人教A版高二数学上学期重难点突破期末复习专题3.6求离心率（强化训练）（解析版）

专题3.6求离心率题型一利用几何性质求解题型二利用坐标法求解题型三利用第一定义求解题型四利用第二定义求解题型五利用第三定义求解题型六与斜率乘积相关题型七焦点三角形双余弦定理模型题型八焦点弦与定比分点题型一 利用几何性质求解1．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的上顶点为SKIPIF1<0，两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的垂直平分线过点SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】求出线段SKIPIF1<0的中点坐标，根据两直线垂直斜率关系可得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0可求得离心率.【详解】

如图，设SKIPIF1<0的垂直平分线与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，由题，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化简得，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.2．已知双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，坐标原点为SKIPIF1<0，若在双曲线右支上存在一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0

3．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，记椭圆的离心率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意可得SKIPIF1<0，从而可求得SKIPIF1<0，根据勾股定理可求得SKIPIF1<0，利用椭圆离心率的定义即可求得结果.【详解】如下图所示：

因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由椭圆定义可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<04．椭圆SKIPIF1<0的两个焦点为SKIPIF1<0是椭圆上一点，且满足SKIPIF1<0.则椭圆离心率SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据给定条件，可得SKIPIF1<0，进而得出SKIPIF1<0，再求出离心率范围即得.【详解】由点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是直角三角形，原点SKIPIF1<0是斜边SKIPIF1<0的中点，因此SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在椭圆上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，所以椭圆离心率SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：D5．点P在椭圆上，且在第一象限，过右焦点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的外角平分线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，若SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点Q，根据PA是SKIPIF1<0的外角平分线，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再利用椭圆的定义求解.【详解】延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点Q，∵PA是SKIPIF1<0的外角平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又O是SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴离心率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<06．如图，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的三个点，SKIPIF1<0经过原点SKIPIF1<0经过右焦点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则该椭圆的离心率为.

【答案】SKIPIF1<0【分析】设椭圆的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，利用对称性得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，分别在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，利用勾股定理求解.【详解】解：如图所示：

设椭圆的左焦点为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由对称性知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入上式，得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0题型二 利用坐标法求解7．已知SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点，平行于SKIPIF1<0轴的直线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0的渐近线和右支于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设SKIPIF1<0，联立方程组求得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，化简得到SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，化简得到SKIPIF1<0，进而求得双曲线的离心率.【详解】双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.又因为点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以双曲线的离心率为SKIPIF1<0.故选：B.

8．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，若双曲线上存在点P满足SKIPIF1<0，则双曲线离心率的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设P的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设SKIPIF1<0，双曲线的半焦距为c，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，所以双曲线离心率的最小值为SKIPIF1<0.故选：D9．过双曲线SKIPIF1<0的左焦点且垂直于SKIPIF1<0轴的直线与双曲线交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为虚轴上的一个端点，且SKIPIF1<0为钝角，则此双曲线离心率的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据双曲线的性质求出SKIPIF1<0的坐标，写出向量SKIPIF1<0，根据∠ADB为钝角，结合向量的数量积公式化简求解即可.【详解】设双曲线SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0由对称性，不妨设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0三点不共线，所以∠ADB为钝角SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入化简得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，综上，离心率的取值范围为SKIPIF1<0．故选：D.10．已知双曲线C：SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作x轴的垂线交C于点P﹒SKIPIF1<0于点M（其中O为坐标原点），且有SKIPIF1<0，则C的离心率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由向量垂直的坐标表示得出关于SKIPIF1<0的齐次式后可得离心率．【详解】如图，易得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0故解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．

11．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作直线分别交双曲线左支和一条渐近线于点SKIPIF1<0（SKIPIF1<0在同一象限内），且满足SKIPIF1<0．联结SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．若该双曲线的离心率为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】SKIPIF1<0【分析】设点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在双曲线上，SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0的坐标，然后根据SKIPIF1<0在渐近线SKIPIF1<0上列方程，解方程得到SKIPIF1<0，然后求离心率即可.【详解】

不妨设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0（1），SKIPIF1<0在双曲线上，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入（1）解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0在渐近线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．两边平方得SKIPIF1<0（2），将SKIPIF1<0和SKIPIF1<0代入（2）得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．已知双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0斜率为SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0的右支交于点SKIPIF1<0，若线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点恰为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】D【分析】求得SKIPIF1<0点坐标，根据直线SKIPIF1<0的斜率列方程，化简求得双曲线的离心率.【详解】由于线段SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点恰为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两边除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.故选：D

13．直线SKIPIF1<0与椭圆C：SKIPIF1<0的交点在x轴上的射影恰好是椭圆的焦点，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0在椭圆上和直线SKIPIF1<0上列方程，整理后求得椭圆的离心率.【详解】设在第一象限的交点为A，右焦点为SKIPIF1<0，根据题意：SKIPIF1<0轴，A在椭圆上，由SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，A在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A题型三 利用第一定义求解14．已知椭圆SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的左，右焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，若线段SKIPIF1<0的中点在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据中点关系可得SKIPIF1<0轴，进而根据直角三角形中的边角关系，结合椭圆定义即可求解.【详解】由于线段SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上,SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由椭圆定义可得SKIPIF1<0，故选：A

15．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆E：SKIPIF1<0的左，右焦点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆E的离心率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，再结合SKIPIF1<0和角平分线定理得到SKIPIF1<0，然后在SKIPIF1<0中，利用勾股定理求解.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由椭圆定义得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<016．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，经过SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为坐标原点，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】利用向量的数量积的运算律，以及椭圆的定义，利用齐次化方法求离心率.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

故答案为:SKIPIF1<0.17．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设SKIPIF1<0，结合椭圆的定义，在SKIPIF1<0中利用勾股定理求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中利用勾股定理求得SKIPIF1<0，可求椭圆C的离心率.【详解】连接SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.18．已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用余弦定理可得SKIPIF1<0，再由双曲线定义可得SKIPIF1<0，由离心率定义可得SKIPIF1<0.【详解】如下图所示：根据题意可设SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0；由余弦定理可知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，由双曲线定义可知可知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；所以离心率SKIPIF1<0.故选：A19．已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左，右焦点，过点SKIPIF1<0倾斜角为SKIPIF1<0的直线与双曲线的左，右两支分别交于点SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，利用双曲线的定义及题中几何关系将SKIPIF1<0用SKIPIF1<0表示，再利用几何关系建立关于SKIPIF1<0齐次方程，从而求出离心率.【详解】如图，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0与SKIPIF1<0,

设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0，∴在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故选：A.题型四 利用第二定义求解20．已知直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的渐近线交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且过原点和线段SKIPIF1<0中点的直线的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用点差法可求SKIPIF1<0的值.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为过原点和线段SKIPIF1<0中点的直线的斜率为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为SKIPIF1<0.【点睛】直线和圆锥曲线的位置关系中，如果涉及到弦的中点问题，可以考虑用点差法来简化计算.21．已知椭圆C的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P，Q为C上两点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据椭圆的焦点三角形，结合勾股定理即可求解.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D22．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点，过点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】如图，设SKIPIF1<0，由题意，椭圆定义结合余弦定理可得SKIPIF1<0，后在SKIPIF1<0由余弦定理可得SKIPIF1<0，即可得答案.【详解】如图，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又由椭圆定义可得SKIPIF1<0.则在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得:SKIPIF1<0SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0由余弦定理可得：SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0

23．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，过右焦点作倾斜角为SKIPIF1<0的直线交椭圆于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据题意写出直线方程，与椭圆方程联立，运用韦达定理与SKIPIF1<0构建出关于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的齐次方程，根据离心率公式即可解得.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0做倾斜角为SKIPIF1<0的直线斜率SKIPIF1<0，直线方程为SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据韦达定理：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C.24．已知椭圆C：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左焦点为SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0作倾斜角为SKIPIF1<0的直线交椭圆于A，B两点，且SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】联立直线与椭圆方程可得韦达定理，进而根据向量共线的坐标运算可得SKIPIF1<0，进而结合SKIPIF1<0求解离心率.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0所作直线的倾斜角为SKIPIF1<0，所以该直线斜率为SKIPIF1<0，所以直线方程可写为SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据韦达定理：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：C25．设SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，M为椭圆上一点，直线SKIPIF1<0分别交椭圆于点A，B，若SKIPIF1<0，则椭圆离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设出SKIPIF1<0，根据向量的定比分点，将SKIPIF1<0两点的坐标表示成含SKIPIF1<0的式子，再代入椭圆方程联立即可解得SKIPIF1<0，即可求得离心率.【详解】如下图所示：

易知SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0同理由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0；将SKIPIF1<0两点代入椭圆方程可得SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以离心率SKIPIF1<0；故选：D26．已知椭圆SKIPIF1<0，过左焦点SKIPIF1<0且不与SKIPIF1<0轴垂直的直线SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若直线SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0是等边三角形，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，将直线SKIPIF1<0的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，求出SKIPIF1<0的长以及等边SKIPIF1<0的高，根据几何关系可得出SKIPIF1<0，即可求得该椭圆离心率的取值范围.【详解】知点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，

联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由韦达定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，设线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为等边三角形，则SKIPIF1<0，且直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故选：D.题型五 利用第三定义求解27．双曲线SKIPIF1<0被斜率为SKIPIF1<0的直线截得的弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0则双曲线SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】根据点差法，设出交点坐标，代入作差即可得解.【详解】设SKIPIF1<0代入双曲线方程作差有:SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：B．【点睛】本题考查了解析几何中的点差法，点差法主要描述直线和圆锥曲线相交中斜率和中点的关系，在解题中往往大大简化计算，本题属于基础题.28．已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】设SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，两式做差得到SKIPIF1<0，代入条件即可计算离心率．【详解】设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，两式做差得SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0．故选：A.【点睛】直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的内容之一，也是高考的一个热点问题，其解法可以利用“点差法”．29．已知椭圆，点SKIPIF1<0为左焦点，点SKIPIF1<0为下顶点，平行于SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】点差法解决中点弦问题.【详解】由题意，设椭圆方程为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，化为：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故选：A．30．已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别为双曲线C：SKIPIF1<01（a＞0，b＞0）的左、右焦点，直线l：SKIPIF1<01与C交于M，N两点，线段MN的垂直平分线与x轴交于T（﹣5c，0），则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为S(x0，y0)，运用点满足双曲线方程，作差，结合中点坐标公式和平方差公式，以及直线的斜率公式，两直线垂直的条件，以及双曲线的离心率公式，计算可得所求值．【详解】设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为S(x0，y0)，联立方程组SKIPIF1<0，两式相减可得b2(x12﹣x22)=a2(y12﹣y22)，可得b2(x1﹣x2)(x1+x2)=a2(y1﹣y2)(y1+y2)，可得2b2(x1﹣x2)x0=2a2(y1﹣y2)y0，所以kMNSKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0（1），由kMNSKIPIF1<0kST=-1，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<01（2），由（1）（2）可得x0SKIPIF1<0，y0=5b，即S(SKIPIF1<0，5b)，又S在直线l上，所以SKIPIF1<05＝1，解得eSKIPIF1<0．故选：D．【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质，考查了点差法和方程思想、运算求解能力，属于中档题．31．（多选）已知椭圆SKIPIF1<0的焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设直线l与椭圆C交于M，N两点，且点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．椭圆C的离心率为SKIPIF1<0C．直线l的方程为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0【答案】AC【分析】先由题意求出SKIPIF1<0即可判断A；再根据离心率公式即可判断B；由点差法可以求出直线l的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：

根据题意，因为焦点在y轴上，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选项A正确；椭圆C的离心率为SKIPIF1<0，故选项B不正确；不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，变形得SKIPIF1<0，又注意到点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，所以直线l的斜率为SKIPIF1<0，所以直线l的方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选项C正确；因为直线l过SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，故选项D不正确.故选：AC．32．已知椭圆SKIPIF1<0上一点M，点F为右焦点，点P为下顶点，SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，根据相似关系确定SKIPIF1<0，代入方程计算得到答案.【详解】如图所示：过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型六 与斜率乘积相关33．已知A，B分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右顶点，F是C的焦点，点P为C的右支上位于第一象限的点，且SKIPIF1<0轴.若直线PB与直线PA的斜率之比为3，则C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．3【答案】C【分析】由已知可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0的坐标，求得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0所在直线的斜率，再由直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的斜率之比为3列式求双曲线SKIPIF1<0的离心率．【详解】由题意可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点的横坐标为SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．即双曲线的离心率为2．故选：C．

34．设双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，点A满足SKIPIF1<0，点P、Q在双曲线上，且SKIPIF1<0．若直线PQ，PF的斜率之积为SKIPIF1<0，则双曲线的离心率为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【详解】如图