2024成都中考数学二轮B26复习 图形变化类 （含答案）

2024成都中考数学二轮B26复习专题图形变化类(学生版)

目标层级图

翻折

例1.已知，在RtA48C中，乙4c8=90。，8c=4,45=4正，点。是/C边上的一个动

点，将△/8D沿8。所在直线折叠，使点Z落在P处.

(1)如图1,若点。是NC中点，连接PC.

①求4c的长；

②试猜想四边形8cp。的形状，并加以证明;

(3)如图2,若BD=4D,过点P作PH_L8C交8c的延长线于点“，求C"的长.

BH

B

图1图2

例2.如图，已知一个三角形纸片/C8,其中N/C8=90。，/C=8,BC=

6,E、尸分别是4C、边上的点，连接EF.(1)如图1,若将纸片ZC8的一角沿EF折

叠，折叠后点/落在边上的点。处，且使S四如£CBF=4SA£",求EO的长；

(2)如图2,若将纸片/C8的一角沿£尸折叠，折叠后点”落在8c边上的点朋•处，且使

MF//CA.

①试判断四边形尸的形状，并证明你的结论；

②求EF的长；

8AJ7

(3)如图3,若在的延长线与8C的延长线交于点N,CN=2,CE=-,,求竺值.

7BF

例3如图，点E,尸分别在矩形/8CD的边48,BC上，连接EF,将\BEF沿直线EF翻

折得到A/花尸，AB=8,BC=6,AE:EB=3-A.

(1)如图1,当NBEF=45°时,£77的延长线交。C于点M,求4〃的长；

(2)如图2,当F”的延长线经过点。时，求tan/FE〃的值；

(3)如图3,连接力”，HC,当点尸在线段8c上运动时，试探究四边形/HCO的面积

是否存在最小值？若存在，求出四边形的面积的最小值；若不存在，请说明理由.

图1图2图3

例4.在矩形/BCD中，力8=3,/。=4,点尸为48边上的动点(尸与/、8不重合)，将

MCP沿CP翻折，点5的对应点用在矩形外，PB、交AD于E,CB、交4D于点F.

(1)如图1,求证：MPE^ADFC；

(2)如图1,如果EF=P£,求8尸的长；

(3)如图2,连接89交力。于点。，EQ:QF=S:5,求tanNPCB.

例5.如图，点E是正方形48CD的边8c延长线上一点，连接。E,过顶点8作

垂足为F,BF交边DC于点、G.

(1)求证：DGBC=DFBG；

(2)连接Cb,求/CF8的大小；

(3)作点C关于直线。E的对称点”，连接CH,FH.猜想线段。F,BF,C"之间

的数量关系并加以证明.

BE

例6.如图，在矩形/8C。中，AB=3,AD=\,点尸在线段上运动，设/尸=x,现将

纸片折叠，使点。与点P重合，得折痕E尸(点E、尸为折痕与矩形边的交点)，再将纸片

还原.

(1)当x=0时，折痕E尸的长为；当点E与点N重合时，折痕£尸的长为；

(2)请写出使四边形EH吟为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

(3)令所2=y,当点E在Z。、点厂在8c上时，写出y与x的函数关系式.当y取最大

值时，判断尸与A/吆尸是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由.温

馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

例7.将矩形ABCD沿对角线8。翻折，点A落在点4处，4D交BC于点E,点、F在。上,

连接£尸，且CE=3CF,如图1.

(1)试判断的形状，并说明理由；

(2)若NDEF=45°,求tan/COE的值；

(3)在(2)的条件下，点G在8D上，且不与8、。两点重合，连接EG并延长到点”,

使得EH=BE,连接3"、DH,将沿ZW翻折，点8的对应点夕恰好落在E"的

延长线上，如图2.当8”=8时，求GH的长.

例8.在矩形ABCD的CD边上取一点E，将ABCE沿8E翻折，使点C恰好落在AD边上点F

处.

(1)如图1,若8c=28/,求NC8E的度数；

(2)如图2,当/8=5,且“/尸。=10时，求8c的长；

(3)如图3,延长E尸，与N48F的角平分线交于点M,BM交4D于点、N,当NF=4N+FD

Aft

时，求丝的值.

BC

例9.(1)模型探究：如图1,D、E、F分别为&4BC三边BC、AB、NC上的点，且

NB=NC=NEDF=a.\BDE与XCFD相似吗？请说明理由；

(2)模型应用：A48c为等边三角形，其边长为8,E为"8边上一点，尸为射线/C上一

点，将A/1EF沿EF翻折，使/点落在射线C8上的点。处，且80=2.

①如图2,当点。在线段BC上时，求任的值；

AF

②如图3,当点〃落在线段C8的延长线上时，求与△0加的周长之比.

图图

12图3

二.旋转

例1.在矩形"BCD中，边N8绕点/逆时针旋转口(0。＜%90。)得到线段连接8E,过

点E作EF上BE交BC于点F.

(1)如图1，当夕=90。时，请直接写出线段8尸与48之间满足的等量关系；

(2)如图2,当0。＜夕＜90。时，连接。E,DF.

„4j.+aBF

。求I正T：tan—=---；

22AB

图1图2

例2.(1)A48c和ACZ5E是两个等腰直角三角形，如图1,其中

ZACB=ZDCE=90。,连结Z。、BE,求证：MCD=\BCE.

(2)MBC和\CDE是两个含30。的直角三角形，其中N4CB=NDCE=9。。,

NG4B=NCDE=30°,CD＜AC,ACDE从边C。与/C重合开始绕点C逆时针旋转一定

角度0(0。＜g＜180。)；

①如图2,DE与BC交于点、F,与N8交于点G,连结，若四边形/OEC为平行四边

形，求也的值；

AG

②若/8=10,DE=8,连结加9、BE,当以点8、D、E为顶点的三角形是直角三角形

时，求8E的长.

例3.如图，已知4C为正方形/8C。的对角线，点尸是平面内不与点4,8重合的任意一

点，连接4尸，将线段力尸绕点尸顺时针旋转90。得到线段PE,连接ZE,BP,CE.

(1)求证：AAPEsfBC；

(2)当线段BP与CE相交时，设交点为〃，求丝的值以及N8MC的度数；

CE

(3)若正方形/BCD的边长为3,4尸=1,当点尸，C,E在同一直线上时，求线段8尸的

长.

例4.如图，在A/48c与AEB。中，/ABC=NEBD=90。,AB=6,BC=3,EB=2#,BDf,

射线AE与直线CD交于点P.

(1)求证：MBESACBD；

(2)若ABUED,求tanNP/C的值；

**(3)若绕点B逆时针旋转一周，直接写出线段4尸的最大值与最小值.

B

例5.如图1,已知点G在正方形/8C。的对角线NC上，GEJ.8C,垂足为点£,GF1CD,

垂足为点尸.

(1)证明：四边形CEG尸是正方形；

(2)探究与证明：

将正方形CEG/绕点C顺时针方向旋转a角(0。<夕<45。)，如图2所示，试探究线段/G与

8E之间的数量关系，并说明理由；

(3)拓展与运用：

正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角(0°<a<45。)，如图3所示，当B,E,尸三点

在一条直线上时，延长CG交AD于点”,若/G=6,GH=2垃,求8c的长.

例6.在A48C中，NB4c=60。,AD平分NB/C交边BC于点D,分别过。作。E//ZC交

边4B于点E,DF//AB交边AC于点、F.

(1)如图I,试判断四边形/尸的形状，并说明理由；

(2)如图2,若49=46,点H,G分别在线段NE,AF上,S.EH=AG=3,连接EG

交加)于点连接厂”交EG于点N.

⑺求ENEG的值；

**(方)将线段应/绕点。顺时针旋转60。得到线段。“'，求证：H,F,AT三点在同一条

直线上

图1图2

例7.如图1,在矩形力BCD中，AB=\,对角线/C,8。相交于点O,ZCOD=60°,点E

是线段上一点，连接OE,将线段OE绕点。逆时针旋转60。得到线段，连接。F.

(1)求证：DF=CEx

(2)连接EF交。。于点P,求。P的最大值；

(3)如图2,点E在射线CO上运动，连接“尸，在点£的运动过程中，若4F=4B,求OF

的长.

例&在RtAABC中，ZACB=90°,AB=^,NC=2,过点8作直线m//NC,将A48c绕

点C顺时针旋转得到^A'B'C(点/,B的对应点分别为A',B'),射线CA',CB'分别交

直线机于点P,Q.

(1)如图1,当P与4重合时，求4cH的度数；

(2)如图2,设49与8c的交点为M,当M为的中点时，求线段P。的长；

(3)在旋转过程中，当点尸，。分别在C4,C夕的延长线上时，试探究四边形P4'9。的

面积是否存在最小值.若存在，求出四边形P4夕Q的最小面积；若不存在，请说明理由.

mA'(P)BQmPB0mB

例9.如图①，A48C中，4BC=45°,4HJ.BC于点H,点。在4”上，且DH=CH,

连结8D.

(1)求证：BD=AC；

(2)将绕点H旋转，得到AE/k(点8,。分别与点E,E对应)，连接NE.

①如图②，当点尸落在NC上时，(尸不与C重合)，若8c=4,tanC=3,求4E的长；

②如图③，当是由AS/"＞绕点//逆时针旋转30。得到时，设射线3与/E相交于点

G,连接GH,试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由.

例10.如图1,己知A48c是边长为8的等边三角形，NEBD=30°,BE=DE,连接，

点尸为的中点，连接EF.将ASOE绕点8顺时针旋转.

(1)如图2,当点£位于8c边上时，延长DE交4B于点G.

①求证：BG=DE；

②若所=3,求3E的长；

(2)如图3,连接CF,在旋转过程中试探究线段CR与小之间满足的数量关系，并说明

理由.

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目标层级图

一.翻折

例1.已知I,在中，ZACB=90°,BC=4,力8=4后，点。是ZC边上的一个动

点，将△N8O沿8。所在直线折叠，使点4落在尸处.

(1)如图1,若点。是ZC中点，连接PC.

①求4C的长；

②试猜想四边形8CPO的形状，并加以证明；

(3)如图2,若BD=AD,过点尸作尸〃，8c交8c的延长线于点“，求S的长.

A

【分析】(1)①根据勾股定理求出NC即可；②想办法证明。尸〃8C,OP=8C即可：

(2)如图2中，作。NJ_Z8于MPEUC于E,延长8。交口于设8O=/O=x,则

AN

CD=8-x,在RtZSBOC中，可得x2=(8-x)2+42,推出x=5,由△/ONs^ZBC,可得受

AC

—,可得也推出8N=ZN=2遥

,在RtZ^ON中，DN^J2_2=V5>

AB8475BDBN

由可得期•=毁，可得匹=_屋，推出/M=4,推出/P=24W=8,

AMABAM475

由△/m8△/PE,可得禁=畏可得看=,，推出ZE=卷，推出PE={PA2_AE2=

磐，即可解决问题；

5

【解答】解：(1)①在RtZ\/8C中，•.•8C=4,AB=4后(4)2_42=8,

②如图1中，四边形BCPO是平行四边形.

理由：：/C=8,AD=DC,；.。。=4。=4,

,：BC=4,：.BC=CD=4,.♦.△5C£)是等腰直角三角形，：.ZBDC=45°,

:.NADB=NBDP=135°,AZPZ)C=135°-45°=90°,:.NBCD=NPDC=90°,

J.DP//BC,,：PD=AD=BC=2,，四边形8。尸。是平行四边形.

(2)如图2中，作DNL4B于N,PE上4c于E,延长8。交总于此

图2

设BD=AD=x,则CO=8-x,

在RtZ\8Z)C中，,：BD2^CD2+BC2,；./=(8-x)2+42,；.x=5,

"：DB=DA,DNLAB,

由A4DNSA4BC,可得烟=延，Z.—=/.BN^AN^2V5>

ACAB8475

在RtABON中，〃N={BD2_BN2=遮

DNBD.•.返=—：.AM=-4,：.AP=2AM^S,

由ABDNsAB4M,可得=

AM-AB'AM475

由△ZOA/s△/「£：,可得AMAD.4_5：.AE=—

瓯一而，••豆一百'5

P£=JpA2_AE2=答易证四边形PECH是矩形，：.CH=PE=^-.

【点评】本题考查四边形综合题、勾股定理.相似三角形的判定和性质、翻折变换、等腰三

角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造

相似三角形解决问题，属于中考压轴题.

例2.如图，已知一个三角形纸片ZC8,其中NZC8=90。，/C=8,BC=

6,E、尸分别是4C、边上的点，连接EF.(1)如图1,若将纸片ZC8的一角沿EF折

叠，折叠后点/落在边上的点。处，且使S四如£CBF=4SA£",求EO的长；

(2)如图2,若将纸片/C8的一角沿£尸折叠，折叠后点”落在8c边上的点朋•处，且使

MF//CA.

①试判断四边形尸的形状，并证明你的结论；

(条件类，先判断菱形，再利用性质进行列式)

②求EF的长；

eAT7

(3)如图3,若FE的延长线与8c的延长线交于点N,CN=2,CE=-,,求一值.

7BF

【分析】(1)先利用折叠的性质得到△AEFm/XDEF,贝SA，EF=S2EF,则易得S

“BC=5S“EF，再证明RtA^EF-RtA/l5C,然后根据相似三角形的性质得到两个三角形面

积比和/£的关系，再利用勾股定理求出Z8即可得到的长；

(2)首先判断四边形4EMf为菱形；再连结力M交E产于点O,设则EM=x,CE

=8-x,先证明△CA/EsaC"得到关于x的比例式，解出x后计算出CM的值，再利用

勾股定理计算出AM,然后根据菱形的面积公式计算EF-,

(3)作"/_L8C于"，先证明ANCEsANFH,利用相似比得到嚣=；,设/H=4x,NH

=7x,则C〃=7x-2,BH=6-(7x-2)=8-7x,再证明△BWs/xs/c,利用相似比可

计算出x的值，则可计算出"/和接着利用勾股定理计算出8R从而得到Z尸的长，

即可得出结论.

【解答】解：(1)•.•△/C8的一角沿历折叠，折叠后点/落在48边上的点。处，

/.EF.LAB,△AEF/4DEF,/.S^AEF=S^DEF9

•S四边形EC8E—4s4EDF，•・S&48c_5S“EF，

在RtZ\48C中，VZACB=90°,4C=8,BC=6,：.AB=\Of

•；NEAF=NBAC,：.Rt^AEF^R.t/^ABC,.•、△呼二(妪)"即(M)2=工，

^AABC期105

:.AE=2后,由折叠知，DE=AE=2近

(2)连结交E尸于点。，如图2,

,//\ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处,

：.AE=EM,AF=MF,NAFE=NMFE,

■:MF//AC,；.N4EF=NMFE,:"AEF=NAFE,J.AE^AF,

：.AE=EM=MF=AF,二四边形/EA/F为菱形，

设则EM=x,CE=8-x,

:四边形力EM"为菱形，:.EM〃AB,

即史=8-x二x

:.4CMEs/\CBA,

CBCAAB6810

解得x=毁，CM=V，

93

22=

在RtZ\ZCM中，AM^A

JC+CM3-

■:S^AEMF=^-EF-AM=AE'CM,；.EF=2X研二；；

2AM9

(3)如图③，作FHLBC于H,

8_

•CN_CE.2—一.FH^4

'：EC//FH,，△NCEs△NFH,•,丽而，•而而,,丽甘

设厂，=4x,NH=7x,则C7/=7x-2,BH=6-(7x-2)=8-lx,

，x4x

'：FH//AC,:.ABFHSABAC,A—--'-,：.x=—

BCAC685

：.FH=4x=—,BH=8-7x=—

55

5/?=22=4,

在RtZiB/T/中，7FH+BH

【点评】本题考查了相似形的综合题：熟练掌握折叠的性质和菱形的判定与性质；灵活构建

相似三角形，运用勾股定理或相似比表示线段之间的关系和计算线段的长.解决此类题目时

要各个击破.本题有一定难度,证明三角形相似和运用勾股定理得出方程是解决问题的关键,

属于中考常考题型.

例3如图，点E,歹分别在矩形45C。的边48,8c上，连接£/，将A5EF沿直线后厂翻

折得到A//M,48=8,BC=6,AE:EB=3:\,

(1)如图1,当N8M=45。时，E”的延长线交0。于点“，求的长；

(2)如图2,当E”的延长线经过点。时，求tan/FE”的值；

(3)如图3,连接HC,当点尸在线段8C上运动时，试探究四边形力的面积

是否存在最小值？若存在，求出四边形ZHCQ的面积的最小值；若不存在，请说明理由.

当ZBEF=45°时，易知四边形EBFH是正方形，

•*=8।.1E:EB=3A，

,4E=6，EB—2.，

NC=乙EBC=£BEM=90°，

四边形EBCM是矩形，

r.EM=BC=6，

:EH=BE=?，

...HM=6-2=4・

解:如图2中，连接QE.

在RtZkElD中，ZJ=90°，JD=-15=6，

/.D£=6^2，

在Rt/kEDH中，DH=《DE?-EH?=2历

设BF=FH=x，则Z>尸=x+2后，FC=6-x>

在尸C中，DF2=DC2^-CF2，

/.（2>/17+A）'=82+（6-X）2，

:式=旧-3，

FH后-3

tanNFEH==―~

解：如图3中，连接/，作EAfL4c于AT

图3

「ZE^V/=£BAC，2AA£E=£8=90。，

XAME-A.15C，

.AE_EM_

,JC=BC'

.6EM

.再=丁，

,.EAf=y，

•*S四边形AHCDMS^ACH+S^C,SycD=]X6x8=24，

,.当△ACH的面枳最〃对，四边形,IHCD的面积最小，

8

:当EH与EM重合时，点H到直蛙AC的距离最小,最小值=号2=3

18

-XOX-S

•.AACH的面积的最小值25-

四边形.AHCD的面积的最小值为8+24=32・

例4.在矩形N8C。中，AB=3,/。=4,点P为48边上的动点(尸与/、8不重合)，将

△8C尸沿C尸翻折，点8的对应点用在矩形外，PB［交AD于E,CB、交AD于点、F.

(1)如图1,求证：MPEsU)FC；

(2)如图1,如果=求8P的长；

(3)如图2,连接BB，交4D于点、Q,EQ.QF=8:5,求tanNPCB.

[解答:]

6.解：(1)•；NA=90",二NAPE+NAEP-90°.VZB)-

90°,AZB,EF+ZB>FE=90".：ZAEP=ZBtEF,

：.ZAPE=ZB,FE.VZB,FE=ZCFD.ANAPE-

NCFD.又NA=ND=90°,；.ZSAPEsaDFC.

(2)设BP=m.由折叠可知△CBPSfiZXCBI，；.CBi=

CB=4,PB=PB1=m(m>0).在AAEP与ABEF中，

NA=NBK已证).

<NAEP=NBiEF(对顶角相等).・・・AAEP4AB^F

PE=EF(已知》•

(ASA)•・•・AE=BE.AP=B}F.VPE=EF,工AE+EF=

PE+BE,即AF=PB,=m.・・・DF=AD-AF=4-m,

AP=AB-BP=3-桢，・•・BiF=3—m、：・CF=CB}

-BiF=4—(3—6)=1+现在Rt/XCDF中，CD2+D产=

CF2.32+(4,解得m=，，即=

(3)过点P作PM〃BC交C氏于点M,交BE于点N.由

△EBiQs^PBiN,得舒=耨，由AFBIQSAMBIN.

FQ=BLQ-EQ=£9.且Y=8Q=旦设PN=

付HMNBiN…MNPN…MNFQ5.以’‘、

Sk,MMN^5k.PM=5k+8k=}3k(k>0).VBC=BXC.

/.ZCBB,"ZCBiB.VAD//BC,：.PM//BC,:.

ZCBBi=NMNBi,/.NMNBi=ZCB,B,.\BfM=MN=

5k.VZBCP=ZBiCP,ZBCP=NCPM・；・NCPM=

ZBjCP,/.CM=PM=13k.VCBi=CM+BM=54+

13A=1洪且CBi=4,・・・1/=4,解得.在直角

△PB,M中.PBi=V/PM-BM=y(134)2-(5i)J=

124,.".PB!-12x-j-■，在直角△BCP中,

tanZPCB=^=-1-=-j.

例5.如图，点E是正方形的边8c延长线上一点，连接。E,过顶点8作

垂足为尸，BF交边DC于点G.

(1)求证：DGBC=DFBG；

(2)连接CE,求NC用的大小；

(3)作点C关于直线DE的对称点H,连接CH,FH.猜想线段DF,BF,CH之间

的数量关系并加以证明.

【分析】(2)连接6。，证明ASGCsADGF,根据相似三角形的性质得到N8OG=NC尸G,

根据正方形的性质解答；

(3)在线段F8上截取使得=连接。证明ASDA/SACDF,得到

BM=ECF,根据等腰直角三角形的性质得到C〃=0CF,证明结论.

【解答】(1)证明：四边形是正方形，

:.ZBCD=90°,BFLDE,:.NGFD=90°,NBCD=NGFD,

/BGC=/FGD,/.^BGC^ADGF,——=——,ADGBC=DFBG；

DGDF

(2)解：如图1,连接B。，\BGC^\DGF,,

DGFGCGFG

ZBGD=ZCGF,\BGDskCGF,4BDG=ZCFG,

四边形是正方形，8。是对角线，；./8£)6=！/力£＞。=45。，.・./。:'8=45。；

2

(3)解：BF=CH+DF,

理由如下：如图2,在线段用上截取RW,使得FM=FD,连接DM,

ZBFD=90°,NMDF=NDMF=45°,DM=-JlDF,

ZBDG=45°,NBDM=NCDF,

\BGDs\CGF,;"GBD=NDCF,/SBDM^ACDF,：%=也=立，

CFDF

BM=42CF,NCFB=45°,BF1DE,

点C关于直线DE的对称点"，ZEFG=ZEFC=45°,ZCFG=90°,

CF=FG,:.CH=y/2CF,BM=CH,BF=BM+FM=CH+DF.

例6.如图，在矩形/8CD中，AB=3,AD=\,点尸在线段48上运动，设力尸=x,现将

纸片折叠，使点。与点尸重合，得折痕E尸（点£、尸为折痕与矩形边的交点），再将纸片

还原.

（1）当x=0时，折痕EF的长为；当点E与点/重合时，折痕EF的长为；

（2）请写出使四边形"ED为菱形的x的取值范围，并求出当x=2时菱形的边长；

（3）令即2=y,当点E在/。、点尸在8C上时，写出y与x的函数关系式.当y取最大

值时，判断AE4P与AP8尸是否相似？若相似，求出x的值；若不相似，请说明理由.温

馨提示：用草稿纸折折看，或许对你有所帮助哦！

【解答】解：（1）当x=0时，折痕EF=NB=3,当点£与点力重合时，折痕后F=行万=应.

(2)L,x,3.当x=2时，如图，连接PE、PF.EF为折痕，:.DE=PE,

令PE为m,则ZE=2-机，DE=m,在RtAADE中，AD2+AE2=DE2

：,l+(2-m)2^m2,解得小=2；此时菱形边长为3.

44

FHAP

(3)如图2,过E作£7/_L5C；\EFH^\DPA,—=——，:.FH=3x；

EHAD

y=EF2=EH2+FH2=9+9X2；

当F与点C重合时，如图3,连接PE；

PF=DF=3,:.PB73°=2&,.­.0..A;,3-272；

函数y=9+9f的值在y轴的右侧随x的增大而增大，，当x=3-2&时，y有最大值,

此时ZEPF=90°,\EAPs\PBF.

综上所述，当夕取最大值时,x=3-2V2.

例7.将矩形/BCD沿对角线8。翻折，点/落在点4处，AD交BC于点E,点F在CD上,

连接即，且CE=3CF,如图1.

(1)试判断的形状，并说明理由；

(2)若NDEF=45。,求tan/CDE的值；

(3)在(2)的条件下，点G在8。上，且不与8、。两点重合，连接EG并延长到点”,

使得EH=BE,连接8"、DH,将沿。，翻折，点8的对应点夕恰好落在即的

延长线上，如图2.当84=8时，求G4的长.

【分析】(1)根据折叠的性质和平行线的性质得：NDBC=NBDE,由等角对等边可得

是等腰三角形；

(2)如图1,过点尸作栈于根据等腰直角三角形的性质得：EF=41FM,设

CF=2a,CE=3a,由勾股定理得EF=Ja,FM=45a,设。尸=x,根据三角函数定

义可得Z)E=也，最后利用勾股定理列方程可得x与。的关系，从而得结论；

5

(3)如图2,作辅助线，构建全等三角形，ijEWABNE5\ECD{AAS),得BN=CE,从而

由等腰三角形三线合一的性质得8N=M/=CE=4,证明ADEGSMHG,列比例式可得结

论.

【解答】解：(1)ABDE是等腰三角形，

理由是：如图1,四边形/8CO是矩形，/D//8C,.•.N/DBuNOBC,

由折叠得：NADB=ZBDE,ZDBC=ZBDE,BE=DE,..A5DE是等腰三角形；

(2)如图1,过点尸作R”_LZ)E于〃，

ZDEF=45°,EF=-J1FM,四边形是矩形，ZC=90°,

CE=3CF,

.•.设B=2Q,CE=3a,;.EF=Ma,FM=^a,ZC=90°,FMIDE,

sin^MDF=—=—,

DFDE

2亚a3a3亚x

设DF=x,-----=——,?.DE=-------，

xDE5

ZC=90°,:.DE2=CE2+CD2,即(^^)2=(3a)2+(x+a)2,

解得：x=5a^--a(舍)，tanZCDE=—=-^―

2CD5a+a2

(3)如图2,过点E作EN_LBH,

由折叠得：ZB'=/HBD,4B'DH=/BDH,:"DHE=4B'+4B'DH=4HBD+ZBDH,

BE=EH=DE,ZDHE=ZEDH=ZBDE+ZBDH,ZHBD=ZBDE,/.BH/IDE,

NHBE=/DEC,

Z57V£=ZC=90°,BE=DE,\BNEAECD(AAS),:.BN=CE,

BE=EH,EN1BH,BH=8,:.BN=NH=CE=4,

由(2)知：CD=2CE,则C0=8,：.DE=EH=yl42+S2=475,

ZHBD=NBDE,ZHGB=ZDGE,/.\DEGs\BHG,

DEEG4A/?_亚

GH=—£77=40-16氐

BH~HG~8-V2+V5

【点评】此题属于四边形的综合题.考查了矩形的性质、三角形全等和相似的性质和判定、

勾股定理、折登的性质等知识，注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键.

例8.在矩形ABCD的CD边上取一点E,将\BCE沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F

处.

(1)如图1,若BC=2BA,求NC8E的度数；

(2)如图2,当4B=5,且ZFFZ)=10时，求8c的长；

(3)如图3,延长K尸，与乙48尸的角平分线交于点M,BM交AD于点、N,当NF=AN+FD

时，求出■的值.

【分析】(1)由折叠的性质得出8c=8F,ZFBE=NEBC,根据直角三角形的性质得出

4尸8=30。，可求出答案；

ACAD

(2)证明\FABS&EDF,由相似三角形的性质得出—=—,可求出OE=2,求出所'=3,

DEDF

由勾股定理求出。?=后，则可求出ZF,即可求出8c的长；

(3)过点N作NGJ.8F于点G,证明&VFGSA5E4,-=—=—=设/N=x,

ABFABF2

设FG〜则U=2y,由勾股定理得出（2»+（2"=（2x+y已解出”*则可求出

答案.

【解答】解：（1）四边形是矩形，，NC=90。，

将\BCE沿BE翻折，使点C恰好落在月。边上点尸处，

BC=BF,NFBE=NEBC,NC=NBFE=90°,

BC=2AB,:.BF=2AB,:.ZAFB=3Q°,

四边形/5C。是矩形，AD/IBC,ZAFB=ACBF=30°,:.NCBE=、NFBC=15°；

2

（2）将ASCE沿BE翻折，使点C恰好落在边上点尸处，

:"BFE=ZC=90°,CE=EF,

又矩形/8C。中，ZJ=Z£）=90°,ZAFB+ZDFE=90°,ZDEF+ZDFE=90°,

Ap4R

:"AFB=/DEF,：,\FABs庄DF,.・.互=",:.AFDF=ABDE,

DEDF

AFDF=W,48=5,/.DE=2,:.CE=DC-DE=5-2=3,:.EF=3,

DF=dEF-DE2=A/32-22=,AF=^=245,

BC=AD=AF+DF=2y/5+y/5=3y/5.

(3)过点N作NG_L8/于点G,

M

22

BC=BF,;.NF=-BF,

2

NGFGNF\

ZNFG=ZAFB,ZNGF=ZBAF=90°,\NFG^\BFA,——=——=—=-,

ABFABF2

设ZN=x,

BN平分乙4BF,ANLAB,NGLBF,AN=NG=x,AB=BG=2x,

设FG=y,贝I//=2y,

AB2+AF2=BF2,.•.(2x)2+(2y)2=(2x+y)2,解得y=gx.

410ABAB2x3

BF=BG+GF=2x+-x=—x.

sc-5

33-x

例9.(1)模型探究：如图1,D、E、尸分别为A48C三边8C、4B、/C上的点，且

ZB=ZC=NEDF=a.\BDE与XCFD相似吗？请说明理由；

(2)模型应用：AABC为等边三角形,其边长为8,E为4B边上一点,尸为射线/C上一

点，将A4EF沿E尸翻折，使Z点落在射线C8上的点。处，且80=2.

①如图2,当点。在线段5c上时，求任的值；

AF

②如图3,当点。落在线段C8的延长线上时，求与AaT)的周长之比.

【分析】(1)利用等式的性质判断出N8ED=NC£L,即可得出结论；

(2)①同(1)的方法判断出ASOESACFD,得出比例式，再设出4£=x,AF=y,进

而表示出8E=8-x,CF=S-y,CD=6,代入比例式化筒即可得出结论；

②同①的方法即可得出结论.

【解答】解：(1)\BDE^\CFD,

理由：NB=NC=NEDF=a，在ABDE中,NB+NBDE+NBED=1弟，

NBDE+NBED=180°-NB=18。°-a,

NBDE+ZEDF+NCDF=180°,NBDE+ZCDF=180°-ZEDF=180°-。，

ABED=NCDF,ZB=NC,\BDE^\CFD；

(2)①设Z£=x,AF=y,

A48C是等边三角形，ZA=ZB=ZC=60°,AB=BC=AC=8,

由折叠知，DE=AE=x,DF=AF=y,ZEDF=ZA=60°,

在\BDE中，NB+NBDE+NBED=18(T,ZBDE+NBED=180°-NB=120°,

ZBDE+NEDF+ZCDF=180°,:.NBDE+NCDF=180°-NEDF=120=,

Dr\npr\p

:"BED=4CDF,/8=NC=60。，/.ABDE^^CFD,?.——=——=—

CFCDFD

BE=AB—AE=8—x,CF=AC-AF=S-y,CD=BC-BD=6,

28-xx2y=x(S-y)x105AE5

------==——=­=———=-

S-y6y6x=y(8—x)y147AF7

②设=AF=y,

A48C是等边三角形，「.4=480=405=60。，AB=BC=AC=8,

由折叠知，DE=AE=x,DF=AF=y,NEDF=N4=60。,

在ABQE中，ZABC+ZBDE+ABED=180°,ABDE+ZBED=180°-ZABC=120°,

/BDE+AEDF+ZCDF=180°,「./BDE+/CDF=180°-NEDF=12(F,

/./BED