2024北京中考数学二轮专题复习 专题七 二次函数综合题（课件）

专题七二次函数综合题

类型一对称性、增减性问题1

类型二公共点问题2

类型三整点问题3类型一对称性、增减性问题1.(2021朝阳区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋a－4(a≠0)的对称轴是直线x＝1.(1)求抛物线y＝ax2＋bx＋a－4(a≠0)的顶点坐标；综合提升三阶解：(1)∵对称轴是直线x＝1，∴

＝1，∴b＝－2a，∴y＝ax2－2ax＋a－4＝a(x－1)2－4，∴顶点坐标为(1，－4)；(2)当－2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值；(2)若a＜0，则抛物线开口向下，y的最大值在对称轴处取得，从而y有最大值为－4，∵当－2≤x≤3时，y的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x＝1，∴函数此时在x＝1时取得最大值5，这与y有最大值－4矛盾，从而a＞0，∴抛物线的顶点为图象的最低点．∵1－(－2)＞3－1，∴当x＝－2时，y＝5，代入y＝a(x－1)2－4，得a(－2－1)2－4＝5，解得a＝1；(3)在(2)的条件下，当t≤x≤t＋1时，y的最大值是m，最小值是n，且m－n＝3.求t的值．(3)由(2)得，a＝1，∴y＝(x－1)2－4.①当t

≤

1

≤

t＋1时，此时0

≤

t

≤

1，∴n＝－4，函数的最大值在t＋1或t处取得，即m＝t2－4或m＝(t－1)2－4，∴m的最大值为－3，此时m－n＝1，不符合题意，舍去；②当t＋1＜1，即t＜0时，m＝(t－1)2－4，n＝(t＋1－1)2－4＝t2－4，∵m－n＝3，∴(t－1)2－4－(t2－4)＝3，∴t＝－1；③当t＞1时，同理可得t＝2，综上所述，t的值为－1或2.2.(2023北京)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求直线BC的表达式；解：(1)∵抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)，∴令y＝0，则有x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝3，∴A(1，0)，B(3，0)．∵抛物线y＝x2－4x＋3与y轴交于点C，∴令x＝0，得y＝3，∴C(0，3)．设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b，得

解得∴直线BC的表达式为y＝－x＋3；(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围．(2)∵y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为(2，－1)．由题意可知，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)(x1<x2)关于直线x＝2对称，∴x1＋x2＝4.如解图①，当x1＜x2且x2＝x3时，此时N、B、Q三点重合，x3＝3，此时x1＋x2＋x3＝1＋3＋3＝7；第2题解图①如解图②，当x1＝x2＜x3时，此时点P、Q重合且在抛物线顶点处，此时点P纵坐标为－1，将y＝－1代入直线BC的表达式，则x3＝4，此时x1＋x2＋x3＝2＋2＋4＝8；第2题解图②结合解图①，解图②，当x1＜x2＜x3时，则3＜x3＜4，当直线l位于x轴上方或抛物线顶点下方时，均不满足x1<x2<x3，故不考虑，∴7＜x1＋x2＋x3＜8.第2题解图①第2题解图②3.(2021海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2mx＋m2与y轴的交点为A，过点A作直线l垂直于y轴.(1)求抛物线的对称轴(用含m的式子表示)；解：(1)抛物线y＝x2－2mx＋m2的对称轴为直线x＝

＝m；(2)将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，组成图形G.点M(x1，y1)，N(x2，y2)为图形G上任意两点．①当m＝0时，若x1＜x2，判断y1与y2的大小关系，并说明理由；(2)①y1>y2，理由如下：当m＝0时，二次函数解析式是y＝x2，对称轴为y轴；∴图形G如解图①.第3题解图①∴图形G上的点的横纵坐标x和y，满足y随x的增大而减小．∵x1<x2，∴y1>y2；②若对于x1＝m－2，x2＝m＋2，都有y1＞y2，求m的取值范围．②通过计算可知，抛物线翻折之前M、N对应点的坐标分别为P(m－2，4)，Q(m＋2，4)为抛物线上关于对称轴x＝m对称的两点，下面讨论当m变化时，y轴与点P，Q的相对位置：(ⅰ)如解图②，当y轴在点P左侧时(含点P)，第3题解图②经翻折后，得到点M，N的纵坐标相同，即y1＝y2，不符合题意；(ⅱ)如解图③，当y轴在点Q右侧时(含点Q)，第3题解图③第3题解图④(ⅲ)如解图④，当y轴在点P，Q之间时(不含点P，Q)，点M，N分别和点P，Q重合，y1＝y2，不符合题意；经翻折后，点N在l下方，点M，P重合，在l上方，y1>y2，符合题意．此时有m－2<0<m＋2，即－2<m<2.综上所述，m的取值范围为－2<m<2.4.(2021朝阳区二模)在平面直角坐标系xOy中，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)为抛物线y＝ax2－2ahx＋ah2＋1(a<0)上的两点．(1)当h＝1时，求抛物线的对称轴；解：(1)当h＝1时，抛物线的表达式为y＝ax2－2ax＋a＋1，∴y＝a(x－1)2＋1，∴抛物线的对称轴为直线x＝1；(2)若对于0≤x1≤2，4－h≤x2≤5－h，都有y1≥y2，求h的取值范围．(2)设抛物线上四个点的坐标为A(0，yA)，B(2，yB)，C(4－h，yC)，D(5－h，yD)．∵a<0，∴y1的最小值必为yA或yB.抛物线的对称轴为直线x＝

＝h.①由a<0可知，当2≤h≤时，存在y2≥y1，不符合题意；②当h<2时，总有4－h>2.∵当x>h时，y随x的增大而减小，∴yB>yC>yD.当h≤

时，4－h－h≥

.∴yA≥yC>yD，符合题意．当

<h<2时，4－h－h＜h.∴yA<yC，不符合题意；③当h>

时，∵当x<h时，y随x的增大而增大，∴yC<yD，yA<yB.当h≥5时，5－h≤0.∴yD≤yA，符合题意．当

<h<5时，5－h>0.∴yD>yA，不符合题意．综上所述，h的取值范围是h≤

或h≥5.5.(2021房山区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)被x轴截得的线段长度为4.(1)求抛物线的对称轴；解：(1)由抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)可得，抛物线的对称轴为直线x＝

＝1；(2)求c的值(用含a的式子表示)；(2)设抛物线与x轴的交点横坐标分别为x1，x2，且x1在x2的右侧，由题意可得x1－x2＝4，∴ax2－2ax＋c＝0，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝

，∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝16，∴4－

＝16，解得c＝－3a；(3)若点M(x1，3)，N(x2，3)为抛物线上不重合的两点(其中x1<x2)，且满足x1(x2－5)≤0，求a的取值范围．(3)由(2)及点M(x1，3)，N(x2，3)为抛物线上不重合的两点(其中x1<x2)，可得，x1，x2即为方程ax2－2ax－3a＝3的两个不相等的实数根，∴b2－4ac＝4a2＋4a(3a＋3)>0，解得a>0或a<

，∴根据一元二次方程的公式法可得x＝1±

，则x1·x2＝－3－

，①当a>0时，由x1<x2可知：x1＝1－

，∵x1(x2－5)≤0，即x1x2－5x1≤0，∴－3－

－5(1－

)≤0，化简得

≤8，解得－1≤a≤

，∵a>0，∴0<a≤

；②当a<

时，由x1<x2可知x1＝1＋

，由①可得－3－

－5(1＋

)≤0，化简得－

≤8，解得－1≤a≤

，∵a<－

，∴－1≤a<－

.综上所述，a的取值范围为0<a≤

或－1≤a<－

.6.(2021大兴区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－2bx＋b2－2(b>0)经过点A(m，n)．(1)用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；解：(1)∵y＝x2－2bx＋b2－2＝(x－b)2－2，∴顶点坐标为(b，－2)；(2)若抛物线经过点B(0，2)，且满足0<m<3，求n的取值范围；(2)把(0，2)代入y＝x2－2bx＋b2－2(b＞0)，得b＝2或b＝－2(舍去)，∴b＝2，∴抛物线解析式为y＝x2－4x＋2，对称轴为直线x＝2，∴顶点坐标为(2，－2)．如解图①，结合函数图象可得，第6题解图①在顶点处n取得最小值－2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，－2≤n＜2；(3)若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．①当3≤m≤5≤b时，ymax＝(3－b)2－2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立．②当3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝(3－b)2－2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝(5－b)2－2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；第6题解图②(3)如解图②，③当b≤3≤m≤5时，ymax＝(5－b)2－2≤2，得3≤b≤7，矛盾，不成立．综上所述，b的取值范围为3≤b≤5.第6题解图②类型二公共点问题1.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋n(m≠0)与x轴交于点A(－2，0)，B.(1)求出抛物线的对称轴；综合提升三阶考向一定抛物线与动线段第1题图解：(1)∵抛物线y＝mx2－2mx＋n，∴抛物线的对称轴为直线x=－＝1；(2)直线y＝x－4m－n过点B，且与抛物线的另一个交点为C.①分别求直线和抛物线所对应的函数表达式；(2)①∵抛物线是轴对称图形，∴点A、B关于直线x＝1对称．∵点A的坐标为(－2，0)，∴点B的坐标为(4，0)．∵抛物线y＝mx2－2mx＋n过点B，直线y＝x－4m－n过点B，∴16m－8m＋n＝0，2－4m－n＝0，解得m＝，

n＝4，∴直线所对应的函数表达式为y＝x－2，抛物线所对应的函数表达式为y＝

x2＋x＋4；②点P为抛物线对称轴上的动点，过点P的两条直线l1：y＝x＋a和l2：y＝－x＋b组成图形G.当图形G与线段BC有公共点时，直接写出点P的纵坐标t的取值范围．联立

，解得

∵点B的坐标为(4，0)，∴点C的坐标为(－3，

)．当直线l2：y＝－x＋b1过点B时，0＝－4＋b1，解得b1＝4，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝－x＋4，第1题解图【解法提示】如解图，当x＝1时，y＝－x＋4＝3，∴点P1的坐标为(1，3)；第1题解图当直线l2：y＝－x＋b2过点C时，

＝3＋b2，解得b2＝

，∴此时直线l2所对应的函数表达式为y＝－x

，当x＝1时，y＝－x

＝

，∴点P2的坐标为(1，

)，∴当图形G与线段BC有公共点时，点P的纵坐标t的取值范围为

≤

t

≤3.②点P的纵坐标t的取值范围为≤t≤3.2.抛物线M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，抛物线的顶点为D.(1)抛物线M的对称轴是直线________；x＝2第2题图【解法提示】∵抛物线M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)，∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2.(2)当AB＝2时，求抛物线M的函数表达式以及顶点D的坐标；(2)∵抛物线M：y＝ax2－4ax＋a－1(a≠0)的对称轴为直线x＝2，抛物线M与x轴的交点为点A，点B(点A在点B的左侧)，AB＝2，∴点A，B的坐标分别为(1，0)，(3，0)．∵点A在抛物线M上，∴将点A的坐标代入抛物线的函数表达式，得a－4a＋a－1＝0，解得a＝－12，∴抛物线M的函数表达式为y＝－x2＋2x－32＝－(x－2)2＋12，∴顶点D的坐标为(2，)；(3)在(2)的条件下，直线l：y＝kx＋b(k≠0)经过抛物线的顶点D，直线y＝n与抛物线M有两个公共点，它们的横坐标分别记为x1，x2，直线y＝n与直线l的交点的横坐标记为x3(x3＜4)，若当－2≤n≤－1时，总有x1－x3＜x3－x2＜0，请结合函数的图象，直接写出k的取值范围．第2题解图由(2)知点D的坐标为(2，

)．当y＝－1时，－

(－2)2＋

＝－2，解得x＝2±

，当y＝－2时，－

(x－2)2＋

＝－2，解得x＝2±

.∵直线y＝n与直线l的交点横坐标记为x3(x3＜4)，且当－2≤n≤－1时，总有x1－x3＜x3－x2＜0，∴可以得出【解法提示】如解图，∵x3＜4，∴2＜x3＜4，k<0，当直线l：y＝kx＋b(k≠0)经过抛物线的顶点D(2，

)和(4，－2)时，

解得k＝

，∴k的取值范围为k＜

.(3)k的取值范围为k＜.第2题解图3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m－4(m≠0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；解：(1)由题意可得，m－4＝－3，∴m＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3；第3题图(2)当a－3≤x≤a时，函数有最小值为5，求a的值；(2)∵抛物线的解析式为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，函数有最小值，最小值为－4.∵当a－3≤x≤a时，函数有最小值为5，∴x的取值范围一定在对称轴的左侧或右侧，①当a≤1时，函数在x＝a处取得最小值，最小值为5，∴(a－1)2－4＝5，解得a1＝4，a2＝－2.∵a≤1，∴a＝－2；②当a－3≥1，即a≥4时，函数在x＝a－3处取得最小值，最小值为5，∴(a－3－1)2－4＝5，解得a1＝7，a2＝1.∵a≥4，∴a＝7，综上所述，a的值为－2或7；(3)将抛物线在B，C之间的部分记为图象G(包含B，C两点)，若直线y＝5x＋b与图象G有公共点，请直接写出b的取值范围．【解法提示】当x＝0时，直线y＝5x＋b≤－3，解得b≤－3；当直线y＝5x＋b与抛物线相切时，得x2－7x－(3＋b)＝0，49－4(－3－b)＝0，解得b＝－

，此时x＝

>3，切点在点B的右侧，不符合题意，把(3，0)代入y＝5x＋b中，得到b＝－15，∴符合题意的b的取值范围是－15≤b≤－3.(3)b的取值范围是－15≤b≤－3.1.已知：二次函数C1：y1＝ax2＋2ax＋a－1(a≠0)．(1)把二次函数C1的表达式化成y＝a(x－h)2＋b(a≠0)的形式，并写出顶点坐标；综合提升三阶考向二动抛物线与定线(线段、射线、直线)第1题图解：(1)y1＝ax2＋2ax＋a－1＝a(x＋1)2－1，∴二次函数C1的顶点坐标为(－1，－1)；(2)已知二次函数C1的图象经过点A(－3，1)．①求a的值；(2)①∵二次函数C1的图象经过点A(－3，1)，∴a(－3＋1)2－1＝1，∴a＝；②点B在二次函数C1的图象上，点A，B关于对称轴对称，连接AB.二次函数C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的图象，与线段AB只有一个交点，求k的取值范围．②∵A(－3，1)，对称轴为直线x＝－1，点A，B关于对称轴对称，∴B(1，1)，当k>0时，二次函数C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的图象经过A(－3，1)时，1＝9k－3k，解得k＝，二次函数C2：y2＝kx2＋kx(k≠0)的图象经过B(1，1)时，1＝k＋k，解得k＝，∴≤

k<.当k<0时，∵二次函数C2：y2＝kx2＋kx＝k(x＋)2－k，若使二次函数C2与线段AB仅有一个交点，∴－k＝1，∴k＝－4，综上所述，k的取值范围是≤k<或k＝－4.2.(2021燕山区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)．(1)求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标；第1题图解：(1)∵抛物线y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，∴抛物线的对称轴是直线x＝－＝1，令x＝0，则y＝－3a，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，－3a)；(2)已知点B(3，4)，将点B向左平移3个单位长度，得到点C.若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．(2)y＝ax2－2ax－3a＝a(x2－2x－3)＝a(x＋1)(x－3)，∴抛物线与x轴交于点A(－1，0)，D(3，0)，与y轴交于点E(0，－3a)，顶点坐标是(1，－4a)．由题意得点C(0，4)，B(3，4)，第2题解图①当a>0时，如解图①，显然抛物线与线段BC无公共点．第2题解图②当a<0时，如解图②，若抛物线的顶点在线段BC上，则顶点坐标为(1，4)，∴－4a＝4，∴a＝－1.如解图③，若抛物线的顶点不在线段BC上，由抛物线与线段BC恰有一个公共点，得－3a＞4，∴a<.综上所述，a的取值范围是a<－或a＝－1.第2题解图③综合提升三阶考向三动抛物线与动线段1.(2021东城区二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－3ax＋1与y轴交于点A.(1)求抛物线的对称轴；解：(1)由抛物线y＝ax2－3ax＋1，可知x＝

＝

，∴抛物线的对称轴为直线x＝

；(2)点B是点A关于对称轴的对称点，求点B的坐标；(2)∵抛物线y＝ax2－3ax＋1与y轴交于点A，令x＝0，y＝1，∴点A的坐标为(0，1)．∵点B是点A关于直线x＝

的对称点，∴点B的坐标为(3，1)；(3)已知点P(0，2)，Q(a＋1，1)．若线段PQ与抛物线恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．(3)∵点A(0，1)，点B(3，1)，点P(0，2)，点Q(a＋1，1)，∴点P在点A的上方，点Q在直线y＝1上．①当a＞0时，a＋1＞1，点Q在点A的右侧，第1题解图①(i)如解图①，当a＋1＜3，即a＜2时，点Q在点B的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点；(ii)如解图②，当a＋1≥3，即a≥2时，点Q在点B的右侧，或与点B重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；第1题解图②②当a＜0时，a＋1＜1，点Q在点B的左侧，(i)如解图③，当0≤a＋1＜1，即－1≤a＜0时，点Q在点A的右侧，或与点A重合，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线恰有一个公共点；第1题解图③(ii)如解图④，当a＋1＜0，即a＜－1时，点Q在点A的左侧，结合函数图象，可知线段PQ与抛物线没有公共点．综上所述，a的取值范围是－1≤a＜0或a≥2.第1题解图④2.(2022朝阳区期末)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx经过点(3，3)．(1)用含a的式子表示b；解：(1)将点(3，3)代入y＝ax2＋bx中，得9a＋3b＝3.∴b＝－3a＋1；(2)直线y＝x＋4a＋4与直线y＝4交于点B，求点B的坐标(用含a的式子表示)；(2)令x＋4a＋4＝4，得x＝－4a.∴B(－4a，4)；(3)在(2)的条件下，已知点A(1，4)．若抛物线与线段AB恰有一个公共点，直接写出a(a＜0)的取值范围．【解法提示】∵a＜0，∴抛物线开口向下．∵A(1，4)，B(－4a，4)，∴点A、B所在的直线为y＝4，由(1)得b＝1－3a，则抛物线可化为y＝ax2＋(1－3a)x，分两种情况讨论：①当抛物线y＝ax2＋(1－3a)x的顶点在线段AB上时，则1≤

≤－4a或－4a≤

≤1，方程ax2＋(1－3a)x＝4的根的判别式b2－4ac＝0，即(1－3a)2＋16a＝0，解得a1＝

，a2＝－1，当a1＝

时，

＝6(不符合题意)，当a2＝－1时，

＝2，则1≤

≤－4a成立；②当抛物线经过点A时，即当x＝1，y＝4时，a＋1－3a＝4，解得a＝

；∴a＜

时，抛物线与线段AB恰有一个公共点，综上所述，a的取值范围为a＝－1或a＜

时，抛物线与线段AB恰有一个公共点．(3)a的取值范围为a＝－1或a<

.3.(2021北师大附中期中改编)在平面直角坐标系xOy中，抛物线F1：y＝ax2＋bx－1(a＞1)与x轴交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，已知点A的坐标为(

，0)，(1)求b的值(用含a的代数式表示)；解：(1)点A的坐标为(

，0)，将点A的坐标代入抛物线表达式并整理得b＝1－a；第3题图(2)求点B的坐标；(2)抛物线的表达式为y＝ax2＋(1－a)x－1，令y＝0，则x＝1或x＝

，故点B的坐标为(1，0)；(3)设抛物线F1的顶点为P1，将该抛物线平移后得到抛物线F2，抛物线F2的顶点P2满足P1P2∥BC，并且抛物线F2过点B，①设抛物线F2与直线BC的另一个交点为D，判断线段BC与CD的数量关系(不需证明)，并直接写出点D的坐标；【解法提示】如解图，根据平移的性质可得BC＝P1P2＝BD，∴CD＝2BC；对于y＝ax2＋bx－1，令x＝0，则y＝－1；则点C(0，－1)，因为点B是C、D的中点，点B坐标(1，0)，由中点公式得D(2，1)．第3题解图(3)①CD＝2BC，D(2，1)；②求出抛物线F2与y轴的交点纵坐标的取值范围．②设平移后抛物线表达式为y＝ax2＋b′x＋c，图象过B(1，0)，D(2，1)，将点B、D的坐标代入抛物线表达式y＝ax2b′x＋c得解得c＝2a－1，∵a＞1，∴c＝2a－1＞1，抛物线F2与y轴的交点纵坐标的取值范围为c＞1.4.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋2mx－m2＋m的顶点为A.(1)求抛物线的顶点坐标(用含m的式子表示)；解：(1)∵y＝－x2＋2mx－m2＋m＝－(x－m)2＋m，故点A的坐标为(m，m)；第4题图(2)若点A在第一象限，且OA＝

，求抛物线的解析式；(2)∵点A在第一象限，且点A的坐标为(m，m)，则OA＝

m＝

，解得m＝1，故抛物线的解析式为y＝－x2＋2x；(3)已知点B(m－1，m－2)，点C(2，2)．若该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，求出m的取值范围．(3)将点B的坐标代入抛物线表达式得m－2＝－(m－1)2＋2m(m－1)－m2＋m，此方程无解；将点C的坐标代入抛物线表达式得2＝－22＋2m×2－m2＋m，解得m＝2或3，如解图①，当m≤2时，抛物线和线段BC有公共点；第4题解图①如解图②，当2<m<3时，抛物线和线段BC无公共点；第4题解图②如解图③，当m≥3时，抛物线和线段BC有公共点；第4题解图③综上所述，m的取值范围为m≤2或m≥3.考向拓展动抛物线与动线段1.(2022海淀区二模)在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝mx2＋2mx＋3的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点B，将其图象在点A，B之间的部分(含A，B两点)记为F.(1)求点B的坐标及该函数的表达式；解：(1)∵二次函数y＝mx2＋2mx＋3的图象与x轴交于点A(－3，0)，与y轴交于点B，∴B(0，3)，把A(－3，0)代入y＝mx2＋2mx＋3，得m＝－1，∴函数的表达式为y＝－x2－2x＋3；第1题图(2)若二次函数y＝x2＋2x＋a的图象与F只有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．由题意知F的端点为A，B，且经过抛物线y＝－x2－2x＋3的顶点C(－1，4)，∵二次函数y＝x2＋2x＋a的图象对称轴为x＝－1，且与F只有一个公共点，∴分别把A、B、C三点坐标代入y＝x2＋2x＋a中，可得a的值分别为－3、3、5.第1题解图(2)如解图，结合函数图象可知，二次函数y＝x2＋2x＋a的图象与F只有一个公共点时，a的取值范围为－3≤a＜3或a＝5.第1题解图2.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3(m>0)与x轴分别交于A、B两点(点A在点B的左侧)．(1)求抛物线的对称轴和顶点的坐标；第2题图解：(1)由题意得，抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3＝m(x＋2)2－3，∴抛物线的对称轴为直线x＝

＝－2，顶点坐标为(－2，－3)；(2)对于该抛物线上的两点P(a，y1)，Q(a＋3，y2)，若y1>y2，求a的取值范围；(2)∵m>0，∴该函数图象开口向上，∴抛物线上的点距离对称轴越远，y值越大．∵点P(a，y1)，Q(a＋3，y2)在该抛物线上，且y1>y2，∴点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，分三种情况讨论：①当P、Q两点均在对称轴左侧(点Q可以在对称轴上)时，a＋3≤－2，即a≤－5，此时点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，∴a≤－5；②当点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧时，a<－2<a＋3，即－5<a<－2，∵点P到对称轴的距离大于点Q到对称轴的距离，∴－2－a>a＋3－(－2)，解得a<

，∴－5<a<

；③当P、Q两点均在对称轴右侧(点P可以在对称轴上)时，a≥－2，此时点P到对称轴的距离小于点Q到对称轴的距离，不符合题意．综上所述，a的取值范围为a<

；(3)记抛物线y＝－x2－2x＋3在第二象限的部分为图形W.若抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3与图形W有且只有一个交点，结合函数图象，求m的取值范围．(3)设抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴负半轴交于点C，与y轴交于点D，则令y＝0，解得x1＝－3，x2＝1(舍去)，∴C(－3，0)．令x＝0，得y＝3，∴D(0，3)．当抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3过点C时，将C(－3，0)代入得，0＝9m－12m＋4m－3，解得m＝3；第2题解图①当抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3过点D时，将D(0，3)代入得，3＝4m－3，解得m＝

；第2题解图②如解图①，如解图②，结合函数图象可得，若抛物线y＝mx2＋4mx＋4m－3与图形W有且只有一个交点，则m的取值范围为

<m≤3.图①图②第2题解图类型三整点问题综合提升三阶1.(2022石景山区一模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋4ax＋b(a>0)的顶点A在x轴上，与y轴交于点B.(1)用含a的代数式表示b；解：(1)∵y＝ax2＋4ax＋b＝a(x＋2)2＋(b－4a)，∴该抛物线顶点A的坐标为(－2，b－4a)，∵顶点A在x轴上，∴b－4a＝0，即b＝4a；(2)若∠BAO＝45°，求a的值；(2)∵b＝4a，∴抛物线的解析式为y＝ax2＋4ax＋4a(a＞0)．∵抛物线