新人教版九年级下册初中数学 课时1 平行投影与中心投影教案

第二十九章投影与视图

29.1投影

课时1平行投影与中心投影

【知识与技能】

L通过实践探索，了解投影、投影面、平行投影和中心投影的概念.

2.了解平行投影和中心投影的含义，认识两者之间的区别.

3.会在投影面上画出平行投影和中心投影.

【过程与方法】

1.通过联系生活实际,初步感受平行投影和中心投影,体会数学与生活之间的

密切联系.

2.认识中心投影和平行投影的区别与联系,发展空间想象能力.

【情感态度与价值观】

1.通过观察、分析、探究得出结论，激发学生学习数学的兴趣，培养学生观察

能力和实践能力.

2.使学生学会关注生活中有关投影的数学问题，提高数学的应用意识,增强学

好数学的信心.

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理解平行投影和中心投影的特征.

在投影面上画出平面图形的平行投影或中心投影.

多媒体课件.

导入一：

【师生活动】教师课件展示“鸟巢”“水立方”等建筑图片，学生观察欣赏.

［过渡语］你注意过周围物体在日光或灯光下的影子吗?影子和物体有着怎

样的联系呢?人们从光线照射物体会产生影子得到启发，得出了投影的有关知识,

并用这些知识来绘制视图.在生产实践中，制造机器、建筑高楼、设计火箭……

无一不和视图密切相关.本章我们将学习投影的有关知识,并借助投影认识视图.

导入二：

你看过皮影戏吗？皮影戏又名“灯影子”，是我国民间一种古老而奇特的戏曲

艺术,在关中地区非常流行.皮影戏演出简便,表演领域广阔,演技细腻,活跃于广

大农村，深受农民的欢迎.

幄㈤匕

【师生活动】教师课件展示图片，学生欣赏图片，有条件的可以放映电影

《小兵张嘎》部分片段一一小胖墩和他父亲在日军炮台内为日本人表演皮影戏,

简单介绍有关皮影戏的知识,导出本节课的课题.

导入三：

北京故宫中的日暑闻名世界，是我国光辉灿烂的文化瑰宝.它是我国古代利用

日影测定时刻的仪器，它由“劈面”与“辱针”组成，太阳光照在日辱中轴上产

生投影，辱针的影子就会投向唇面，随着时间的推移,唇针的影子长度发生变化,

唇针的影子在唇面上慢慢移动，聪明的古人以此来显示时刻.

【师生活动】教师展示图片，引入新课,学生观察思考,初步感知投影的概念.

［设计意图］通过欣赏大家熟悉的名建筑导出本章内容,让学生体会数学与生

活之间的密切联系,激发学习本章的兴趣.学生通过观看电影片段或欣赏图片，了

解中国传统文化,数学课堂上渗透德育教育,通过对皮影和日辱的介绍，让学生初

步感知投影的概念,为下面的学习做好铺垫.

［过渡语］影子随处可见，你能举出生活中关于物体在光线的照射下形成影

子的实例吗？

一、认识概念

思路一

【师生活动】

(1)学生举出物体在光线的照射下形成影子的例子,教师点评.

(2)教师出示投影图片，让学生感受日常生活中的一些投影现象.

(3)学生尝试总结什么是投影,互相补充,最后教师与学生一起归纳总结.

课件展示图片：

【结论】一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影

子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

［过渡语］我们生活中的所有投影是不是都一样呢？

【师生活动】

(1)教师展示探照灯发出的光线图片，学生观察.

(2)学生思考:探照灯发出的光线与灯泡发出的光线是否相同？太阳光线与哪种

光线相同？

(3)学生小组合作交流,共同归纳，小组代表发言，教师点评,然后归纳有关概念.

【结论】有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯中的光线.

由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如，物体在太阳光的照射下形成的影子

（简称日影）就是平行投影.

由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如，物体在灯泡发

出的光照射下形成的影子就是中心投影.

思路二

【思考】

（1）物体在日光或灯光的照射下会形成影子，影子的形成与哪些因素有关？

（物体本身、照射光线、形成影子的平面）

（2）你能举出生活中的一些实例吗？

【师生活动】教师展示生活中的图片（同思路一），学生观察思考后，小组合

作交流,教师结合学生的结论,给出投影的一些概念.

【结论】一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影

子叫做物体的投影.照射光线叫做投影线,投影所在的平面叫做投影面.

【师生活动】教师展示分别用探照灯和灯泡作为光源,在教室的墙面上形成

三角尺的影子.

【思考】

（1）探照灯的光线与灯泡发出的光线有什么不同？

（2）太阳光与哪种光线相同？

【师生活动】学生观察思考后小组合作交流，教师对学生的回答进行点评,

归纳概念.

【结论】有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯中的光线.

由平行光线形成的投影叫做平行投影.例如，物体在太阳光的照射下形成的影子

（简称日影）就是平行投影.

由同一点（点光源）发出的光线形成的投影叫做中心投影.例如I,物体在灯泡发

出的光照射下形成的影子就是中心投影.

［设计意佟|］通过观察图片，感知数学概念的形成来源于生活，通过观察、思

考,抽象出有关概念,对投影的感性认识上升到理性认识,通过理论联系实际，不

仅使学生加深了对概念的理解,而且突出了数学与现实的联系,激发了学生的求

知欲望.

二、共同探究

［过渡语］通过观察我们知道有两种不同的投影一一平行投影和中心投影,

下面我们一起来探讨它们的区别和联系.

【思考】

（1）如图（1）是同一时刻的两棵树及其影子,请你在图中画出形成树影的光线,

并判断它是太阳光线还是灯光的光线.若是灯光的光线,请确定光源的位置.

（2）请判断如图（2）的两棵树的影子是在太阳光下形成的还是在灯光下形成的,

并画出同一时刻旗杆的影子（用线段表示）.

（3）通过上边的练习，请观察平行投影和中心投影，它们有什么相同点与不同点？

【师生活动】学生独立思考后，小组合作交流,动手操作后交流答案,教师进

行点评，共同归纳.

【课件展示】

［课件展示】平行投影与中心投影的区别与联系:

区别联系

平行投都是物体在光线的照射

平行的投影线

影下在某个平面内形成的

中心投从一点发出的投影子（即都是投影）

影影线

［设计意佟|］通过解决设计的练习，学生经历观察、思考、操作、交流、归纳

等数学活动，得出平行投影和中心投影的区别与联系，不仅加深了对平行投影和

中心投影的概念的理解和掌握，同时提高了学生的应用意识和能力，让学生获得

了成功的体验.

三、例题讲解

物园(1)地面上直立一根标杆AB,如图(1),杆长为2m.

①当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形？

②当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?并画出

投影示意图.

(2)一个正方形纸板/四和投影面平行(如图(2)),投影线和投影面垂直，点C

在投影面上的对应点为C,请画出正方形纸板的投影示意图.

教师引导分析：

(1)当阳光垂直照射地面时，点A的影子落在什么地方？

(2)当阳光与地面的倾斜角为60°时，点A的影子落在什么地方？

(3)在直角三角形中，已知一锐角和一直角边,怎样求出三角形的另一直角边？

(4)当投影线与投影面垂直时，如何画出顶点A,B,C,〃的投影？

【师生活动】学生独立思考,动手操作完成画图及求解,小组代表展示成果,

教师点评.

解：(1)①当阳光垂直照射地面时，标杆在地面上的投影是一个点.因为标杆与

地面垂直，阳光垂直照射地面时与标杆平行，使得影子与点6重合.

②当阳光与地面的倾斜角为60°时，如图(3).

在RtzMa'中，N4侬60。，AB=2,

AEAB2^/3

♦.♦tan/4®BC=J,.♦.除3.

2/

...标杆在地面上的投影是长为亏m的线段,如图⑶的BC.

(2)因为纸板与投影面平行,投影线和投影面垂直,所以分别过点A,8,。作投影

面的垂线，垂足分别为顺次连接C',〃'即可.如图(4)为所画的

投影.

［设计意图］通过例题的教学进一步加深对投影的理解和掌握,在巩固所学的

知识的同时，为下节课的正投影做铺垫，通过分析、思考、交流、解答等数学活

动,培养学生分析问题、解决问题的能力.

［知识拓展］(1)光线移动时，物体影子的大小、方向也随着变化，物体的形状

与影子的形状有密切的联系.

(2)光是沿直线传播的，因此我们可以由投影与物体确定光线方向.

(3)平行投影的应用：①根据阳光下影子的大小、位置的变化判断时刻的不

同；②已知一个物体及其在阳光下的影子，可作出同一时刻另一个物体在阳光下

的影子；③根据物高和影长的关系可以求物高或影长.

(4)中心投影的应用：①根据点光源下两种或两种以上物体及影子的情况判断

点光源的位置；②已知点光源的位置,可以画物体在点光源下的影子.

1.一般地,用光线照射物体,在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子叫做物

体的投影.

2.有时光线是一组互相平行的射线，例如太阳光或探照灯中的光线.由平行光

线形成的投影叫做平行投影.

3.由同一点(点光源)发出的光线形成的投影叫做中心投影.

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第1课时

1.认识概念

平行投影

中心投影

2.共同探究

3.例题讲解

例题

-、教材作业

二、课后作业

【基础巩固】

L下面说法正确的是)

A.所有的光线都是平行的

B.太阳光线是平行的

C.同一组物体的平行投影与中心投影是相同的

D.以上说法都不对

2.在同一时刻,两根长度不等的竹竿置于阳光之下，但它们的影长相等,那么这两

根竹竿的相对位置是)

A.两根都垂直于地面B.两根平行斜插在地上

C.两根竹竿不平行D.一根倒在地上

3.下列投影不是中心投影的是)

CD

4.如图，晚上小亮在路灯下散步,在小亮由A处走到8处这一过程中，他在地上的

影子（）

A.逐渐变短

B.逐渐变长

C.先变短后变长

D.先变长后变短

5.下列结论正确的有（）

①同一时刻物体在阳光照射下影子的方向是相同的；②物体在任何光线照射下

影子的方向都是相同的；③物体在路灯照射下,影子的方向与路灯的位置有关；

④物体在光线照射下,影子的长短仅与物体的长短有关.

A.1个B.2个C.3个D.4个

6.如图，小华为了测量所住楼房的高度，他请来同学帮忙,测得同一时刻他自己的

影长和楼房的影长分别是0.5米和15米，已知小华的身高为1.6米,那么他所住

楼房的高度为米.

7.如图，光源尸在横杆4?的正上方，48在灯光下的影子为CD,AB〃

皿力於2m,切=6m,点尸至U5的距离是2.7m,则AB与切之间的距离是

m.

/\

/\

cD

8.如图，赵亮同学想利用影长测量学校旗杆的高度，他在某一时刻直立1米长的

标杆测得其影长为L2米，同时旗杆的影子一部分在地面上，另一部分在某一建

筑的墙上，分别测得其长度分别为9.6米和2米，则学校旗杆的高度为

□□

□□

9.如图,48和龙是直立在地面上的两根立柱，/作5叫某一时刻48在阳光下的

投影以＞

（1）请在图中画出此时应在阳光下的投影；

⑵在测量的投影时，同时测量出应在阳光下的投影长为6m,请你计算应的

长.

10.如图，小华、小军、小丽同时站在路灯下，其中小军和小丽的影子分别是

AB,CD.

⑴请你在图中画出路灯灯泡所在的位置（用点尸表示）；

（2）画出小华此时在路灯下的影子（用线段如表示）.

【能力提升】

11.三角尺在灯泡。的照射下在墙上形成影子（如图）.现测得力=20cm,%'=50cm,

这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比值是.

12.如图，小明在A时测得某树的影长为2m,8时又测得该树的影长为8m,若两次

日照的光线互相垂直,则树的高度为m.

泰JE/

13.如图，光源L距地面(£A)8米,距正方形顶端(/给2米，已知在光源照射下,正

方形在左侧的影子应长5米,求正方形在右侧的影子CF的长.

i.

金

B£N；C

【拓展探究】

14.如图,王琳同学在晚上由路灯A走向路灯内当他行到夕处时发现,他在路灯8

下的影长为2米,且恰好位于路灯A的正下方,接着他又走了6.5米到0处，此时

他在路灯A下的影子恰好位于路灯8的正下方.(已知王琳身高1.8米,路灯6高

9米)

⑴标出王琳站在尸处在路灯6下的影子；

(2)计算王琳站在。处在路灯A下的影长；

(3)计算路灯/的高度.

A

【答案与解析】

LB解析:只有平行投影的光线是平行的,而中心投影的光线是不平行的,故A错

误；太阳光线是平行的,B正确；根据平行投影及中心投影的定义及特点知同一

组物体的平行投影与中心投影是不相同的，故C错误；因为B选项正确，所以D

选项错误.故选B.

2.C解析:在同一时刻，两根长度不等的竹竿置于阳光之下,但它们的影长相等,

那么这两根竹竿不平行.故选C.

3.D解析:分别连接头顶和影子的端点,A,B,C中的两条光线交于一点，是中心投

影,D中的两条光线平行,是平行投影.故选D.

4.C解析：因为小亮由A处走到6处这一过程中，离光源是由远到近再到远的过

程,所以他在地上的影子先变短后变长.故选C.

5.B解析:①因为太阳光线是平行光线，所以同一时刻物体在阳光照射下，影子的

方向是相同的,故①正确；②物体在灯光的照射下影子的方向与物体的位置有关,

故②错误；③物体在路灯照射下，影子的方向与路灯的位置有关，故③正确；④

物体在点光源的照射下,影子的长短与物体的长短和光源的位置有关,故④错误.

所以正确的有2个.故选B.

6.48解析:如图，易证△/比。△〃防则有AC,.BC=DF,.EF,解得上48米.

7.1.8解析：•：AB〃CD,：.APABsAPCD,：.AB：缁点尸到4?的距离：点P到

的距离.，2：6=点0到4。的距离：2.7,.,.点尸到4。的距离为0.9m,则AB与

0之间的距离为2.7-0.9=1.8（m）.

AE1AE1

8.10解析:如图，作DEUB于点、E根据题意得疝=巧,即获=巧,解得心8米,

则/作44g8+2=10（米）.即旗杆的高度为10米.

9.解：⑴如图,连接AC,过点D作DF〃AC,交直线勿于点内线段）即为龙的

投影.

ABBC

②•：AC〃DF,：./AC氏4DFE.•:4ABONDE六90°,：.4ABCs丛DEF,.・.DE=EF,

53

，朦=10m.

10.解:如图.⑴点尸为所求的点.⑵跖为小华此时在路灯下的影子.

2

11.1解析：由题意知三角尺与其影子相似，它们周长的比就等于相似比.因为

OA2022

病=而=&所以三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比值是E

12.4解析：如图，过点C作储：由题意，得△储T是直角三角形，且N

ECS

又，，/母N6ONE办N〃叱90°，:./舁/DCRJRMEDC

EDDC

sRt4CDF,则有DC=F£,即DC=ED♦刈代入数据可得加=16,则膝4m.

13.解：由题意知四边形DEFG是正方形,且LNLBC,：.DG/7EF,册叱FG,四边形

DMLM513

〃以"与四边形恻%是矩形，.'.△/Os△应川.#.BE+EN=LN解得D©：.吩3,