2024年高考押题预测卷数学（新高考卷1新题型结构）（全解全析）

2024年高考押题预测卷01【新高考卷】

数学.全解全析

一、单选题

1.设集合4=｛刀1*2-3工<0｝,8=卜|1082X>1｝,则AC£B)=()

A.(0,2)B.(0,2]C.(1,2]D.(2,3)

【答案】B

【详解】X2-3X<0,得0<X<3,即4={引0<尤<3},

log2x>1,得x>2,即8=„>2},38={小42},

所以Ac值B)={x|0<xW2}=(0,2].

故选：B

2.设数列｛《｝的前〃项之积为《，满足。“+24=1(〃eN*),则“2024)

A,也□10114047一4048

B.------D.------

10121013・40494049

【答案】C

【详解】因为。“+27>1(〃£N*),

所以4+27；=1,即q+2%=l,所以q=；,

所以，+21=1522,〃eN*),显然雹二0,

4-1

11*

所以〒-*=2("22,"eN),

所以数列｛；｝是首项为:='=3,公差为2的等差数列,

1n右a\

所以k=3+2(〃-1)=2〃+1,

]

1

日口7_5。242x2024+14047

即小罚’所以『=二=「^二砌

2x2023+1

故选：C.

3.某企业的废水治理小组积极探索改良工艺，致力于使排放的废水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改

良工艺前排放的废水中含有的污染物数量为2.25g/m3,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为

2.21g/m3，第〃次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量r„满足函数模型〃=%+（4-%）・3必》(feR,

〃eN*）,其中“为改良工艺前排放的废水中含有的污染物数量，片为首次改良工艺后排放的废水中含有的

污染物数量，〃为改良工艺的次数.假设废水中含有的污染物数量不超过0.65g/m3时符合废水排放标准，若

该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少为（）（参考数据：1g220.30,1g3«0.48）

A.12B.13C.14D.15

【答案】D

【详解】由题意知4=2.25g/m3,^=2.21g/m3,

当”=1时，钎%+&-%）X33，，故3。如=1,解得U-0.25,

所以q=2.25-0.04x.

1g40

由5V0.65,得3°3>40,即0.25（〃-1）2-f—,

1g3

得"（1：2产）+1。14.33,又〃eN*,

所以“N15,

故若该企业排放的废水符合排放标准，则改良工艺的次数最少要15次.

故选：D

4.已知点M在抛物线C:_/=4无上，抛物线C的准线与无轴交于点K,线段的中点N也在抛物线C上,

抛物线C的焦点为F，则线段的长为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

如图，不妨设点”在第一象限，依题知QV是△72WF的中位线，可知|MF|=2|ON|,过向准线做垂

线，垂足分别为

同理NM是△©W%的中位线，由抛物线定义知|加根|=|心|,|'叫|=|杯|,故得

|ON|=|NP|,

又尸（1,0）,则N点横坐标是9代入y2=4x可得其纵坐标为血，故|ON|=J（；）2+（血）2=|,|MF|=3.

故选：C.

5.E^DaMsinO.SIuBg.CulogojOS,则a,）,c的大小关系是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a

【答案】B

【详解】对XG］。，!"）因为y=sinx—犬，贝ljV=cosx—1v°,即函数y=sinx—X在（0弓］单调递减，

且％=0时，y=0,则sinx—x<0,即sinx<x,所以a=sinO.5Vo.5,

25031

因为210go30.5=log0.30->logo.3-=且log030.5<log030.3=1,所以0.5<c=log030.5<1,

又b=3°-5>3°=1,所以avcvb.

故选：B

6.设等差数列｛%｝的公差为d,贝『'0<%<d"是"｛"｝为递增数歹广的（）

n

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【详解】由等差数列｛4｝的公差为“，得a“=a「d+"d,则?=一+1，

当0<%<1时，at-d<0,而工>工，贝U餐<幺必，因此&<，，｛2｝为递增数列；

当｛组｝为递增数列时，贝即有幺二1<生4,整理得%<1,不能推出0<q<d,

nnn+1nn+1

所以"0<%<d”是“｛&4为递增数列”的充分不必要条件.

n

故选：A

7.E^Dsina+cos/7=^^,cosa-sin/?=-1,贝ijcos（2a—2/7）=（）

A.—B.--

3232

「

5A/39N5A/39

3232

【答案】A

【详解】解：因为sine+cos£=^^,cost/-sin/=-g,

所以sin2a+2sinccos£+cos2^=:,cos2a-2cosasin尸+sin2^=,

33

两式相加得：2+2(sin(zcos夕-cosasin夕)=/，即2+2sin(a-0="

化简得sin(a_£)=_：,

O

7

所以cos(2a-26)=l-2sin2(a-尸)=记,

故选：A

8.已知函数的导函数/'(力=。+2乂/+为+机若函数“X)有一极大值点为-2,则实数加的取值

范围为()

A.(-2,+a?)B.(-4,-2]

C.(-8,-2]D.(-oo,-2)

【答案】D

【详解】由题意r(x)=(尤+2)(f+X+时，令g(x)=f+x+M,

若g⑺上。恒成立，易知：当x«-e,—2)时r(x)W0,当xe(—2,内)时乙(句20,

所以-2是7(x)的极小值点，不合题意，故g(x)有两个不同零点.

设g(x)的两个零点分别为冷贝！］/'(X)=(X-%)(X+2)(X—X2),

结合三次函数的图象与性质知：%!<-2<x2,

在(十，王)、(-2,x2)±r(^)<°>〃x)单调递减，在(冷一2)、(与,收)上用X)>0,〃x)单调递增，一2是

“X)的极大值点，符合题意，

此时需g(-2)=2+根<0,得加<-2,所以实数用的取值范围为(-j-2).

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知复数z”Z2,则下列命题一定成立的有()

A.^|zj+z2|=0,则Zi=-Z2B.若团=%|,则z；=z；

2

C.|zfz2|=|zfz2|D.(Z[+Z2)=G+y一

【答案】AC

【分析】根据共辗复数的概念和复数的四则运算，结合复数模的计算及性质，逐项判断即可.

【详解】设Z]=〃+历,Z2=c+di(〃,b,c,d£R),则4=〃一历,Z2=。一片.

对于A：Z1+Z2=a+bi+c+di=(a+c)+(/?+d)i,

若|Z]+Z21=0,贝|a+c=0,b+d=0,

所以马+Z2=〃一为+c-溃=(a+c)-S+d)i=。，即Zi=-z]，故A一定成立；

对于B：=Ja?+/,艮|=,若阂=%|,贝!J/+/=/+/①，

z；=a2+2abi+(/?i)2=a2-b2+2abi,同理z；=c2-d2+2cdi,

若z；=z；,贝IJ需满足片―/=°2—/且正明与①式不同，故B不一定成立；

选项C：卜勾=|(a+bi)(c+di)|=|(QC-bd)+(Qd+Z?c)i|=+(〃d+bc『,

卜产2卜|(iz-Z?i)(c-6?i)|=|(4ZC-Z?6/)-(tztZ+Z?c)i|=《(ac-bdj+^ad+bc^,

所以|Z]Z2HziT,故C一定成立；

选项D：(Z]+Z2)2=[(a+c)+(Z?+d)i]2=(a+c)2-(b+d)2+2(a+(?)(/?+d)\@,

「i+z2)=[(a+c)—9+d)i]2=(〃+c)2_(b+d/_2(Q+C)伍+龙)，与②式不同，故D不一定成立.

故选：AC

10.已知/(%)=J§sin学cos拳+cos?学-g,0＞。，下列结论正确的是()

A.若〃%)的最小正周期为兀，贝跟=2

B.若的图象向左平移三个单位长度后得到的图象关于＞轴对称，贝!J，in=l

C.若“X)在[0,2句上恰有4个极值点，则。的取值范围为匕，不

JTJT

D.存在。，使得在-工,了上单调递减

o4

【答案】ABC

■、*笈口、\n;.o）xcoxcox1V3.1.（兀）

【评用牛】田/（x）=A/3sin——cos-----1-cos2---------=——sms+—coss=smGX+—,

2222226J

对于A,若〃x）的最小正周期为兀，则T=3no=2,故A正确；

CD

对于B,若/（力的图象向左平移;个单位长度后得〉=5也[01+1）+6=sin[0龙+10+6），其图象关于

纵轴对称，

则有10+£=5+也（％€2）=0=1+33显然01nhi=1，故B正确；

兀兀7V।

对于Cxe[0,2K）=>+—e一,2师+—，

6L66J

7JTTTQJT（\1Q

根据题意有k<2。兀+工三行now1心，故C正确；

262136_

，十F7171'|71F0）7171am,71

对于D,*€[-67]=0"+不"一百+1彳+%]

显然竿+7>3,一等+3<3,即该区间为包含9的连续区间，

4666666

根据正弦函数的单调性可知：该区间不可能单调递减，故D错误.

故选：ABC

11.六氟化硫，化学式为SR,在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在

电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个

氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为则（）

A.该正八面体结构的表面积为2相苏B.该正八面体结构的体积为血病

27tm之

C.该正八面体结构的外接球表面积为2兀/D.该正八面体结构的内切球表面积为

3

【答案】ACD

F(P)

【详解】

对A：由题知，各侧面均为边长为加的正三角形,

故该正八面体结构的表面积S=8xxm2=26川,故A正确;

对B：连接AS,PS,则AS=PS="机，PS,底面ABCD,

2

2

故该正八面体结构的体积V=2x—xmx1根=也根3,故B错误；

323

对C：底面中心S到各顶点的距离相等，故S为外接球球心，外接球半径R=PS=Y2,〃,

2

故该正八面体结构的外接球表面积S，=71x（&加/=2nm2，故C正确;

对D：该正八面体结构的内切球半径一于嘉=票

血机、227im2

故内切球的表面积S"=471x（邛.）=故D正确;

3

故选：ACD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.q［（x+y）6的展开式中x2/的系数为.

【答案】24

【详解】

二项式（x+4的展开式通项公式为Tr+1=q产了,r<6,reN*.

当r=4时，1=C>2y4=15炉,4,当^=5时，"=或无曾=6盯5,

因此展开式中含犬>4的项为2口5/_/+6xy5.（一?=241y4,故所求系数为24.

故答案为：24.

13.已知高为2的圆锥内接于球。，球。的体积为36兀，设圆锥顶点为P,平面。为经过圆锥顶点的平面,

兀S]

且与直线尸。所成角为:，设平面a截球。和圆锥所得的截面面积分别为S-S2,则芳=________.

6»2

【答案】注5兀

160

【详解】令球。半径为R，则雪炉=36兀，解得R=3,由平面a与直线尸。成9角，

36

得平面a截球所得小圆半径「=Reos'=空,因此H=a?=与，

624

22

由球。的内接圆锥高为2,得球心。到此圆锥底面距离d=R-2=1,则圆锥底面圆半径r'=y/R-d=2V2，

令平面a截圆锥所得截面为等腰」MB,线段A8为圆锥底面圆。的弦，

“股

"JT"r-^(---------------------------4.

点C为弦A8中点，如图，依题意NCPQI=K，尸。1=2,cos色G，

6C°S6

8,4，显然AB=2,何一(g=%于是邑=别九=孚

27兀

48m

所以亍==----------71

160

3

故答案为：得

14.已知双曲线C:/-£=i的左右顶点分别为点尸是双曲线C上在第一象限内的点，直线尸的

3

倾斜角分别为％P，则tana-tan#=；当2tana+tan〃取最小值时，“R4B的面积为.

【答案】32面

【详解】设尸O,w),O>0,">。),则苏-匕=1,可得〃2=3(疗_1),

3

又因为A,8分别为双曲线C:/一f=1的左右顶点，可得A(-l,0),8(1,0),

3

所以tana-tan'=k-k=---------=———=3；

APBPm+1m—1m—1

又由tancr>0,tan/?>0,所以2tana+tan/722j2tanatan/7=2^/6,

9nY!

当且仅当2tanc=tan4时，等号成立，所以卫7二一，，解得〃-3,

m+lm-1

所以“2=3(m2-1)=24,所以〃=2底,

所以.E4B的面积为gx2axyp=gx2x2逐=2亚

故答案为：3；2瓜

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.如图，在平面四边形ABC。中，AB=AD=4,BC=6.

(1)若4=^，求sin/BDC的值；

⑵若CD=2,cosA=3cosC,求四边形42a)的面积.

【答案】⑴之⑵160+81

43

【详解】(1)在△ABD中，AB^AD=4,A==,则ZAD2=],

BD=2ADcosZADB=2x4xcos合=4g,

BCBD

在中，由正弦定理得

sinZBDCsinC

6sin—

BCsinC3

sinZBDC=____3

BD4A/34

(2)在△ABD和△BCD中，由余弦定理得

B£>2=AB2+A£>2-2AB-ADCOSA=42+42-2X4X4XCOSA=32-32COSA,

B£>2=CB2+C£>2-2C5C£)COSC=62+22-2X6X2XCOSC=40-24COSC,

得4cosA—3cosc=-1,又cosA=3cosC,得cosA=-；,cosC=-工，

则sinA=^^,sinC=

39

四边形AB。的面积ST.+SBcLgAHADsnM+TBCDsinC

1,,201<c46160+8石

二—x4x4x------1--x6x2x------=----------------.

23293

16.已知函数/0)=(%2-2彳+4)6。。€1^.

(1)若。=1,求函数/(X)在xe[0,3]上的最大值和最小值；

⑵讨论函数的单调性.

【答案】(1)最大值为4e3,最小值为0;(2)答案见解析.

【详解】(1)当a=l时，/(x)=(x2-2x+l)e<则/(无)=(尤2_1忖，

令广(幻=卜2-**=0,得x=l或x=-l,

由于尤e[0,3],

所以当x«0,l),r(x)<0,/(x)在(0,1)单调递减，

所以当xe(l,3),/(无)>0,Ax)在(1,3)单调递增,

所以在尤=1时取到极小值，且/⑴=。，

又因为/(。)=1,43)=4e3,

综上，函数F(x)在xe[0,3]上的最大值为4e3,最小值为0.

(2)所以尸(x)=(f+a-2)e*,aeR,

当a-2N0,即a22时，/'(x)=(x?+a-2)e*20,

/W在(—8,+oo)单调递增，

当a-2<0,即(?<2时，

令尸(x)=M+q_2)e，=0,贝底=±0^,

所以当尤e(-8,72一。1/'(X)>0,/(x)在单调递增,

当xe(-j2-a,《2-a),f'(x)<0,f(x)在卜J2-a,J2-a)单调递减,

当xe(j2-a,+ao1f'(x)>0,/(x)在(j2-a,+ao)单调递增.

综上所述，当时，/(X)在(-8,+8)单调递增，

当a<2时，〃丈)在(_8,_：2-a),(J2-a、+8)单调递增，在f2_a,J2_〃)单调递减.

17.2023年12月2日，中央广播电视总台甲辰龙年春晚的主标识正式发布，中央广播电视总台《2024年

春节联欢晚会》以“龙行噩矗，欣欣家国”为主题，创新“思想+艺术+技术”融合传播，与全球华人相约除夕,

共享一台精彩纷呈、情真意切、热气腾腾的文化盛宴.为了解大家对“癌”这个字的认知情况，某网站进行了

调查，并对每一类情况赋予相应的认知度分值，得到如下表格:

c类：会读且会写但不理D类：会读、会写且理

认知情况A类:不会读不会写8类：会读不会写

解解

人数/万人103055

认知度分

507090100

值

(1)求参与调查的人员认知度分值的平均数与方差；

(2)为了帮助大家记住这个主题，该网站设计了一个有奖游戏，参与者点击游戏按钮，“龙行矗矗，欣欣家国”

这8个字将进行随机排列，若相同的字分别相邻(即矗与矗相邻，欣与欣相邻)，则这个参与者可以获得

奖励，已知每个参与者是否获得奖励互不影响，若2人同时参与游戏，求恰好有1人获得奖励的概率；

(3)若从参与调查的人员中按照分层抽样的方法抽取20人进行座谈，再从这20人中随机选取3人赠送小礼

品，这3人中属于。类的人数记为X,求X的分布列及数学期望.

133

【答案】(1)71,209(2)示(3)分布列见解析，—

9o10

【详解】(1)参与调查的人员认知度分值的平均数为

in4

^=———TX(10X50+30X70+5X90+5X100)=71,

方差为/=标X[10X(50-71)2+30X(70-71)2+5X(90-71)2+5X(100-71)2]=209.

A*

(2)将这8个字随机排列，不同的排列方法有*种，

A；Aj

相同的字分别相邻的不同情况有A：种，

故参与者可以获得奖励的概率A^14.

若2人同时参与游戏，则恰好有1人获奖的概率为=

14I14Jyo

(3)根据分层抽样的规则可知，A类抽取4人，B类抽取12人，C类抽取2人，。类抽取2人，则X的所

有可能取值为0,1,2,则尸(X=0)="=1|,P(X=1)=^=亮，*乂=2)=詈=高，

的分布列为

X012

68513

P

95190190

68151c33

・・・X的数学期望为石(x)=ox---Fix----b2x---=—

9519019010

18.已知四棱柱A5CD-A4GA如图所示，底面ABC。为平行四边形，其中点。在平面A耳GA内的投影

为点且A3=9=2AO,NA3C=120°.

⑴求证：平面4瓦)，平面AQ2A；

(2)已知点E在线段G。上(不含端点位置)，且平面ABE与平面BCC4的夹角的余弦值为£,求箓的

5

值.

DE1

【答案】(1)证明见解析(2)Q=1

【详解】(1)不妨设AD=1,

因为4。_1_平面ABCRADu平面ABC。，故A。，AD,

在，AD3中，AB=2,AD=1,ZDAB=60,

由余弦定理，BD2=AB-+AD2-2AB-AD-cos^DAB=22+12-2x2xlxcos60=3,

得BD=6，^AD1+BD1=AB1,则ADLDB,

因为40门。2=£)，4£),。2匚平面ARC,所以AD,平面AR。,

而ADu平面ADAA，所以平面AB。，平面ADAA；

(2)由(1)知，。4,。氏。4两两垂直，

如图所示，以。为坐标原点，建立的空间直角坐标系。-孙z,

则。(0,0,0),A(1,0,0),3(0,石,0),4(0,0,百),C卜1,石,0),

故/=卜2,60），4£=",

.•・G卜2,省,,所以=（0,石,―一）,DC,=（-2,君,百），

设DE=XOC]（0<X<1）,则瓦=彳/=12九岛,&）,即可一2%后，后卜

所以AE=（-2A,后，扇-石）；

设〃=（和％,4）为平面A匹的一个法向量，

n-AyB='fiyl—y/3zr=0

n-A^E=-24%+y/3Ay^--y/3Zj=0

令Z]=24,则必=22,X[=264—6,所以w=倒也2-君,22,22）,

因为y轴，平面BCCA,则可取m=（0,1,0）为平面BCC国的一个法向量，

设平面4EB与平面BCC4的夹角为a,

\n-m\22小

则cosa=[Ui=/丁=—，

\n\-\m\V2022-122+35

19.人类对地球形状的认识经历了漫长的历程.古人认为宇宙是“天圆地方”的，以后人们又认为地球是个圆

球.17世纪，牛顿等人根据力学原理提出地球是扁球的理论，这一理论直到1739年才为南美和北欧的弧度

测量所证实.其实，之前中国就曾进行了大规模的弧度测量，发现纬度越高，每度子午线弧长越长的事实,

这同地球两极略扁，赤道隆起的理论相符.地球的形状类似于椭球体，椭球体的表面为椭球面，在空间直

角坐标系下,椭球面「:一=1(。>0,6>0,c>0),这说明椭球完全包含在由平面x=±a,y=+b,z=±c

abc

所围成的长方体内，其中。，dC按其大小，分别称为椭球的长半轴、中半轴和短半轴.某椭球面与坐标面z=0

的截痕是椭圆E：[+y2=i.

22

(1)已知椭圆3+2=1(。>6>0)在其上一点。(%,%)处的切线方程为华+署=1.过椭圆E的左焦点K

abcib

作直线/与椭圆E相交于A,8两点，过点A,2分别作椭圆的切线，两切线交于点求面积的最小

值.

(2)我国南北朝时期的伟大科学家祖晒于5世纪末提出了祖晒原理：“幕势既同，则积不容异”.祖眶原理用

现代语言可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截

得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.当6=c