2024年高考数学复习：与圆有关的证明和计算

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专题14与圆有关的证明和计算

■

啰炼内巾一

E

△ABE〜4ADC圆与直角母子型(2)

(1)切线判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线(定义法)

③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线

(2)切线判定常用的证明方法：

①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；

②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.

内』沙场点兵一

1.如图，在V/2C中，AB=AC,以22为直径作圆O,分别交5C于点。，交C/的延长

线于点E,过点。作于点H,连接£>£交线段04于点尸.

(1)求证：EH=CH；

(2)求证：。〃是圆。的切线；

⑶若E4=EF=1,求圆。的半径.

【答案】(1)证明见解析；

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(2)证明见解析；

⑶

2

【分析】(1)先判断出△如C是等腰三角形，即可得出结论；

(2)连接。£),先判断出△。£沙是等腰三角形，进而得出NOBD=,进而判断出

OD//AC,即可得出结论

(3)设e。的半径为心即。。=。8=厂，先判断出/=进而得出

ZFOD=ZEAF=ZEFA=ZOFD,得出DF=OD=r,BD=CDDE=r+1,进而得出

BF=BD=r+l,再判断出△AFDS^E/弘，得出比例式建立方程求解，即可求出答案.

(1)

证明：AB=AC,

.­.NB=NC,

又♦.•在O。中，NE=NB,

；.NE=NB=NC,

：./\EDC是等腰三角形，

■.■DH1EC,

：.EH=CH

(2)

证明：连接。。，如图1,

图1

•••OB=OD,

.•.V0D3是等腰三角形,

ZOBD=ZODB,

•••AB=AC,

ZABC=ZACB,

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/.ZODB=ZOBD=ZACB,

/.OD//AC,

DH1AC,

DHLOD,

•・・。。是©。的半径，

是圆。的切线；

(3)

连接ND,如图1,,

设。。的半径为「，即。。=08=r,

•••EF=EA,

AEFA=AEAF,

OD//EC,

ZFOD=ZEAF,

则ZFOD=ZEAF=ZEFA=ZOFD,

DF=OD=r,

:.DE=DF+EF=r+\,

•・・△EQC是等腰三角形，

CD=DE,

AB=AC,

.•・VZ5C是等腰三角形，

・・・/8是。。的直径，

AD1BC9

BD=CD,

：.BD=CD=DE=r+\,

在。。中，•:/BDE=/EAB,

ZBFD=ZEFA=ZEAB=/BDE,

在V5。尸中，BF=BD=r+T,

...AF=AB-BF=20B-BF=2r-(\+r)=r-\,

Z.BFD=ZEFA,NB=NE,

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△BFDsAEFA,

EF_BF

西一访，

1_r+l

r-1r'

综上所述，。。的半径为5后.

2

【我思故我在】此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性

质，相似三角形的判定和性质，用方程的思想解决问题是解（3）的关键.

2.小明学习了垂径定理，做了下面的探究，请根据题目要求帮小明完成探究.

（1）更换定理的题设和结论可以得到许多真命题.如图1,在e。中，C是劣弧43的中点,

直线于点E,则/£=请证明此结论；

（2）从圆上任意一点出发的两条弦所组成的折线，成为该圆的一条折弦.如图2,PA,PB

组成eO的一条折弦.C是劣弧48的中点，直线CO,尸4于点£,贝=+可以

通过延长。8、/P相交于点F，再连接证明结论成立.请写出证明过程；

（3）如图3,PA,尸3组成eO的一条折弦，若C是优弧N8的中点，直线CD,尸/于点

E,贝PE与之间存在怎样的数量关系？请写出证明过程.

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=PE-PB,理由见解析

【分析】（1）连接ND,BD,易证人4。2为等腰三角形，根据等腰三角形三线合一这一性

质，可以证得/E=

（2）根据圆内接四边形的性质，先NCDA=NCDF,再证ZUFD为等腰三角形，进一步证得

PB=PF,从而证得结论.

（3）根据aWE=NTOE,从而证明AD/E=A£•尸E,得出4E=EF,然后判断出尸2=尸尸，

进而求得AE=PE-PB.

【详解】证明：（1）如图1,连接4D,BD,

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图1

•••C是劣弧的中点，

NCDA=NCDB,

DEI.AB,

ZAED=ZDEB=90°,

NZ+ZADE=90°,ZB+ZCDB=90°,

/A=/B,

为等腰三角形，

CDLAB,

AE=BE；

(2)如图2,延长。8、/P相交于点尸，再连接40,

是圆内接四边形,

NPBF=ZPAD,

・•・C是劣弧的中点，

ZCDA=ZCDF,

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・・•CD1PA,

・••她也为等腰三角形，

/F=NA,AE=EF,

ZPBF=ZF,

PB=PF,

AE=PE+PB

(3)AE=PE-PB.

连接40,BD,AB,DB、/2相交于点方，

•・•弧4。二弧5C,

/ADC=ZBDC,

•・・CD1AP,

ZDEA=ZDEF,ZADE=ZFDE,

DE=DE,

,ADAEgADFE,

/.AD=DF,AE=EF,

ZDAF=ZDFA,

ZDFA=ZPFB,ZPBD=/DAP,

ZPFB=ZPBF,

：.PF=PB,

...AE=PE-PB.

【我思故我在】本题主要考查了垂径定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形全等的判定

及性质，解题的关键是掌握垂径定理-在5个条件中，L平分弦所对的一条弧；2.平分弦

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所对的另一条弧；3.平分弦；4.垂直于弦；5.经过圆心（或者说直径）.只要具备任意两

个条件，就可以推出其他的三个.

3.如图，AB是e。的直径，AC是e。的切线，连接0C,弦AD//OC,连接BC,DC.

（1）求证：DC是e。的切线；

【分析】（1）连接。D,如图，利用切线的性质得NO/C=90。，再利用平行线的性质证明

ZAOC=ZDOC,则可判定V/OC三VOOC,从而得到/ODC=NO/C=90。，然后根据切

线的判定方法得到结论；⑵作OELC8于E,如图，在R/V/BC中由于

3ACAC3

cosZACB=-=——,则可设4C=3x,BC=4x,所以4B=4x,则sin//BC=——

5BCBC5

再在应V08E中利用正弦可表示出=利用勾股定理可得到BE=1x,于是得到

CE=^x,从而在比VOCE中根据正切定义得到tan/OCE=:,然后根据平行线的性质即

可得到tan/C8D的值.

【详解】（1）证明：连接。D,如图，

•・•/c为切线,

OA1AC,

ZOAC=90°,

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•・•OCIIBD,

:.NAOC=/ABC,ZDOC=ZODB,

•・•OB=OD,

/.ZOBD=Z.ODB,

:"AOC=/DOC,

OA=OD

在V/OC和V。。。中，＜AAOC=ZDOC

OC=OC

:\IAOC=\IDOC,

ZODC=ZOAC=90°,

s.ODICD,

・•.OC是e。的切线；

（2）解：作OELCB于E,如图，

3AC

在中，cosZACB=-=——,

5BC

设4c=3x,BC=4x,

/.AB=4x,

.AC3

sinN/5c-——,

BC5

Op3

在RtYOBE中,sin/OBE=——=-,

OB5

八n3.6x

OB——,2x=—,

55

22

/.BE=yj0B-0E=-x9

5

17

:.CE=BC-BE=—x,

6%

在Rt\IOCE中,tanNOCE==-p--=—,

CE1717

—x

5

vOC//CD,

/CBD=ZOCB,

/.tanZC5Z）的值为.

【我思故我在】本题考查了切线的性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切

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线；圆的切线垂直于经过切点的半径•判定切线时"连圆心和直线与圆的公共点"或"过圆心作

这条直线的垂线"；有切线时，常常"遇到切点连圆心得半径”•也考查了解直角三角形.

4.图，是e。的直径，点。在AB的延长线上，4D平分NC4E交eO于点。，过点N

作垂足为点及

⑴判断直线CE与e。的位置关系，并说明理由；

（2）若8C=3,CD=3也,求e。的半径以及线段瓦）的长.

【答案】（1）CE是e。的切线，理由见解析

（2）3；通

2

【分析】（1）连接。。，根据等腰三角形的性质得出=根据角平分线的定义

得出NE4D=N0AD,即NE4D=NOCM,根据平行线的判定方法得出,根据

AE1CD,得出ODLCD,根据即可得出结论；

（2）设。D=x=03,在RtVCOD中，由勾股定理列出关于x的方程即可；先求出

CDOC

OC=O5+3C=3+3=6,然后再根据得出=二二，代入数据即可得出答

DE0A

案.

【详解】（1）：CE是e。的切线，理由如下:

连接0D,如图所示：

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'：OA=OD,

NOAD=NODA,

・•・AD平分/CAE,

・•.ZEAD=ZOAD,

・•.ZEAD=/ODA,

：.OD//AE,

又・：AE上CD,

：,ODLCD,

•・・。。是半径，

.•.C。是e。的切线；

(2)解：设0D=x=0B,在RtVCOQ中，由勾股定理得，OD2+CD2=OC2,

即X2+(3A/3)2=(X+3)2,

解得x=3,

即半径为3；

OD=OA=OB=3,

/.OC=OB+BC=3+3=6,

根据解析(1)可知，ODIIAE、

CDOC

：,~DE~~6A"

即述=9,

DE3

解得：DE=^.

2

【我思故我在】本题主要考查了切线的判定，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾

股定理，解题的关键是根据平行线的性质得出OD//AE.

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5.如图，在等腰V48C中，AB=AC,以48为直径的e。与8c交于点。，DE1AC,垂

足为E,ED的延长线与AB的延长线交于点F.

⑴求证：E尸是e。的切线；

7

⑵若e。的半径为2，BD=3,求的长.

【详解】(1)证明：如图，连接0。，

VAB=AC,

：・/ABC=/ACB.

•/OB=OD,

・•.ZABC=ZODB,

・•.AACB=ZODB,

OD//AC.

-DEIAC,

DE^OD,即EF1.OD,

•・・。。是©。的半径，

・••E/是e。的切线；

(2)解：如图，连接40,

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・•・AB是eO的直径，

AD1BC.

-DE1AC,

.\ZADC=ZDEC=90°.

vZC=ZC,

:.YCDEsVCAD,

CDCE

''~CA~~CD'

•・•AB=AC=7,

.・.DC=DB=3.

3CE

*,7"~

；.CE=2.

7

【我思故我在】本题考查等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，切线的判定，圆周角定

理，相似三角形的判定和性质等知识.连接常用的辅助线是解题关键.

6.如图，在Rt448C中，ZACB=90°,以NC为直径的e。与斜边交于点。，点£为

边8C的中点，连接DE.

⑴求证：是eO的切线;

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(2)填空

①若N2=30。，AC=43,则。E=；

②当NB=。时，以O,D,E,C为顶点的四边形是正方形.

【答案】(1)见解析

(2)®-;②45

【详解】(1)证明：•・•/c是直径，

・•.ZADC=ZCDB=90°,

•・,点E为边3C的中点，

:,DE=CE=BE,

：.ZECD=ZEDC,NB=NBDE,

连接。。，则=

・•.ZODE=ZODC+AEDC=ZOCD+ZECD=NACB=90°,

是e。的切线.

(2)解：①・・•在中，tanZB=——,

BC

CB=/C=与=3

tan30°5/3，

V

13

：.DE=-BC=-,

22

3

故答案为：—；

②只要以。，D,E,。为顶点的四边形就是正方形,

则NB=NBDE=1x90°=45°,

故答案为：45.

【我思故我在】本题考查了圆的切线的判定及解直角三角形的知识和正方形的判定，通过作

辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形是解答本题的关键.

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7.如图，N8是。。的直径，弦£是CN延长线上的一点，连接交。。于点

下连接/RCE.

⑴若zA4c=20。，求4尸C的度数.

(2)求证：A尸平分NCFE.

(3)若/8=5,CD=4,且CF经过圆心。，求CE的长.

【答案】(1)70。(2)详见解析(3)475

【分析】(1)由垂径定理得到DC=20,从而得到与/氏4c的关系，通过直角三角

形的性质可以得到乙由圆周角定理的推理即可得出44FC；

(2)由垂径定理和圆周角定理的推理可以得出4C〃=N/OC,再由圆内接四边形和得出

N4TO与//CD的关系，从而得到乙4尸£=//CD,由圆周角定理的推理得出NN尸C与

Z4DC的关系，从而得出ZAFC与Z/FE•的关系，得证；

(3)由垂径定理可以得出CH,由勾股定理得出从而得出的长，再由勾股定理得

出NC的长，由AH〃DE,根据平行线分线段成比例定理，得出/C=/E,从而得出CE的

长.

(1)

(1)解：如图，连接。£>,AD,设4B交CD于H.

AB1CD,

3C=BD>^AHD=90°,

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・•.ZDAB=ZBAC=20°f

・•.ZADH=90°-ZDAB=70°,

：&FC=UDH=70。.

(2)

(2)证明：・・/B是直径，ABLCD,

•,・克C=，

・•.ZACD=/ADC,

-ZACD+ZAFD=H00,乙4FE+乙4FD=180。,

/.ZAFE=ZACD,

•・•ZAFC=ZADC=/ACD,

・•・/AFC=ZAFE,

：,AF平分/CFE.

(3)

(3)解：如图，设AB交CD于H.

・・/B是直径，ABVCD,

；.CH=DH==CD=2,

2

vOC=(,ZOHC=90°,

2

35

・•.AH=OH+OA=-+-=4,

22

•••AC=>JCH2+AH2=A/22+42=275

・・・c尸是直径,

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：.NCDF=NAHC=90。,

・•.AH//DE,

CH_CA

..而一元

•••CH=HD,

■■AC=AE=?.yl5,

■■CE=2AC=475.

【我思故我在】本题考查了垂径定理、圆周角定理及推理、勾股定理、平行线分线段成比例

定理，熟练掌握相关定理是解决本题的关键.

8.如图，四边形/BCD内接于8C为的直径，AC与BD交于点、E,P为C8延长

线上一点，连接P4,且4PAB=乙ADB.

⑴求证：P4为。。的切线；

3

⑵若AB=6,tanAADB=-,求尸8的长；

4

⑶在（2）的条件下，若求△CDE的面积.

【答案】⑴见解析

,90

⑵了

（3）5

【分析】（1）连接。4,根据等腰三角形的性质得到NO/8NOA4,根据圆周角定理得到

NC/8=90。，根据切线的判定定理即可得到结论；

（2）根据三角函数的定义得到/C=8,根据勾股定理得到=求得

1O

08=5,过8作职1/尸于R设/尸=4左，BF=3k,求得根据相似三角形的性质即可

得到结论；

（3）连接OD交ZC于X,根据垂径定理得到AH=CH=4,得到OH=^OA2-AE2=3，根据

相似三角形的性质得到。£=百，根据三角形的面积公式即可得到结论.

(1)

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证明：连接。4,

・•,OA=OB,

工乙OAB二乙OBA,

为。。的直径，

.-.ZG45=9O°,

.-.ZL4C5+ZJ5C=90°,

,:UDB=UCB=^AB,

・•・△产/3+4。/5=90°,

•••NCU尸=90°,

・••尸4为。。的切线；

(2)

解：・"DB"CB,

AB3

tanZ-ADB=tanLACB=——=-,

AC4

•：AB=6,

•，•AC=8,

■-BC=y/AC2+AB2=10>

••.05=5,

过3作BFLAP于F,

3

^tanZ-ADB=tanZ-BAF=—,

4

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••・设/_F=4左，BF=3k,

••AB=5k=6,

18

：，BF=—,

9­OALAPyBFLAP,

：.BF//OA,

•••△PBFFPOA,

BFPB

"'OA~PB+5'

18

即M二必，

5PB+5

90

・・・PB:一；

7

⑶

♦••AD=CD,

ZODIAC,

:・AH=CH=4,

■■OH=^OA2-AE2=3>

■.DH=2,

:CD=yJcH2+DH2=275，

■■BD=^BC2-CD2=475，

。:乙ADE=乙BDA,Z-DAE=Z.ABD,

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••.AADEFBDA,

ADDE

••茄一茄’

即"上，

4次275

.•.△CDE的面积为工CD-DE=-X245X45=5.

22

9.问题提出

图1图2图3

(1)如图1,N8为圆。的弦，在圆。上找一点P,使点P到N8的距离最大.

⑵问题探究

如图2,在扇形/MB中，点M为扇形所在圆的圆心，点尸为，8上任意一点，连接尸”，

与交于点0,若48=10,AM=1,求出尸。的最大值.

⑶问题解决

如图3,小华家有一块扇形/。8的田地，线段04线段08以及，3分别为扇形的边

沿部分.经过市场调查发现，小华爸爸打算在扇形的田地中圈出一片空地用作种植当

季蔬菜，具体操作方式如下：在为?上选取点C,过点C作。W7/O8,CNHOA,则四边形

M0NC为小华爸爸所圈空地.已知：扇形的圆心角乙402=60。，Q4=O5=90m,且用

于修建围挡的线段MC部分与线段CN部分的成本均为30元/米.请你根据以上数据计算:

小华爸爸最终所花费的修建费预算最多是多少元？(即求出CM+CN的最大值)(结果保留

整数，取6=1.73)

【答案】⑴见解析

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(2)7-2指

(3)210元

解：如图1,过点。作0P1/5,

图1

此时点P处于，8中心位置，

•••在圆内，弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，

此时产点到AB的距离最大；

(2)

解：如下图，。点在A8的中点时，加最小，则最大,

•:MA=MB,AQ^BQ,

■.■AB=10,AM=7,

；.AQ=BQ=5,

■■QM=1AM?-A。?=A/72-52=276,

PQ=PM-QM=7-246；

⑶

解：由题意可知，当点C处于，8中点时，对角线最长,

此时，OC=04=9O,481。。与点。，

"CMIIOB,

••・乙WC=60°,

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-CNHOA,

；ZCNB=6O°,

・・・NCA/0=NCN0=6O°,

・・.△CMN为等边三角形，

同理证明△(?“7也为等边三角形，

在RtZiOM0中，O0=；OC=45,0M=2MQ,OM2=MQ2+OQ2,

.­-6>M=15V3®26.01,

二口。MCN的周长C=OM+CW+NC+MC=4（W=8MQ=208Q8=209（不足1米按照1米计

算），

•.・成本均为30元/米，

工7.0=7,

30

则预算最多为：7x30=210（元）.

【我思故我在】本题考查了弦所对弧的中点到弦的垂线段距离最大，点到弦之间的距离垂线

段最短，平行四边形周长的最大值，解题关键是把求平行四边形四条边的平方的和，换成求

平行四边形对角线的最大值，问题就得以解决.

10.如图，在A48c中，BA=BC,ZABC=90°,以AB为直径的半圆。交AC于点D,点

E是的上不与点B,D重合的任意一点，连接AE交BD于点F,连接BE并延长交AC于点

G.

（1）求证：AADF=ABDG；

（2）填空：

①若AB=4,且点E是肺的中点，贝I]DF的长为；

②取RE的中点H,当NE4B的度数为时，四边形OBEH为菱形.

【答案】（1）见解析（2）①4-2亚②30°

【分析】（1）利用直径所对的圆周角是直角，可得N4DB=N4EB=90°,再应用同角的余角

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相等可得ND4F=/D5G,易得4D=BD,AAD厂二A5DG得证；

(2)作FH1Z3,应用等弧所对的圆周角相等得/A4£=/CME,再应用角平分线性质可

得结论；由菱形的性质可得结合三角函数特殊值可得NE43=300.

解：(1)证明：如图1,・.・A4=8C,ZABC=90°,

ABAC=45°

AB是eO的直径，

/.ZADB=ZAEB=90°，

ZDAF+ZBGD=/DBG+ZBGD=90°

ZDAF=/DBG

•・・/ABD+/BAC=90°

ZABD=ABAC=45°

/.AD=BD

(2)①如图2,过F作于H,••,点E是配的中点,

/./BAE=/DAE

vFD^AD,FHLAB

FH=FD

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•「---=sin/ABD=sin45°=——，

BF2

FD-\/2pi-tI-

，一=—,即BF=CFD

BF2

AB=4,

.•.8。=4cos45°=2正，艮□8月+尸。=2后，(V2+1)FD=272

，FD=^^-=4—2C

V2+1

故答案为4-2行.

图3

②连接0E,EH,♦点H是配的中点，

OHLAE,

AAEB=90°

:.BE1AE

:.BE//OH

•・•四边形OBEH为菱形，

：.BE=OH=OB=-AB

2

•/…BE1

..sin/E4B==一

AB2

/./EAB=30°.

故答案为30°

11.如图，AB是。。的直径，弦CD1AB于点E,G是RC上一动点，AG,DC的延长线交于

点F,连接AC,AD,GC,GD.

(