七年级数学有理数教师讲义带答案

第一章有理数

学问网络构造图

整数

按定义分I

分数

分类H正有理数

—〔按符号分!o

负有理数

相反数:只有符号不同的两个数互为相反数

(倒।数:乘积是1的两个数互为倒数

绝对值:数轴上表示数a的点与原点些鲤型值建基至量

:的距离叫做a的绝对值10的绝对值是0

t五数的嬴I酒是它的相反数

、科学记数法:把一个绝对值大于10的数表示成ax10"的形式(lw|a|vl0)

有效数字：从一个数的左边第一个不为。的数字起，到末位数字止，

V所有的数字都是这个数的有效数字

同号两数相加，取相同的符号，绝对值相加

,异号两数相加，取绝对值大的符号，绝对值相减

厂气互为相反数的两个数相加为0

/\一个数同0相加仍得这个数

减法:减去一个数，等于加上这个数的相反数

法则[,同号得正，绝对值相乘

、乘法[异号得负，绝对值相藏

一飞任何数同0相乘，都得0

\除法：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数

运算4正数的任何次嘉都是正数

/春灰募是负数~~

互偶次嘉是正数

I。的任何正整数次幕都是0

加法交换律:a+6=0+a

交换律y----------'-----------

/「乘法交换律:而=ba

、_此公加法结合律:a+(b+c)=(a+b)+c

＜运算律I结合律/----------------------------

T1乘法结合律:而c=a(bc)=(ab)c

I分配律a(b+c)=afe+ac

学问点1:有理数的根本概念

中考要求：

有理数理解有理数的意义会比较有理数的大小

数轴能用数轴上的点表示有理数；知道实数与数轴上的点的对应关系

会借助数轴比较有理数的大小

相反数会用有理数表示具有相反意义的量，借助数轴理解相反数的意义,

会务实数的相反数驾驭相反数的性质

肯定值借助数轴理解肯定值的意义，会务实数的肯定值会利用肯定值的

学问解决简洁的化简问题

学问点总结：

正数、负数、有理数

随着同学们视野的拓展，小学学过的自然数、分数和小数已经不能满

意认知须要了.譬如一些具有相反意义的量，收入300元和支出200元，

向东50米和向西30米，零上6P和零下4。（：等等，它们不但意义相反，而

且表示肯定的数量，怎么表示它们呢？我们把一种意义的量规定为正的，

把另一种和它意义相反的量规定为负的，这样就产生了正数和负数.

正数：像3、1、打.33等的数，叫做正数.在小学学过的数，除00.

负数：像-1、-3.12、-y>-20080.0既不是正数，也不是负数.一个数字

前面的“+〃，”一〃号叫做它的符号.

正数前面的“十〃可以省略，留意3与+3表示是同一个正数.

用正、负数表示相反意义的量：

假如正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义，反之亦然.

譬如：用正数表示向南，那么向北3km可以用负数表示为-3km.

“相反意义的量〃包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意

义的根底上要有量.

有理数:按定义整数与分数统称有理数.

［正整数］

自然数

整数零/

有理数（按定义分类）［负整数

正分数

分数

负分数

正整数

正有理数

正分数

有理数（按符号分类）零（零既不是正数,也不是负数）

负整数

负有理数

负分数

注：⑴正数和零统称为非负数;

⑵负数和零统称为非正数；

⑶正整数和零统称为非负整数;

⑷负整数和零统称为非正整数.

板块一、根本概念

例题讲解

1、选择下面是关于0的一些说法，其中正确说法的个数是〔）

①0既不是正数也不是负数；②0是最小的自然数；③0是最小的正数;

④0是最小的非负数；⑤0既不是奇数也不是偶数.

2、下面关于有理数的说法正确的选项是［

A.有理数可分为正有理数和负有理数两大类.

B.正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合

C.整数和分数统称为有理数

D.正数、负数和零的统称为有理数

板块二、数轴、相反数、倒数、肯定值

3、a和6是满意必W0的有理数，现有四个命题：

①二的相反数是二；②…的相反数是a的相反数与b的相反数的

/+46+4

差；

③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；

④用的倒数是“的倒数和6的倒数的乘积.其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

4、一个数的肯定值大于它本身，那么这个数是（）

A、正有理数B、负有理数C、零D、不行能

5、数轴上分开原点2个单位长度的点表示的数是；

6、有理数-3,0,20,-1.25,1.75,TT2|-5〕中，正整数有

个，

非负数有个；

7、肯定值最小的有理数是；肯定值等于3的数是；肯定

值等于本身的数是;肯定值等于相反数的数是数；一

个数的肯定值肯定是数。

，肯定值是，倒数是。

9、平方是它本身的数是；倒数是它本身的数

是;

相反数是它本身的数是;立方是它本身的数

是O

肯定值小于4的全部整数的和是；

肯定值大于2且小于5的全部负整数的和是。

10、在数轴上任取一条长度为199金的线段，那么此线段在这条数轴上最

9

多能盖住的整数点的个数为

学问点2：比较大小

比较大小的主要方法：

①代数法：正数大于非正数，零大于负数，对于两个负数，肯定值大的

反而小.

②数轴法：数轴右边的数比左边的数大.

③作差法：a-b>。0a>b,a-b=4oa=b,a-b<O<^>a<b.

④作商法：假设a>0,b>0,巴>loa〉b,-=l^a=b,-<l^a<b.

bbb

⑤取倒法：分子一样，通过比较分母从而断定两数的大小.

板块一、数轴法

【例1】八6为有理数，在数轴上如下图，那么〔〕

1111

a01b

J1.1o11.r11,n111

A.—<1<—D.—<—<16.—<—<1U.1<—<—

ababbaba

【例2】数4,8,c,d所对应的点A,8,C,。在数轴上的位置如下图，那么a+c

与b+d的大小关系

11III

AD0CB

【例3】假设有理数〃"在数轴上的位置如下图，那么以下各式中错误的选

项是（〕

A.—ab<2B.——C.a+b<——D.—<—1

ba2a

i.i।______i___।।»%

-2b-1.5-100.5a1

【例4】在数轴上画出表示2.5,-4,0,-2工5各数的点，并按从小到大的依次

2

重新排列，用“<〃；连接起来

【例5】实数在数轴上的对应点如图，试比较a,-a,b,-b,a+b,a-6的大

小

a0b

板块二、代数法

【例6】比较大小：」--

2-------------3

【例7】把四个数-2.371,-2.37%,-2.37和-2.37用"V"号连接起来

【例8］比较二，一3,一丝，一电，一”的大小.

38231719

【例9】0<x<l,那么V,x,工的大小关系是什么？

【例10】假设avzn<l,那么小」,病的大小关系

m

【例1。假如-IvavO,请用“<〃将〃，—CI，/，—a2，L」连接起来.

aa

【例12】假设”迎Z,什里生，试不用将分数化小数的方法比较a,6的大

20082009••

小.

学问点3：运算与运算法那么

有理数根本加、减混合运算

有理数加法法那么：

①同号两数相加，取一样的符号，并把肯定值相加.

②肯定值不相等的异号两数相加，取肯定值较大的加数符号，并用较

大的肯定值减去较小的肯定值.③一个数同0相加，仍得这个数.

有理数加法的运算步骤：

法那么是运算的根据，根据有理数加法的运算法那么，可以得到加法

的运算步骤：

①确定和的符号；

②求和的肯定值，即确定是两个加数的肯定值的和或差.

有理数加法的运算律：

①两个加数相加，交换加数的位置，和不变.a+A=6+a(加法交换律)

②三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.

(a+6)+c=a+(〃+c)(力口法结合律)

有理数加法的运算技巧：

①分数与小数均有时，应先化为统一形式.

②带分数可分为整数与分数两部分参与运算.

③多个加数相加时，假设有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.

④假设有可以凑整的数，即相加得整数时，可先结合相加.

⑤假设有同分母的分数或易通分的分数，应先结合在一起.

⑥符号一样的数可以先结合在一起.

有理数减法法那么：减去一个数，等于加这个数的相反数.a+

有理数减法的运算步骤：①把减号变为加号〔变更运算符号）②把减数变

为它的相反数〔变更性质符号）③把减法转化为加法，根据加法运算的步

骤进展运算.

有理数加减混合运算的步骤：

①把算式中的减法转化为加法；

②省略加号与括号；

③利用运算律与技巧简便计算，求出结果.

留意：根据有理数减法法那么，减去一个数等于加上它的相反数，因此加

减混合运算可以根据上述法那么转变为只有加法的运算，即为求几个

正数，负数和0的和，这个和称为代数和.为了书写简便，可以把加号

与每个加数外的括号均省略，写成省略加号和的形式.

板块二、有理数根本乘法、除法

有理数乘、除法

I:有理数乘法

有理数乘法法那么：两数相乘，同号得正，异号得负，并把肯定值相乘.

任何数同0相乘，都得0.

有理数乘法运算律：

①两个数相乘，交换因数的位置，积相等.必=加（乘法交换律）

②三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.

%=a（6c）（乘法结合律）

③一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积

相加.

a（b+c）=ab+ac（乘法安排律）

有理数乘法法那么的推广：

①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个

数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.

②几个数相乘，假如有一个因数为0,那么积为0.

③在进展乘法运算时，假设有带分数，应先化为假分数，便于约分；假设

有小数与分数，一般先将小数化为分数，或凑整计算；利用乘法安排律

与其逆用，也可简化计算.

在进展有理数运算时，先确定符号，再计算肯定值，有括号的先算括号里

的数.

II:有理数除法

有理数除法法那么：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒

数.a^b-a—,(bwO)

b

两数相除，同号得正，异号得负，并把肯定值相除；

0除以任何一个不等于0的数，都得0.

有理数除法的运算步骤：首先确定商的符号，然后再求出商的肯定值.

例题讲解

板块一、有理数的加减运算

1、以下各组数中，数值相等的是〔〕

A、-［一2)和+［一2)；B、-22和［一2)2

C、-32和［一3)2；D、一2,和〔一2)

2、两数相加，其和小于每一个加数，那么〔).

A、这两个数相加肯定有一个为零.

B、这两个加数肯定都是负数.

C、这两个加数的符号肯定一样.

D、这两个加数一正一负且负数的肯定值大

3、计算：

⑴(-4g)+(—3g)

(2)(一6|)+(-9：)+1-31+7.4+9.2+(-4)

17

(3)(-14-)+(+5-)+(-1.25)(4)(-8.5)+31+(-61)+111

OO

5317

(5)(-9—)+15-+(-3-)+(-22.5)+(-15—)

124412

(6)(一吗)+(+53*+(-53.6)+(+18：)+(-100)

ii42

⑺---H--(-j)|-|⑻-4.7-(+3.3)-(-5.6)-(-2.1)

⑼(-3：)-T)-3；]一.(一3小

板块二、有理数的乘除运算

1、奇数个负数相乘，积的符号为,个负数相乘,

积的符号为正.

2、计算以下各题：⑴(-0.25)x0.5x[-70g]x4;⑵(-0.03)x13

735

(3)一一+------(-1)x(-36)(4)

1246

(—0.25)x(—5；)+；x(-3.5)+(一；)x2

(5)(—―)xl—x(――)x16(6)7xllxl3x(1+^-+^)

845

(7)(l-l)x(--l)x(—-1)x(--l)x...x(———1)

4916252500

3、计算⑴卜卜㈢(勺；⑵

卜(TO)x1一3%(一5)

71

(3)(+4)4-—X—4-(--)；⑷(~—)^2-X(+3)

324

⑸(」+」)♦(」)；(6)192：+(，)

234560

学问点四、字母相关的运算

1、假设时=3,弧|=2,那么|a+4=。

2、假设悔—4=71—m,|w|=4,|H|=3,那么m-n=

3、假设犬=9,那么x得值是;假设/=一8,那么a得值是.

4、|x+l|—6的最小值是,此时x2°°9=。

5、假设a.b互为相反数，c.d互为倒数，且年0,那么

(a+))2°°7+(4)2°°8—(?2。。9=.

6、a1=5,hl=2,ab<Q.求：3a+25的值

7、尸.2008时，求代数式/用，二忖的值。

22

8、相，”互为相反数，a"互为负倒数，x的肯定值等于3,求

%3-(1+m+n+ab^x2+(m++(-aZ?)2003的值

9、设三个互不相等的有理数，既可分别表示为”的形式，又可分别

表示为0,幺6的形式，那么*04+，°|=

a

10、a、6互为相反数，c、d互为负倒数，X的肯定值等于它相反数的2倍.

求元3+abcdx+a—bed的值.

11、假如XY^YO,那么区+国的结果是()

xxy

A、0B、-2C、4D、2

2

12、假设|x|=5,y2=4,且xy<0,那么x+y=;

13、假设a,b互为倒数,m,n互为相反数，那么(加+〃/+2"=；

14、假设|x+3|+(>2『=0,那么(4犷期=；

15、利用数轴求卜1|巾-3|的最小值,求|a-4|+|a+4|的最小值

16、⑴|a+3|+(b-2/=0,求3/+(〃+与2"的值;

(2)当〃=-6/=-4时，求^―的值。

ab

学问点五、字母性质的推理

1、假如(“+6)2-6)2=4,那么肯定成立的是()

A.a是6的相反数B.a是-6的相反数C.“是b的倒数D.a是-b

的倒数

2、a、b、。为非零有理数，它们的积必为正数的是〔〕

A.a>0,b、c同号B.b>0,a、c异号

C.c>0,a、b异号D.a、b、c同号

3、假设a,6,c三个数互不相等，那么在中，正数肯定有

b—cc—aa—b

()

40个A1个C.2个3个

4、用或填空

⑴假如史>o,4<0那么6__________0；⑵假如3>0,2<0那么改

cbc

0.

5、假如竺>0,bc<0,且a(6-c)>0,试确定a、b、c的符号.

b

6、，以下说法中，正确的选项是〔〕；

A、假设|a|〉|b|,那么a>b;B、假设|a|=|b|,那

么a=b;

C、假设/”片，那么a>b;D、假设0<a<l,那么a<,。

7、假如a、b两有理数满意a>0,b<0,\a\<\b\,那么下面关系式中正确的

选项是()

A、—a<b<a<_bB>b<—a<a<_bC、—a<—b<b<aD、b<—a<

—b<a

8、假设x<0,那么|x-(T)|等于〔)

A、一xB、0C、2xD、-2x

9、对随意实数a,以下各式肯定不成立的是〔)

A、=(_Q)2B、=(_Q)3c、|^|—|_D、tz2>0

10、a<0,且那么七』的值是〔)

间T

A、等于1B、小于零C、等于-1D、大于零

IK化简：

\p-3|+|4-p\1|-12-乂+|1+乂(-1YXYl)

12、有理数a,b,c在数轴上的位置如下图，同=卜|,试化简c\+\b-c\+|a+Z?|

Illi

ba0c

学问点六：应用

1、某班抽查了10名同学的期末成果，以80分为基准，超出的记为正数,

缺乏的记为负数，记录的结果如下：+8,-3,+12,-7,-10,-4,-8,

+1,0,+10；

①，这10名同学的中最高分是多少？最低分是多少？

②，10名同学的平均成果是多少？

2、小李上周末买进股票1000股,每股20元,下表为本周每股票的涨跌状

况：

星期--二三四五

每股涨跌+4+5—1-3

6

(1)周三收盘时，小李所持股票每股多少元

⑵本周内，股票最高价出如今星期几是多少元

⑶%0%0的手续费和

3%。的交易税，假设小李在本周末卖出全部股票，他的收益如何

3、一辆货车从超市动身，向东走了3碗到达小彬家，接着向前走了15km

到达小颖家，然后向西走了9.5册到达小明家，最终回到超市

⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1M，在

数轴上表示出小明，小彬，小颖家的位置

⑵小明家间隔小彬家多远？

⑶货车一共行驶了多少千米？

4、初一［4)班在一次联欢活动中，把全班分成5个队参与活动，嬉戏完

毕后，5个队的得分如下：A

队：-50分；8队：150分；C队：-300分；。队：0分；E队:

100分.

⑴将5个队按由低分到高分的依次排序；

⑵把每个队的得分标在数轴上，并将代表该队的字母标上;

⑶从数轴上看A队与3队相差多少分？C队与E队呢？

5、“十•一〃黄金周期间，西樵山风景区在7天假期中每天旅游的人数变

更如下表〔正数表示比前一天多的人数，负数表示比前

万人。

（2）请推断七天内游客人数最多的是日，最少的是日。

（3）以9月30日的游客人数为0点，用折线统计图表示这7天的游客人

学问点七、科学计数法与有效数字

学问点总结

科学记数法：把一个大于10的数表示成4X10"的形式〔其中"4<10,〃是

整数），此种记法叫做科学记数法.

例如：200000=2xlO5就是科学记数法表示数的形式.

10200000=1.02x1（f也是科学记数法表示数的形式.

有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，全部数

字都是这个数的有效数字.

如：0.00027有两个有效数字：2,7;1.2027有5个有效数字:

1,2,0,2,

留意：万=103亿=1。8

常考点与易错点：科学计数法中的单位转换，精确到什么位与保存

有效数字的差异.

记忆方法：挪动几位小数点问题.比方：1800000要科学记数法，实际

就是小数点向左挪动到1和8之间，挪动了6位，故记为1.8x106.

例题讲解

1、上海世博会的开幕式中，烟花的燃放是美景之一，而我们是先看到烟

花，再听见声音，其缘由是光的传播速度大于声音的传播速度.

在常温下光的传播速度约为300000000m/s,声音的传播速度约为

340m/s.将300000000用科学记数法表示为〔）

A.0.3xio6B.30xl07C.3xlO8D.3xl09

2、全球可被人类利用的淡水总量仅占地球上总水量的0.00003,因此珍惜

水、爱护水，是我们每一位公民义不容辞的责任〔）

A.3x107B.3x10-5C.0.3x10^D.0.3x10-5

3、2021年北京市高考人数约8万人，其中统考生仅7.4万人，创六年来

人数最低.请将74000用科学记数法表示为〔）

A.7.4xlO4B.7.4xlO3C.0.74xlO4D.0.74xlO5

4、某种感冒病毒的直径为0.0000000031米，将0.0000000031用科学记

数法表示为〔〕

X109X10-3X109X10-9

5、〔

A.8x10^B.8xlCf5C.8xlO~8D.8x10^

学问点八：找规律

1、找规律计算：

1+(-2)+3+(-4)+5+(-6)+---+2005+(-2006)

2、先阅读第〔1)小题的计算过程，再计算第［2)小题;

(1)计算:—+—++••・+-------

26129900

-----+------+------+…+----------

1仓2233仓499100

解:原式起111J_

—H—

334…99'

1_99

ioo-ioo

1

[2[计算：[3

315359999

——1+——1+1+•••+--1-

28249800

3、视察以下图形:

★★

★★

★★★

★★★

★★★★★★★★★★★★

★★★★★★★★★

★★★

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

它们是按肯定规律排列的，按照此规律,第16个图形共有个十,

第n个图形共有个支

4、视察以下等式」—2一23卡喑..根据你发觉的

规律，解答以下问题:

［1）写出第5个等式；［2）第10个等式；［3）第n个等式;

5、视察下面的式子:

2x2=4,2+2=4;

1x3=4-,-+3=4-;

2222

4/J4,J

—x4=5—,—+4=5—；

3333

5V/5u3

—x5=6—,—F5=6—

4444

⑴小明归纳了上面各式得出一个揣测：两个有理数的积等于这两

个有理数的和，小明的揣测正确吗？为什么？

⑵请你视察上面各式的构造特点，归纳出一个揣测，并证明你的

揣测

6、用※代表一种运算，假设aXb=-/+工人，试求值：〔1〕5X6,〔2)

2

[3X4)

重点题型总结与应用

题型一肯定值

理解肯定值的意义与性质是难点，由于㈤表示的是表示数a的点到原

点的间隔，因此1a1>0.可运用㈤的非负性进展求解或推断某些字母的

取值.

例1假如a与3互为相反数，那么1a+2|等于()

A.5B.1C.-1D.-5

解析：a与3互为相反数，那么<a=-3,所以|a+2|=|-3+2|=-11=1.

答案：B

例2假设(a-1/+|步2|=0,那么a+5=,

解析:由于(虫1尸由0，I/2|20,又仁-1尸与1出21互为相反数，因此

(aT)2=0且|夕2|=0,那么a=l,力=-2,所以a+5=T.

答案：-1

规律

假设几个非负数的和为0,那么这几个数分别为0.

题型二有理数的运算

有理数的运算包括加减法、乘除法与乘方，是初中数学运算的根底.要

熟记法那么，敏捷运算，进展混合运算时，还要留意运算依次与运算律的

应用.

例3(-1)2°”的相反数是()

A.1B.-1C.2011D.-2011

解析：由于指数2011为奇数，所以(-1)2。1•一1,其相反数为1.

答案：A

例4计算：⑴(―l；]x[+g]x(-8)-9+(T；];

(2)5x1^x[2-(-3)2].

=4-4=0.

二1一A)

*7)=4

题型三运用运算律简化运算过程

运用加法的交换律、结合律，把某些具有一样属性的数(如正数、负

数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以

简化运算过程.

例5计算以下各题.

(1)21-49.5+10.2-2-3.5+19；

⑶1

(-0.2)3

519

-2一X——X

1943

分析：混合运算，应按法那么进展，同时留意敏捷运用运算律，简化

运算过程.

解：(1)原式=[(21+19)+10.2]+[(-49.5-3.5)-2]=50.2-55=-4.8；

⑵原式=」+2、2。2—32=+2+23

234834141-1

T+号24+/一*24.125

1139

=——+270+56-330+125=—+121=120—；

404040

⑷原式=X

279431916、27

——x-------------x-------1------——x0=0.

825194325)8

点拨

（1）正、负数分别结合相加；（2）分数中，同分母或分母有倍数关系的

分数结合相加；（3）除法转化为乘法，正向应用乘法安排律；（4）逆向应用

安排律a(〃c)=akr^ac,即aaac=a(>c).

题型四利用特别规律解有关分数的计算题

根据题目特点，敏捷将算式变形，对不同算式实行运算依次重新组合、

因数分解、裂项等不同的方法，到达优化解题过程、简化计算、解决问题

的目的.

例6计算以下各题.

(1)-5--9-+17--3-

6342

159--59-+59-^

2777)

111111111

⑶----1----+一+一+一+一+一+一+一

2612203042567290

1111111

——I------1------1--------F…H----------1-------------1------------

2481651210242048

分析：（1）带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相

加.

⑵此题假设按常规计算方法比较费事，但假设用运算律可简化运算.

1_1_111_1_11

⑶由于9NT6-2^3-2-312-3^4-3-4

1_1_111_1_111_1_111_1_11

20-4^5-4-530-5^6-5_6'42_67F-6-7，56-7^8-7-8'

1_1_11

所以将原算式变形裂项后，再进展

72-8^9-8-9909x10910

计算.

（4）算式中，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，可在算式中

加上最终一个分数,，再减去」—，加上的」-与前一个分数运算,

204820482048

所得的和再与前一个分数运算，依次向前进展，最终求得运算结果.

解：（1）原式=一5-9—9—2+17+3—3—1

6342

5_23_1}

=(-5-9+17-3)+6-3+4-2^

159--59-+59-^

2777)

£高中9+沁-；+59+空

2

14}[(59-59+59)+(|-1+0

317

=-x60--x60-—x60=36-30-35=-29.

5212

⑶原式=J-+J—+J—+J—+J—+J—+J—++^—

1x22x33x44x55x66x77x88x99x10

19

=1------二—

1010

(4)原式=：+:+1+:+...+一1+--1-+——1—+『+

102420482048204824816

1111111

…十=--\------1------1--------F..J-----------

102410242048248165122048

111112047

=一+----------=1--------=------

22204820482048

点拨

利用规律特点，敏捷解分数计算题，须要仔细视察，留意常常训练，

进步思维的敏捷性.

题型五有理数运算的应用

用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用非常

广泛，其中，有理数的加法、减法与乘法运用较多.做题时，要仔细分析,

列出算式，并精确计算.

例7有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，

缺乏的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1.2,-0.8,2.3,

1.7,-1.5,-2.7,2,-0.2,那么这8箱橘子的总重量是多少

分析：此题运用有理数的加法、乘法解决问题.先求出总增减量，再

求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量.

解析：1.2+(-0.8)+2.3+1.7+(-1.5)+(-2.7)+2+(-0.2)

=1.2-0.8+2.3+1.7-1.5-2.7+2-0.2

=(2.3+1.7+2)+(-0.8-2.7-1.5)+(1.2-0.2)

=6-5+1=2.

那么15X8+2=122(千克).

答案：这8箱橘子的总重量是122千克.

例8一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到

达“华能”修理部，又向北走了3.5千米，到达“捷达”修理部，接着

向北走了7.5千米，到达“志远”修理部，最终又回到批发部.

(1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1

千米，你能够在数轴上表示出“华能〃”捷达〃“志远〃三家修理部的位

置吗

(2)“志远〃修理部距“捷达”修理部多远

(3)货车一共行驶了多少千米

解：⑴能.如图『6-1所示.

志远捷达华能

-3-2-1012345678910

图1-6-1

（2）由数轴可知“志远”修理部距"捷达”修理部4.5-（-3）=4.5+3

=7.5（千米）.

（3）货车共行驶了⑻+|-3.5|+|-7.5|+|3|=8+3.5+7.5+3=22（千

米）.

题型六探究数字规律

找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目敏捷多

变.解题时要仔细视察、分析思索，找出规律，并运用规律解决问题.

例9某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两

个，2.5小时后，这种细菌可分裂为（）

A.8个B.16个C.32个D.64个

解析：此题数字的规律是1-2-4-8…，每半小时细菌个数变为原来

的2倍，所以经过2.5小时，细菌个数应变为原来的夕倍，即32个.

答案：c®-®

©©0

例10视察图1-6-2,找寻规律，在“〃处应填上-

ll

o

的数字是（）©

l

©©

A.128B.136-

图1-6-2

C.162D.188

解析：视察图个数字特点可发觉：8=4+2+2；14=8+4+2；

26=14+8+4；….所以“"=88+48+26=162.

答案：C

思想方法归纳

本章中所表达的数学思想方法主要有：

1.数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描绘有理

数的概念和运算，数轴成为理解有理数与其运算的重要工具.这种把数与

形（图形或数轴）结合起来进展探讨的思想方法，是学习数学的重要思想方

法.

2.分类探讨思想：a与-a哪个大呢a的肯定值等于什么在本章中，

我们都是通过分类探讨解决问题，分类探讨可以把一个困难的问题分成假

设干个较简洁的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方

法.不重复、不遗漏是对分类探讨提出的根本要求.例如，我们常把有理

数分成正有理数、负有理数和零三类，假如遗漏了零，只考虑正有理数和

负有理数两种状况，就会犯错误.

3.转化思想：有理数的加法是通过符号法那么转化为肯定值（小学所

学的数）的加减法进展的；有理数的减法是通过转化为加法进展的；有理

数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法那么转

化为肯定值的乘除法进展的.

1.数形结合思想

数轴是数形结合的重要工具，涉与含字母或肯定值符号的问题，借助

数轴往往有利于问题的快速解决.

例1|a|>|引，a>0,b<Q,把a、b、-