281419998.6.2直线与平面垂直（第2课时-性质定理） 课件-2020-2021学年

第八章立体几何初步8.6空间直线、平面的垂直8.6.2直线与平面垂直（第2课时）问题：直线与平面垂直的定义是什么？如何判断直线与平面垂直？直线与平面垂直的判定定理解决了判定直线与平面垂直的问题，反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论呢？

如果直线

l

与平面

a

内的任意一条直线都垂直,我们就说直线

l

与平面α互相垂直.如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,那么该直线与此平面垂直.(1)如右图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,棱AA'、BB'、CC'、DD'所在直线都垂直于平面ABCD,它们之间具有什么位置关系?

(2)如右图，已知直线a、b和平面α.如果a⊥α,b⊥α，那么直线a、b一定平行吗?平行一定平行

可以发现，这些直线相互平行，不失一般性，我们以(2)为例加以证明.假设b与a不平行，且b∩α=O.显然点O不在直线a上，所以点O与直线a可确定一个平面一方面：在该平面内过点O作直线b'//a,则直线b与b'是相交于点O的两条不同直线,所以直线b与b'可确定平面β.另一方面：设α∩β=c,则O∈c.因为a⊥α,b⊥α，所以a⊥c,b⊥c.又因为b'//a,所以b'⊥c.这样在平面β内，经过直线c上同一点O就有两条直线b、b'与c垂直，显然不可能.因此b//a.垂直于同一个平面的两条直线平行.直线与平面垂直的性质定理：例1如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，垂足为B，直线a⊂β，a⊥AB.求证：a∥l.

直线与平面垂直的性质定理告诉我们,可以由两条直线与一个平面垂直判定这两条直线互相平行.直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的内在联系.思考1：在a⊥α的条件下，如果平面α外的直线b与直线a垂直，你能得到什么结论?思考2：如果平面β与平面α平行，你又能得到什么结论?例2

已知：如右图，直线l平行于平面

.

求证：直线l上各点到平面

的距离相等.

一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.由上例我们还可以进一步得出，如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.

例如：在棱柱、棱台的体积公式中，它们的高就是它们的上、下底面间的距离.练习1：如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AB⊥平面PAD，AD＝AP，E是PD的中点，M，N分别在AB，PC上，且MN⊥AB，MN⊥PC.证明：AE∥MN.证明

因为AB⊥平面PAD，AE⊂平面PAD，所以AE⊥AB，又AB∥CD，所以AE⊥CD.因为AD＝AP，E是PD的中点，所以AE⊥PD.又CD∩PD＝D，CD，PD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为MN⊥AB，AB∥CD，所以MN⊥CD.又因为MN⊥PC，PC∩CD＝C，PC，CD⊂平面PCD，所以MN⊥平面PCD，所以AE∥MN.练习2：如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥平面BCC1B1，F为B1C1的中点.求证：直线A1F∥平面ADE.证明

因为A1B1＝A1C1，F为B1C1的中点，所以A1F⊥B1C1.因为CC1⊥平面A1B1C1，且A1F⊂平面A1B1C1，所以CC1⊥A1F.又CC1⊂平面BCC1B1，B1C1⊂平面BCC1B1，CC1∩B1C1＝C1，所以A1F⊥平面BCC1B1.又AD⊥平面BCC1B1，所以A1F∥AD.又AD⊂平面ADE，A1F⊄平面ADE，所以A1F∥平面ADE.练习3：如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交.求证：EF∥BD1.证明：连接AB1，B1D1，B1C，BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，DD1，BD⊂平面BDD1B1，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可证BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，AC，B1C⊂平面AB1C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.1．