高中数学暑假初高衔接讲义 全称量词命题与存在量词命题

遍历山河，人间值得。第第页练习主题全称量词命题与存在量词命题在日常生活和学习中，我们经常遇到这样的语句：（1）对任意实数x，都有x2≥0；（2）存在有理数x，使x2-2=0；（3）有的矩形是菱形；（4）所有的质数都是奇数；（5）有一个素数是偶数.这些语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什含义?知识点一：全称量词命题与存在量词命题语句（1）使用了“任意”，表示对每一个实数x，必定有“x2≥0”,即没有使“x2≥0”不成立的实数x存在.语句（2）使用了“存在”，表示至少可以找到一个有理数x，使“x2-2=0”成立.语句（3）使用了“有的”，表示可以找到一个矩形，它是菱形.语句（4）使用了“所有”，表示每一个质数都是奇数.“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“x”表示“对任意x”.上面的语句（1）可以表示为“∀x∈R,x2≥0”,即“任意实数的平方都不小于0”.“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“x”表示“存在x″.上面的语句（2）可以表示为∃x∈Q，x2-2=0”,即“方程x2-2=0存在有理数解”.含有全称量词的命题称为全称量词命题，含有存在量词的命题称为存在量词命题.它们的一般形式可表示为：全称量词命题：∀x∈M，p（x）；存在量词命题：∃x∈M，p（x）.其中，M为给定的集合，p（x）是一个关于x的语句.例1、判断下列命题的真假：（1）∃x∈R,x2＞x；（2）∀x∈R,x2＞x；（3）∃x∈Q,x2-8=0；（4）∀x∈R,x2+2＞0.由例1我们发现：要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真即可；否则命题为假.要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假.对应练习：1、下列命题中，全称量词命题的个数为（）①平行四边形的对角线互相平分；②梯形有两条边的长度不相等；③存在一个菱形，它的四条边不相等；④高二(1)班绝大多数同学是团员A.0B.1C.2D.32、将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题，下列说法正确的是（）A.对任意x，y∈R，都有x2+y2≥2xyB.存在x，y∈R，使x2+y2≥2xyC.对任意x＞0，y＞0，都有x2+y2≥2xyD.存在x＜0，y＜0，使x2+y2≥2xy3、（多选）下列命题是“∃x∈R,x2＞3”的表述方法的有（）A.有一个x∈R,使得x2＞3成立B.对有些x∈R,使得x2＞3成立C.任选一个x∈R,都有x2＞3成立D.至少有一个x∈R,使得x2＞3成立4、命题“有些负数满足不等式（1+x）（1-9x）＞0"用“3”或“∀”可表述为.5、设有下面四个命题：p1：∃x∈R，x2+1＜0；p2：∀x∈R,x+∣x∣＞0；p3：∀x∈Z，∣x∣∈N；p4：∃x∈R，x2-2x+3=0.其中真命题为（）A.p1B.p2C.p3D.p46、下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（）A.对任意的a,b∈R,都有a2+b2-2a-2b+2＜0B.菱形的两条对角线相等C.∃x∈R，=xD.所有的等边三角形都相似7、（多选）下列命题中是（）A.∀x∈R，x3≥0B.∃x∈R，x3=3C.∀x∈Q，x3≥1D.∃x∈N，x3=38、（多选）下列命题中是假命题的是（）A.∃x∈Z，1＜4x＜3B.∃x∈Z，2x2-3x+1=0C.∀x∈R，x2-1=0D.∀x∈R，x2+2x+2＞0知识点二：全称量词命题与存在量词命题的否定给出下列命题：（1）所有的正方形都是矩形；（2）存在有理数x，使x2-2=0；（3）对任意的实数a，都有∣a∣≥0；（4）有的矩形是菱形.命题（1）的否定是“不是所有的正方形都是矩形”，换言之，“有的正方形不是矩形”.命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.命题（2）的否定是“不存在有理数x，使x2-2=0”,换言之，“对所有的有理数，x2-2≠0”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”.命题（3）的否定是“不是对任意的实数a，都有∣a∣≥0”，换言之，“存在实数a，使∣a∣＜0”.命题否定后，全称量词变为存在量词，“肯定”变成“否定”.命题（4）的否定是“不是有的矩形是菱形”，换言之，“所有的矩形都不是菱形”.命题否定后，存在量词变为全称量词，“肯定”变成“否定”.一般地，我们有：“∈M，p（x）”的否定为“∃x∈M，（x）”,“∃x≤M，p（x）”的否定为“∀x∈M，（x）”.其中，“（x）”是对语句“p（x）”的否定.对一个命题进行否定，就得到了一个新的命题，这两个命题的关系是“一真一假”或“此假彼真”.例1、写出下列命题的否定：（1）所有的无理数都是实数；（2）∀x∈R，x2+x+1＞0；（3）菱形不是矩形；（4）∃x∈R，x2-x+1=0.一般地，对全称量词命题的否定，主要是对全称量词的否定，“任意”“所有”的否定分别是“存在”“不都”；对存在量词命题的否定，主要是对存在量词的否定，“存在”“有”的否定分别是“任意”“所有”.对应练习：1、命题“∃x＜1,x2＜1”的否定是（）A.∀x≥1，x2≥1B.∃x≥1，x2≥1C.∀x＜1，x2≥1D.∃x＜1，x2≥12、命题“有些实数的绝对值是正数”的否定是（）

A.∀x∈R,∣x∣＞0B.∀x∈R,∣x∣≤0C.∃x∈R,∣x∣＞0D.∃x∈R,∣x∣≤03、命题“存在实数x，使x2+2x-8=0”的否定是.4、全称量词命题“对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都是”的否定为（）A.对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都不是B.对于任意正奇数n，所有不大于n的正奇数的和都大于

C.存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和不是D.存在正奇数n，使得所有不大于n的正奇数的和是5、已知命题p：∀x＞0,x2+1≥1，则为（）A.∃x≤0，x2+1＜1B.∃x≤0，x2+1≥1C.∃x＞0，x2+1＜1D.∃x＞0，x2+1≤16、全称量词命题“所有的素数都是奇数”的否定是，这是命题（填“真”或“假”）.7、写出下列命题的否定，并判断真假：（1）某些梯形的对角线互相平分；（2）所有末位数字是0或5的整数都能被5整除；（3）被8整除的数能被4整除；（4）不论m取何实数，方程x2+x-m=0必有实数根.8、（多选）下列命题的否定中，是全称量词命题且为真命题的有（）A.y=x∈R，x2-x+14＜0B.所有的正方形都是矩形C.∃x∈R，x2+2x+2≤0D.至少有一个实数x，使x3+1=09、已知命题p:∃x＞0，x+a-1=0，若p为假命题，则实数a的取值范围是（）A.{a∣a＜1}B.{a∣a≤1}C.{a∣a＞1}D.{a∣a≥1}10、若命题“∀x∈R，∣x∣-1+m＞0”是假命题，则实数m的取值范围是（）A.{m∣m≥1}B.{m∣m>-1}C.{m∣m＜1}D.{m∣m≤1}11、已知非空集合M，P，则命题“M⊆P”是假命题的充要条件是（）A.∀x∈M，x∉PB.∀x∈P，x∈MC.∃x1∈M，x1∈P且x2∈M，x2∉PD.∃x∈M，x∉P12、若“∃x∈[-2，3]，x-a＞0”为假命题，则a的最小值为．13、已知条件p：（x+1）2＞4；条件q：