点P且与两坐标轴围成的三角形的面积为5,求直线加的方程

22.(10分)某班主任对全班50名学生进行了作业量多少与手机网游的调查，数据如下表:

认为作业多认为作业不多总数

喜欢手机网游201030

不喜欢手机网游51520

总数252550

(1)若随机地抽问这个班的一名学生，分别求事件“认为作业不多”和事件“喜欢手机网游且认为作业多”的概率；

(2)若在“认为作业多”的学生中已经用分层抽样的方法选取了5名学生.现要从这5名学生中任取2名学生了解情

况，求其中恰有1名“不喜欢手机网游”的学生的概率

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D

【解析】连接底面正方形ABCD的对角线AC,交于点。，连接PO,则PO为该正四棱锥P-ABC。的高，即

平面ABC。，取CD的中点”，连接则NPM9的大小为侧面与底面所成，设正方形ABC。的边

长为。，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.

【详解】连接底面正方形ABCD的对角线AC,3。交于点。，连接PO

则PO为该正四棱锥P-A6CD的高，即POL平面ABC。

取CD的中点H,连接OH,PH,由正四棱锥的性质，可得PH工CD

由分别为的中点，所以OH//BC,则C组，CD

所以ZPHO为二面角P—CD—0的平面角，由条件可得ZPHO=30°

设正方形ABCD的边长为a,则O"=:，又=^PC2-CH2=.21--

2V4

a

的。OH2

则cos30=a=]=亏，解得<=6故选项A正确.

所以「”={21—?=26，「0=，。”2—0口2=(12—9=6

则该正四棱锥的体积为V=gx62><6=126,故选项B正确.

该正四棱锥的侧面积为4X-XCDXPH=2X6X2A/3=246,故选项C正确.

2

由题意NPCO为侧棱与底面所成角，贝！lsin/PCO=£e=g=E,故选项D不正确.

PCJ217

故选：D

p

2、C

【解析】由加=wO),得至!1(。一/?),(511174+$1113)=5111。,(。一，5/7),根据正弦、余弦定理定理化简得到A=£,

6

化简得到2+LtanC=^+^^+'tanC,再结合基本不等式，即可求解.

c2422tanC24

【详解】由题意，向量m=(a-b,sinC),n=(c-43b,sinA+sinB),

因为机=X〃(XwO),所以加//〃，可得(〃-Z?)(sinA+sin3)=sinC•(<?-，§/?),

由正弦定理得(Q-/?)(〃+6)=c(c-y/3b)，整理得/=/?2+c2-y[3bc，

又由余弦定理，可得"=与>=骨=冬

1Q3.「

—cosCH-----sinC后.

22=，3।1

sinC22tanC

g、ib1y/311

所以一+——tanC=——+--------+——tanC

C2422tanC24

717

因为ABC是锐角三角形，且人=—,可得<解得(<。(申

6八5兀「乃

0<------C<—

[62

所以tanC>A/3，

匚51〃迅1*2,

所以一H----tanC=------b+-tanC>-c—

c2422tanC242tanC243

当且仅当击即tanC=2G时等号成立,

故2+^tanC的最小值为38.

c243

故选：C

3、B

【解析】由题意求出函数的导函数，然后令x=95即可求解

【详解】因为C(x)=400°(80<x<100),

100-x

y=---------y

100-x(100-x)2

4000

贝！|C'(95)==160,

(100-95)

故选：B

4、B

【解析】根据一ABC的三个顶点坐标，先求解出重心的坐标，然后再根据三个点坐标求解任意两条垂直平分线的方程,

联立方程，即可算出外心的坐标，最后根据重心和外心的坐标使用点斜式写出直线方程.

<137>1

【详解】由题意可得ABC的重心为G.因为5(7,1),所以线段A3的垂直平分线的方程为x=4.因

为C(5,5),所以直线AC的斜率左=1,线段AC的中点坐标为(3,3),则线段AC的垂直平分线的方程为

尤=4fx=4

y=-x+6.联立〈/，解得<°，则_ABC的外心坐标为(4,2),故ABC的欧拉线方程是

y=-x+6y=2

y—2=^-----(x-4)=x-4,即x-y-2=0

-----4

3

故选：B.

5、D

【解析】根据双曲线的性质求解即可.

【详解】双曲线的焦点在y轴上，且实半轴长为4,虚半轴长为5,

y2f

可得a=4,b=5,所以双曲线方程为：匕-土=1.

1625

故选：D.

6、C

【解析】直接利用等差数列通项和求和公式计算得到答案.

［详解］§2=2%+〃=13,q=8,解得d=_3,故%=。1+61=8—18=—10.

故选：C.

7、C

【解析】对/'(x)求导，研究/Xx)的单调性以及极值，再结合选项即可得到答案.

【详解】/'(X)=3X2-12,由/'(尤)>0,得％<—2或%>2,由/(x)<0,得—2<%<2,

所以f(x)在2)上递增，在(-2,2)上递减，在(2,+8)上递增，

所以极大值为/(-2)=16>0,极小值为/(2)=-16<0,所以Ax)有3个零点，且无最小值.

故选：C

8、A

【解析】直线y=Ax+l与曲线/(x)="lnx+Z;相切于点P(l,2),可得左=1力=2,求得了(%)的导数，可得a=1,即可

求得答案.

【详解】直线丁=区+1与曲线/(x)=alnx+匕相切于点P(l,2)

将P(l,2)代入y=Ax+l可得:左+1=2

解得:％=1

/(%)=fllnx+Z?

•••/'(x)=-

X

由r⑴=；=1,解得:a=l.

可得/(尤)=lnx+b,

根据P(l,2)在)=lnx+b上

/(l)=lnl+b=2,解得:匕=2

故2a+/?=2+2=4.

故选:A.

【点睛】本题考查了根据切点求参数问题，解题关键是掌握函数切线的定义和导数的求法，考查了分析能力和计算能力，

属于中档题.

9、A

【解析】根据给定条件求出ZAOB,再求出圆。到直线/的距离即可计算作答.

【详解】圆炉+产=4的圆心。，半径厂=2,因04.08=2,则cosNAOB」।=不,

(JA\(JB\乙

而0<NAO5«万，则NA03=工，即_AO5是正三角形，点0到直线，的距离d=行，

3

Imlr-L

因此，d=—j==v3.解得加=±V^,

所以实数机等于土布.

故选：A

10、D

【解析】由题意可得首先求出直线上的一个向量A5,即可得到它的一个方向向量，再利用平面向量共线(平行)的

坐标表示即可得出答案

【详解】；4(0,1,2),5(2,5,8)在直线/上，

.,・直线/的一个方向向量A3=(2,4,6),

又•••(l,2,3)=g(2,4,6),

(1,2,3)是直线1的一个方向向量

故选：D

11、C

【解析】详解】y'=3x2+2x-l=(3x-l)(x+l),

令y>o,解得x〉g或x<—i；

令y<o,解得—i<x<g,.•.函数在［―2,—1］上递增，在,1,；］递减，在递增，

122

—1时，取极大值，极大值是2,》=彳时，函数取极小值，极小值是丁，

327

而x=-2时，y=-l,x=l时，y=2,故函数的最小值为一1,

故选C.

12、B

【解析】利用复合函数求导法则即可求导.

【详解】_/=(eT)=e~x-(-x)=0-，x(-l)=-H"，

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、16

【解析】由题设可得4+1-。“=2"-。应用累加法有%-%=23+22+21+2°,结合已知即可求生.

n

【详解】由题设，an+l-an=2-',

所以—%+。4—。3+。3—。2+-%=%_+2-+2'+20=15,又q=1,

所以%=16.

故答案为：16.

14、3

【解析】欲求两圆圆心的距离，将它放在与球心组成的三角形中，只要求出球心角即可，通过球的性质构成的

直角三角形即可解得

【详解】•••QV=3,球半径为4,

小圆N的半径为S，

•小圆N中弦长AB=4,作NE垂直于AB,

•*.NE=y/3,同理可得ME=百，在直角三角形ONE中，

,:NE=。ON=3,

乃

NEON=-,

6

n

：.AMON=-,

3

：.MN=3

故答案为：3.

15、--##-0.5

2

【解析】根据截距定义，分别令x=0,y=0可得.

【详解】由直线—2x+y+l=0,令x=0得y=—1,即b=—1

令y=。，得％=,，即〃=,，

22

故〃+/?=」.

2

故答案为：-大

2

16、

~2

【解析】设球的半径为H,代入球的表面积公式得答案

【详解】解：设球的半径为R,

则4兀内=不，得R2=J,即氏=工或R=(舍去)

422

故答案为：—

2

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、(1)-2

-

/9V-1o1(2)"

⑵《,=(-2),Sn=--——

【解析】(1)设数列｛4｝公比为式4，1),根据列出方程2%=%4+。或2,即可求解;

(2)：由(1)得到为=(-2)1,利用等比数列的求和公式，即可求解.

【小问1详解】

解：设数列｛%｝公比为q(q7D，

因为《为的等差中项，可得2%=%+%，即2%=44+%乡2,

即/+q_2=0,解得q=—2或4=1（舍去）,

所以等比数列｛4｝的公比为-2.

【小问2详解】

解：由(1)知％=1且q=—2,可得4=。］.01=(—2厂1,

%.（1-，）」（-2）”

1（-2）"

所以S,,=

~1+233-

18、（1）y2=4x

(2)8

【解析】(1)由抛物线C上的点到准线的最小距离为1,所以4=1,即可求得抛物线的方程;

2

14

(2)设直线AB的斜率为k,则直线CD的斜率为-丁，得到直线AB的方程为y=奴％-D,联立方程,求得％+%=—，

kk

进而求得M,N的坐标，得到耳的表达式，结合基本不等式，即可求解.

【小问1详解】

解：因为抛物线C上的点到准线的最小距离为1,所以3=1,解得。=2,

2

所以抛物线C的方程为y2=4x

【小问2详解】

解：由(1)可知焦点为F(L0),

由已知可得所以直线A3,的斜率都存在且均不为0,

设直线A3斜率为左，则直线的斜率为

k

所以直线AB的方程为y=k(x-l),

y=k(x-l)

联立方程，，消去x得62_4y-必=0,

y=4x

设点A(X1,Jl),5(X2,yi),则%+%=一，

k

__12

因为M(XM,JM)为弦A3的中点，所以y”=一(％+%)=7，

2k

由%—1),得如=字'+1=记+i,所以点四(乒+1,工

同理可得N(2k2+l,-2k),

所以加典=J'+l—1）2+（—21）2=2也2（左2+i）,

_241+/

k2

241+F1+k2

所以|MF||NF|=------------------X=4（'+网）22山4=8,

W

当且仅当g+ki,

即左=±i时，等号成立,

所以的最小值为8

19、(1)an=n

(2)n=4

【解析】(1)由条件得%+1-4=1,则利用等差数列的定义可得答案;

17

(2)利用裂项求和求出Tn,再根据Tn=—可求出n.

【小问1详解】

由sn+l=Sn+an+1得an+l-an=l,

从而数列｛%｝是以1为首项，1为公差的等差数列,

所以=〃；

【小问2详解】

,11\(11)

由(1)得d=-----=-----77

%A+2〃("+2)2\n〃+2J

Tn=bx+b2+b3+>+bn

1

2+£)

lf3_J_____

2(2〃+ln+2)

17

由(=4得lb?—27〃—68=0

又〃eN*，所以〃=4.

20、(1)证明见解析

⑵理

91

【解析】(1)推导出P。，平面ABC,POLBC,BCLOE,由此能证明平面POE

(2)推导出ACL3C,OC±AB,以。为原点，0c为x轴，08为丁轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系,

利用向量法能求出二面角O-PE-3的余弦值

【小问1详解】

证明：为圆锥的高，

..尸平面ABC,又BCu平面ABC,.•.尸OL3C,

E为劣弧的中点，，3C_LOE,

POOE=O,P0,0Eu平面POE,，吕。，平面POE

【小问2详解】

解：解：E为劣弧5c的三等分点(靠近点O,

QAB为底面圆。的直径，C为圆。上一点，并且AC=3C，

以。为原点，0C为x轴，08为V轴，0P为z轴，建立空间直角坐标系，

.•.0(0,0,0),尸(0,0,4),E当,1,0),C(3,0,0),8(0,3,0)

•••OP=(0,0,4),OE=(孚，；，0),「£=(孚，；，-4),PB=(0,3,-4)

设平面OPE的法向量〃=(x,丁，z),

n-OP=4z=0

则3J33，取x=l得〃=（i,—60）,

n-OE=^-x+-y=0

22

设平面PXB的法向量7〃=(a,b,c),

m-PE=a+—b-4c=0.ZB733

22，取3=1，Mm=（—,1,一）,

m-PB=3b-4c=0

设二面角O-P£-5的平面角为凡

2G

\m-n\

贝［|cos6=\cos<n,m>|=

mxn

二二面角。一PE—3的余弦值为公匣

91

21、（1）4x—3y+8=0

(2)2x—5y—10=0或8x—5y+20=0

【解析】(1)由已知可得交点坐标，再根据直线间的位置关系可得直线方程；

(2)设直线方程，根据直线与两坐标轴围成的三角形的面积，列出方程组，解方程.

【小问1详解】

2x-y+6=0fx=-5

解：联立44的方程.，八，解得/即尸(一5,T)

x-y+l=0U=—4

设直线/的方程为：4x—3y+c=0,将P(—5,T)带入可得c=8

所以/的方程为：4x-3y+8=0；

【小问2详解】

解：法①：易知直线加在两坐标轴上的截距均不为0,设直线方程为：-+-=1,

ab

'—5-41

-----1--