海南省2024届高三第一次模拟数学试题（含答案解析）

海南省海南中学2024届高三第一次模拟数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知全集"={123,4,5,6},集合4={1,3,5},3={2,3,4},贝M科4)八3=()

A.{3}B.{2,4}C.{2,4,6}D,{1,2,4,6}

2.若Q=(2,-3),Z?=(-l,2),贝”Q.(Q+2b)=()

A.-5B.-3C.3D.5

3.复数z=?--i，则|z|=()

1—1

A.y/l3B.75C.2D.0

4.已知实数列-1、x、y、z、—2成等比数列,贝1］孙z=()

A.2A/2B.±4C.-2应D.±2A/2

5.刍（chU）薨（meng）是中国古代算数中的一种几何体，其结构特征是：底面为长方形，

顶棱和底面平行，且长度不等于底面平行的棱长的五面体，是一个对称的楔形体.已知一个

刍薨底边长为4,底边宽为3,上棱长为2,高为2,则它的表面积是（）

27+3A/3D.42+673

6.已知函数”X）为偶函数，其图像在点（I"⑴）处的切线方程为》-2>+1=。，记的

导函数为了'（X）,则/'（-1）=（）

A.—B.-C.—2D.2

22

7.设某直角三角形的三个内角的余弦值成等差数列，则最小内角的正弦值为（）

A.-B.-C.好D.至

5555

22

8.双曲线C±-匕=1的右焦点为R双曲线C上有两点A,8关于直线/：3x+y-8=0

124

对称，则同+KB卜()

A.2A/2B.45/2C.2gD.46

二、多选题

9.下列说法中正确的是（）

A.一组数据10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位数为14

B.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生学习情况.用分层抽样的方

法从该校学生中抽取一个容量为100的样本，则抽取的高中生人数为70

C.若样本数据3%+1,3%+1,…,3X1O+1的平均数为10,则数据再,々，…,税的平均数为3

D.随机变量X服从二项分布3（4,p）,若方差。（X）=则尸（X=l）=已

10.某数学兴趣小组的同学经研究发现，反比例函数>=工的图象是双曲线，设其焦点为",N,

X

若P为其图象上任意一点，则（）

A.y=-x是它的一条对称轴B.它的离心率为拒

C.点（2,2）是它的一个焦点D.俨闾-归训=2上

11.已知函数〃%）=加+凉+cr+d存在两个极值点占,x2a</），且〃占）=-占，

=设的零点个数为优，方程3a[〃龙）了+2歹⑺+c=0的实根个数为“，则

（）

A.当〃〉0时，n=3B.当1<0时，m+2=n

C.〃讥一定能被3整除D.的取值集合为{4,5,6,7}

三、填空题

12.若tan(e+wj=3,则tan6=.

13.设(1—2%)=4+4%+死/+…+为/，贝|%十%。5=-

试卷第2页，共4页

14.洛卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名.洛卡斯数列就是以他的

名字命名，洛卡斯数列也｝为：1,3,4,7,11,18,29,47,76,,即£,=1,4=3,且

4+2=L„+1+L„(«eN,),设数列％｝各项依次除以4所得余数形成的数列为｛q｝,则

〃2024=•

四、解答题

15.已知质量均匀的正“面体，”个面分别标以数字1到”.

2

(1)抛掷一个这样的正,面体，随机变量X表示它与地面接触的面上的数字.若尸(X<5)=f

求n；

(2)在(1)的情况下，抛掷两个这样的正w面体，随机变量Y表示这两个正〃面体与地面接触

的面上的数字和的情况，我们规定：数字和小于7,等于7,大于7,Y分别取值0,1,2,

求Y的分布列及期望.

16.已知函数/'(无)=e"-(2a-l)e*-依.

⑴讨论了(X)的单调性；

⑵若/(无)有两个零点，求a的取值范围.

17.如图，在多面体ABCDEF中，四边形48CD是正方形，BF=DE,BF/IDE,M是AE

的中点.

(1)求证：EC〃平面

(2)若。石，平面筋。。,钻=4,创1，5,点尸为线段北上一点，且CP=gcE,求直线

与平面所成角的正弦值.

2

18.已知动点P与定点A(m,0)的距离和尸到定直线x=工的距离的比为常数二.其中

mn

m>0,n>0,且〃if”,记点尸的轨迹为曲线C.

(1)求C的方程，并说明轨迹的形状；

⑵设点3(-〃?,。)，若曲线C上两动点均在x轴上方，AMBN,且4V与8M相交于

点Q.

L11

①当根=2忘,w=4时，求证：丽+网的值及,回。的周长均为定值；

②当〃z>〃时，记.ABQ的面积为S,其内切圆半径为r,试探究是否存在常数％，使得5=4

恒成立？若存在，求几(用加，”表示)；若不存在，请说明理由.

19.在计算机科学中，〃维数组X=(冷孙，x.),为e{O,l},QN+，〃22是一种基础而重要的

数据结构，它在各种编程语言中被广泛使用.对于“维数组

A=(al,a2,L,a„),B=(/?1,Z>2,L,bn),定义A与3的差为

A—3=(|a,W|,|%—可，M—dD,A与B之间的距离为d(A,8)=fk-修.

Z=1

⑴若“维数组C=(o,o,,0),证明：d(AC)+d(3,C)2d(A3)；

(2)证明：对任意的数组A,B,C,有d(A—C,3-C)=d(A,3)；

⑶设集合S"={X[X=(X],%,,%),%e{0,l},ieN+，”》2},P=S,，若集合p中有机(mN2)

JP

个〃维数组，记P中所有两元素间的距离的平均值为d(P),证明：()-2(„;_])•

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】根据给定条件，利用补集、交集的定义求解即得.

【详解】全集"={123,4,5,6},A={1,3,5},则用A={2,4,6},而8={2,3,4},

所以(令4)八3={2,4}.

故选：B

2.B

【分析】利用向量加法和数量积的坐标表示直接计算求解即可.

【详解】由题意可知2+2归=(0,1),

所以a.(。+26)=2x0+(-3)x1=-3,

故选：B

3.D

【分析】由复数的运算结合模长公式计算即可.

l+3i.(l+3i)(l+i)

【详解】因为z=1--i=-l+i

1-i-----(l-i)(l+i)

所以目=JL

故选：D.

4.C

【分析】求出y的值，利用等比中项的性质可求得结果.

【详解】设等比数列一1、X、八Z、—2的公比为鼠4W0),贝仃=一卜才＜。,

由等比中项的性质可得丁=(—1)x(-2)=2,所以，y=C

因止匕，xyz=y3=\/2j=—2\/2.

故选：C.

5.A

【分析】由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形，前后两个四边形为全等的

等腰梯形，利用勾股定理分别求出三角形和梯形的高，从而可求出各个面的面积，即可得出

答案.

答案第1页，共15页

【详解】解：由题意可得刍薨的左右两个三角形为全等的等腰三角形,

前后两个四边形为全等的等腰梯形，

等腰三角形的高为=店，

等腰梯形的高为、37=工，

V42

则一个等腰三角形的面积为工x3x正=3叵，

22

一个等腰梯形的面积为(2十小；二15,

2-2

所以止匕刍薨的表面积为2x至+2乂"+4><3=27+3店.

22

故选：A.

6.A

【分析】先推导出偶函数的导数为奇函数，再根据条件得到广(1),再利用奇函数的的性质

求了'(T).

【详解】因为〃x)为偶函数，所以〃尤)=〃-力，两边求导，可得[〃切'=[〃T)]n

r(x)=r(-x}(r)=ra)=-7'㈠).

又/(x)在。，/⑴)处的切线方程为:x-2y+l=0,

所以广⑴=：.

所以尸(-1)=--⑴=

故选：A

7.C

【分析】设出三个角度的大小关系，结合已知条件求得最小角的正切值，再求正弦值即可.

yr

【详解】设A<B<C=5,根据题意可得COSC=0,且cosC+cosA=2cos_B,

兀

即2cos3=cosA,又A+5=c，则2cos_B=2sinA,2sinA=cosA,

解得tanA=g，又A£(。,,[，则sinA=.

故选：C.

8.B

答案第2页，共15页

【分析】AB：x-3y+〃z=0,刈孑,%）15，%），A8的中点为S,联立直线方程和双曲线

方程后结合对称可得S的坐标，而|以+方|=2,5卜故可求|以+尸目.

【详解】0=5/12+4=4,>（4,0）,设A5的中点为S,连接4

因为/为线段AB的垂直平分线，故可设AB：x-3y+〃z=0,A（&yJ,3aj,%）,

22

二一匕=1

由*124可得6y之一6帆y+病-12=0(*),

x-3y+m=0

故%+%=，"，故不+吃=3（%+丫2）-2〃?=机，

mm

故AB的中点为

因AB的中点在直线3x+y-8=0上，故3x£+g-8=0,

故租=4,止匕时A=36加2一24〃「+12X24>0,且S（2,-2）,

故限+用=2网=2j4+4=4夜,

【分析】由百分位数求解判断A,由分层抽样判断B,由平均值性质判断C,由二项分布性

质判断D.

【详解】对A,10x60%=6,故第60百分位数为第6和第7位数的均值好士g=15,故A

2

错误;

对B,由题抽取的高中生抽取的人数为100x350浒：500=7°'故B正确;

对C,设数据一,占。的平均数为x,

由平均值性质可知：样本数据3国+1,3%+1,,3%。+1的平均数为3%+1=10,

解得了=3,故C正确;

答案第3页，共15页

313

对D,由题意可知4P(l-p)=：,解得p=:或p=j,

则尸(X=l)=C；x，百福或尸81)=€＞》出34,故D错误.

故选：BC

10.ABD

【分析】由题意可知反比例函数的图象为等轴双曲线，进一步分别计算出离心率以及“，c即

可逐一判断求解.

【详解】反比例函数的图象为等轴双曲线，故离心率为血，

容易知道y=x是实轴，y=-%是虚轴，坐标原点是对称中心，

联立实轴方程y=X与反比例函数表达式y=:得实轴顶点(1,1),(-1,-1),

所以。=夜,C=2,其中一个焦点坐标应为(忘,后)而不是(2,2),

由双曲线定义可知归河|-归训=2°=2&.

故选：ABD.

11.AB

【分析】分。＞0和。＜0两种情况，利用导数判断原函数单调性和极值，结合图象分析f(x),

r(/(9)的零点分布，进而可得结果，

【详解】由题意可知/'("=3/+2灰+。为二次函数，且为,々(为＜々)为/''(X)的零点，

由/'(7(尤))=3。⑺1+2妙(x)+c=。得/(x)=%或/(x)=x2,

当a＞0时，令/''(x)＞。，解得X＜X］或x＞%；令/'(x)＜0,解得看＜无＜受；

可知：〃尤)在(-力,玉),伍,+力)内单调递增，在(和无2)内单调递减，

则X］为极大值点，演为极小值点，

若再20,则一MW0＜工2,

因为/(为)＞/(W)，即两者相矛盾，故％＜。，

则f(x)=%有2个根,〃x)=可有1个根，可知〃=3,

若/(当)=/＞0，可知"2=1，mn=3,m+n=4-

答案第4页，共15页

若/(%2)=尤2=0，可知根=2,mn=6,m+n=5；

若/(工2)=当<。，可知"2=3，mn=9,m+n=6；

故A正确；

当a<0时，令/'(x)>0,解得不<工<三;令/'(x)<0,解得X<X］或x>%；

可知：/(X)在(％,々)内单调递增，在内(-8,%)，(々，+8)单调递减，

则巧为极大值点，A为极小值点,

若3w0,贝！I-X]>02%,

因为/(E)</(*2)，即-王<超，两者相矛盾，故工2>。，

若/（罚）=一%>°，即玉<0,可知机=1,〃=3,mn^3,m+n=4;

若/（石）=一%=0,即占=0,可知〃z=2,n=4,根〃=8,根+w=6；

若/（西）=一百<0,即外>0,可知〃2=3，71=5,mn=15,m+n=8；

此时加+2=〃，故B正确；

综上所述：的取值集合为{3,6,8,9,15},〃叶〃的取值集合为{4,5,6,8},

故CD错误；

故选：AB.

答案第5页，共15页

【点睛】方法点睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求

解.这类问题求解的通法是：

(1)构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；

(2)求导数，得单调区间和极值点；

(3)数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.

12.—/0.5

2

【分析】由两角和的正切公式求解即可.

/\tanS八+tan—兀

【详解】由tan?=3可得：----------2=3,

I)1-tan•tan—

4

□tan6+1寺皿口八1

BPn;------=3,角牛得：tan0=-.

1-tan02

故答案为：g

13.-2

【分析】分别令l=0,%=1即可得解.

【详解】令x=0,则%=1,

令X=],则a。+4+%~*--F%=，

所以6+%H---FCl5=-2.

故答案为：-2.

14.3

【分析】根据递推关系可得｛%｝的周期性，再根据周期性求解即可.

【详解】｛4｝的各项除以4的余数分别为L3,0,3,3,2,1,3,0,,

故可得｛4｝的周期为6,且前6项分别为1,3,0,3,3,2,

所以024=4x337+2=%=3.

故答案为：3.

15.(1)72=6.

(2)分布列见解析，£(Y)=1.

答案第6页，共15页

【分析】(1)直接由题意解出即可.

(2)设出事件，按古典概型中等可能事件的概率公式求出随机变量各个取值的概率，列出

分布列，求出数学期望即可.

42

【详解】(1)因为P(X<5)=—=彳，所以〃=6.

(2)样本空间。={(m,f)|根,re{l,2,3,4,5,6}},共有36个样本点.

记事件A="数字之和小于7"，事件3="数字之和等于7”，

事件C="数字之和大于7”.

A={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,2),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),

(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)},共15种，

故尸(丫=0)=尸⑷=?=《

3612

5={(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)},共6种，

故P(Y=1)=PCB)=&=J；

JOo

C={(2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),

(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)},共15种，

故尸(Y=2)=尸(C)=y=3；

16.(1)答案见解析;

(2)a>l

【分析】(1)求出导函数，根据aW0和a>0分类讨论求解即可；

(2)根据函数,⑺的单调性易知a>0且〃尤焉=/(Ina)<0,根据零点存在性定理结合函

数的单调性列不等式求解即可.

【详解】(1)=2e21-(2a-l)el-a=(2ex+1)(ex-a).

答案第7页，共15页

①若a<0,f'{x)>0,/(x)在(-co,+co)为增函数；

②若a>0,令=0,得x=Ina.

当xe(T»,lna)时，/(x)<0"(x)为减函数，

当xe(Ina,+oo)时，/(x)>0,/。)为增函数.

综上所述，当<7<0时，/(x)在(—,+<»)单调递增；

当a>0时，/(无)在(，》,Ina)单调递减，在(Ina,舟)单调递增.

(2)当aWO时，Ax)在(-s,一)单调递增，不可能有两个零点，不符合题意.

当a>0时，/(尤)在(T»,Ina)单调递减，在(Ina,")单调递增，

因为/(x)有两个零点,必有/Wmn=/(lna)=a(l-a-lnt7)<0,

因为a>0,所以l-a-lna<0.令g(4)=l-a-lnq,a>0,

则g'(a)=-l-工<0,所以g(a)在(0,+s)单调递减，而g⑴=0,

a

所以当a>l时，或。)<0,即/3m

又/(-l)=1-(2a-l)-+a=----va(1--|>0,故/⑺在(-1,Ina)有1个零点；

e-ee~eIeJ

当x>lna>0时，因为y=e*-x-l,则y'=e*-l,由y'>0得尤>0,由y'<。得x<0,

所以函数、=d-X-1在(-8,0)单调递减，在(0,+e)单调递增，所以1一万一126。一0-1=0,

即e*>x+l,故-⑪>-a(e*-1),所以/'(x)>e~*—(2a—l)e*—a(e*—1)=e~"—(3a—l)e"+。，

取x=ln3a>lna,有/(In3a)>e21n3a-(3a-l)eln3a+a=9a2-(3a-1)3。+a=4a>0,

所以/(x)在(In“,ln3a)有1个零点.

综上所述，当f(x)有两个零点时，«>1.

17.(1)证明见解析；

⑵也

39

【分析】(1)连接AC交3。于N,连接MN,通过肱V//EC可证明；

(2)建立空间直角坐标系，|£>E|=a,利用坐标运算通过=0求出。，再利用向量

法求线面角.

【详解】(1)连接AC交8。于N,连接MN,

答案第8页，共15页

因为四边形ABC。是正方形，故N为AC中点，/是AE的中点,

所以在丛虑中，有MN//EC,

又ECO平面脑Vu平面3八暇，

所以EC〃平面

(2)如图，建立空间直角坐标系，设|OE|=a,|AB|=4,

则B(4,4,0),C(0,4,0),F(4,4,a),A(4,0,0),E(0,0,a),

又知是AE的中点，故M(2,0,1|,

BM=^-2,-4,|^,CF=(4,0,a),因为，CF,

2

所以BM-CF=-8+幺=0,解得。=4,

2

设P(x,y,z),CP=^CE,即CP=(x,y-4,z)=gCE=g(0,-4,4),

可得小,|4,则加」一2,|,曰

又4歹=(0,4,4),AE=(-4,0,4),设平面AEF的一个法向量为〃=(%,%,马),

n-AF=4%+4Z1=0

则令4=1,则占=1,%=-1,即;z=(l,-1,1),

n-AE=-4%+4z1=0

设直线PM与平面AEF所成角为。,

16

ri-MP4A/78

贝|Jsin6=cosn,MP__2Z__

\n\]MP\39

V99

所以直线PM与平面A所所成角的正弦值为生便.

39

答案第9页，共15页

18.(1)答案见解析

⑵①证明见解析；②存在；人丁

22

【分析】(1)设尸(％y),由题意可得二+r^=i,结合椭圆、双曲线的标准方程即可

nn—m

求解；

(2)设点”(％,%),N(孙％),”(&,%),其中X>0，%>。且忍

(i)由AVf/ABN可知M,A,"三点共且怛N|=|4W[,设MM，：x=ty+2拒,联立C的

11

方程，利用韦达定理表示%+%，%%，进而表示出面+的，结合(1)化简计算即可;

A/kZDLN

由椭圆的定义，由AM//5N得忸。J，A。='ILIL，进而表示出

|AQ|+怛Q|,化简计算即可；(ii)由(i)可知KA,“三点共线，且怛N|=|AM[,设MM'：

x=sy+m,联立C的方程，利用韦达定理表示3+%，%%，计算化简可得

112n

可+画彳,结合由内切圆性质计算即可求解•

J(X-7W)2+y2_m

【详解】(1)设点P(xy),由题意可知7—=",

X-----

m

IP(x-m)2+y2=A:-,

22

经化简，得。的方程为*+一2=1,

nn-m

当机<〃时，曲线。是焦点在x轴上的椭圆；

答案第10页，共15页

当机时，曲线C是焦点在X轴上的双曲线.

（2）设点"住,%）,?/（%,%）,“（%3，%），其中X＞。，%＞。且％=-%，％=-%，

22

（i）由（1）可知C的方程为亮+\=1,A（2①0）,网-2a,0）,

V）必一必必

因为3//新,所以不^=百适=二』=孩荻,

因此，M,A,"三点共线，且|BN|=J（无2+20『+£=,卜/_20）2+（_%）2=|AM1,

（法一）设直线的方程为x=（y+2&，联立C的方程，得卜2+2）/+4同-8=0,

制4万8

贝叮+为=-4^，%%=-

7+2

由（1）可知|AM|=2^1%_3^|=4_¥%，WM=|AM[=4_¥X3

11\AM\+\BN\22

所以------1-------=J------1I-----LIJIJ

Pm|AA/|\BN\\AM\-\BN\

4一，《%+%）

4—0/（必+%）+（〃%%

11

所以回可十两川为定值1;

\AM\1J1।,4

（法二）设NM4A。，则有Ji嬴解得M闾==&

,\AM'\20一,14

同理由2&+|AM[cos6-~T''解得""'2-夜cos。'

11112+0cos62-夜cos。

、\AM\+JBN|~\AM\+\AM'\~4+4―

11

所以函+网为定值1；

由椭圆定义忸2|+|QM+|A例=8,得|QM|=8-忸Q|—|AM|,

AM//M.则3=8-忸QHW

,\BN\阐忸。|

答案第11页，共15页

解得山一（8一四〉忸M（8-忸

解得“一|刎+网’同理可得|A。=

\AM\+\BN\

(8-|BA^|).|AM|(8-|AM|)-|BN|S(\AM\+\BN\)-2\AM\-\BN\

所以|4。|+忸。|

\AM\+\BN\+\AM\+\BN\|AM|+|BN|

=8-----j-----------=8—2=6

\AM\+\BN\

因为|明=40,所以.AB。的周长为定值6+4&.

22

（ii）当机〉"时，曲线C的方程为二-一J=1,轨迹为双曲线,

nm-n

根据（i）的证明，同理可得三点共线，且忸N|=|AM],

（法一）设直线的方程为x=sy+小，联立C的方程,

得["-r^Ss2-n1\y2+2sm(m1—")y+(机2―〃2)=0,

Ism^m2—〃之)

(*)

「•%+%=一(22\22，%M=

Im—n)s—n

因为|411|=生x,--=—x1-H,|BA^|=IAM1=-x3-n

mJnn

斫以1।1：1।1+

m^\AM\忸N|\AM\\AM'\|AM|.|AM,|

m\(m\।smm1-n2\(smm2-n2

2222

(团X加1(smm—n^smm—n

〔/一矶/一〃)鼠/+丁J[T%+丁,

答案第12页，共15页

22

sm(、2(m-n

一(%+%)+

nn

22222

m2s2m-nmsm-n

n2n2

112n

将（*）代入上式，化简得+

\AM\\BN\m2-n2，

\AM\m

m2-n2

（法二）设NM4x=，，依条件有n2n，解得|AM|=

m---+--\AM\COS0n—mcQsO

m

\AM'\m

m2-n2

同理由n,解得=

-\AM'\cos0n+mcos0

一1111_n-mcos0〃+mcos0_2n

所以\AM\+\BN\~\AM\+\AM'\~疗+m2-n2~m2-n1'

由双曲线的定义忸0+|。彼卜|幽=2〃,n\QM\=2n+\AM\-\B^,

皿一四色也也网

根据\BN\\BQ\J解州°\AM\+\BN\

(

同理根\AM据\扃AQ小解,得,=2n+\BN\)-\AM\

~\AM\+\BN\

[2n+\BN\)-\AM\(2n+\AM\)-\BN\2AM-BN

所以+忸0==2M+-J—J--

~\AM\+\BN\-+-