湖北省宜昌西陵区五校联考2024届中考数学四模试卷含解析

湖北省宜昌西陵区五校联考2024年中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.一个正比例函数的图象过点（2,-3）,它的表达式为（）

3232

A.y=--xB.y=—xC.y=—xD.y=--x

2323

2.在如图所示的数轴上，点B与点C关于点A对称，A、B两点对应的实数分别是相和-1,则点C所对应的实数

是（）

BAC

-1o43

A.1+73B.2+73C.273-1D.273+1

3.五名女生的体重（单位：kg）分别为：37、40、38、42、42,这组数据的众数和中位数分别是（）

A.2、40B.42、38C.40、42D.42、40

4.如图，。0中，弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC,若NA=60。，ZADC=85°,则NC的度数是（）

A.25°B.27.5°C.30°D.35。

龙+22

5.计算--------的结果为（）

xx

1

A.1B.xC.-

x

6.如图，0O是^ABC的外接圆，AD是。O的直径，连接CD,若。O的半径r=5,AC=5后,则NB的度数是（）

A.30°B.45°C.50°D.60°

7.下列计算正确的是（）

A.y/5~y/2.=B.y/4=±2

C.a64-a2=a3D.(-a2)3=-a6

8.如图，将△ABC沿DE,EF翻折，顶点A,B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO,若NDOF=142。，则

ZC的度数为（）

9.如图，将AABC绕点B顺时针旋转60。得ADBE,点C的对应点E给好落在AB的延长线上，连接AD,下列结

论不一定正确的是（）

A.AD//BCB.ZDAC=ZEC.BC±DED.AD+BC=AE

10.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的

概率是（）

4321

A.—B.—C.—D.一

5555

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.小明统计了家里3月份的电话通话清单，按通话时间画出频数分布直方图（如图所示），则通话时间不足10分钟

的通话次数的频率是.

（注：每组内只含最小值，不含最大值）

12.如图△ABC中，AB=AC=8,ZBAC=30°,现将△ABC绕点A逆时针旋转30。得到AACD,延长AD、BC交于点

E,则DE的长是.

BCE

13.化简」---匚的结果是.

X+1X-L

14.为了节约用水，某市改进居民用水设施，在2017年帮助居民累计节约用水305000吨，将数字305000用科学记数

法表示为.

15.如图，在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,点D为AB的中点，已知扇形EAD和扇形FBD的圆心分别为点A、

点B,且AB=4,则图中阴影部分的面积为（结果保留£）.

3_

16.如图，反比例函数y=—（x>0）的图象与矩形OABC的边长AB、BC分别交于点E、F且AE=BE,则△OEF

X

的面积的值为

17.如图是我区某一天内的气温变化图，结合该图给出的信息写出一个正确的结论:

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，在一条河的北岸有两个目标M、N,现在位于它的对岸设定两个观测点A、B.已知AB〃MN,在

A点测得NMAB=60。，在B点测得NMBA=45。，AB=600米.

（1）求点M到AB的距离；（结果保留根号）

（2）在B点又测得NNBA=53。，求MN的长.（结果精确到1米）

(参考数据：73=1.732,sin53°~0.8,cos53°~0.6,tan53°~1.33,cot53°~0.75)

19.（5分）如图，已知直线丫=履-6与抛物线丫=2*2+6*+（;相交于A,B两点，且点A（1,-4）为抛物线的顶

（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P,使APOB与APOC全等？若存在，求出点P的坐标；若

不存在，请说明理由；

（3）若点Q是y轴上一点，且AABQ为直角三角形，求点Q的坐标.

20.（8分）如图，在ABC中，NAC8=90°,的垂直平分线£电交于。，交A5于E,F在射线OE上,

并且EF=AC.

（1）求证：AF=CE；

（2）当/B的大小满足什么条件时，四边形ACEN是菱形？请回答并证明你的结论.

21.（10分）已知：如图，在梯形A5CZ）中，DC//AB,AD=BC,30平分NA3C,ZA=60°.

求：(1)求NCZ>3的度数；

(2)当AZ>=2时，求对角线50的长和梯形4BCZ>的面积.

22.(10分)某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类

节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图.

学生最喜爱节目的人数学生最喜爱节目的人数

条形统计图扇形统计图

⑴求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；

⑵在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

(3)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那

么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？

23.(12分)如图，△ABC中，ZC=90°,AC=BC,NABC的平分线BD交AC于点D,DE_LAB于点E.

(1)依题意补全图形；

(2)猜想AE与CD的数量关系，并证明.

24.(14分)为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品.若购进A种纪念品8件,

B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元.

(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？

(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于

7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？

（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）间的各种进货方案中，哪一

种方案获利最大？最大利润是多少元？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、A

【解题分析】

利用待定系数法即可求解.

【题目详解】

设函数的解析式是y=kx,

3

根据题意得：2k=-3,解得：k=--.

2

3

函数的解析式是：y=

2

故选A.

2、D

【解题分析】

设点C所对应的实数是x.根据中心对称的性质，对称点到对称中心的距离相等，则有

X-V3=A/3-（-1）,解得X二273+1.

故选D.

3、D

【解题分析】【分析】根据众数和中位数的定义分别进行求解即可得.

【题目详解】这组数据中42出现了两次，出现次数最多，所以这组数据的众数是42,

将这组数据从小到大排序为：37,38,40,42,42,所以这组数据的中位数为40,

故选D.

【题目点拨】本题考查了众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数.将一组数据从小到大（或从大到

小）排序后，位于最中间的数（或中间两数的平均数）是这组数据的中位数.

4、D

【解题分析】

分析：直接利用三角形外角的性质以及邻补角的关系得出NB以及NODC度数，再利用圆周角定理以及三角形内角和

定理得出答案.

详解：VZA=60°,NADC=85。，

.,.ZB=85°-60°=25°,NCDO=95°,

.,.ZAOC=2ZB=50°,

.,.ZC=180o-95°-50o=35°

故选D.

点睛：此题主要考查了圆周角定理以及三角形内角和定理等知识，正确得出NAOC度数是解题关键.

5、A

【解题分析】

根据同分母分式的加减运算法则计算可得.

【题目详解】

故选：A.

【题目点拨】

本题主要考查分式的加减法，解题的关键是掌握同分母分式的加减运算法则.

6、D

【解题分析】

根据圆周角定理的推论，得NB=ND.根据直径所对的圆周角是直角，得NACD=90。.

在直角三角形ACD中求出ND.

则豆疝有邛/

ZD=60°

NB=ND=60°.

故选D.

“点睛”此题综合运用了圆周角定理的推论以及锐角三角函数的定义，解答时要找准直角三角形的对应边.

7、D

【解题分析】

根据二次根式的运算法则，同类二次根式的判断，开算术平方根，同底数暴的除法及暴的乘方运算.

【题目详解】

A.不是同类二次根式，不能合并，故A选项错误；

B."=2丹2,故B选项错误；

C.a^a2=aVa3,故C选项错误；

D.(-a2)3=-a6,故D选项正确.

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了二次根式的运算法则，开算术平方根，同底数塞的除法及骞的乘方运算，熟记法则是解题的关键.

8、A

【解题分析】

分析：根据翻折的性质得出NA=NOOE,ZB=ZFOE,进而得出/。0尸=/4+/5,利用三角形内角和解答即可.

详解：：将AABC沿翻折，,ZA=ZDOE,NB=NFOE,：.ZDOF=ZDOE+ZEOF=ZA+ZB=142°,：.ZC=180°

-ZA-ZB=180°-142°=38°.

故选A.

点睛：本题考查了三角形内角和定理、翻折的性质等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会把条件转

化的思想，属于中考常考题型.

9、C

【解题分析】

利用旋转的性质得BA=BD,BC=BE,ZABD=ZCBE=60°,ZC=ZE,再通过判断△ABD为等边三角形得到AD=AB,

ZBAD=60。，则根据平行线的性质可判断AD〃BC,从而得到ZDAC=ZC,于是可判断NDAC=NE,接着利用AD=AB,

BE=BC可判断AD+BC=AE,利用NCBE=60。，由于NE的度数不确定，所以不能判定BCLDE.

【题目详解】

,/AABC绕点B顺时针旋转60。得4DBE,点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，

；.BA=BD,BC=BE,NABD=NCBE=60。，ZC=ZE,

.,.△ABD为等边三角形，

；.AD=AB,/BAD=60°,

VZBAD=ZEBC,

AAD/7BC,

,\ZDAC=ZC,

:.ZDAC=ZE,

VAE=AB+BE,

而AD=AB,BE=BC,

/.AD+BC=AE,

,-,ZCBE=60°,

,只有当NE=30。时，BC±DE.

故选C.

【题目点拨】

本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后

的图形全等.也考查了等边三角形的性质.

10、B

【解题分析】

试题解析：列表如下：

到1男2男3女1女2

男1——VV

黑2——VV

男3一—VV

女1VVV一

女2VVV—

二共有20种等可能的结果，P（一男一女）

205

故选B.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11,0.7

【解题分析】

用通话时间不足10分钟的通话次数除以通话的总次数即可得.

【题目详解】

由图可知：小明家3月份通话总次数为20+15+10+5=50（次）；

其中通话不足10分钟的次数为20+15=35（次），

二通话时间不足10分钟的通话次数的频率是35-50=0.7.

故答案为0.7.

12、4A/3-4

【解题分析】

过点。作CH_LAE于H,根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算NACB=75°

再由旋转可得，/CAD=/BAC=30°,根据三角形外角和性质计算/E=45°,根据含30。角的直角三角形的三

边关系得CH和AH的长度，进而得到DH的长度，然后利用4=45°得到EH与CH的长度，于是可得

DE=EH—DH.

【题目详解】

如图，过点C作CHLAE于H,

VAB=AC=8,

/B=/ACB=1(180°-/BAC)=1(180°-30°)=75°.

•.•将ABC绕点A逆时针旋转，使点B落在点。处，此时点C落在点D处，

.•・AD=AB=8,NCAD=/AC=30。，

VZACB=/CAD+ZE,

.••4=75°—30°=45°.

在Rt_ACH中，•••^CAH=30S

1亡「

/.CH=-AC=4,AH=V3CH=473,

:.DH=AD-AH=8-，

在Rt_CEH中，•••/E=45°,

EH=CH=4,

DE=EH-DH=4-(8-4@=4有-4.

故答案为46-4.

【题目点拨】

本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性

质.

【解题分析】

先将分式进行通分，即可进行运算.

【题目详解】

11_x-1x+1_2

X+1X—1X--1X"—1%2—1

【题目点拨】

此题主要考查分式的加减，解题的关键是先将它们通分.

14、3.05xlO5

【解题分析】

试题解析：305000用科学记数法表示为：3.05xlO5.

故答案为3.05x105

15、4-n

【解题分析】

由在等腰直角三角形ABC中，NC=90。，AB=4,可求得直角边AC与BC的长，继而求得AABC的面积，又由扇形

的面积公式求得扇形EAD和扇形FBD的面积，继而求得答案.

【题目详解】

解：,在等腰直角三角形ABC中，ZC=90°,AB=4,

J2I-

：.AC=BC=AB«sin45°=芋AB=2亚,

1

•,.SAABC=-AC«BC=4,

2

•••点D为AB的中点，

.1

:.AD=BD=一AB=2,

2

.__451

•»S扇彩EAD=S扇形FBD=--------Xjr><2-=—It,

3602

S阴影=SAABC-s扇形EAD-S扇形FBD=4-7t.

故答案为：4-7T.

【题目点拨】

此题考查了等腰直角三角形的性质以及扇形的面积.注意S阴影=SAABC-S扇形EAD-S扇形FBD・

【解题分析】

试题分析：如图，连接OB.

33

VE,F是反比例函数-一三(x>0)的图象上的点，EA，x轴于A,FClyft^C,ASAAOE=SACOF=-xl=-.

•x22

・・・3

•AE=BE,••SABOE=SAAOE=—,SABOC=SAAOB=1•

2

33

*,■SABOF=SABOC-SACOF=1-----=.，F是BC的中点.

22

.33339

••SAOEF=S矩形AOCB-SAAOE-SACOF-SABEF=6----------------------X—=_.

22224

17、这一天的最高气温约是26。

【解题分析】

根据我区某一天内的气温变化图，分析变化趋势和具体数值，即可求出答案.

【题目详解】

解：根据图象可得这一天的最高气温约是26。，

故答案为：这一天的最高气温约是26。.

【题目点拨】

本题考查的是函数图象问题，统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、(1)(900-300^/3)^-;(2)95m.

【解题分析】

(1)过点M作MDLAB于点D,易求AD的长，再由BD=MD可得BD的长，即M到AB的距离；

(2)过点N作NELAB于点E,易证四边形MDEN为平行四边形，所以ME的长可求出，再根据MN=AB-AD-BE

计算即可.

【题目详解】

解：(1)过点M作MDLAB于点D,

VMD1AB,

.\ZMDA=ZMDB=90°,

VZMAB=60°,NMBA=45°,

.,.在RSADM中，=tanA=^；

AD

MD

在RtABDM中，=tanZMBD=L

，BD=MD=G,

VAB=600m,

/.AD+BD=600m,

.,.AD+6AD=600机，

，AD=(300^-300)m,

，BD=MD=(900-300下))兀,

：.点M至IJAB的距离(900-300⑶兀,

(2)过点N作NE±AB于点E,

VMD±AB,NE±AB,

；.MD〃NE,

；AB〃MN,

四边形MDEN为平行四边形，

:.NE=MD=(900-300下,)兀,MN=DE,

VZNBA=53°,

RF-

...在RtANEB中，——=cot530®0.75,

NE

：.BEh(675—2256)万m,

MN=AB-AD-BE«225一75石«95m•

DE

【题目点拨】

考查了解直角三角形的应用，通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问题'根据题目已知特点选用适当

锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案是解题的关键・

19、解：(1)y=x2-2x-3；(2)存在，P(土叵，边宜)；(1)Q点坐标为(0,-1)或(0,』)或(0,一

2222

1)或(0,-1).

【解题分析】

(1)已知点A坐标可确定直线AB的解析式，进一步能求出点B的坐标.点A是抛物线的顶点，那么可以将抛物线

的解析式设为顶点式，再代入点B的坐标，依据待定系数法可解.

(2)首先由抛物线的解析式求出点C的坐标，在APOB和APOC中，已知的条件是公共边OP,若OB与OC不相

等，那么这两个三角形不能构成全等三角形；若OB等于OC,那么还要满足的条件为：ZPOC=ZPOB,各自去掉一

个直角后容易发现，点P正好在第二象限的角平分线上，联立直线y=-x与抛物线的解析式，直接求交点坐标即可，同

时还要注意点P在第二象限的限定条件.

(1)分别以A、B、Q为直角顶点，分类进行讨论，找出相关的相似三角形，依据对应线段成比例进行求解即可.

【题目详解】

解：(1)把A(1,-4)代入y=«x-6,得k=2,

.,.y=2x-6,

令y=0,解得：x=l,

的坐标是(1,0).

为顶点，

二设抛物线的解析为y=a(x-1)2-4,

把3(1,0)代入得：4a-4=0,

解得a=L

.•・y=(x-1)2-4=x2-2x-1.

(2)存在.

VOB=OC=lfOP=OP9

工当NPOB=NPOC时,bPOB义APOC,

此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-X.

设-m),贝1J-帆=m2-2帆-1,解得《=I-"，设=>o,舍)，

22

.I-A/13巫-1、

••LPF\--------,--------).

22

(1)①如图，当NQA5=90。时，

嚼噜，即今噩5

：.DQI=-9

77

••OQi=—,即。1(0,-,)；

②如图，当/02区4=90。时，ABOQ2s/\DOB,

.OB_OQ口口3_。&

••—29—9

ODOB63

33

.*.002=5，即。2(0,—)；

③如图，当NAQ1B=9O。时，作AE，y轴于E,

则ABOQi^/\QiEA,

.OB_OQ.3。&

**Q3EAE'即4-0031

Aogi2-4001+1=0,...osn或1,

即01(0,-1),04(0,-1).

73

综上，。点坐标为(0,--)或(0,一)或(0,-1)或(0,-1).

22

20、(1)见解析；(2)见解析

【解题分析】

⑴求出EF//ACmEF=AC,利用平行四边形的判定推出四边形ACEF是平行四边形即可；

⑵求出CE=LA3,AC=工A5,推出AC=CE,根据菱形的判定推出即可.

22

【题目详解】

(1)证明：VZACB=90°,OE是5c的垂直平分线，AZBDE=ZACB=90°,：.EF//AC,'：EF=AC,，四边形

ACE歹是平行四边形，...Ab=CE；

(2)当NB=30。时，四边形ACEF是菱形，证明：*.♦/3=30。，ZACB=90°,.,.AC=』AB,TOE是3c的垂直平

一2-

分线，：.BD=DC,,JDE//AC,：.BE=AE,,：ZACB=9Q°,：.CE=-AB,：.CE=AC,:四边形ACE尸是平行四

2

边形，，四边形ACE尸是菱形，即当N3=30。时，四边形ACEF是菱形.

【题目点拨】

本题考查了菱形的判定平行四边形的判定线段垂直平分线，含30度角的直角三角形性质，直角三角形斜边上中线性质

等知识点的应用综合性比较强，有一定的难度.

21、：⑴30。；(2)S梯形钻8=36・

【解题分析】

分析：

(1)由已知条件易得/ABC=NA=60。，结合BD平分NABC和CD〃AB即可求得NCDB=30。；

(2)过点D作DH_LAB于点H,则NAHD=30。，由(1)可知NBDA=NDBC=30。，结合NA=60。可得NADB=90。，

ZADH=30°,DC=BC=AD=2,由此可得AB=2AD=4,AH=g,这样即可由梯形的面积公式求出梯形ABCD的面积

T.

详解：

(1)；在梯形ABCD中，DC〃AB,AD=BC,NA=60。，

.,.ZCBA=ZA=60",

VBD平分/ABC,

1

:.ZCDB=ZABD=-ZCBA=30",

2

(2)在AACD中，VZADB=180°-ZA-ZABD=90°.

BD=AD-tanA=2tan600=26.

过点D作DHLAB,垂足为H,

/.AH=AD-sinA=2sin600=73.

1

,/ZCDB=ZCBD=-ZCBD=30",

2

.\DC=BC=AD=2

VAB=2AD=4

•••S梯形ABCD=g（AB+CD）.DH=g（4+2）百=.

点睛：本题是一道应用等腰梯形的性质求解的题，熟悉等腰梯形的性质和直角三角形中30。的角所对直角边是斜边的

一半及等腰三角形的判定，是正确解答本题的关键.

22、(1)共调查了50名学生；统计图见解析；(2)72°；(3)A

3

【解题分析】

(1)用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数，先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条

形统计图；

(2)用360。乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；

(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率

公式求解.

【题目详解】

解：(1)144-28%=50,

本次共调查了50名学生.

补全条形统计图如下.

学生最喜爱节目的人数

条形统计图

6

4

2

0

8

6

4

2

0

⑵在扇形统计图中，“歌