专题09 余弦定理、正弦定理的应用（十大题型+跟踪训练）（解析版）

专题09余弦定理、正弦定理的应用（十大题型+跟踪训练）目录：题型1：正、余弦定理判定三角形形状题型2：正、余弦定理证明三角形中的恒等式或不等式题型3：求三角形中的边长或周长的最值或取值范围题型4：几何图形中的计算题型5：距离测量问题题型6：高度测量问题题型7：角度测量问题题型8：正、余弦定理的其他应用题型9：求三角形面积的最值或范围题型10：正、余弦定理与三角函数性质的结合题型1：正、余弦定理判定三角形形状1．在中，若，则的形状一定是（）A．等腰三角形 B．钝角三角形C．等边三角形 D．直角三角形【答案】A【分析】利用正弦定理化角为边，即可得解.【解析】因为，由正弦定理得，则，即，所以的形状一定是等腰三角形.故选：A.2．设中角，，所对的边分别为，，；若，，；则为（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能【答案】A【分析】根据余弦定理即可求解.【解析】由余弦定理可得,故为锐角，由于，因此均为锐角，故为锐角三角形，故选：A3．在中，若，则的形状是（

）A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定【答案】C【分析】根据正弦定理得到边的关系，再利用余弦定理判断即可.【解析】设中，角对应的边分别是，由正弦定理得:，即，所以，因为，所以为钝角，即为钝角三角形.故选:C.题型2：正、余弦定理证明三角形中的恒等式或不等式4．若A，B，C是△ABC的三个内角，且，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理、三角形内角及余弦函数性质判断A、B；特殊值即可判断C、D.【解析】由，则，而，则，A错；由，结合余弦函数性质知：，B对；对于，则，，C、D错；故选：B5．在中，，，，，则下列关系不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可．【解析】解：对于A，，则，故A成立；对于B，因为，所以，故B成立；对于C，，则，故C成立；对于D，，则，故D不成立.故选：D.6．在中，内角，都是锐角.(1)若，，求周长的取值范围；(2)若，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据正弦定理可得，然后可得，然后结合的范围求出的范围可得答案；（2）由条件可得为锐角，然后由可得，即可证明.【解析】（1）因为，，所以，所以，因为所以，因为内角，都是锐角，，所以，即，所以，所以，所以周长的取值范围为，（2）若，则，所以为锐角，所以，所以，因为内角，都是锐角，所以，所以，所以.题型3：求三角形中的边长或周长的最值或取值范围7．在锐角三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，则的周长的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】将表示为角的形式，结合三角恒等变换以及三角函数的值域等知识确定正确答案.【解析】，由正弦定理得，，由于，所以，所以，由于，所以，所以，所以，则，函数的开口向上，对称轴为，所以.故选：A8．记的内角的对边分别为．若，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据边的关系求出的范围，然后表示出，求出其范围，进而可得的范围i，则的范围可求.【解析】根据三角形三边关系可得，即，又，因为函数在上单调递减，在上单调递增，所以，又，所以，所以，又为三角形的内角，所以，所以.故选：C.9．在锐角中，角的对边分别为为的面积，且，则的取值范围为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由余弦定理结合面积公式，再应用同角三角函数关系求出，由正弦定理边角互化，再应用两角和差公式化简，最后应用基本不等式及对勾函数的单调性求解即得.【解析】中，由余弦定理得，且的面积为，由，得，化简得，又，，所以，化简得，解得，或（不合题意，舍去）所以，所以，由，且，，解得，所以，所以，所以，设，其中，所以，当且仅当时，即时取最小值，令，由对勾函数可得函数在上单调递减，在上单调递增，又，，所以．故选：C.题型4：几何图形中的计算10．设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，，，则的面积为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】设，在与中，由余弦定理求出，根据求出，进而求得的面积.【解析】设，在中，，在中，，所以，解得，因为，所以，所以的面积为.故选：C11．已知凸四边形内接于圆，，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】设，根据结合正弦定理可得，再利用三角恒等变换可得，进而利用正弦定理可得，即可得结果.【解析】设，在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，因为，即，且，可知，则，即，又因为，则，可得，则，在中，由正弦定理可得，在中，可知，由正弦定理可得，则，可得，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.故选：D.【点睛】方法点睛：与解三角形有关的交汇问题的关注点（1）根据条件恰当选择正弦、余弦定理完成边角互化．（2）结合内角和定理、面积公式等，灵活运用三角恒等变换公式．12．设，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据给定条件，构造三角形，利用余弦定理及线段和的不等关系求解即得.【解析】当，时，令，则，如图，在等腰中，，在的三等分线上取点，令，

在中，由余弦定理得，，于是，当且仅当点都在线段上时取等号，当点在线段上时，，，由正弦定理得，同理，所以当时，.故选：C题型5：距离测量问题13．我国辽代著名的前卫斜塔（又名瑞州古塔）位于葫芦岛市绥中县.现存塔身已经倾斜且与地面夹角60°，若将塔身看做直线，从塔的第三层地面到第三层顶可看做线段，且在地面的射影为1m，则该塔第三层地面到第三层顶的距离是（

）A． B． C． D．2m【答案】D【分析】应用特殊三角函数值及已知、线段间的关系求该塔第三层地面到第三层顶的距离.【解析】由题设，如下图中该塔第三层地面到第三层顶的距离.

故选：D14．如图，位于某海域处的甲船获悉，在其北偏东方向处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即将救援消息告知位于甲船北偏东，且与甲船相距的处的乙船，已知遇险渔船在乙船的正东方向，那么乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由图可知，由正弦定理即可求出BC的值.【解析】由题意知，，由正弦定理得，所以.故乙船前往营救遇险渔船时需要航行的距离为.故选：B.15．某地为响应习近平总书记关于生态文明建设的号召，大力开展“青山绿水”工程，造福于民，拟对该地某湖泊进行治理，在治理前，需测量该湖泊的相关数据.如图所示，测得∠C＝120°，米，米，则A，B间的直线距离约为（

）A．60米 B．130米 C．150米 D．300米【答案】B【分析】利用余弦定理求解即可.【解析】由题设，在中，由余弦定理，所以米.故选：B.题型6：高度测量问题16．如图，甲秀楼位于贵州省贵阳市南明区甲秀路，是该市的标志性建筑之一.甲秀楼始建于明朝，后楼毁重建，改名“凤来阁”，清代甲秀楼多次重修，并恢复原名、现存建筑是宣统元年（1909年）重建.甲秀楼上下三层，白石为栏，层层收进.某研究小组将测量甲秀楼最高点离地面的高度，选取了与该楼底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得甲秀楼顶端的仰角为，则甲秀楼的高度约为（参考数据：，）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用正弦定理在中取得的长，根据正切函数的定，可得答案.【解析】由题意可知，，，所以，又因，由正弦定理，可得：，解得，又因为，所以，故选:C.17．如图，某人为测量塔高，在河对岸相距的，处分别测得，，（其中，与塔底在同一水平面内），则塔高（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据给定条件，在中，利用正弦定理求出，再利用直角三角形边角关系求解即得.【解析】在中，由正弦定理得，，则，在中，.故选：A18．某校数学兴趣小组为了测量其高度，在地面上共线的三点处分别测得点的仰角为，且，则高度约为（

）（参考数据：）

A． B． C． D．【答案】B【分析】设，求出，利用余弦定理在和中，表示出和，两者相等即可解出答案【解析】由题知，设，则，，，又，所以在中，，①在中，，②联立①②，解得.故选：B题型7：角度测量问题19．一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向【答案】C【分析】利用正弦定理、余弦定理求得正确答案.【解析】如图，在中，，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，因为，所以解得，由正弦定理得，故或，因为，故为锐角，所以，此时灯塔位于游轮的南偏西方向.故选：C20．位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20nmile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西，且与甲船相距10nmile的C处的乙船．乙船也立即朝着渔船前往营救，则＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由余弦定理求得，进而由正弦定理求得答案．【解析】由题意，由余弦定理得，，∴，由正弦定理得，，即，解得．故选：A．21．北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为，半径为的球，若地球表面上的观测者与某颗地球静止同步轨道卫星处于相同经度，且能直接观测到，设点的维度（与赤道平面所成角的度数）的最大值为，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】通过构造直角三角形的方法求得.【解析】设表示卫星，过作截面，截地球得大圆，过作圆的切线，，线段交圆于，如图，则，，，，则.故选：B题型8：正、余弦定理的其他应用22．如图，已知正方形的边长为，点从顶点沿着的方向，向顶点运动，速度为，同时，点从顶点沿着的方向，向顶点运动，速度为，则的最小值为（

）A．0 B． C． D．1【答案】B【解析】先设，运动的时间为，根据题中条件，得到，，由配方法求出的最小值，即可得出结果.【解析】设，运动的时间为，则，，因此，由得，因此，当且仅当时，取得最小值，则的最小值为.故选：B.23．某社区为了美化社区环境，欲建一块休闲草坪，其形状如图所示为四边形，，（单位：百米），，，且拟在、两点间修建一条笔直的小路（路的宽度忽略不计），则当草坪的面积最大时，（

）A．百米 B．百米 C．百米 D．百米【答案】C【分析】先求出，再由，结合三角形面积公式与三角恒等变换转化为三角函数的最值即可【解析】设，在中，，由，，所以为等边三角形，当时，草坪的面积最大，此时，故选：C24．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜．其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”题意是有一个三角形的沙田，其三边长分别为13里、14里、15里、1里为300步，设6尺为1步，1尺＝0.231米，则该沙田的面积约为（

）（结果精确到0.1，参考数据：）A．15.6平方千米 B．15．2平方千米 C．14.8平方千米 D．14.5平方千米【答案】D【分析】根据由海伦公式即可得到沙田面积.【解析】由海伦公式其中，分别为三角形三边长，可得：该沙田的面积平方米≈14.5平方千米，故选：D题型9：求三角形面积的最值或范围25．在中，内角所对的边分别是，若，且外接圆的半径为2，则面积的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正弦定理得，由余弦定理结合不等式可得，进而由面积公式即可求解.【解析】由于，且外接圆的半径为2，所以．由余弦定理得，，则故选：D．26．已知中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c，D是AB上的四等分点（靠近点A）且，，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，求得，设，得到，再结合正弦定理，化简得到，结合三角函数的性质，即可求解.【解析】因为，由正弦定理得，可得，即，所以，，则，设，则，且，在中，且，则，在中，由，则，由，即，又由正弦定理知（为的外接圆半径），所以，则，即，又因为，故当，即时，所以.故选：B.

27．我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数书九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法“三斜求积术”，即的面积，其中分别为的内角的对边，若，且，则的面积的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先根据求出关系，代入面积公式，利用二次函数的知识求解最值.【解析】因为，所以，即；由正弦定理可得，所以；当时，取到最大值.故选：A.题型10：正、余弦定理与三角函数性质的结合28．若是垂心，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用垂心的性质，连接并延长交于，得到，把已知条件中的式子化简，得到，再两边同乘以，利用数量积、正弦定理进行整理化简，得到，再把化为，整理后得到值.【解析】在中，，由，得，连接并延长交于，因为是的垂心，所以，，所以同乘以得，因为，所以由正弦定理可得又，所以有，而，所以，所以得到，而，所以得到，故选：D.【点睛】本题考查了平面向量线性运算、数量积、正弦定理、两角差的余弦公式、诱导公式、三角形垂心性质等知识综合运用，采用数形结合的思想方法．属于难题．29．在中,内角所对的边分别为,且,若为锐角,则的最大值为A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：根据完全平方公式将化简，再利用余弦定理求出角C，进而由三角形内角和定理表示出B，代入的表达式，利用两角差的正弦公式和辅助角公式化简，求得其最大值.详解：

，即

由余弦定理，得，代入上式，

，解得，

为锐角，，，，

，其中，故选A.点睛：本题考查两角差的正弦公式和辅助角公式，以及余弦定理的应用，考查了推理能力与计算能力．解三角形的范围问题常见两类，一类是根据基本不等式求范围，注意相等条件的判断；另一类是根据边或角的范围计算，解题时要注意题干信息给出的限制条件.30．在锐角中，角的对边分别为，为的面积，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角形面积公式及余弦定理得到，结合同角三角函数关系得到，，由正弦定理得到，且根据三角形为锐角三角形，得到，求出，利用对勾函数得到的最值，求出的取值范围.【解析】由三角形面积公式可得：，故，，故，因为，所以，解得：或0，因为为锐角三角形，所以舍去，故，，由正弦定理得：，其中，因为为锐角三角形所以，故，所以，，，，令，则为对勾函数，在上单调递减，在上单调递增，则，又，因为，所以，则.故选：C【点睛】解三角形中求解取值范围问题，通常有两种思路，一是利用正弦定理将角转化为边，利用基本不等式进行求解，二是利用正弦定理将边转化为角，结合三角函数的图象，求出答案.一、单选题1．在中，，则（

）A．为直角 B．为钝角 C．为直角 D．为钝角【答案】C【分析】由正弦定理边化角得，结合余弦定理和化解，可求出.【解析】由，即，，又，所以，化简得，则，故在中，，故选：C2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，若角A的内角平分线AD的长为3，则的最小值为（

）A．12 B．24 C．27 D．36【答案】A【分析】先利用正弦定理化角为边，再结合余弦定理可求得，再利用等面积法结合基本不等式即可得解.【解析】因为，所以，即，所以，又因，所以，由，得，所以，则，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为.故选：A.3．如图，已知在的内接四边形中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理，结合圆内接四边形的对角互补，即可求出长度.【解析】连接，由题意四边形为的内接四边形知，则在三角形中由余弦定理得,在三角形中由余弦定理得,因为，所以，即，解得.故选：C4．学校体育馆的人字形屋架为等腰三角形，如图，测得AC的长度为4m，A＝30°，则其跨度AB的长为（

）A．12m B．8mC．2m D．4m【答案】D【分析】利用余弦定理求得.【解析】由于三角形是等腰三角形，所以，且，由余弦定理得.故选：D5．在一幢米高的楼顶测得对面一塔吊顶的仰角为，塔基的俯角为，那么这座塔吊的高是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意作出图形，解三角形即可.【解析】根据题意作图如下：由题意知：，仰角，俯角，在等腰直角三角形中，，在直角三角形中，，所以，所以塔高，故选：B【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是能根据题意画出图形，能找出俯角和仰角，6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若a+b＝2，则△ABC的面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理将边化角，再结合三角形内角和定理与两角和公式可求出cosC，从而得sinC，再由基本不等式与面积公式求解即可【解析】由正弦定理知，＝＝，∵，∴sinB＝4（sinA﹣sinCcosB），∵sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC，∴sinB＝4sinBcosC，又sinB≠0，∴cosC＝，sinC＝＝，∵，∴，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，∴△ABC的面积S＝absinC＝．则△ABC的面积的最大值为故选：D．7．如图所示，有四座城市A，B，C，D，其中B在A的正东方向，且与A相距120km，D在A的北偏东30°方向，且与A相距60km，C在B的北偏东30°方向，且与B相距km，一架飞机从城市D出发，以360km/h的速度向城市C飞行，飞行了15min，接到命令改变航向，飞向城市B，此时飞机距离城市B有（

）A．120km B．km C．km D．km【答案】D【分析】设15min后飞机到了处，求出，中由余弦定理求得，由勾股定理逆定理知，这样易得，从而得出，然后在中由余弦定理得出．【解析】设15min后飞机到了处，则，由题意，，，，，所以，所以，从而，于是，，中，，．故选：D．8．在ΔABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，b=c，且满足.若点O是ΔABC外一点，∠AOB=θ()，OA=2，OB=4，则平面四边形OACB面积的最大值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得ΔABC为等边三角形，利用三角形的面积公式和余弦定理可以求出平面四边形OACB的面积，，再根据三角函数求最值的方法即可求出．【解析】因为，可得，所以又，所以ΔABC为等边三角形．在中，，．，所以，因为，所以当时，平面四边形OACB面积的最大，最大值为．故选：D．【点睛】本题主要考查三角函数恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数的最值求法应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于难题．二、多选题9．在中，下列说法正确的有（

）A．若，则B．若为锐角三角形，则C．若，则一定是等腰三角形D．若为钝角三角形，且，，，则的面积为【答案】AB【分析】根据正弦定理和余弦定理逐个判断即可.【解析】对于A：因为，所以，所以，A正确；对于B：因为是锐角三角形，所以，即，因为且，在区间单调递增，所以，B正确；对于C：，即，即，所以，而A,B为三角形内角，所以或者，所以是等腰三角形或者直角三角形，C错误；对于D：易求出，而，所以，化简可得，解得或者，当时此时是最大角且，所以满足钝角三角形，此时，当时此时为最大角且，所以满足钝角三角形，此时，所以D错误，故选：AB10．如图，四个全等的直角三角形拼成图1所示的菱形和图2所示的正方形弦图．若直角三角形的斜边长为10，则以下结论正确的是（

）A．图1菱形面积的最大值为100B．图1菱形的两条对角线之和的最小值为C．当图2小正方形的边长为2时，图1菱形的一条对角线长为12D．当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，图2小正方形的面积为20【答案】ACD【分析】对于，设小边所对的角为，则直角三角形的两个直角边长为，，利用三角形的面积公式，二倍角的正弦公式，正弦函数的性质即可求解；对于，利用两角和的正弦公式，正弦函数的性质即可求解；对于，令长直角边为，短直角边为，可得，，解得，的值，即可求解；对于，令长直角边为，短直角边为，由余弦定理可得，的值，即可求解．【解析】解：因为直角三角形的斜边长为10，设小边所对的角为，则直角三角形的两个直角边长为，，所以图1菱形面积，故正确；图1菱形的两条对角线之和为，故错误；当图2小正方形的边长为2时，令长直角边为，短直角边为，可得，，解得，，可得图1菱形的一条对角线长为12，一条对角线为16，故正确；当图1菱形的一个锐角的余弦值为时，令长直角边为，短直角边为，由余弦定理可得，解得，，可得图2小正方形的面积，故正确．故选：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质的应用和二倍角公式的计算，考查了正弦函数的性质，考查了转化思想和数形结合思想的应用．11．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且，则下列说法正确的是（

）A．若，则的外接圆的面积为B．若，且有两解，则b的取值范围为C．若，且为锐角三角形，则c的取值范围为D．若，且，O为的内心，则的面积为【答案】ACD【分析】先由正弦定理得到，选项A，求出，进而由正弦定理得到的外接圆的半径和表面积；B选项，又余弦定理得到，将其看做关于的二次方程，结合方程有两正解，得到不等式，求出b的取值范围；C选项，由正弦定理结合得到，再根据为锐角三角形得到，从而得到c的取值范围；D选项，由正弦定理得到，，结合三角恒等变换得到，从而得到，，，由求出，由直角三角形性质得到内切圆半径，进而求出的面积.【解析】因为，所以由正弦定理，得，即，因为，所以，且，所以.选项A：若，则，所以的外接圆的直径，所以，所以的外接圆的面积为，选项A正确；选项B：由余弦定理得，将此式看作关于的二次方程，由题意得此方程有两个正解，故，解得b，所以选项B错误；选项C：由正弦定理，得，即，因为，所以，因为为锐角三角形，所以，即，所以，所以，故选项C正确；选项D：因为，由正弦定理得，因为，所以，所以由正弦定理，得，即，所以，即，所以，所以，又因为，所以，故，，解得，因为，所以，即是直角三角形，所以内切圆的半径为，所以的面积为，选项D正确.故选：ACD.【点睛】解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.12．在锐角中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知，若，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】首先由正弦定理将条件化成边，然后由余弦定理求出，然后利用求出其范围即可.【解析】因为，由正弦定理可得：，由余弦定理可得，所以.由正弦定理得，，所以故选：ABD【点睛】本题考查的是正余弦定理和三角恒等变换，考查了学生对基础知识的掌握情况，属于中档题.三、填空题13．在中，边所对的角分别为，若，，则；.【答案】【分析】先根据求出A的值，再根据求出B的值即得C的值.【解析】由题得,所以.因为，所以,所以C=.故答案为

(1).

(2).【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．如图所示，为了测量A、B处岛屿的距离，小海在D处观测，A、B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶20海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西45°方向，则A、B两岛屿的距离为海里．【答案】20【分析】直接利用正弦定理和直角三角形及等边三角形的应用求出结果．【解析】解：如图所示：连接AB，由题意可知CD＝20，∠ADC＝105°，∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∠ACD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADB＝60°，在△ACD中，由正弦定理得，，解得AD＝20，在Rt△BCD中，∵∠BDC＝45°，∠BCD＝90°，∴BD＝，CD＝20．在△ABD中，∠ADB＝60°，AD＝BD，所以△ABD为等边三角形，所以，AB＝20．故答案为：2015．在中，角，，所对的边分别是，，，若，且，则该三角形为三角形.【答案】直角【分析】首先由余弦定理得，再由同角三角函数的基本关系结合正弦定理可得，则三角形的形状可判断.【解析】∵，∴，∵，∴该三角形为直角三角形.故答案为：直角.16．在中，角，，的对边分别为，，，若，，则的取值范围为．【答案】【分析】根据正弦定理结合两角和差的正余弦公式求解可得，再根据正弦定理化简，结合三角函数值与角度范围的关系求解即可.【解析】由正弦定理结合，得，则，即，故，则，故，解得.由正弦定理，有，故，设，且，则.又，故，且，故.故，即，故.故答案为：四、解答题17．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)证明：；(2)记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．【答案】(1)证明见解析；(2)直角三角形.【分析】（1）利用正弦定理计算即可；（2）利用正弦定理及（1）的结论证明即可.【解析】（1）因为，由正弦定理得，，整理可得，，又，于是，即，因为，所以，所以或（舍去），所以；（2）根据等面积法可知，即，由，可得，又由及正弦定理可得，，解得，由于，所以，所以，所以是直角三角形.18．在某次地震时，震中A(产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B，C，D.已知B，C两市相距20km，C，D相距34km，C市在B，D两市之间，如图所示，某时刻C市感到地表震动，8s后B市感到地表震动，20s后D市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km.求震中A到B，C，D三市的距离.【答案】震中A到B，C，D三市的距离分别为km，km，km.【分析】设，得到，分别在和中，利用余弦定理求得和，列出方程求得的值，即可求解.【解析】由题意，在中，可得，在中，可得，设，在中，可得，在中，可得，因为B，C，D在一条直线上，所以，解得，所以，即震中A到B，C，D三市的距离分别为km，km，km.19．在①；②两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题．在中，内角所对的边分别是，且______．(1)求角的大小；(2)若点满足，且线段，求面积的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）①由三角恒等变换可得；②由正弦定理和正弦展开式可得；（2）由余弦定理和基本不等式求出，再求出面积最值即可.【解析】（1）选①，，所以．因为，所以，即，所以．选②．由及正弦定理得，所以．因为，，所以，所以，所以．（2）如图，点满足，则，故，又，故，即，即，当且仅当时，取等号，故，即面积的最大值为．20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为，山路AC长为1260m，经测量，，.(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】(1)1040m(2)(3)【分析】（1）先求得，然