2024八年级数学下册专题4.1多边形重难点题型含解析新版浙教版

Page13专题4.1多边形-重难点题型【题型1多边形的截角问题】【例1】（巴州区期末）若一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数可能为（）A．14或15 B．13或14 C．13或14或15 D．14或15或16【分析】依据不同的截法，找出前后的多边形的边数之间的关系得出答案．【解答】解：如图，n边形，A1A2A3…An，若沿着直线A1A3截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数少1，若沿着直线A1M截去一个角，所得到的多边形，与原来的多边形的边数相等，若沿着直线MN截去一个角，所得到的多边形，比原来的多边形的边数多1，因此将一个多边形截去一个角后，变成十四边形，则原来的多边形的边数为13或14或15，故选：C．【变式1-1】（海淀区期末）如图，将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长肯定比原五边形的周长（填：大或小），理由为．【分析】利用“两点之间，线段最短”可以得出结论．【解答】解：将五边形ABCDE沿虚线裁去一个角得到六边形ABCDGF，则该六边形的周长肯定比原五边形的周长小，理由是两点之间，线段最短．故答案为：小；两点之间，线段最短．【变式1-2】（文登区期末）将一个多边形纸片沿一条直线剪下一个三角形后，变成一个六边形，则原多边形纸片的边数不行能是（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到．【解答】解：如图可知，原来多边形的边数可能是5，6，7．不行能是8．故选：D．【变式1-3】（肇源县期末）把一个多边形纸片沿一条直线截下一个三角形后，变成一个18边形，则原多边形纸片的边数不行能是（）A．16 B．17 C．18 D．19【分析】一个n边形剪去一个角后，剩下的形态可能是n边形或（n+1）边形或（n﹣1）边形．【解答】解：当剪去一个角后，剩下的部分是一个18边形，则这张纸片原来的形态可能是18边形或17边形或19边形，不行能是16边形．故选：A．【学问点1多边形的对角线】连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.从一个n边形的某个顶点动身，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个n边形分割成（n-2）个三角形，共有12n（n﹣3）【题型2多边形的对角线】【例2】分别画出下列各多边形的对角线，并视察图形完成下列问题：（1）试写出用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：．（2）从十五边形的一个顶点可以引出条对角线，十五边形共有条对角线：（3）假如一个多边形对角线的条数与它的边数相等，求这个多边形的边数．【分析】（1）依据多边形对角线的条数的公式即可求解；（2）依据多边形对角线的条数的公式代值计算即可求解；（3）依据等量关系：一个多边形对角线的条数与它的边数相等，列出方程计算即可求解．【解答】解：如图所示：（1）用n边形的边数n表示对角线总条数S的式子：S=12n（（2）十五边形从一个顶点可引出对角线：15﹣3＝12（条），共有对角线：12（3）设多边形有n条边，则12n（n﹣3）＝n解得n＝5或n＝0（应舍去）．故这个多边形的边数是5．故答案为：S=12n（【变式2-1】（杜尔伯特县期末）一个边数为2n的多边形内全部对角线的条数是边数为n的多边形内全部对角线条数的6倍，求这两个多边形的边数．【分析】依据多边形的对角线公式12n（n【解答】解：依题意有12×2n（2n﹣3）＝6×12解得n＝6，2n＝12．故这两个多边形的边数是6，12．【变式2-2】（福清市校级期末）阅读下列内容，并答题：我们知道计算n边形的对角线条数公式为n(n-3)2，假如有一个n边形的对角线一共有20条，则可以得到方程n(n-3)2=20，去分母得n（n﹣3）＝40；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满意积为40且相差3的因数只有8和5，符合方程n（n﹣3）＝40的整数n（1）若有一个多边形的对角线一共有14条，求这个多边形的边数；（2）A同学说：“我求得一个多边形的对角线一共有30条．”你认为A同学说地正确吗？为什么？【分析】（1）由题意得n(n-3)2=14，进而可得n（n﹣3）＝28，然后再找出（2）由题意得n(n-3)2=30，进而可得n（n﹣3）＝60，然后再找出满意积为60且相差3的因数，发觉没有这样的两个数，因此【解答】（1）解：方程n(n-3)2去分母得：n（n﹣3）＝28；∵n为大于等于3的整数，且n比n﹣3的值大3，∴满意积为28且相差3的因数只有7和4，符合方程的整数n＝7，即多边形是七边形．（2）解：A同学说法是不正确的，∵方程n(n-3)2=30，去分母得n（符合方程n（n﹣3）＝60的正整数n不存在，即多边形的对角线不行能有30条．【变式2-3】（东湖区校级月考）如图，先探讨下面三角形、四边形、五边形、六边形…多边形的边数n及其对角线条数t的关系，再完成下面问题：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为，n边形的对角线条数为t＝（用n表示）．（2）求正好65条对角线的多边形是几边形．【分析】（1）依据图形用类比方法求解即可．（2）依据多边形有65条对角线，列出方程求解即可．【解答】解：（1）若一个多边形是七边形，它的对角线条数为7×(7-3)2=14，n边形的对角线条数为t=n(n-3)（2）设正好65条对角线的多边形是x边形，依题意有x(x-3)2解得x1＝13，x2＝﹣10．故正好65条对角线的多边形是13边形．故答案为：14，n(n-3)2【学问点2多边形的内角和】n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)．【题型3多边形的内角和】【例3】（江阴市校级月考）下列哪个度数不行能是一个多边形的内角和（）A．360° B．450° C．900° D．1800°【分析】依据n边形的内角和为（n﹣2）×180°，求出对应的n，即可得出选项．【解答】解：因为n边形的内角和为（n﹣2）×180°，A、（n﹣2）×180°＝360°，n＝4，是四边形的内角和，故本选项不符合题意；B、（n﹣2）×180°＝450°，n=27C、（n﹣2）×180°＝900°，n＝7，是七边形的内角和，故本选项不符合题意；D、（n﹣2）×180°＝1800°，n＝12，是12边形的内角和，故本选项不符合题意；故选：B．【变式3-1】（路南区期中）小红：我计算出一个多边形的内角和为2020°；老师：不对呀，你可能少加了一个角!则小红少加的这个角的度数是（）A．110° B．120° C．130° D．140°【分析】n边形的内角和是（n﹣2）•180°，少计算了一个内角，结果得2020°．则内角和是（n﹣2）•180°与2020°的差肯定小于180度，并且大于0度．【解答】解：设多边形的边数为n，小红少加的这个角的度数是x°，则有0°＜（n﹣2）180°﹣2020＜180°，则2020°＝180°×12﹣140°，因为0°＜x°＜180°，所以x°＝140°，故选：D．【变式3-2】（玄武区校级月考）一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10或11 B．11或12或13 C．11或12 D．10或11或12【分析】先依据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出截去一个角后的多边形的边数，再依据截去一个角后边数增加1，不变，削减1探讨得解．【解答】解：设多边形截去一个角的边数为n，则（n﹣2）•180°＝1620°，解得n＝11，∵截去一个角后边上可以增加1，不变，削减1，∴原来多边形的边数是10或11或12．故选：D．【变式3-3】（新化县月考）假如一个正五边形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么这个多边形的内角和是．【分析】剪掉一个多边形的一个角，则所得新的多边形的角可能增加一个，也可能不变，也可能削减一个，依据多边形的内角和定理即可求解．【解答】解：n边形的内角和是（n﹣2）•180°，边数增加1，则新的多边形的内角和是（5+1﹣2）×180°＝720°，所得新的多边形的角不变，则新的多边形的内角和是（5﹣2）×180°＝540°，所得新的多边形的边数削减1，则新的多边形的内角和是（5﹣1﹣2）×180°＝360°，因而所成的新多边形的内角和是720°或540°或360°．故答案为：720°或540°或360°．【学问点3多边形的外角和】在一个多边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和．n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.【题型4多边形的外角和】【例4】（金牛区校级期中）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的内角和为（）A．720° B．540° C．1080° D．900°【分析】先依据多边形的外角和定理求出多边形的边数，再依据多边形的内角和公式求出这个正多边形的内角和．【解答】解：正多边形的边数为：360°÷45°＝8，则这个多边形是正八边形，所以该正多边形的内角和为（8﹣2）×180°＝1080°．故选：C．【变式4-1】（永州期末）富有绚丽文化的永州，现今保留着很多具有历史和文化价值的建筑，古朴的建筑物上雕刻的美丽图案是我们数学探讨的重要内容．图1中的“冰裂纹窗格”图案就是永州古建筑雕刻图案其中的代表，无规则多边形的形态，蕴含了丰富而和谐的数学美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的多边形，依据绘制的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5的度数为（）A．72° B．108° C．360° D．540°【分析】多边形的外角和等于360度，依此即可求解．【解答】解：由多边形的外角和等于360度，可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360度．故选：C．【变式4-2】（越秀区校级月考）五边形ABCDE中，∠A、∠B、∠C、∠D对应的邻补角和等于215°，则∠E的度数为（）A．30° B．35° C．40° D．45°【分析】依据五边形AOEFG的外角和为360°，∠A、∠B、∠C、∠D对应的邻补角和等于215°，可得到∠E的邻补角，即∠E相邻的五边形的外角的度数，进而得出∠E的度数．【解答】解：∵∠A、∠B、∠C、∠D对应的邻补角和等于215°，即∠A、∠B、∠C、∠D各自相邻的五边形外角和等于215°，∵五边形的外角和是360°，∴∠E相邻的五边形的外角度数为：360°﹣215°＝145°，∴∠E＝180°﹣145°＝35°．故选：B．【变式4-3】（郓城县期末）如图，∠1，∠2，∠3，∠4是五边形ABCDE的外角，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∠AED的度数是（）A．120° B．115° C．105° D．100°【分析】依据多边形的外角和求出∠5的度数，然后依据邻补角的和等于180°列式求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝75°，∴∠5＝360°﹣75°×4＝360°﹣300°＝60°，∴∠AED＝180°﹣∠5＝180°﹣60°＝120°．故选：A．【题型5多边形的内角和与外角和的实际应用】【例5】（汤阴县期中）八年级一班的同学体育课上玩嬉戏，让小聪同学从A动身前进10米后左转30°，再前进10米后左转30°，依据这样方法始终走下去，当他回到A时，共走了（）A．60米 B．100米 C．120米 D．150米【分析】依据多边形的外角和＝360°求解即可．【解答】解：∵多边形的外角和为360°，∴360°30°即12×10米＝120米，故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角和外角，能熟记多边形的外角和定理是解此题的关键，留意：多边形的外角和等于360°．【变式5-1】（兰山区期末）科技馆为某机器人编制了一个程序，假如机器人在平地上依据图中所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（）A．12米 B．16米 C．18米 D．20米【分析】先推断出机器人所走过的路途是正多边形，然后用多边形的外角和除以每一个外角的度数求出多边形的边数，再依据周长公式列式进行计算即可得解．【解答】解：依据题意得，机器人所走过的路途是正多边形，∵每一次都是左转20°，∴多边形的边数＝360°÷20°＝18，周长＝18×1＝18（米）．故选：C．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，推断出走过的路途是正多边形是解题的关键．【变式5-2】（永年区期末）小磊利用最近学习的数学学问，给同伴出了这样一道题：假如从点A动身，沿直线走5米后向左转θ，接着沿直线前进5米后，再向左转θ……如此下去，当他第一次回到A点时，发觉自己走了60米，θ的度数为（）A．28° B．30° C．33° D．36°【分析】第一次回到动身点A时，所经过的路途正好构成一个正多边形，用60÷5＝12，求得边数，再依据多边形的外角和为360°，即可求解．【解答】解：∵第一次回到动身点A时，所经过的路途正好构成一个正多边形，∴正多边形的边数为：60÷5＝12，依据多边形的外角和为360°，∴则他每次转动θ的角度为：360°÷12＝30°，故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角与外角，解决本题的关键是明确第一次回到动身点P时，所经过的路途正好构成一个正多边形．【变式5-3】（昆明模拟）将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】先依据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°求出正五边形的每一个内角的度数，再延长五边形的两边相交于一点，并依据四边形的内角和求出这个角的度数，然后依据周角等于360°求出完成这一圆环须要的正五边形的个数，然后减去3即可得解．【解答】解：五边形的内角和为（5﹣2）•180°＝540°，所以正五边形的每一个内角为540°÷5＝108°，如图，延长正五边形的两边相交于点O，则∠1＝360°﹣108°×3＝360°﹣324°＝36°，360°÷36°＝10，∵已经有3个五边形，∴10﹣3＝7，即完成这一圆环还需7个五边形．故选：B．【点评】本题考查了多边形的内角和公式，延长正五边形的两边相交于一点，并求出这个角的度数是解题的关键，留意须要减去已有的3个正五边形．【题型6多边形的内角和与外角和的综合应用】【例6】（遂宁期末）如图，七边形ABCDEFG中，AB、ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4相邻的外角的和等于230°，则∠BOD的度数是（）A．50° B．55° C．40° D．45°【分析】由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由多边形的内角和公式求得五边形OAGFE的内角和，即可求得∠BOD．【解答】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为230°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+230°＝4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4＝490°，∵五边形OAGFE内角和＝（5﹣2）×180°＝540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD＝540°，∴∠BOD＝540°﹣490°＝50°，故选：A．【点评】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．【变式6-1】（朝阳区校级月考）如图，l1∥l2，正五边形ABCDE的顶点A、B分别落在l1、l2上，若∠1＝25°，则∠2的大小为（）A．60° B．61° C．62° D．65°【分析】依据正五边形的内角和平行线的性质解答即可．【解答】解：因为正五边形ABCDE的一个内角是108°∵且l1∥l2，∠1＝25°，∴∠ABF＝180°﹣108°﹣25°＝47°，∠2＝108°﹣47°＝61°，故选：B．【变