棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积问题3：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？问题4：棱柱、棱台、棱锥的体积公式如何推导？问题2：棱柱、棱锥、棱台的体积公式式什么？问题1：棱柱、棱锥、棱台的表面积如何计算？用的什么方法？阅读教材P114-115，思考以下几个问题：装修时，时常需要知道它们的表面积和体积以计算装修时所需要的用料、工时和花费如何计算多面体的表面积和体积呢？预备知识——平面图形的面积面积:平面图形所占平面的大小

S=ababAahBCabhabAr圆心角为n°rc预备知识——平面图形的面积特殊平面图形的面积正三角形的面积正六边形的面积正方形的面积aaa空间问题平面问题1.多面体的表面积公式初中阶段是通过怎样的方式研究长方体和正方体的表面积的？多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.棱柱的表面积=2

底面积+侧面积棱锥的表面积=底面积+侧面积棱台的表面积=上底面积+下底面积+侧面积棱柱、棱锥、棱台的展开图1.多面体的表面积公式多面体的表面积：围成它的各个面的面积之和。如：棱长为2的正四面体的表面积1.正六棱台的上，下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积.解：如图示，AB=6cm，A′B′=2cm，AA′=5cm.因此，正六棱台的表面积为ADBCFEA'D'B'C'F'E'教材116页棱柱、棱锥、棱台的体积2.多面体的体积公式(S,h分别为棱柱的底面积和高)(1)棱柱的体积：(2)棱锥的体积：(S,h分别为棱锥的底面积和高)(3)棱台的体积：(S',S分别为上/下底面积，h为棱台的高)思考1：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？思考2：棱柱、棱台、棱锥的体积公式如何推导？上底扩大上底缩小新知探究问题：同一摞白纸，当改变摆放白纸的形状时（如图所示），这摞白纸的总体积是否会改变？祖暅原理祖暅原理夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理：幂势既同，则积不容异。夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅原理

祖暅，字景烁，是著名数学家祖冲之的儿子，也是南北朝时代的伟大科学家。他于5世纪末提出祖暅原理。在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里提出相关结论，比西方国家的数学家早一千多年。幂势即同积不容异祖冲之祖暅（geng）祖暅原理“幂势既同，则积不容异”：两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。前后体积不变底面积和高都相等的棱柱，体积相等。底面积和高都相等的柱体，体积相等。两个等高的几何体，若在等高处的截面积总相等，则体积相等。结论：等底面积等高的两个锥体的体积相等祖暅原理——推导棱锥体积公式祖暅原理——推导棱锥体积公式将三棱柱分割成3个小三棱锥，由等底等高易证得V1=V2=V3123123棱台是由棱锥截出来的，因此可利用两个锥体的体积差，得到棱台的体积公式．推导棱台体积公式根据面积比=相似比的平方，得S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小柱体、椎体、台体体积公式的关系[变式]如图，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的表面积为_________,体积为_______.P119-1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，若四边形ABCD是边长为30cm的正方形，则该八面体的表面积为____.棱柱、棱锥、棱台的体积教材119页

P120-3.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，水面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点，则当底面ABC水平放置时，水面高为多少？解：设底面ABC的面积为S，

底面ABC水平放置时，水面高为h.棱柱、棱锥、棱台的体积3.如图，棱长为1的正方体的8个顶点中，有4个为正四面体的顶点，(1)这个正四面体与正方体的表面积之比为_________.(2)三棱锥B-ACB1的体积为_________.(3)正四面体B1-ACD1的体积为_________.(换底法)(割补法)求三棱锥体积通常可用换底法(也叫等积法).P116-3.广场的石凳：棱长为50cm的正方体石块截去八个相同的四面体，求表面积和体积(割补法)棱柱、棱锥、棱台的体积变式练习.“鲁班锁”玩具：每条棱的长均为2，则该鲁班锁玩具的表面积为（

）鲁班锁可看成是1个棱长为_______的正方体截去了8个底面边长为___，侧棱为___的正三棱锥所余下来的几何体.22鲁班锁可看成由6个边长为__的正六边形和8个边长为__的正三角形围成的多面体.P119-2.如图，将一个长方体沿相邻3个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体的体积之比.[变式]设长方体的长宽高分别为4,3,5，求棱锥B'-A'C'B的体积.(换底法)【变式2】.如图，正方体棱长为1，E,F分别为棱AA1,B1C上的点，求三棱锥D1-EDF的体积.(换底法)(割补法)S为底面面积，h为柱体高S分别为上、下底面面积，h为台体高S为底面面积，h为锥体高上底扩大上底缩小柱体、椎体、台体体积公式的关系课堂小结备选例题4.如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为4的正方形，EF//AB，EF=2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，EF⊥面FBC