黑龙江省牡丹江市2024年中考一模数学试卷(含答案)

黑龙江省牡丹江市2024年中考一模数学试卷

学校：___________姓名：班级：考号：

一,单选题

1.今年我省冰雪大世界在61天内吸引了约271万游客，数据271万，用科学记数法

表示为()

A.2.71X104B.2.71X106C.271xl04D.27.1xl05

2.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()

3.下列运算正确的是()

A.2/.x"=2/〃B.(x5)2=x7C.(-3a&2)2=6aVD.2x7=2x2

4.一个布袋中装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个

球后放回搅匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是白球的概率是()

A.-B.-C.-D.-

3399

5.一种药品原价每盒36元，经过两次降价后每盒25元，两次降价的百分率相同，设

每次降价的百分率为x,则符合题意的方程为()

A.36(1-2^)=25B.250+2x)=36C.25(1+%)2=36D.36(l-x)2=25

6.如图，矩形ABCD的边轴，对角线AC,加＞的交点。为坐标原点，

CGA.BD,垂足是G.若反比例函数y=±的图象经过点A,且CG-Br)=5,则左的值

X

为()

A.—10B.—5c-4D4

7.如图所示，:。的半径是3,直线/与。相交于A,3两点，点M,N在直线/的

异侧，且是）。上的两个动点，且N/WB=135。，则四边形版WB面积的最大值是（）

A.9B.9夜C.18D.18收

8.一列数'，3,*…按此规律排列，第七个数是（）

29825

9.如图，将矩形ABCD沿OE折叠,点。的对应点是R,将ABEG沿EG折叠，此时

点3也恰好落在点R处，若45=3,BC=4,则。G的长是（）

E

A13D14

A.—B.—C.5D.—

333

10.如图，一次函数%=x+6与一次.函数%="+4的图象交于点P（2,3）,则关于x

的不等式％+〃>丘+4的解集是（）

/O2乂=H+4x

A.x>-2B.x>0C.x>2D.x>3

11.如图，锐角△ABC中，BD,CE分别为AC,AB边上的高，△ABC和△问）的

面积分别是4和1,ED=A/2,则点A到直线BC的距离是（）

D

£

A.26B.4C.3V2D.2V2

12.如图，菱形ABC。中，E是BC边上的一点，AE交BD于■点、F,若

7

ZADC=NEAD=—NC,则下列结论:

3

®DF=AB；

②S四边形EFOC=3S&BEF；

③签"I'

④图中有6个等腰三角形，其中正确结论的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

二、填空题

13.若代数式上有意义，则实数x的取值范围是.

x—1

14.正八边形的外角和是.

15.若直线y=x+l向上平移两个单位长度后经过点（-1,加），则机的值为.

16.如图，在平面直角坐标系中，点8在第一象限，OA=AB=1,NQ钻=120。，将

△AOB绕点O旋转,使点8落在x轴上，则此时点A的坐标为.

17.若关于％的分式方程*=七的解为负数，则负整数。的值为.

xx+2

18.如图，在△ABC中，AB=AC=6,NABC=75。，尸为AB边上的一动点，以

PA,PC为令R边作则对角线PQ长度的最小值

19.如图所示，在平面直角坐标系中，过格点4(1,2),8(3,2),。(4,1)作一圆弧，在

第一象限，过点3与格点(填点的坐标)的直线与该圆弧相切.

20.如图所示，已知二次函数丁=以2+法+。的图象与x轴交于A,3两点，与y轴交

于点C,OA^OC,对称轴是直线x=l,则下列结论：

®a+b+c＞0；

@ac+l--b；

③c+2是关于x的一元二次方程ar?+bx+c=。的一个根；

④若实数加＜1,则西宁-a＞匕-加2,其中结论正确的序号是.

三、解答题

21.先化简，再求值：［三口-1］一与二，其中％=345。+1.

yXyX-X

22.如图，在平面直角坐标中，抛物线）=以2+法+。过点（1,3）,且交x轴于

A（-1,O）,3两点，交y轴于点C（0,2）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线，交直线于点

E,当线段PE的长取得最大值时，点P的坐标是.

23.中，ZABC=9Q°,AB=BC=2,以A为顶点，作底角为30。的等腰三

角形，并使其另两个顶点在AABC的边上.请用尺规或三角尺画出图形，并直接写出该

等腰三角形的底边长.

24.某校组织了一次文学常识测试，九年级一班和二班各随机抽取10名学生参加比

赛，现对测试成绩（满分100分）进行整理，描述和分析，共分四个等级（成绩用无

表示）（A：95<x<100,B：90<x<95,C：85<x<90,D：80<%<85）.

如下是测试成绩的部分信息：

九年级一班参赛的学生3等级的成绩为：92,93,93,94；

九年级二班参赛的学生A等级的成绩为：95,95,95,98,100.

九年级二班参赛学生测试成绩条形统计图，九年级一班参赛学生测试成绩扇形统计图

人数

九年级一、二班参赛学生测试成绩统计表

平均数中位数众数方差

九年级一班93a9325.1

九年级二班9394b28.6

请根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：a+b=.扇形统计图中A对应的圆心角的度数为；

(2)补全九年级二班参赛学生成绩条形统计图；

(3)若九年级一班有50名学生，九年级二班有46名学生，请估计九年级一班、二班

共有多少名学生成绩不低于95分？

(4)请从中位数和方差这两方面的统计量进行分析，并对两个班参赛的学生成绩进行

评价.

25.甲骑摩托车，乙骑自行车从A地出发沿同一路线匀速骑行至3地，设乙行驶的时

间为x(h),甲、乙两人之间的距离y(km)关于时间x(h)的函数关系，如图所

示，请结合图象信息解答下列问题：

(1)乙的速度为_____km/h,AB两地相距______km；

(2)求图中线段PN的解析式；

(3)甲出发多少小时，甲、乙二人途中相距4km,直接写出答案.

26.已知：正方形45co中，ZMAN=45°,它的两边分别交CB,OC于点

N.AHLMN于点、H,/MAN绕点A旋转.解答下列问题:

(1)如图①，当的0=DN时，请你写出AH与的数量关系；

(2)如图②，当6MWDN时，猜想与SAABM，的关系，并完成证明；

(3)如图③，若NAWV=45。，AH工MN于■点、H,MH=2,NH=1,则

AH=.

27.为响应习近平总书记“足球进校园”的号召，某校决定购买甲、乙两种足球，已知

购买3个甲种足球和2个乙种足球共花费410元；若购2个甲种足球和5个乙种足球共

花费530元.解答下列问题：

(1)购买一个甲种足球、一个乙种足球各需要多少钱？

(2)学校为开展校内足球联赛，决定购买80个足球，此次购买甲、乙两种足球的总

费用不少于6000元，且甲种足球最多买22个.学校共有几种购买方案？

(3)在(2)的条件下，学校又同时购买了甲、乙两种足球共8个，学校把全部足球

平均分给8个足球队，每队分得两种足球数量分别相等，且每队甲种足球至少3个，

直接写出这8个足球的购买方案.

28.如图，在平面直角坐标系中抛物线y=奴?+法+5与x轴交于A,3两点，与y轴

交于点C,AB=4,抛物线顶点尸的横坐标是3,过点A的直线y=1交抛物线的

(1)求直线及抛物线的表达式;

(2)求tan/BC尸的值；

(3)若点〃在抛物线上，点。在x轴上，请直接写出以A,D,M,Q为顶点的平行

四边形的个数，并直接写出其中两个点。的坐标.

参考答案

1.答案：B

解析：271万=2710000=2.71x106.

故选：B.

2.答案：D

解析：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求;

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求；

故选：D.

3.答案：D

解析:A中2炉.中=2铲"=2”,故不符合要求；

B中故不符合要求；

C中(-3加)2=9////6/凡故不符合要求；

中,故符合要求；

D2/=2X2

故选：D.

4.答案：C

解析：由题意画树状图如下；

...共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是白球共有4种等可能的结果,

二两次摸出的球都是白球的概率是士，

9

故选：C.

5.答案：D

解析：第一次降价后的价格为：36x(1-%)；

第二次降价后的价格为：36x(1-尤y；

两次降价后的价格为25元，

.•.36(1—X)2=25.

故选：D.

6.答案：C

解析：CGBD=5,CGLBD,

S^ncn=-BDCG=-,

矩形ABC。，

…S矩形ABC。=2s△BCD=5,

反比例函数y=-的图象经过点A,设点A的坐标为L-1

xVa)

■矩形ABCD的边AB//x轴，

二点B的坐标为,点C的坐标为,

2k

:.AB=-2a,BC=—,

a

2k

,•S矩形ABCD=A5-BC=-2a=5，

a

解得％=--,

4

故选：C.

7.答案：B

解析：如图，过点。作OCLAB于C交O于。，石两点，连结Q4,OB,DA,

DB，EA，EB，

:.ZAMB=45°,

ZAOB=2ZAMB=90°,

.•・△Q4B为等腰直角三角形,

/.AB=V2OA=3A/2,

q=v+v

四边形MANB一丁❶Z\NAB

二.当点〃到AB的距离最大时，的面积最大，当点N到AB的距离最大时,

△MLB的面积最大,

即M点运动到。点，N点运动到石点,

此时四边形MANS面积的最大值

—Q—V+V

一。四边形。一丁

=-ABCD+-ABCE

22

=~AB-(CD+CE)

=~ABDE

2

=—x3A/2x6

2

=9A/2.

故选B.

8.答案：B

j__2_2x14_2x23_6_2x38

解析:上三…依次类推,

厂厂，(以-2

(1+1)2§=2+816-(3+l)25（4+1）

第〃个数为一

（〃+1）

二第七个数是24=二，

（7+1）232

故选：B.

9.答案：A

解析：四边形ABCD为矩形，AB=3,6c=4,

.-.DC=AB=3,AD=BC=4,

^BG=x,则AG=3—x,

由折叠的性质可知，GF=BG=x,DF=DC=3,

DG=x+3,

AG2+AD2^DG2,

.-.（3-X）2+42=（x+3）2,

解得一4，

3

413

:.DG=3+-=—,

33

故选：A.

10.答案：C

解析：一次函数为=x+6与一次函数%=依+4的图象交于点P（2,3），

根据函数图象可得关于的不等式x+〃>丘+4的解集是：x>2.

故选：C.

11.答案：D

解析：由题意知，ZADB^90°=ZAEC,

又ZDAB=ZEAC,

：.Z\DAB^Z\EAC,

.ADAB

.ADAE

,AB-ACJ

ZDAE=ZBAC,

：./\DAE^Z\BAC,

解得，BC=2DE=2^2,

设点A到直线BC的距离为d,

依题意得，S.ABC=-BCxd=4,即工义2行xd=4,

解得，d=2A/2,

故选：D.

12.答案：B

解析：菱形ABCD中，

:.ZADC+ZC=1SO°,

ZADC=ZEAD=-ZC,

3

.-.-ZC+ZC=180o,

3

解得NC=108。，

ZADC=ZE4D=1800-ZC=72°,

ZADF=-ZADC=36°,

2

ZAFD=1800-ZFAD-ZADF=72°,

:.ZFAD=ZAFD,

:.DF=AD,

AB=AD,

DF=AB,故①正确；

AD//BC,

:.ZDAF=ZBEF=72°,ZADB=ZCBD=36°,

ZBFE=ZAFD=72°,

:.BF=BE,ZABD=ZCBD=36°,

:.ZABE=72°,

:.ZBAE=1SO°-ZABE-ZAEB=36°,AB=AE,

BE=BF=AF,AB-AE=AD=CD=DF—BC,

:.△ABE,/\BEF,△AFD,ZxABF,△ABD,△BCD是等腰三角形,

二图中有6个等腰三角形，故④正确；

:.设BE=BF=AF=a,AB=AE=AD=CD=DF=BC=b,

:.EF=AE-AF-b-a,

ZEBF=ZBAE=36°,NABE=/BFE=M,

：.Z\EBF^Z\EAB,

EFBERnb-aa

——二——，即----二一

BEAEab

整理得，a1+ab—b2=0,

解得0=避二1,负值舍去,

b2

2

：.EF=b-a=b-^^~b=^^b,

22

3~A/5,

EF_^^0_3-V5

故③正确;

而-—b—-2

Z\EBF^Z\EAB,

,_3+V5

△ABE—2,ABEF

,_yf5+1

△ABF-三、ABEF

同理可得，ABEFs^DAF,

。△BEF

q

UAADF

3+7?

□△ADE。△BEF

2

3+V5

=S&BCD~

□△ABO丁Q^ADF口ABEF丁ABEF。△BEF

22

=(2+75)S-S=(75+1)S,故②错误

*ABCDo^BEFAB£fAB£fAB£f

综上所述，正确的个数为3.

故选：B.

13.答案：xwl

解析：若代数式工有意义，则X-IwO,

x-1

解得：xwl,

故答案为：XW1.

14.答案：360°

解析：任意多边形的外角和都是360。

二正八边形的外角和是360。.

故答案为：360°.

15.答案：2

解析：由题意，平移后的解析式为：y=x+l+2=x+3,

才巴（一代入得：7〃=—1+3=2；

故答案为：2.

16.答案:d羽

解析：OA=AB=1,ZOAB=120°,

:.ZAOB=30°,

设点A的对应点为点E,点B的对应点为F,

如图所示，当点R在x轴正半轴时，过点E作尸于H,

由旋转的性质可得NEOF=NAO5=30。，OE=OA=1,

:.EH=-OE=-,

22

OH=VOE2-EH2=—,

如图所示，当点R在x轴负半轴时，同理可得走,-工

E1[-22)

731V

综上所述,当点5落在x轴上，此时点A的坐标为----,——或

22J

故答案为:(-7--3-,——1V或

I22)

17.答案:

解析：(x+l)(x+2)=x(x-a),

-2

解得:x=------

3+〃

分式方程山=—的解为负数,

xx+2

3+a

解得：a>-3,

。是负整数，

二当a=-2时，x=-2是增根，舍去；

当a=—1时，光=—1符合题意，

故答案为：-1.

18.答案：3

解析：过点C作CDLAB于。，则/4£>C=90°,

A

AB=AC=6,ZABC=J5°,

:.ZACB=75°,

ZBAC=180°-75°x2=30°,

:.CD=-AC=3,

2

四边形AQ”为平行四边形，

CQ//AB,

二当PQLAB时，对角线PQ长度的最小，最小值等于的长度，

二对角线PQ长度的最小值为3,

故答案为：3.

19.答案：(1,3)-(5,1)

解析：如图，过格点4(1,2),5(3,2),C(4,l)所在圆的圆心为M(2,0),

连接MB,过点3作直线BE,MB,则直线BE与该圆弧相切,

由图知，在第一象限直线BE经过的格点为(1,3),(5,1).

故答案为：(1,3),(5,1).

20.答案：①③

解析：由题意知，当x=l时，y^a+b+c>0,①正确，故符合要求；

当尤=0时，y=c,即C（0,c）,

OA=OC,

A（-c,0）,

对称轴是直线x=l,

:.B（c+2,Q）,

.•・c+2是关于x的一元二次方程尔+云+c=。的一个根，③正确，故符合要求;

将A（-c,0）代入y=af+Z?x+c得，0=aci2-bc+c,整理得，ac-b+l=0,

:.ac+l^b,②错误，故不符合要求；

当xWl时，y随x的增大而增大，

.,.当x=7n<l时，am2+bm+c<a+b+c,

2

整理得，am-a<b-bm,④错误，故不符合要求；

故答案为：①③.

21.答案：-

x+13

解析：化简原式/出■上］Jx+Dd）

11X）x（x-l）

_x+l-xX

Xx+1

1

x+1

当工=101145。+1=1+1=2时，

i3

22.答案：（1）y=--x2+-x+2

22

（2）（2,3）

解析：（1）抛物线丁=以2+法+。过点（1,3）,4（—1,0），C（0,2）

a二—

〃+Z?+c=32

<a—b+c=0解得<

c=2

c=2

13G

..y——x2H—x+2；

22

i3

(2)m2+—m+2),则点E1的横坐标为加,

iQiQ

,y=——x2+一1+2令丁=0得——X2+一九+2=0,

2222

解得玉=4,%2=-1，

/.6(4,0),

C(0,2),

设直线BC的解析式为y=kx+n,则

[1

r4k+〃=0方力，口k=—

c,解得｛2,

n=2c

i[n-2

：.直线BC的解析式为y=-^x+2,

：.E(m,--^m+2),

〜

:.P”E=——1m2+—3m+-2+—Im—2=——1m2+c2m,

2222

当m=--—=-----J—=2时，PE取最大值，

2a2x(—；)

i3iQ

止匕时，一一nr+-m+2=——X22+-X2+2=3,

2222

P(2,3).

故答案为：P(2,3).

23.答案：迪；2屈-20；图见解析

3

解析：有两种情况，第一种情况顶角在边上，如下图:

A

ZABC=90°,AB=BC=2,NE4D=30°,

.\AD=2BD,

设=则AO=2x,由勾股定理得：

炉+22=(2%)2解得%=26，

3

AD=2x=--\/3；

3

第二种情况顶角在边AC上，如图：

过点。作。GJ_AC于G,

ZABC=90°,AB=BC=2,440=30。，

AC=A/22+22=272,

由NC=45。，DG±AC,设DG=CG=x,则AG=20—x,

ZEAD=30°,DG±AC,

AG—y/3DG,

即242-x=j3x,

解得x=A/6-A/2,

AD=2DG=2x=276-272.

24.答案：(1)188；108°

(2)见解析

(3)38人

(4)见解析

解析：(1)由题意可知，九年级一班10名同学成绩A等级的人数为10x30%=3人

九年级一班参赛的学生3等级的成绩为：92,93,93,94；

二处在中间位置的两个数都是93,93,因此中位数是空空=93,即。=93

2

九年级二班参赛的学生A等级的成绩为：95,95,95,98,100.3等级的2人，C等级

的1人，。等级的10—5—2—1=2人

九年级二班班10名学生成绩出现次数最多的是95,共出现3次，因此众数是95,即

/?=95,

a+Z?=93+95=188,

扇形统计图中A对应的圆心角的度数为360°x30%=108°,

故答案为：188；108°.

(2)由(1)可得A等级5人，。等级的2人，补全统计图如图所示，

1010

答：九年级一班、二班共有48名学生成绩不低于95分

(4)一班好于二班，理由如下

从中位数看，一班有一半的学生成绩在93分以上，二班有一半的学生成绩在94分以

上.二班成绩好于一班；

从方差看：一班成绩较稳定，二班成绩波动较大.

一班高分段的学生少，但低分段的学生也少，成绩较为集中.

二班高分段的学生较多，但低分段的也多，成绩不稳定.

综上所述，一班好于二班

25.答案:(1)10；25

(2)y=15x--

2(62)

13

(3)—h或-h

155

解析：(1)由图知，乙骑自行车先从A地出发0.5h后,甲骑摩托车才从A地出发,

乙的速度为六=10(knVh),

由图知，乙骑自行车先从A地出发2.5h后，行至3地，

r.AB两地相距10x2.5=25(km),

故答案为：10:25.

(2)由N点时，甲追上乙，

甲的速度为5-|--0.5|+10=25(km/h),

."=0.5+"

252

设图中线段PN的解析式为y=+

呜，

由图知，10

-k+b=Q

6

3

-k+b=W

2

左=15

解得L25，

b=-----

I2

图中线段PN的解析式为y=15%后［<%<|］；

(3)设图中线段肋V的解析式为y二小+〃，

由图知，"(J，N］，,。］，

—m+n=5

2

—m+n=0

、6

m=-15

解得125

n-——

图中线段MV的解析式为y=-15x+—

甲、乙二人途中相距4km,

.-.15x--=4^-15%+—=4,

22

解得X」11或x=1U7

1030

13

二甲出发Lh或士h,甲、乙二人途中相距4km.

155

26.答案：（1）AB=AH

⑵S4AMN=+S&ADN，见解析

⑶鼻

2

解析：（1）Aa=A3.理由如下：

四边形ABC。是正方形，

：.ZB^ZBAD=ZD^90°,AB=AD,

在AABM和AADN中，

AB=AD

<ZB=ZD,

BM=DN

.•.△ABM且△ADN（SAS）,

:.AM^AN,ZBAM^ZDAN,

.•.△AAW是等腰三角形，

又AH±MN,

」.ZAHM=90。，ZHAM=ZHAN,

ZMAN=45°,

:.ZHAM=-x450=22.5°,ZBAM+ZDAN=45°,

2

,ZBAM=22.5°=ZHAM,

在△ABH和△AHM中，

ZBAM=ZHAM

<ZB=ZAHM=90°,

AM=AM

:.AH=AB；

(2)数量关系成立.如图②，延长CB至E,使BE=DN.

图②

四边形ABCD是正方形,

:.AB=AD,ZD=ZABE=90°,

在RtAAEB和RtAAA©中，

AB=AD

<ZABE=NADN,

BE=DN

RtAAEB^RtAAA©(SAS),

:.AE=AN,ZEAB=ZNAD,

ZDAN+ZBAM=45°,

:.ZEAB+ZBAM^45°,

ZEAN=90°,

:.ZEAM^ZNAM=45°,

在△AEM和/\ANM中，

AE=AN

<ZEAM=ZNAM,

AM=AM

:./\AEM^/\ANM(SAS),

v—V+V-V+V—V

•一丁一°AAD7V丁^^ABM~0AANM-

(3)如图,分别沿40、AN翻折△AMH和△⑷阳，得到和△村),

,-.BM=2,DN=1,々="=440=90°.

分别延长BM和DN交于点C,得正方形ABCD,

由(2)可知，AH=AB=BC^CD^AD.

设=则MC=x—2,NC=x-l,

在Rt&WGV中，由勾股定理，得MN?=MC?+NC；

.-.32=(%-2)2+(%-1)2,

解得XI普，%=三普.（不符合题意，舍去），

3+g

AH=

2­

27.答案：（1）购买一个甲种足球90元，一个乙种足球70元

（2）学校共有三