课后培优练：27.2.1 相似三角形的判定（解析版）

姓名：班级27.2.1相似三角形的判定全卷共24题，满分：100分，时间：60分钟一、单选题（每题3分，共36分）1．（2021·北京·牛栏山一中实验学校九年级月考）根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′能相似的有（）对．①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；②∠C＝90°，AC＝6，BC＝4，∠C′＝90°，A′C′＝9，B′C′＝6；③AB＝10，BC＝12，AC＝15，A′B′＝1.5，B′C′＝1.8，A′C′＝2.25；④△ABC与△A′B′C′为等腰三角形，且有一个角为80°．A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】C【分析】根据相似三角形常用的判定方法对各个选项进行分析从而得到答案．【详解】解：①∵∠C=∠C′=90°，∠A=25°．∴∠B=65°．∵∠C=∠C′，∠B=∠B′．∴△ABC∽△A′B′C′．②∵∠C=90°，AC=6，BC=4，∠C’=90°，A′C′=9，B′C′=6．∴AC：BC=A′C′：B′C′，∠C=∠C′．∴△ABC∽△A′B′C′．③∵AB=10，BC=12，AC=15，A′B′=1.5，B′C′=1.8，A′C′=2.25．∴AC：A′C′=BC：B′C′=AB：A′B′．∴△ABC∽△A′B′C′．④∵没有指明80°的角是顶角还是底角．∴无法判定两三角形相似．∴共有3对．故选：C．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（2）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（3）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．2．（2021·上海虹口·九年级月考）点P是△ABC中AB边上一点（不与A、B重合），过P作直线截△ABC使得截得的三角形与△ABC相似，这样的直线最多作（）A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】根据相似三角形的判定方法分析，即可做出判断．【详解】满足条件的直线有4条，如图所示：如图1，过P作PE∥AC，则有△BPE∽△BAC；如图2，过P作PE∥BC，则有△APE∽△ABC；如图3，过P作∠AEP=∠B，又∠A=∠A，则有△APE∽△ACB；如图4，过P作∠BEP=∠A，又∠B=∠B，则有△BEP∽△BAC，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答的关键是对相似三角形的判定方法的理解与灵活运用．3．（2021·北京市古城中学九年级月考）如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用三边对应成比例的两个三角形相似判断即可．【详解】∵AC=，AB=2，BC=，A选项中的三边长分别为：，1，，且：=2：=：1=，三边对应成比例，∴这两个三角形相似，A符合题意；B选项中的三边长分别为：，3，，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，B不符合题意；C选项中的三边长分别为：，1，2，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，C不符合题意；D选项中的三边长分别为：，2，，三边不成比例，∴这两个三角形不相似，D不符合题意；故选A．【点睛】本题考查了网格中三角形相似，灵活运用勾股定理计算各边长，熟练运用三边对应成比例的两个三角形相似求解是解题的关键．4．（2021·内蒙古·包头市第二十九中学九年级月考）下列各组图形中可能不相似的是（）A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形【答案】A【分析】根据判定三角形相似的方法：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；③三组边对应成比例的两个三角形相似，逐项分析即可．【详解】解：A、不正确，因为没有指明这个45°的角是顶角还是底角，则无法判定其相似；B、正确，由已知我们可以得到这是两个等边三角形，从而可以根据三组边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似；C、正确，已知一个角为105°，则我们可以判定其为顶角，这样我们就可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似；D、正确，因为是等腰直角三角形，则我们可以根据两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似来判定这两个三角形相似．故选：A．【点睛】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法是解决本题的关键．5．（2021·山东桓台·八年级期末）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】A【分析】根据相似三角形的判定方法判断即可．【详解】解：如图：AC2=12+22=5，BC2=42+22=20，AB2=25，∵5+20=25，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，；△DEF是直角三角形，且∠DEF=90°，；∴△ABC△DEF；△JKL是直角三角形，且∠JKL=90°，；HI2=12+12=2，HG2=12+22=5，GI2=12+22=5，∵5+25，∴HG2+HI2=GI2，∴△HGI不是直角三角形，综上，只有△ABC△DEF；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理及逆定理的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．6．（2021·浙江温州·九年级期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定即可求出答案．【详解】A、当时，无法得出，符合题意；B、，，能判定相似，不符合题意；C、，，能判定相似，不符合题意；D、，，能判定相似，不符合题意；故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．7．（2021·全国·九年级专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，P是BC边上的点，下列条件中不能推出△ABP与以点E、C、P为顶点的三角形相似的是（）．A．∠APB＝∠EPC B．∠APE＝90° C．P是BC的中点 D．BP∶BC＝2∶3【答案】C【分析】利用两三角形相似的判定定理逐一判断即可．【详解】解：A.

∠APB=∠EPC，根据正方形性质得到∠B=∠C，可以得到ΔABP∽ΔECP，不合题意；B.

∠APE=90，根据正方形性质得到∠B=∠C，根据同角的余角相等，得到∠APB=∠PEC，可以得到ΔABP∽ΔPCE，不合题意；C.

P是BC的中点，无法判断ΔABP与ΔECP相似，符合题意；D.

BP:BC=2:3，根据正方形性质得到AB:BP=EC:PC=3:2，又∵∠B=∠C，可以得到ΔABP∽ΔECP，不合题意．故选：C．【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，熟练掌握判定定理是解题关键．8．（2021·全国全国·九年级专题练习）和中，，，，，，，则下列说法不正确的有（）A．与相似 B．与是对应边C．两个三角形的相似比是 D．与是对应边【答案】D【分析】根据相似三角形的判定定理判断即可．【详解】解：A、，所以两个三角形相似，选项正确；B、与是对应边，选项正确；C、两个三角形的相似比是，选项正确；D、与是对应边，选项错误．故选：D【点睛】本题考查三角形相似的判定定理，根据定理内容解题是关键．9．（2021·浙江·诸暨市滨江初级中学九年级期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD与点F，AD交PC于点G，则下列结论中错误的是（）A．△CGE∽△CBPB．△APD∽△PGDC．△APG∽△BFPD．△PCF∽△BCP【答案】A【分析】根据∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C即可得到△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP，再根据∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，可以得到∠APG=∠BFP，即可证明△APG∽△BFP，由此即可求解．【详解】解：∵∠CPD＝∠A＝∠B，∠D=∠D，∠C=∠C∴△APD∽△PGD，△PCF∽△BCP故B、D选项不符合题意，∵∠APG=∠C+∠P，∠BFP=∠C+∠CPD，∴∠APG=∠BFP，∴△APG∽△BFP，故C选项不符合题意，对于A选项不能得到两个三角形相似，故选A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形外角的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．（2021·全国·九年级专题练习）如图，，交于点O，有下列三个结论：①，②，③．则一定成立的有（）．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】D【分析】根据全等三角形的性质可判断①和②，再根据相似三角形的判定判断③即可．【详解】①∵，∴∠BAC=∠DAE，∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，∴∠1=∠2，故①成立；②∵，∴BC=DE，故②成立，③∵，∴AB=AD，AC=AE，∴，又∠1=∠2，∴，故③成立，综上，一定成立的有①②③共3个，故选：D．【点睛】本题考查全等三角形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握全等三角形的性质和相似三角形的判定是解答的关键．11．（2021·河北海港·九年级期中）如图，己知中，为边上一点，为边上一点，，，，当的长度为______时，和相似．（）A．9 B．6 C．4或9 D．6或9【答案】C【分析】分别根据当△ADP∽△ACB时，当△ADP∽△ABC时，求出AP的长即可．【详解】解：当△ADP∽△ACB时，∴，∴，解得：AP=9，当△ADP∽△ABC时，∴，∴，解得：AP=4，∴当AP的长度为4或9时，△ADP和△ABC相似．故选C．【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，利用倒推法以及分类讨论得出是解题关键．12．（2021·山东大学附属中学九年级月考）如图所示，直线y＝x﹣1与x轴交于A，与y轴交于B，在第一象限内找点C，使△AOC与△AOB相似，则共能找到的点C的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】因为点C在第一象限，所以只有点A，点C可能为直角顶点，由此讨论，可得结论．【详解】解：∵点C在第一象限，∴当点C为直角顶点时，有两种情形，当点A为直角顶点时，也有两种情形，共有4种情形．故选：D．【点睛】本题考查相似三角形的判定，一次函数的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．二、填空题（每题3分，共18分）13．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC与△DEF的顶点均在方格纸中的小正方形方格（边长为一个单位长）的顶点处，则△ABC__________△DEF（在横线上方填写“一定相似”或“不一定相似”或“一定不相似”）．【答案】一定相似【分析】分别计算两个三角形的三边长，看三边是否成比例，即可判定这两个三角形是否相似．【详解】根据图示知：AB＝2，BC＝1，AC＝；DE＝2，EF＝，DF＝5，∴，∴△ABC∽△DEF．故答案为：一定相似．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，关键是熟悉相似三角形的判定．14．（2021·山东张店·八年级期末）如图，是的边上一点（不与点，重合），请添加一个条件后，使，则添加的这个条件可以是__________（只添加一个条件）．【答案】（答案不唯一）【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两三角形相似，添加条件即可．【详解】解：添加条件是：，理由是：，，，故答案为：（答案不唯一）．【点睛】本题考查了对相似三角形的判定定理的应用，本题是一道比较好的题目，答案不唯一，主要考查了学生对相似三角形的判定定理的运用能力．15．（2021·北京市第六十六中学九年级期中）如图，已知∠1＝∠2，添加条件____后，使△ABC∽△ADE．【答案】∠B＝∠D【分析】先证出∠BAC＝∠DAE，再由∠B＝∠D，即可得出ABC∽△ADE．【详解】解：添加条件∠B＝∠D后，△ABC∽△ADE．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，即∠BAC＝∠DAE，又∵∠B＝∠D，∴ABC∽△ADE．故答案为：∠B＝∠D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法；熟练掌握三角形相似的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．16．（2021·河南·郑州中原一中实验学校九年级月考）如图，在中，，，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时与相似．【答案】或2【分析】设经过t秒时，与相似，则,,,利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：时，，即；当时，，即，然后解方程即可求出答案．【详解】解：设经过t秒时，与相似，则,,,∵，∴当时，，即，解得：；当时，，即，解得：；综上所述：经过或秒时，与相似，【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，解题的关键是准确分析题意列出方程求解．17．（2020·江苏·南通市跃龙中学九年级月考）如图，、是以为直径的半圆上任意两点，连接、、，与相交于点，要使与相似，可以添加的一个条件是___________（填正确结论的序号）．①；②；③；④．【答案】①②③【分析】由两角法可得①正确；由等弦对等弧、等弧所对圆周角相等及两角法可知②正确；由两边夹一角法可以判断③正确，④错误．【详解】解：如图，∠ADC=∠ADB，①、∵∠ACD=∠DAB，∴△ADC∽△BDA，故①选项正确；②、∵AD=DE，∴，∴∠DAE=∠B，∴△ADC∽△BDA，故②选项正确；③、∵=BD•CD，∴AD：BD=CD：AD，∴△ADC∽△BDA，故③选项正确；④、∵CD•AB=AC•BD，∴CD：BD=AC：AB，但∠ADC=∠ADB不是对应夹角，故④选项错误．故答案为①②③．【点睛】本题考查了相似三角形的判定以及圆周角定理．熟练掌握三角形相似的判定方法及圆周角定理是解题关键．18．（2021·黑龙江集贤·九年级期中）已知在中，，点分别在边上，将沿直线对折后，点正好落在对边上，且折痕截所成的小三角形（即对折后的重叠部分）与相似，则折折痕__________【答案】或．【分析】先画草图借草图分析．如图重叠的小三角形为，由对折知，所以要使△ABC和相似，只需，此时和C重合，N为AC中点，由三角形中位线定理易得MN的值；或只需，此时与B点重合，M=BM=AM=，再由相似的知识算得MN的值．【详解】由AC=4，BC=3，∠ACB=90°据勾股定理得AB=5．下面分情况讨论：第一种情况如图1当∠MNC=90°时，折叠后A点落在C点．∵∠BCA=90°∴∠MNC=∠BCA又由对折知：∠MCN=∠A∴△MCN∽△ABC由对折知N为AC的中点，据三角形中位线定理得（㎝）；第二种情况如图2当∠NMB=90°时，折叠后A点落在B点．∵∠C=90°∴∠C=∠NMB又由对折知∠A=∠NBM∴△ABC∽△BNM∴又由对折知∴（㎝）．综上分析得MN=㎝或㎝．故答案为：或．【点睛】本题是折叠类问题，考查相似三角形的判定，兼考查分类讨论的数学方法．关键之处在于紧抓折叠的图形成轴对称及全等解决之．三、解答题（19-20题每题7分，其他每题8分，共46分）19．（2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）三模）如图，在5×6的方格中，点A、B是两个格点，请按要求作图．（1）在图1中，以AB为边作矩形ABEF（要求E、F两点均是格点）；（2）在图2中，点C、D是两个格点，请在图中找出一个格点P，使△PAB和△PCD相似（找出一个即可）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据矩形的定义作出图形即可．

（2）连接BD，AC，延长BD交AC的延长线于点P，点P即为所求．【详解】解：（1）如图，四边形ABEF即为所求．（2）如图，点P即为所求．【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，矩形的判定和性质，相似三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法．20．（2021·辽宁·大连市第三十七中学九年级月考）如图，在中，平分，是上一点，且．求证：．【答案】见解析【分析】根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠CAD，根据等腰三角形的性质得到∠BED＝∠BDE，由等角的补角相等得到∠AEB＝∠ADC，根据相似三角形的判定定理即可得到结论【详解】证明：∵平分，∴．∵，∴．∴．∴．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形．（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．21．（2021·全国·九年级课时练习）如图，中，CD是斜边AB上的高．求证：（1）；（2）．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．

（2）根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行证明即可．【详解】证明：（1）∵CD是斜边AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ADC＝∠ACB＝90°，

∵∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC．

（2）∵CD是斜边AB上的高，∴∠BDC＝90°，∴∠BDC＝∠ACB＝90°，

∵∠B＝∠B，∴△CBD∽△ABC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定定理；熟记有两组角对应相等的两个三角形相似是解决问题的关键．22．（2021·上海市实验学校九年级月考）已知抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B、C的坐标．（2）试判断AOC与BOC是否相似，并说明理由．【答案】（1），；（2）相似，理由见解析【分析】（1）根据抛物线与坐标轴有交点，分别令解方程即可求得的坐标；（2）根据（1）的结论，求得的长，根据两边成比例夹角相等，证明三角形相似即可．【详解】（1）抛物线y＝x2+x+与x轴交于A、B两点，A在B的右侧，与y轴交于点C，令，解得，，令，即，解得，；（2），理由如下，如图，，；，，，，又，．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，相似三角形的判定，根据题意求得的坐标是解题的关键．23．（2021·内蒙古北方重工业集团有限公司第一中学九年级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）证明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．【答案】（）见解析；（2）或．【分析】（1）根据题目已知条件可知，，所以得到，即可得证．（2）由题意易得是等腰直角三角形，所以，当是等腰三角形时，根据分类讨论有三种情况：①AD=AE，②AD=DE，③AE=DE；因为点D不与重合，所以第一种情况不符合，其他两种情况根据等腰三角形的性质“等边对等角”及，求出问题即可．【详解】（1）在中，又；（2），是等腰直角三角形BC=6，AB=AC=BC=3①当AD=AE时，则，点D在上运动时（点D不与重合）,点E在AC上此情况不符合题意．②当AD=DE时，如图，由（1）可知又：AB=DC=．③当AE=DE时，如图，平