第8章整式乘法和因式分解单元测试卷2023-2024学年沪科版数学七年级下册

沪科版七年级数学下册第8章整式乘法和因式分解单元测试卷一、单选题1．若，，则代数式的值为A．1 B． C． D．62．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（）A．a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b） B．a（x﹣y）＝ax﹣ayC．x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1 D．（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋33．计算a3•a3结果正确的是（）A．a9 B．a6 C．2a3 D．2a94．多项式因式分解的结果是（）A． B． C．a D．5．下列计算正确的是（）A．x3÷x2＝x B．x3•x2＝x6 C．x3+x2＝x5 D．（x3）2＝x96．下列运算正确的是（）A． B． C． D．7．下列运算正确的是（）A．a2+a2=a4 B．(a2)3=a5 C．a+2=2a D．(ab)3=a3b38．若（x﹣2）（x+3）=x2+ax+b，则a、b的值分别为（）A．a=5，b=6 B．a=1，b=﹣6 C．a=1，b=6 D．a=5，b=﹣69．不定方程的正整数解的组数是（）A．0组 B．2组 C．4组 D．无穷多组10．下列运算正确的是（）A． B．C． D．二、填空题11．计算（a-1）（2a+1）=.12．分解因式：x2y﹣2xy+y=．13．因式分解：x3﹣4x2＝．14．已知，，为正整数，且若，，是三个连续正整数的平方，则的最小值为．三、解答题15．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和13，则正方形A，B的面积之和为16．如图所示，一扇窗户的上部是由4个扇形组成的半圆形，下部是边长为a的4个小正方形组成，请计算这扇窗户的面积和窗框的总长.17．阅读下列分解因式的过程，再回答所提出的问题：．（1）上述分解因式的方法是，共应用了次；（2）若分解因式，则需应用上述方法次，结果是；（3）分解因式：（为正整数）．18．先化简再求值：，其中．四、综合题19．整式乘法和乘法公式（1）计算：（﹣x）2（2y）3（2）化简：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2（3）如果（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，求下面式子的值：（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2（4）课本上，公式（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2是由公式（a+b）2＝a2+2ab+b2推导得出的，已知（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，则（a﹣b）3＝.20．已知am=2，an=4，求下列各式的值（1）am+n（2）a3m+2n．21．如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）.（1）写出根据上述操作利用阴影部分的面积关系得到的等式：.（2）请应用（1）中的等式，解答下列问题：①已知4a2﹣b2＝24，2a+b＝6，则2a﹣b＝；②计算：2002﹣1992+1982﹣1972+…+42﹣32+22﹣12.22．实验材料：现有若干块如图①所示的正方形和长方形硬纸片.实验过程：用若干块这样的正方形和长方形硬纸片拼成一个新的长方形，通过不同的方法计算面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径.例如，选取正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式有a2+3ab+2b2＝（a+2b）（a+b）或（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2.探索问题：（1）小明想用拼图的方法解释多项式乘法（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，那么需要两种正方形纸片张，长方形纸片张；（2）选取正方形、长方形硬纸片共8块可以拼出一个如图③的长方形，计算图③的面积，并写出相应的等式；（3）试借助拼图的方法，把二次三项式2a2+5ab+2b2分解因式，并把所拼的图形画在方框内.23．如图，有足够多的边长为a的小正方形(A类)、长为a宽为b的长方形(B类)以及边长为b的大正方形(C类)，发现利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式．比如图②可以解释为：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）取图①中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为(2a+b)(a+2b)，在虚框中画出图形，并根据图形回答(2a+b)(a+2b)=（2）若取其中的若干个(三种图形都要取到)拼成一个长方形，使其面积为a2+5ab+6b2．根据你画的长方形，可得到恒等式（3）如图③，大正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若用x、y表示四个矩形的两边长（x>y），观察图案，指出以下正确的关系式___________填写选项）．A．xy= B．x+y=mC．x2－y2=m·n D．x2+y2=

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：，，．故答案为：．【分析】直接提取公因式将原式分解因式，进而将已知代入求出答案．2．【答案】A【解析】【解答】A、a2﹣b2＝（a＋b）（a﹣b），把一个多项式化为几个整式的积的形式，属于因式分解，故此选项符合题意；B、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、x2＋2x＋1＝x（x＋2）＋1，没把一个多项式化为几个整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；D、（x＋1）（x＋3）＝x2＋4x＋3，是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；故答案为：A．【分析】根据因式分解的定义：将和差的形式转换为乘积的形式逐项判断即可。3．【答案】B【解析】【解答】解：同底数幂相乘，底数不变，指数相加.所以故答案为：B.【分析】此题目考查的知识点是同底数幂相乘.把握同底数幂相乘，底数不变，指数相加的规律就可以解答.4．【答案】B【解析】【解答】解：=x（x-1），故答案为：B.【分析】利用提公因式法分解即可.5．【答案】A【解析】【解答】解：A、x3÷x2＝x，故A符合题意；

B、x3•x2＝x5，故B不符合题意；

C、x3+x2≠x5，故C不符合题意；

D、（x3）2＝x6，故D不符合题意；

故答案为：A.【分析】利用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可对A作出判断；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；只有同类项才能合并，可对C作出判断；利用积的乘方法则，可对D作出判断.6．【答案】D【解析】【解答】解：A.，故不符合题意；B.，故不符合题意；C.，故不符合题意；D.，符合题意；故答案为：D【分析】利用同底数幂的乘法，除法法则，幂的乘方，积的乘方法则计算求解即可。7．【答案】D【解析】【解答】解：A、a2+a2=2a2≠a4,所以此答案是错误的，不符合题意；

B、(a2)3=a6≠a5,所以此答案是错误的，不符合题意；

C、a+2不能合并，所以此答案是错误的，不符合题意；

D、(ab)3=a3b3，所以此答案是正确的，符合题意；

故答案为：D。

【分析】A、整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，故a2+a2=2a2≠a4,所以此答案是错误的，不符合题意；

B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，故(a2)3=a6≠a5,所以此答案是错误的，不符合题意；

C、整式加法的实质就是合并同类项，合并的时候，只把系数相加减，字母和字母的指数都不变，但不是同类项的不能合并，故a+2不能合并，所以此答案是错误的，不符合题意；

D、积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，故(ab)3=a3b3，所以此答案是正确的，符合题意。8．【答案】B【解析】【解答】解：∵（x﹣2）（x+3）=x2+x﹣6=x2+ax+b，∴a=1，b=﹣6．故答案为：B．【分析】将等式的右边去括号，可转化为x2+x﹣6=x2+ax+b，利用对应项的系数相等，就可得出a、b的值。9．【答案】A【解析】【解答】解：若有解，x必为奇数，令x=2n+1，（2n+1）2=2y2+5，整理得2n（n+1）=2+y2，y为偶数，令y=2m，2n（n+1）=2+4m2，n（n+1）=1+2m2，左边为偶数，右边为奇数．所以无整数解，故答案为：A．【分析】根据式子特点，若有解，x必为奇数，将原式整理，得出两侧分别为奇数与偶数，矛盾，即可得出结论．此题考查了非一次不定方程的解，将原式变形转化为奇偶性问题并推出矛盾是解题的关键．10．【答案】B【解析】【解答】解：A、，故此选项错误，不符合题意；B、，此选项正确，符合题意；C、，此选项错误，不符合题意；D、，此选项错误，不符合题意.故答案为：B.【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A；利用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可对B作出判断；利用积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可对C作出判断；利用幂的乘方，底数不变，指数相乘，可对D作出判断.11．【答案】2a2﹣a﹣1【解析】【解答】解：（a﹣1）（2a+1）=a（2a+1）-（2a+1）＝2a2+a﹣2a﹣1＝2a2﹣a﹣1.故答案为：2a2﹣a﹣1.【分析】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。12．【答案】y（x﹣1）2【解析】【解答】解：x2y﹣2xy+y，=y（x2﹣2x+1），=y（x﹣1）2．故答案为：y（x﹣1）2．【分析】先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2﹣2ab+b2=（a﹣b）2．13．【答案】x2（x﹣4）【解析】【解答】解：原式＝x2（x﹣4），故答案为：x2（x﹣4）．【分析】直接提公因式x2即可．14．【答案】1297【解析】【解答】解：设b+c=(n-1)2，则a+c=n2，a+b=(n+1)2，n为正整数，且n＞1.

∴2（a+b+c）=(n-1)2+n2+(n+1)2=3n2+2，

∴n为偶数，且a+b+c=，

∴a=，b=，c=，

∴n≥6，当n增大时，a2+b2+c2的值也增大，

而n=6时，a=30，b=19，c=6符合题意，

∴a2+b2+c2的最小值为：302+192+62=1297.

故答案为：1297.

【分析】根据题意“b+c、a+c、a+b是三个连续正整数的平方”可设b+c=(n-1)2，则a+c=n2，a+b=(n+1)2，n为正整数，且n＞1；把这三个等式相加可判断n为偶数，于是可将a、b、c用含n的代数式表示出来，且n≥6，当n增大时，a2+b2+c2的值也增大，于是取n=6分别计算可求出a、b、c的值，再求a2+b2+c2即可求解.15．【答案】15【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b（a＞b），

由图乙得(a+b)2-a2-b2=13，

∴a2+2ab+b2-a2-b2=13，

∴2ab=13；

由图甲得(a-b)2=2，

∴a2-2ab+b2=2，

∴a2+b2=2+2ab=2+13=15，即正方形A，B的面积之和为15.

故答案为：15.

【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b（a＞b），由图乙得(a+b)2-a2-b2=13，整理得2ab=13；由图甲得(a-b)2=2，然后利用完全平方公式展开后整体代入可得a2+b2=15，此题得解.16．【答案】解：这扇窗户的面积=2a•2a+π•a2=（4+π）a2；窗框的总长=6•2a+3a+πa=（15+π）a.【解析】【分析】窗户的面积=边长为2a的正方形的面积+半径为a半圆的面积，窗框的总长=所有小正方形的边长+三条半径的长+圆弧的长，据此分别计算即可.17．【答案】（1）提公因式法；2（2）2023；（3）解：；【解析】【分析】（1）观察可知，分解因式的方法是提公因式法，共应用了2次；

（2）由（1）的计算过程得出结论即可；

（3）根据（1）（2）的结果总结规律即可得出答案.

此题有特殊推广到一般，要善于观察思考，注意结果和指数之间的关系.18．【答案】解：，当时，原式【解析】【分析】原式利用完全平方公式、平方差公式计算，再合并同类项即可化简，最后将m的值代入即可求解.19．【答案】（1）解：（﹣x）2（2y）3＝x2•8y3＝8x2y3（2）解：（a+1）2+2（a﹣1）（a+1）+（a﹣1）2＝a2+2a+1+2（a2﹣1）+a2﹣2a+1＝a2+2a+1+2a2﹣2+a2﹣2a+1＝4a2（3）解：（x+1）（x2+ax+b）＝x3+ax2+bx+x2+ax+b＝x3+（a+1）x2+（a+b）x+b，∵（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，∴a+1=0a+b=0，得，当a＝﹣1，b＝1时，（a+2b）（a+b）﹣2（a+b）2＝（﹣1+2×1）（﹣1+1）﹣2（﹣1+1）2＝1×0﹣2×02＝0﹣0＝0（4）a3﹣3a2b+3ab2﹣b3【解析】【解答】（4）∵（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，∴[a+（﹣c）]3＝a3+3a2•（﹣c）+3a•（﹣c）2+（﹣c）3＝a3﹣3a2c+3ac2﹣c3，∴（a﹣b）3＝a3﹣3a2b+3ab2﹣b3，故答案为：a3﹣3a2b+3ab2﹣b3.【分析】（1）根据幂的乘方与积的乘方即可解答本题；（2）根据完全平方公式和平方差公式即可解答本题；（3）根据（x+1）（x2+ax+b）的乘积中不含x2项和x项，可以求得a、b的值，从而可以求得所求式子的值；（4）根据（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3，可以求得所求式子的结果.20．【答案】（1）解：∵am=2，an=4，∴am+n=am×an=2×4=8（2）解：∵am=2，an=4，∴a3m+2n=（am）3×（an）2=8×16=128【解析】【分析】（1）利用同底数幂的乘法运算法则求出即可；（2）利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则求出即可．21．【答案】（1）（2）解：①4

②【解析】【解答】解：（1）图1中阴影部分面积，图2中阴影部分面积，所以，得到公式故答案为：；（2）①∵∴又∵2a+b＝6，故答案为：4；【分析】（1）由图形可得：图1中阴影部分面积为a2-b2，图2中阴影部分面积为(a+b)(a-b)，然后根据两个图形阴影部分面积相等可得等式；

（2）①根据4a2-b2=(2a+b)(2a-b)进行计算；

②将待求式子从左至右两项一组进行分组，组内利用平方差公式分解因式后