2024届甘肃省天水市中考数学模试卷含解析

2024学年甘肃省天水市重点名校中考数学模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.如图，在矩形ABCD中，O为AC中点，EF过O点且EFLAC分别交DC于F,交AB于点E,点G是AE中点

且NAOG=30。，则下列结论正确的个数为（）DC=3OG；（2）OG=-BC；（3）△OGE是等边三角形；（4）

2

A.1B.2C.3D.4

2.已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，顶点为（4,6）,则下列说法错误的是（）

A.b2>4acB.ax2+bx+c<6

C.若点（2,m）（5,n）在抛物线上，则m>nD.8a+b=0

3.下列说法错误的是（）

A.-2的相反数是2B.3的倒数是g

C.（-3）-（-5）=2D.-11,0,4这三个数中最小的数是0

4.一元二次方程x2-3x+l=0的根的情况（）

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.以上答案都不对

5.甲、乙两名同学进行跳高测试，每人10次跳高的平均成绩恰好都是L6米，方差分别是sy=1.4,SZ2=2.5,则在

本次测试中，成绩更稳定的同学是（）

A.甲B.乙C.甲乙同样稳定D.无法确定

6.某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进

件数比第一批多40%,每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x

件衬衫，则所列方程为（）

10000147001000014700

A10=B+1=

---（l+40%）x--°（1+40%）^

1°°°°147001°°°°14700

C-（l-40%）x-10"­FD，（l-40%）x+10=—

7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,点E在边BC上，若AE平分/BED,则BE的长为（）

A.-B.-C.V7D.4-77

58

8.在2016年泉州市初中体育中考中，随意抽取某校5位同学一分钟跳绳的次数分别为：158,160,154,158,170,

则由这组数据得到的结论错误的是（）

A.平均数为160B.中位数为158C.众数为158D.方差为20.3

9.《语文课程标准》规定：7-9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量

不少于260万字，每学年阅读两三部名著.那么260万用科学记数法可表示为（）

A.26xl05B.2.6X102C.2.6x10®D.260xl04

10.如图，把一块含有45。角的直角三角板的两个顶点放在直尺的对边上.如果Nl=20。，那么N2的度数是（）

C.20°D.15°

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如图，OC经过原点且与两坐标轴分别交于点A与点B,点B的坐标为（-G，0）,M是圆上一点,

ZBMO=120°.OC圆心C的坐标是.

13.如图，有一块边长为4的正方形塑料模板ABCD,将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在A点，两条直角边

分别与CD交于点F,与CB延长线交于点E.则四边形AECF的面积是

14.某厂家以4、3两种原料，利用不同的工艺手法生产出了甲、乙两种袋装产品，其中，甲产品每袋含1.5千克A

原料、L5千克5原料；乙产品每袋含2千克4原料、1千克5原料.甲、乙两种产品每袋的成本价分别为袋中两种

原料的成本价之和.若甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.某节庆日，厂家准备生产若干袋甲产品和乙产品，

甲产品和乙产品的数量和不超过100袋，会计在核算成本的时候把A原料和3原料的单价看反了，后面发现如果不看

反，那么实际成本比核算时的成本少500元，那么厂家在生产甲乙两种产品时实际成本最多为____元.

15.化简：+=.

%+1x-1

16.如图，矩形ABCD中，AB=4,BC=8,P,Q分别是直线BC,AB上的两个动点，AE=2,△AEQ沿EQ翻折形

成AFEQ,连接PF,PD,则PF+PD的最小值是.

17.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线1：y=Y3x-走与x轴交于点Bi,以OBi为边长作等边三角形AiOBi,

33

过点Ai作A1B2平行于x轴，交直线1于点B2,以A1B2为边长作等边三角形A2A1B2,过点A2作A2B3平行于x轴，

交直线1于点B3,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3,…，按此规律进行下去，则点A3的横坐标为；点A2018

的横坐标为.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，AABC在平面直角坐标系中的位置如图所示.

(1)直接写出AABC关于原点。的中心对称图形M与G各顶点坐标：A与G；

(2)将AABC绕3点逆时针旋转90。，画出旋转后图形△ABQ.求AABC在旋转过程中所扫过的图形的面积和点C

经过的路径长.

19.(5分)抛物线y=-必+6x+c与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)，与y轴正半轴交于点C.

(1)如图1,若A(-1,0),B(3,0),

①求抛物线y^-x2+bx+c的解析式；

②P为抛物线上一点，连接AC,PC,若NPCO=3NACO,求点P的横坐标；

(2)如图2,D为x轴下方抛物线上一点，连DA,DB,若/BDA+2/BAD=90。，求点D的纵坐标.

图1图2

20.(8分)如图，直线y』与双曲线y=：(k>0,x>0)交于点A,将直线y=；x向上平移4个单位长度后，与y轴

交于点C,与双曲线y=：(k>0,x>0)交于点B.

(1)设点B的横坐标分别为b,试用只含有字母b的代数式表示k；

(2)若OA=3BC,求k的值.

21.(10分).在一个不透明的布袋中装有三个小球，小球上分别标有数字-1、0、2,它们除了数字不同外，其他都

完全相同.随机地从布袋中摸出一个小球，则摸出的球为标有数字2的小球的概率为;小丽先从布袋中随机摸出

一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标.再将此球放回、搅匀，然后由小华再从布袋中随机摸出一

个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的纵坐标，请用树状图或表格列出点M所有可能的坐标，并求出点M

落在如图所示的正方形网格内(包括边界)的概率.

22.(10分)如图，在RtAABC中，ZC=90°,AB的垂直平分线交AC于点D,交AB于点E.

(1)求证：AADE-AABC；

(2)当AC=8,BC=6时，求DE的长.

23.(12分)已知关于x的一元二次方程，-机*-2=0…①若x=-l是方程①的一个根，求机的值和方程①的另一

根；对于任意实数加，判断方程①的根的情况，并说明理由.

(1X2-2X+1}X-1….

24.（14分）先化简，再求值,------十+----，其中X=l.

'%+1x2-l)x+1

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、C

【解题分析】

VEF1AC,点G是AE中点，

1

.\OG=AG=GE=-AE,

2

VZAOG=30°,

...NOAG=NAOG=30。，

ZGOE=90o-ZAOG=90°-30o=60°,

...△OGE是等边三角形，故（3）正确；

设AE=2a,贝!!OE=OG=a,

由勾股定理得，AO='盘_0石2=42不=瓜,

为AC中点，

.*.AC=2AO=2②,

.•.BC」AC=&,

2

在RtAABC中，由勾股定理得，AB='（2四『—（四『=3a,

•••四边形ABCD是矩形，

；.CD=AB=3a,

.\DC=3OG,故（1）正确；

,/OG=a,-BC=—a,

22

AOG^-BC,故（2）错误；

2

・・c1/T73a

•OAAOE=-a>~-----，

22

SABCD=3a・y[3a=3yfia2,

SAAOE=—SABCD,故(4)正确;

6

综上所述，结论正确是(1)(3)(4)共3个，

故选C.

【题目点拨】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定、勾股定理的应用等，正确地识图，结合已知找到有用的条

件是解答本题的关键.

2、C

【解题分析】

观察可得，抛物线与x轴有两个交点，可得Z?-4ac0,即从>4公，选项A正确；抛物线开口向

下且顶点为(4,6)可得抛物线的最大值为6,即ax2+bx+c<69选项B正确；由题意可知抛物线的对

b

称轴为x=4,因为4-2=2,5-4=1,且1<2,所以可得m<n,选项C错误；因对称轴工=-丁=4,即

2a

可得8a+b=0,选项D正确，故选C.

点睛：本题主要考查了二次函数y=ax2+bx+c图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息,

利用数形结合思想解决问题，本题难度适中.

3、D

【解题分析】

试题分析：-2的相反数是2,A正确；

3的倒数是g,B正确；

(-3)-(-5)=-3+5=2,C正确；

-11,0,4这三个数中最小的数是-11,D错误，

故选D.

考点：L相反数；2.倒数；3.有理数大小比较；4.有理数的减法.

4、B

【解题分析】

首先确定a=Lb=-3,c=l,然后求出△=b?-4ac的值，进而作出判断.

【题目详解】

Va=l,b=-3,c=l,

.*.△=(-3)2-4xlxl=5>0,

一元二次方程x2-3x+l=0两个不相等的实数根；

故选B.

【题目点拨】

此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：(1)4>0访程有两个不相等的实数根；(2)4=0=

方程有两个相等的实数；(3)△<0访程没有实数根.

5、A

【解题分析】

根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数

据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

【题目详解】

甲2=1.4,S乙2=2.5,

.♦.S甲2<si,

甲、乙两名同学成绩更稳定的是甲；

故选A.

【题目点拨】

本题考查方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越

大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳

定.

6、B

【解题分析】

根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可.

【题目详解】

解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：

10000—1470°_

丁+%+4。％)"

故选B.

【题目点拨】

此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键.

7、D

【解题分析】

首先根据矩形的性质，可知AB=CD=3,AD=BC=4,ND=90。，AD〃BC,然后根据AE平分/BED求得ED=AD；利

用勾股定理求得EC的长，进而求得BE的长.

【题目详解】

•••四边形ABCD是矩形，

；.AB=CD=3,AD=BC=4,ND=90°,AD/7BC,

:.ZDAE=ZBEA,

；AE是/DEB的平分线，

ZBEA=ZAED,

/.ZDAE=ZAED,

，DE=AD=4,

再RtADEC中，EC=ylED--DC~=收=币，

/.BE=BC-EC=4-V7.

故答案选D.

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质与角平分线的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟练的掌握矩形的性质与角平分线的性

质以及勾股定理的应用.

8、D

【解题分析】

解：A.平均数为(158+160+154+158+170)4-5=160,正确，故本选项不符合题意；

B.按照从小到大的顺序排列为154,158,158,160,170,位于中间位置的数为158,故中位数为158,正确，故本

选项不符合题意；

C.数据158出现了2次，次数最多，故众数为158,正确，故本选项不符合题意；

D.这组数据的方差是S2=：[(154-160)2+2x(158-160)2+(160-160)2+(170-160)2]=28.8,错误，故本选项

符合题意.

故选D.

点睛：本题考查了众数、平均数、中位数及方差，解题的关键是掌握它们的定义，难度不大.

9、C

【解题分析】

科学记数法的表示形式为ax10。的形式，其中14同＜10,n为整数•确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移

动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同•当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数.

【题目详解】

260万=2600000=2.6x106.

故选C.

【题目点拨】

此题考查科学记数法的表示方法•科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中14同＜10,n为整数，表示时关键要

正确确定a的值以及n的值.

10、B

【解题分析】

根据题意可知Nl+N2+45°=90°,/.N2=90。-Z1-45°=25°,

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11,芭，-）

22

【解题分析】

连接AB,OC,由圆周角定理可知AB为。C的直径，再根据/BMO=120。可求出NBAO以及NBCO的度数，在

RtACOD中，解直角三角形即可解决问题；

【题目详解】

连接AB,OC,

■:ZAOB=90°,

；.AB为。C的直径，

VZBMO=120°,

:.ZBAO=60°,

:.ZBCO=2ZBAO=120°,

过C作CD_LOB于D,贝！|OD」OB,NDCB=NDCO=60。,

2

*.'B（-G，0）,

ABD=OD=—

2

——1

在RtACOD中.CD=OD*tan30°=-，

2

AC,-）,

22

故答案为c（-B,1）.

22

【题目点拨】

本题考查的是圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理、直角三角形的性质、坐标与图形的性质及特殊角的三角函数值,

根据题意画出图形，作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键.

12、-1

【解题分析】

先计算0指数塞和负指数塞，再相减.

【题目详解】

（兀-3）。+（-2）”，

3

=1-3,

=-1,

故答案是：-1.

【题目点拨】

考查了0指数嘉和负指数辱，解题关键是运用任意数的0次幕为1,a-x=-.

a

13、1

【解题分析】

V四边形ABCD为正方形，

/.ZD=ZABC=90°,AD=AB,

AZABE=ZD=90°,

VZEAF=90°,

/.ZDAF+ZBAF=90°,ZBAE+ZBAF=90°,

AZDAF=ZBAE,

AAAEB^AAFD,

••SAAEB=SAAFD,

它们都加上四边形ABCF的面积，

可得到四边形AECF的面积=正方形的面积=1.

14、5750

【解题分析】

根据题意设甲产品的成本价格为》元，求出b,可知A原料与8原料的成本和40元，然后设A种原料成本价格x元,

5种原料成本价格(40-x)元，生产甲产品加袋，乙产品〃袋，列出方程组得到x"=20"-250,最后设生产甲乙产品

的实际成本为W元，即可解答

【题目详解】

•••甲产品每袋售价72元，则利润率为20%.

设甲产品的成本价格为％元，

A—=20%,

b

・"=60,

二甲产品的成本价格60元，

：.1.5kgA原料与1.5kgB原料的成本和60元，

AA原料与B原料的成本和40元，

设A种原料成本价格x元，3种原料成本价格(40-x)元，生产甲产品机袋，乙产品“袋，

根据题意得：

fm+n<100

[60m+(2x+40-x)n+500=60m+几(80-2x+x)'

/.xn=20n-250,

设生产甲乙产品的实际成本为w元，则有

W=60m+40n+xn,

W=60m+40〃+20〃-250=600+〃)-250,

Vm+n<100,

AW<6250；

生产甲乙产品的实际成本最多为5750元，

故答案为5750；

【题目点拨】

此题考查不等式和二元一次方程的解，解题关键在于求出甲产品的成本价格

【解题分析】

根据分式的运算法则即可求解.

【题目详解】

殍式=X-1+2=x+1=J_

八(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)(x+l)(x-l)x-1*

故答案为：工.

X-1

【题目点拨】

此题主要考查分式的运算，解题的关键是熟知分式的运算法则.

16、1

【解题分析】

如图作点D关于BC的对称点D，，连接PD。EDS由DP=P»,推出PD+PF=PD，+PF,又EF=EA=2是定值，即可

推出当E、F、P、D，共线时，PF+PD，定值最小，最小值=E»-EF.

【题目详解】

如图作点D关于BC的对称点D，，连接PD，，ED，，

在RSEDD，中，VDE=6,DD，=1,

/.EDf=762+82=10，

VDP=PD,,

.•.PD+PF=PD'+PF,

；EF=EA=2是定值,

...当E、F、P、D，共线时，PF+PD，定值最小，最小值=10-2=1,

APF+PD的最小值为1,

故答案为1.

D'

【题目点拨】

本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短

问题.

【解题分析】

利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点Bi的坐标，根据等边三角形的性质可求出点Ai的坐标，同理可得出点B2、

A2、A3的坐标，根据点An坐标的变化即可得出结论.

【题目详解】

当y=0时，有正X-正=0,

,33

解得：x=l,

.•.点Bi的坐标为（1,0）,

•••AiOBi为等边三角形，

・•・点Ai的坐标为（,,旦）.

22

2332

解得：x=H

2

...点B2的坐标为（3,

22

•.•A2A1B2为等边三角形，

.•.点A2的坐标为（3,空）.

22

20182018

同理，可求出点A3的坐标为（一7，7冬R”），点A2018的坐标为2——-12------1-VL3）.

2222

7^2018_i

故答案为一；-——.

22

【题目点拨】

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标

特征结合等边三角形的性质找出点An横坐标的变化是解题的关键.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、(1)4(3,—3),B/4,-1),C/0,-2)；(2)作图见解析，面积=/+?»,/=业".

242

【解题分析】

(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得A、B、C的坐标，根据关于原点对称的点的坐标特点即可得4、B］、

G的坐标；

(2)由旋转的性质可画出旋转后图形MBCz，利用面积的和差计算出，然后根据扇形的面积公式求出

S扇形eg，利用AABC旋转过程中扫过的面积S=+S扇形Be。进行计算即可•再利用弧长公式求出点C所经过

的路径长.

【题目详解】

解：(1)由AABC在平面直角坐标系中的位置可得：

A(-3,3),B(-4,l),C(0,2),

•••的耳G与AABC关于原点对称，

.••A。—3),B/4,-1),C/0,-2)

(2)如图所示，AABC2即为所求,

c

/2

/\A

C

7\/

也BL

O

VB(-4,l),C(0,2),

ABC=J(—4-Of+(1—2)2=V17，

2

.<9071BC(g)217〃

,,扇形眸=-^3—=—4—=T'

1117

V=4X2——xlx2——xlx3——xlx4=—,

2BC22222

AABC在旋转过程中所扫过的面积：

717

S=S应BC?+S扇形CBQ=5+丁"

点C所经过的路径：

,90兀义历屈

I=----------------=-------71•

1802

【题目点拨】

本题考查的是图形的旋转、及扇形面积和扇形弧长的计算，根据已知得出对应点位置，作出图形是解题的关键.

35

19、(1)®y=-x2+2x+3(2)—(2)-1

【解题分析】

分析：(1)①把4、8的坐标代入解析式，解方程组即可得到结论；

②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点。使CZ>=C4,作EN，CZ>交的延长线于N.由CD=C4,OC±AD,得

至|JNZ>CO=NACO.由NPCO=3NACO,得到NACZ>=NECZ>,从而有tanNACZ>=tan/EC。，

ATFNAJFN3

—=——，即可得出A/、C7的长，进而得到一=——=-.设EN=3x,则CN=4x,由tanNC0O=tanNEZW,得

ClCNClCN4

T~1'\T7~\Q

到西=无=/故设。N=x,贝！］C0=CN-"V=3x=7i6,解方程即可得出E的坐标，进而求出CE的直线解析式,

联立解方程组即可得到结论；

(2)作轴，垂足为/.可以证明AERDSAOBC,由相似三角形对应边成比例得到坦=%，

IDAI

即一^--,整理得丁。2=xj+/)X£>+XA*B.令y=0，得：-%2+&V+C=0.

一如XD~XA

故4+/=人，XAXB=~C»从而得到=X»2-BXQ—C.由力=一々>2+^£>+C，得至!)%2=-%，解方程即可

得到结论.

详解：(1)①把A(-1,0),B(3,0)代入y=-x?+6x+c得:

—l—b+c=0rb=2

cc,7解得:

-9+3b+c=0、c=3

y——x?+2x+3

②延长CP交x轴于点E,在x轴上取点D使CD^CA,作ENI.CD交CD的延长线于N.

'：CD=CA,OC±AD,：.ZDCO=ZACO.

:NPCO=3NACO,：.ZACD^ZECD,：.tanZACD=tanZECD,

AIENADxOC6

___—____AI=-------------=-------

CICN'~CD710

..•.更=空).

VioCICN4

设EN=3x,则CN=4x.

VtanZCDO=tanZEDN,

ENOC3r-

:.——=——=-,：.DN=x,：.CD^CN-DN=3x=JlQ,

DNOD1

1013

・・X=-----9:・DE=—9£(—f0).

333

9

CE的直线解析式为：y=--x+3,

13「

「二+3

y——x2+2%+3

935

一x~+2x+3=-----x+3,解得：%,=0,x=—

13713

35

点P的横坐标二.

13

(2)作轴，垂足为/.

'：ZBDA+2ZBAD=90°,ZDBI+ZBAD=90°.

■:ZBDI+ZDBI=90°，：.NBAD=NBDI.

B/_ZD

'：ZBID=ZDIA,:.AEBDs^DBC,

1D~~M

*,*'J=xj—(乙+/)芍+3.

令y=0,得：-x2+bx+c-O-

222

xA+xB=b,xAxB=-c,yD=xD-(xA+)xD+xAxB=xD-bxD-

yD=—xj+bxD+c,

%=-y»，

解得：yo=0或一1.

为X轴下方一点，

%=T，

二。的纵坐标一1.

点睛：本题是二次函数的综合题.考查了二次函数解析式、性质，相似三角形的判定与性质，根与系数的关系.综合

性比较强，难度较大.

/9

20、(1)k=^b2+4b；(2)

【解题分析】

试题分析：(1)分别求出点B的坐标，即可解答.

(2)先根据一次函数平移的性质求出平移后函数的解析式，再分别过点A、B作AD，x轴，BE，x轴，CFLBE于

点F,再设A(3x,1x),由于OA=3BC,故可得出B(x,女+4),再根据反比例函数中k=xy为定值求出x

试题解析：(1)•••将直线y=1r向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C,

.•.平移后直线的解析式为y=g+4,

•.•点B在直线y=/+4上，

AB(b,3+4),

•.•点B在双曲线y=：上，

.*.B(b,》，

人1k

令/+4=了

得R=然+4b

(2)分别过点A、B作ADLx轴，BE，x轴，CFLBE于点F,设A(3x,gx),

VOA=3BC,BC/7OA,CF〃x轴，

ACF=^OD,

•点A、B在双曲线y=：上，

.,.3b・1b=*2+4b,解得b=l,

.39

..k=3xlx-xl=-.

12

21>（1）3（2）列表见解析，不

JJ

【解题分析】

试题分析：（1）一共有3种等可能的结果总数，摸出标有数字2的小球有1种可能，因此摸出的球为标有数字2的小

球的概率为占（2）利用列表得出共有9种等可能的结果数，再找出点M落在如图所示的正方形网格内（包括边界）

的结果数，可求得结果.

试题解析：（1）P（摸出的球为标有数字2的小球）=7；（2）列表如下：

小华