全国理数第37课 空间向量在立体几何中的应用

第37课空间向量在立体几何中的应用

普查讲37空间向量在立体几何中的应用

1.空间向量及其运算

a.空间向量的基本定理及线性运算

(1)(经典题，13分)如图37—2所示，已知E,F,G,”分别是空间四边形ABC。的边

AB,BC,CD,DA的中点.

(I)求证：E,F,G,"四点共面;

(II)求证：BD〃平面EFGH；

(III)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点0,有痂无+又1+而).

答案：(1)(11)(111)见证明过程

证明：(I)连接H分别为AB和AZ)的中点，

：.EH//BD,JiEH=^BD,：.EH=^BD.

G是8的中点，,BG=1(fiC+BD),

：.EG^EB+BG=EB+^BC+Bb)^EB+BF+EH^EF+EH.

由向量共面的充要条件，可知E,F,G,，四点共面.(5分)

(11)由(I)知EH//BD,

•.,E//U平面EFGH,80©平面EFGH,

〃平面EFGH.(8分)

(III)由(I)知丽=g而，同理寿而，：.EH^FG,：.EH//FG,EH=FG,四边形

EFGH为平行四边形，

为对角线EG的中点，

：.0M=^0E+0G).(10分)

又E,G分别是AB,8的中点，：.OE=^OA+OB),dG=1(dC+5b),：.OM=^OE

+0G)=^1COA+OB)+1C0C+0D)^=^(0A+0B+0C+db).(13分)

b.空间向量数量积及其应用

(2)(经典题，5分)已知向量a=(l,0,一1),则下列向量中与a成60。夹角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,一1,1)D.(-1,0,1)

答案：B

解析：不妨设与向量。成60。夹角的向量为江

对于A,当〃=(—1,1,0)时,温=M=T不满足条件;

对于B,当b=(l,—1»0)时，\ci\\b\~yj?Xy[2=^f满足条件；

对于C,当八(0'-1,1)时,髓=&rT不满足条件;

对于D,当匕=(一1,0,1)时，瑞=[日克=—1,不满足条件.

(3)(2015浙江，6分)已知e1，e?是空间单位向量，eie=5,若空间向量b满足加幻=2,

万©2=,，且对于任意x，yCR，也一(xei+阳)闫〃-5)01+)懒)|=l(xo，y()WR),则xo=,

yo=.1*1=-

答案：122小

解析：：©，02是单位向量，e\C2=2<

•/\1

..cos\e\,62)—2-

又,.•0°W””e2〉W180°,；.Qi，e2〉=60°.

不妨把向量e1，e2放到空间直角坐标系。一町z的平面xOy中，设ei=(l,0,0),ei—

Q,坐，0),再设初=0=(zn,n,r).由be\—2,b-ez—y得胆=2,n=y[3,则Z>=(2,小，

r)._

而xei+ye2是平面xOy中的任意向量，由仍一(xei+ve2)l》l知点B(2,A/5,r)到平面xOv

的距离为1,

理解田一(xei+ye2)|》l的几何意义是解题的关健.

故「=±1,则b=(2,小,±1),：.\b\=2y]2.

'/|i—(,xoe\+yo«2)l=1)

综上，xo=l，yo—2,\b\=2y[2.

2.空间向量在立体几何中的应用

a.利用向量法证明垂直与平行问题

(4)(经典题，12分)如图37—5所示，在四棱锥p—ABC。中，PC_L平面48CC,PC=2,

在四边形ABCQ中，ZB=ZC=90°,AB=4,CZ)=1,点M在PB上，PB=4PM,P8与平

面ABC。成30。的角.求证：

p

图37-5

（I）CM〃平面PAD；

（II）平面平面RAD.

答案：（1）（H）见证明过程

证明：（I）；尸C_L平面ABC。，：.PCLCD,PCA.BC.

又NC=90。，，CB,CD,CP两两垂直.

以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CZ）所在直线为），轴，CP所在直线为z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.（l分）

•.了（7，平面48。。，...NPBC为PB与平面ABC。所成的角，AZPBC=30°.

VPC=2,：.BC=2事,PB=4.

，C（0,0,0）,D（0,1,0）,B（2小，0,0）,A（2小，4,0）,P（0,0,2）.

：PB=4PM,惇0,I）,：.DP=（0,-l,2）,DA=（2V3,3,0）,CM=（^-,0,1J（2

分）

设"=（x,y,z）为平面以。的法向量，

而n=0,f—y+2z=0,

由V得r,

扇〃=0,12小x+3y=0,

令y=2,得〃=（—S，2,1）.（4分）

Vn-CA/=-V3X：^+2X0+lx|=0,：.nLCM.

又CM.平面南O,〃平面外£）.（6分）

（II）（法一）由（I）知法=（0,4,0）,丽=（2小，0,-2）.设平面PAB的法向量为机=（xo,

Jo>Zo），

得产=0,

叫B-Am=0,

[2小xo—2zo=0,

.曲,”=0,

令必=1,得m=（l,0,b）.（9分）

「平面外力的一个法向量”=（一小，2,1）,

IX（一小）+0X2+小X1=0,

平面以8_L平面B4D.（12分）

（法二）如图，取AP的中点E,连接BE,

则改小，2,1）,昉=（一小，2,1）.

易知曲〃n,平面PAD.（\O分）

又BEu平面PAB,

平面以BJ_平面布D（12分）

b.求异面直线所成的角

（5）（2015全国I,12分）如图37-7所示，四边形ABCZ）为菱形，/ABC=120。，E,F

是平面ABC。同一侧的两点，BELL平面ABC。，力B_L平面ABC。，BE=2DF,AELEC.

（I）证明：平面AEC_L平面AFC；

（II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

答案：（I）见证明过程（II）坐

解：（I）证明：如图，连接8。，设8OCAC=G,连接EG,FG,EF.

在菱形ABC£>中，不妨设G8=l,由/ABC=120。，可得AG=GC=小，AB=BC=2.

由BE_L平面ABCD,AB=BC,可知BE1AB,BE±BC,：.AE2=BE2+AB2=BE2+BC2

=EC2,，AE=EC.又AE_LEC,.♦.△EAC为等腰直角三角形，；.£：6=）。=/，且EG_L4c（2

分）

在RtZXEBG中，:GB=1,EG=p：.BE=y12f

:.DF=3BE=坐.

5r

在RtZXFDG中，V£>G=1,DF=+，：.FG=^,

在直角梯形BDFE中,,:BD=2,BE=0,DF=^,

22+

.\EG±FG.（4分）

又ACCBG=G,，EG_L平面AFC

：EGu平面4EC,

二平面AEC_L平面4尸C.（6分）

z。vy

（11）（法一）如图，以G为坐标原点，分别以G8,GC所在直线为x轴、y轴，以过点G

与8E平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系G-“z.

设G8=l,则由（I）可得A（0,一.,0）,E（l,0,包,从一1,0,亭）,C（0,0）,

：.AE={\,小,柩,市=（—1,一小，乎），（10分）

AECF小

（AE,CF}

cos———「一3'

|AE||CF|

直线AE与直线CF所成角为向量能，亦夹角的补角，

直线4E与直线CF所成角的余弦值为坐.（12分）

（法二）如图，延长EB,尸G交于点“，连接A4,CH.

由于G是BO的中点，E"〃0F,，G为H尸的中点.

又G平分AC,.•.四边形AHCF为平行四边形，

：.AH//FC,且A”=FC,则NE4H或其补角即为异面直线AE与C尸所成角.（8分）

,:BG=GD,NBGH=NFGD,HG=FG,

:.△BGHQADGF,

：.BH=DF.

设G8=l,由（I）知，EH=EB+BH=EB+DF=平.

在Rt/XABE中，AE=yjAB2+BE2=y]22+（A/2）2=V6；

.•.在中，由余弦定理可得

（佝2+（及户然飞

AE^+AFf-EH2

cosZEAH—

2AEAH2XaX乎3

，异面直线AE与C尸所成角的余弦值为坐.（12分）

（6）（2015江苏节选,7分）如图37—8所示，在四棱锥产一ABC。中，己知以_1_平面ABCD,

7T

且四边形ABCD为直角梯形，ZABC^ZBAD=yB4=A£>=2,A8=BC=1.点。是线段BP

上的动点，当直线C。与。尸所成角最小时，求线段8Q的长.

图37-8

答案：平

解：（法一）因为B4_L平面A8CZ）,ZBAD=^,所以A8,AQ,”两两垂直.以{热，AD,

AP｝为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A—冷处

易得崩=(-1,0,2),可设丽=%旃=(一九0,2»(OW/IW1).

因为无=(0,-1,0),所以&=史+诙=(一九-1,22).

又5>=(0,-2,2),

，-f、CQDP2+421+22八

所以cos(CQ,DP)——।—尸=厂.(3分)

IC0HDPI75工~+1•2^5yj1022

设l+24=f,3],贝

2t2

所以cos2(CQ,DP)=

5f2-10/+9

仅当f=£,即2=，时，|cos(CQ,DP)|取得最大值3yp.

又因为y=cosx在(0,&上是减函数，

所以此时直线CQ与DP所成角最小.

因为BP=#^=小,所以BQ=|BP=乎，所以当直线CQ与DP所成角最小时;

线段8。=芈.(7分)

(法二)如图，延长AB,0c交于点E,连接PE,取PE中点凡过。作Q4〃必交A8

于“，连接FC,FB,FQ.

因为8C〃AO,且BC=%£),所以B,C分别为AE和E。的中点.又尸为PE的中点，

所以FC〃PO,FB//PA,FC=^PD,所以EB_L平面ABC。，/FCQ或其补角为

直线C。与P。所成的角.

所以PD=2p,所以尸C=5v)=dl由法一知AO_L布，ADLAB,PAC\AB=A,所以4£>J_

平面%B.又BC〃AC所以BC_L平面力B,所以所以。。=也声不了=，^正巧，

FQ=^X2+(2x-1)2=-\/5x2—4x+l,

则在△FCQ中，

FC2+CQ2~QF22+5/+1—(5/-4x+l)^2(2x+l)八

=

cosZFCe=2FC.CG=2X^XV^+I2^分)

令f=2x+l(lWfW3),则x=t—，

也⑵+1)

所以cosNFCQ=

2^57+1-.

25|+1

J2zV2

3回

10

又因为y=cosx在(0,§上是减函数，

所以此时直线CQ与DP所成角最小，且BQ=4x=^.(7分)

(7)(2017全国HI,5分)小人为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角

边AC所在直线与mb都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线A8与a成60。角时，A8与匕成30。角；

②当直线AB与a成60。角时，AB与匕成60。角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°.

其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)

答案：②③

解析：由题意知，a,b,AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图所示.

不妨设图中所示正方体棱长为1，故|AC|=1,|4?|=也，斜边AB以直线AC为旋转轴旋

转，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆.

以C为坐标原点，以质方向为x轴正方向，无方向为y轴正方向，为方向为z轴正方

向，建立空间直角坐标系，则。(I,0,0),A(0,0,1).

取直线。的方向向量a=(0,1,0),⑷=1,直线b的方向向量力=(1,0,0),创=1.设

B点在运动过程中的坐标夕(cosasin仇0),其中6『0。，360。)，则向S?亩=(cos。，sin。,

-1),而1=隹

设A8与a所成角为aG(0。,90°],

I病MI(cos6>,sin(9,-1)-(0,1,0)1丘

则cosa=|sin^|e

同|病|同网2吟

故aW[45。，90°],所以③正确，④错误.

设A"与6所成角为£6（0。，90。],

\AB'b\I(cosi9,sin^,-1)-(1,0,0)1&

则cos4=-；T=----------iWtri-------------=—

I叫病||/>|AB,2

所以cos2a+cos2^=^(sin2^+cos20)=^,

所以当AB，与a夹角为60。，E|la=60。时，cosP=^.-

又因为/G（0。，90°],

所以尸=60。，即此时A所与方所成角为60。，

所以②正确，①错误.

C.求直线与平面所成的角

（8）（2018全国I,12分）如图37—10所示，四边形ABCO为正方形，E,K分别为AO,

BC的中点，以。F为折痕把△QFC折起，使点C到达点P的位置，且

（I）证明：平面平面ABFD；

图37-10

（II）求DP与平面ABFD所成角的正弦值.

答案：（I）见证明过程（H）乎

解：（I）证明：因为E,尸分别是正方形ABCC的边AO,8c的中点,

所以E尸〃AB,且AB_LBF,

所以«F±£F.（3分）

又因为5F_LPF,EF,PFu平面PEF,EFCPF=F,

所以BF_L平面PEF.

又因为BFu平面A8FZ）,

所以平面平面ABFD.（5分）

（U）（法一）因为。BFLPF,所以。£_LPF.

又因为PB_LP。，DE,PCu平面尸DE,DECPD=D,

所以PF_L平面PDE.

又因为PEu平面PDE,所以P尸_LP£,

即是直角三角形且尸为直角顶点.（8分）

平面PEFA平面ABFD=EF,PGu平面PEF,

所以PG_L平面ABFQ,

所以NPDG即为。P与平面AB尸。所成的角.（10分）

设正方形ABCO的边长为a,

则PO=CD=a,EF=a,PF吟

所以PE=/E七一「尸=坐小

所以5鬻邛〃

因为DGu平面ABE。，PGmABFD,

所以PGIDG,

所以sin^.PDG=~p^—^~,

所以。P与平面ABFD所成角的正弦值为坐.（12分）

（法二）过点尸作PGLEF,垂足为G,

同法一可知PGJ•平面ABFD.

作G”_LEF交AB于点“，易知GP,GH,G/两两垂直.以点G为坐标原点，GH,GF,

迸分别为x,y,z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz.

因为AZ)〃BF,BFLPF,所以AQ_LPF.

又尸产_LPO,ADDPD=D,所以尸F_L平面尸CE.

又PEu平面POE,所以P/UPE.(8分)

设正方形ABC。的边长为2a,

则EF=2a,PF=a,

所以在RtAPfF中，PE=y](2a)2一片=小小

^PEPF=^EFPG,

即;X小az=Tx20PG,解得PG=^a,

3

所以EG=呼，（10分）

所以G（0,0,0）,从一a,-|a,0）,P（0,0,坐a）,

所以£>P=（a,^a,坐，•

易知平面ABFD的一个法向量为6>=（0,0,坐a）.

设DP与平面ABFD所成角为仇

a

2)

则{DP,GP}尸_____

sin6»=|cos辛号与干一彳

\DP\\GP\(6

ax——a

272

所以直线。P与平面ABFD所成角的正弦值为平.(12分)

（9）（2018天津节选，10分）如图37—11所示，AD//BCHAD=2BC,ADLCD,EG//AD

且EG=AO,CO〃尸G且CD=2FG,DG±¥®ABCD,DA=DC=DG=2.

图37-11

(I)若M为C尸的中点，N为EG的中点，求证：MN〃平面CDE；

(11)若点T在线段。6上，且直线BP与平面AQGE所成的角为60。，求线段。P的长.

答案：(I)见证明过程(II)坐

解：依题意易知D4,DC,OG两两垂直.建立以。为坐标原点，DA,DC,虎的方向

分别为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得。(0,0,0),A(2,0,0),

8(1,2,0),C(0,2,0),EQ,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2).(2分)

3

(I)证明：依题意得M(0,-

2)

2J

no-DC=0,2y=0,

设“o=(x,y,z)为平面CDE的法向量,则1即

2x+2z=0.

jioDE=O,

可得〃o=（l，0,-1）.（4分）

3

-,1），

2

所以MM"o=O.

又直线MMt平面CDE,所以MN〃平面C£)E.(5分)

(11)设线段。尸的长为/7(/76[0,2]),

则点尸的坐标为(0,0,〃)，可得而=(-1,-2,h).

易知比=(0,2,0)为平面ADGE的一个法向量，

故|cos(BP,5bl=二一」-r-T—.(8分)

\BP\\DC\W+5

又直线BP与平面4OGE所成的角为60°,

所以7^=；==$山60。=坐，所以〃=坐6[0,2],

■\]h+5zJ

所以线段OP的长为坐.（10分）

d.求二面角的平面角

（10）（2017全国HI,12分）如图37-13所示，四面体ABCD中，ZiABC是正三角形，/\ACD

是直角三角形，/ABD=NCBD,AB=BD.

（I）证明：平面AC£>_L平面ABC；

（H）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分,

求二面角D-AE-C的余弦值.

答案：（I）见证明过程（I呼

解：（I）证明：如图，取AC中点O,连接BO,DO.

:△ABC为等边三角形，

：.BO±AC,KAB=BC.

又<BD=BD,NABD=NCBD,

：./\ABD^/\CBD,：.AD=CD,

...△AC。为等腰直角三角形，NAOC为直角.

又。为底边4c中点，C.DO1.AC,OD=；AC.（3分）

设AB=a,则AB=AC=BC=B£）=a,

.'.OD—^a,。8=坐小

：.OD2+OB2=BD2,二/。08=多即0£>_L08.

5l.,：ACnOB=O,平面ABC.(5分)

又♦.•OOu平面ACD,平面4CO_L平面ABC.（6分）

（H）由题意可知yD-ACE=VB-ACE，即B，。到平面ACE的距离相等,

为8。中点.

以。为原点，OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴，0。所在直线为z轴，建立空

间直角坐标系，如图所示.

设AC=a,则0(0,0,0),卷0,0),40,亚合

4m4/

.,.危=(—今兴a,J,在=(—*0,51=(*0,0).(8分)

设平面AE£)的法向量为"1=(x1,y\,zi),

旅〃产0,J—炭+号”尸0,

叫-即1

ADn1—0,[―?xi+gzi=0,

取>1=1,则川=（小，1,小）；（9分）

设平面AEC的法向量为"2=（X2,丫2,Z2）,

一%2+华丫2+*2=0,

AE-〃2=0，

则'即

0A〃2=0，齐=20,

取丫2=1，则"2=（0，I，一小）.（10分）

设二面角。一4E-C为仇易知。为锐角，

•mS

则COS0=而两=7-

所以二面角D-AE-C的余弦值为理.（12分）

（11）（2016全国I,12分）如图37—14所示，在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体

中，底面ABE尸为正方形，AF=2FD,ZAFD=90°,且二面角£）一4尸一后与二面角C-8E

-F都是60°.

（I）证明：平面A8EFJ_平面EFDC-.

（H）求二面角E-BC-A的余弦值.

答案：（I）见证明过程（II）一嘴

解：（I）证明：由已知可得AF_LQF,AFVFE.

因为。所以4尸，平面EFCC.

又AFu平面ABEF,

所以平面ABEF_L平面EFDC.（4分）

（H）如图，过。作力GJ_EF,垂足为G,由（I）知平面ABEF_L平面EFOC,所以力GJ_

平面ABEF.

以G为坐标原点，GF所在直线为x轴，过点G与吊平行的直线为），轴，G。所在直线

为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系G—xyz.

因为NAF£>=90。，四边形ABEF为正方形，

所以/DFE为二面角。一A尸一E的平面角，

所以NDFE=60°.

设FG=1,则。尸=2,DG=y[3.

又AF=2FD,

所以A尸=4,可得A（l,4,0）,B（~3,4,0）,E（—3,0,0）,D（0,0,小）.

因为四边形ABEF为正方形，所以A8〃EF.

又平面EFQC,所以AB〃平面EFCC.

又平面ABCDC平面EFDC=OC,所以A8〃CZ）〃EE

由（I）知，AF_L平面EFDC.

因为BE//AF,所以BE_L平面EFDC,

所以BEJLEC,BELEF,

所以NCEF为二面角C-BE-F的平面角，

所以/CEF=60。，

所以C（一2,0,小），

所以的=（1,0,小），旗=（0,4,0）,AC=（~3,-4,小），b=（-4,0,0）.（8分）

n^EC—Ot

设”=（x,y,z）是平面BCE的法向量，贝小

•旗=0,

卜+小z=0,

即14y=0,

所以可取〃=（3,0,一小）；（9分）

m-AC=0,

设机是平面ABC。的法向量，则<

in-AB—0,

同理可取》i=（0,小，4）,（10分）

所以cos"m>=温飞姿而一嚼'观察可知,二面角E—BC-A为

钝角，故二面角E-BC-A的余弦值为一节.（12分）

（12）（2018全国n节选，7分）如图37—15所示，在三棱锥P-4BC中，AB=BC=2小,

PA=PB=PC=AC=4,。为AC的中点.若点M在棱BC上，且二面角加一省—C为30。，

求PC与平面PAM所成角的正弦值.

图37-15

答案:当

解：连接。8

在底面AABC中，因为AB=BC=2吸，AC=4,

所以AC2=AB2+BC2,

所以由勾股定理的逆定理得ABL8C,

所以△ABC是等腰直角三角形，

所以O8_LAC,0B=pC=2.

因为PA=AC=PC=4,

所以△必C为等边三角形.

又因为。为AC的中点，

所以POLAC,

所以PO=PCsin60°=2小.

又PB=4,所以

所以由勾股定理的逆定理得PO1.OB.

由上可知OP,OB,OC两两垂直.（1分）

以。为坐标原点，分别以5kOC,标的方向为x轴、y轴、Z轴的正方向，建立如图

所示的空间直角坐标系。一盯z.

易知0(0,0,0),A(0,~2,0),B(2,0,0),C(0,2,0),尸(0,0,2小).

因为点M在棱8c上，且二面角为30。，

故可设原=2协+（1—冷灰其中0<2Wl,

所以点M的坐标为（22,2-22,0）.（3分）

显然，OB_L平面B4C,

所以油是平面B4C的一个法向量，且励=（2,0,0）.

易知成=（0,2,2V5）,病=（2九4-2A,0）,PC=（O,2,一2小）.

设平面的法向量为“=（xo,比，zo）,

，2，AP=2）b+2，^z（）=0,

叫-

.n-AA/=2/Lro+（4一22）州=0.

„厂ni小（2—2）

取yo=d^，则zo=—1,沏=»

此时片代（尸,V3,-1）

/uun)

依题意得cos(n,OB\nOB\

\n\\OB\

2小(7—2)

2近

cos30°=

/3(；-2)2,2，

(小)2+(-1)2

化简得3产+42—4=0.

解得力=12或4=一2（舍去）.（5分）

此时〃=（一2小，小,一1），

/u叫n，PC(-2小，小，-1)•(0,2,-2小)小

所以cos(n,PC)—

回西―H（—2小）2+（小）2+（一1）24，

所以PC与平面PAM所成角的正弦值为坐.（7分）

（13）（2018山东荷泽二模，12分）如图37—16所示，在几何体ABCOEF中，四边形ABC。

是边长为2的菱形，。£_1_平面48。力，BFJ_平面ABC。，DE=20DE>BF,NABC=120。.

（I）当8F的长为多少时，平面平面CEF?

（II）在（I）的条件下，求二面角E—AC一尸的余弦值.

答案：（1）斯的长为吸时，平面AEF,平面CM（II）坐

解：（I）连接B。交AC于点O.

因为四边形ABC。是菱形，所以AC_L8D

因为OE_L平面A8CD,ABCD,

所以DE//BF.

又DE>BF,所以四边形3QEF是梯形.

取EF的中点G,连接OG,则OG//DE.

因为。E_L平面A8C£>,

所以OG_L平面ABCZ）,

所以。G,AC,8。两两垂直.

以O为坐标原点，AC,BD,OG所在的直线分别为x轴、），轴、z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系.（1分）

设BF—?«（0</»<2^/2）.

因为四边形ABC。是边长为2的菱形，NABC=120。，

所以OA=OC=2Xsin6（T=小，OB=O£>=2Xcos60°=1,

所以4小，0,1,m),

所以泰=（一小,-1,2吸），#=（一小，1,⑼，4=他,-1,2/），序=（小，1,

机）.（2分）

设平面AEF、平面CE厂的法向量分别为小=（x”力，zi）,“2=（X2,再，Z2）.

ffn\AE=O,

由"i_LAE,n\LAF,得＜

,ni-AF—O,

f-y/3xi—yi+2-J2zi=0,w+2\[2

即r解得〈厂r

V3XI+VI+/MZI=0,2^6—73m

[y'=m+2^2X，-

令制=根+25，则〃i=（，"+2吸，2#一小nt,2小）.

一—»"2，CE=0,

由n2±CE,n2±CF,得，

、"2・CF=0,

小X2—丫2+2啦2Z=0,Z2=_,〃+2也如

即彳V解得《

.V3x2+y2+mzi=0,

y2=，〃+2吸电

令X2=m+2巾,则"2=（加+2/，y[3m-2-\[6,—2小）.（5分）

若平面AErJ_平面CEF,则"「"2=0，

所以（加+2啦＞+（小〃]一2班）（2加-•小⑼-12=0,解得m=@或机=7啦（舍）,

所以8尸的长为啦时，平面AEFL平面CEF.（6分）

（H）当〃?=啦时，最=（一小，-1,2柩,启=（一2小，0,0）,#=（一小，1,y[2）.

设平面ACF的法向量为"3=（X3,L，Z3）.

_»_»nj-AF—0,I—A/5X3+）'3+{^Z3=O,

由n3.LAF,m^-AC,得彳即，广

lnyAC=Q,〔-2包3=0.

令Z3=啦，则"3=（0，-2,6）.（8分）

设平面AEC的法向量为"4=（X4,户，Z4）.

"4,A£=。，J—y[3x4—y4+2寸&=0,

由/i4±AE,114-LAC,得，1―2匹4=0.

M4-AC=0,

令Z4=巾,则“4=（0,4,也），（10分）

所以COS（113,"4〉=|"：|"4|=一坐

|"3网|3

因为二面角E-AC一尸为锐角，所以所求的二面角E—AC一尸的余弦值为号.（12分）

e.求点到平面的距离

（14）（经典题，12分）如图37—19所示，正三棱柱ABC-AiBG的所有棱长均为2,D,E

分别是和AB的中点.

图37-19

（I）证明：ADJ_平面4EC；

(H)求点Bl到平面AiEC的距离.

答案：(I)见证明过程(H)呼

解：(I)证明：由题知直线A4i，CE,BE两两垂直，如图，以E为原点，EB所在直线

为x轴，EC所在直线为y轴，过E与44平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系.

在正三棱柱ABC—AIBIG中，AA\=AB=BC=AC=2,EB=EA=1,CE=小,

则A(-l,0,0),0,2),E(0,0,0),C(0,40),0(1,0,1),

：.AD=（2,0,1）,血尸（一1,0,2）,EC=（0,小，0）.（3分）

:访西i=-2+2=0,ADECCO,

：.AD±EAi，ADLEC.

又

平面AiEC.（6分）

（II）由（I）知Bi（l,0,2）,则前i=（l,0,2）.（8分）

；AO_L平面4EC,

平面AiEC的一个法向量为45=（2,0,1）,（10分）

...点Bi到平面A\EC的距离3=呼,"=生=芈.（12分）

\AD\书5

f.向量法解决立体几何中的存在性问题

（15）（2016北京，14分）如图37-21所示，在四棱锥P-ABCQ中，平面力。_L平面ABCD,

PALPD,PA^PD,ABLAD,A8=l,A£>=2,AC=C£>=小.

图37-21

(I)求证：平面PAB；

(II)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;

(III)在棱以上是否存在点使得〃平面PC。？若存在，求索的值；若不存在,

说明理由.

答案：(I)见证明过程(II)当(III)存在，第=!

。rxr4+

解：(I)证明：因为平面以。J_平面ABCD,AB1,AD,ABu平面ABC。，平面以。n平

面ABCD=AD,

所以AB_L平面PAD.

又「。u平面B4。，所以AB_LPD

又因为布_LP。，PAC\AB=A,所以PO_L平面限B.（4分）

（II）取A。的中点。，连接尸O,C0.

因为%=P£>,所以尸0LAD

又因为POu平面力力，平面力£>!.平面ABCZ）,平面%0n平面

所以尸0_L平面A8CD

因为COu平面ABCD,

所以POLCO.

因为AC=CD,。为A。中点，所以C0，AD（6分）

所以PO,CO,A力两两垂直.

如图，以。为原点，OC,OA,0P所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系

O-xyz.

因为4c=8=小，4。=暴力=1,COA-AD,

所以OC=NAC2-AO2=2.

又PA=PD,AD=2,所以PO=1.

所以4(0,1,0),8(1,1,0),C(2,0,0),D[0,一1,0),P(0,0,1).

所以的=(0,-1,-1),元=(2,0,-1).

设平面PDC的法向量为/i=(x,y,z),

n-PD=0,-y—z=0,

则彳即

2x~z=0.

JI-PC=O,

令z=2,则x=l,y——2,所以"=(1,—2,2).(7分)

又诵=(l,1,-1),

所以|cos〈"，PB)\~

I«||PB|3X小

所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为坐.（10分）

（IH）假设在棱以上存在点M,且=/=，（），-1,1）,2G[0,1J,

因此点M（0,1-2,A）,-2,A）.（12分）

因为8M〃平面PCD,由（II）知1,平面尸C£）的一个法向量〃=（1,-2,2）,所以诙•〃

=0,即（一1,一九2）-（1,—2,2）=0,解得2=1，

所以在棱布上存在点使得〃平面PCD,此时爷=/（14分）

（16）（经典题，13分）如图37—22所示，平面四边形中，/%C=NA8C=90。，PA

=AB=2小,AC=4.现把4c沿AC折起，使与平面ABC成60。角，设此时P在平面

ABC上的投影为。点（O与B在AC的同侧）.

图37-22

(I)求证：。8〃平面以C；

(II)试问:线段PA上是否存在一点使得二面角M-BC-A的正切值为亭？若存在,

指出M的位置；若不存在，说明理由.

答案：(I)见证明过程(II)存在，/点是线段以的三等分点，且靠近P点

解：(I)证明：•.•20_1_平面48。，,2。_1_。4.

B4np0=P,

，CA_L平面RAO,则C4_LAO.(3分)

又在平面ABC上的投影为。点，

ZB40是PA与平面ABC所成的角，

ZB4O=6（）°.

又•.•必=2小，POLAO,：.0A=4

在RtZ\ABC中，AC=4,AB=2小，：.ZBAC^30°,

在△OAB中，Z<9AB=90°-30o=60°,

：.OB2=AO2+AB2-2A