山东省聊城颐中外国语学校2023-2024学年高一下学期第三次质量检测数学试题（含答案）

-2024学年第二学期第三次教学质量检测数学试题单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为()A.4B.6C.12 D.24 3.已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为()A.2B.2eq\r(3)C.6 D.124.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的()A.一条直线不相交 B.两条直线不相交C.无数条直线不相交 D.任意一条直线不相交5.如图，在三棱锥D－ABC中，AC＝BD，且AC⊥BD，E，F分别是棱DC，AB的中点，则EF和AC所成的角等于()A.30°B.45°C.60° D.90°6.已知一组数据从小到大排列为－1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数为()A.5B.6C.4 D.5.57.数据12，14，15，17，19，23，27，30的第70百分位数是()A.14B.17C.19 D.238.从某项综合能力测试中抽取了100人的成绩，统计如下表所示，则这100人成绩的标准差为()分数54321人数2010303010A.eq\r(3)B.eq\f(2\r(10),5)C.3 D.eq\f(8,5)多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间的中点值作代表，则下列说法中正确的是()A.成绩在[70，80)内的考生人数最多B.不及格的考生人数为1000C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分D.考生竞赛成绩的中位数为75分10.已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，若直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则()A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥β D.AC⊥β11.已知三棱锥S－ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则()A.三棱锥S－ABC的体积为eq\f(\r(2),6)B.三棱锥S－ABC的体积为eq\f(\r(2),3)C.三棱锥O－ABC的体积为eq\f(\r(2),12)D.三棱锥O－ABC的体积为eq\f(2\r(2),3)填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.计算：eq\f(1＋2i,3＋4i)＝________.13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生.14.已知数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))＝5，则数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的平均数为________.解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知向量a，b反向，b＝(－1，－2)，a·b＝－20.(1)求向量a的坐标.(2)若c＝(2，1)，求(b·c)a.16(15分).设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2sinBcosA＝sinAcosC＋cosAsinC.(1)求角A的大小；(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长.17.(15分)某校从参加某次知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成，，，，，六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：(1)求分数内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)从频率分布直方图中，估计本次考试成绩的众数和中位数和平均数．18.(17分)如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB＝AC＝3，BC＝2eq\r(5)，AA1＝eq\r(7)，BB1＝2eq\r(7)，点E和F分别为BC和A1C的中点.(1)求证：EF∥平面A1B1BA；(2)求证：直线AE⊥平面BCB1；19.(17分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.(1)求点C与平面A1ABB1的距离；(2)若AB1⊥A1C，求二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值.数学试题答案1.解析∵z1－z2＝(3－4i)－(－2＋3i)＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象限.答案D2.解析V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×3×4＝4.答案A 3.解析∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2＝22－8×2×1×cos60°＋16×12＝12，∴|a－4b|＝2eq\r(3).答案B4.解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，与α内的直线当然均无公共点.答案D5.解析如图所示，取BC的中点G，连接FG，EG.∵E，F分别是CD，AB的中点，∴FG∥AC，EG∥BD，且FG＝eq\f(1,2)AC，EG＝eq\f(1,2)BD.∴∠EFG为EF与AC所成的角(或其补角).又∵AC＝BD，∴FG＝EG.又∵AC⊥BD，∴FG⊥EG，∴∠FGE＝90°，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠EFG＝45°，即EF与AC所成的角为45°.答案B6.解析由题意得eq\f(1,2)(4＋x)＝5，得x＝6，从而这组数据的众数为6.答案B7.解析因为8×70%＝5.6，故70%分位数是第六项数据23.答案D8.解析∵eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(5×20＋4×10＋3×30＋2×30＋1×10,100)＝3，∴s2＝eq\f(1,100)(20×22＋10×12＋30×12＋10×22)＝eq\f(160,100)＝eq\f(8,5)，∴s＝eq\f(2\r(10),5).9.解析由频率分布直方图可得，成绩在[70，80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40，60)内的频率为10×(0.01＋0.015)＝0.25，因此不及格的人数为4000×0.25＝1000，故B正确；C选项，由频率分布直方图可得，平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5(分)，故C正确；因为成绩在[40，70)内的频率为10×(0.01＋0.015＋0.02)＝0.45，在[70，80)内的频率为0.3，所以中位数为70＋10×eq\f(0.5－0.45,0.3)≈71.67，故D错误.故选ABC.答案ABC10.解析因为m∥α，m∥β，α∩β＝l，∴m∥l，又AB∥l，所以AB∥m，故A正确；因为AC⊥l，m∥l，所以AC⊥m，故B正确；因为A∈α，AB∥l，l⊂α，所以B∈α，所以AB⊄β，l⊂β，所以AB∥β，故C正确；因为AC⊥l，当点C在α内时，AC⊥β成立，当点C不在α内时，AC⊥β不成立，故D不正确.答案ABC11.解析由于三棱锥S－ABC与三棱锥O－ABC的底面都是△ABC，O是SC的中点，因此三棱锥S－ABC的高是三棱锥O－ABC高的2倍，所以三棱锥S－ABC的体积也是三棱锥O－ABC体积的2倍.在三棱锥O－ABC中，其棱长都为1，如图，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)，高OD＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(6),3)，则VO－ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×eq\f(\r(6),3)＝eq\f(\r(2),12)，VS－ABC＝2VO－ABC＝eq\f(\r(2),6).答案AC12.解析eq\f(1＋2i,3＋4i)＝eq\f(（1＋2i）（3－4i）,（3＋4i）（3－4i）)＝eq\f(3＋8＋6i－4i,32＋42)＝eq\f(11＋2i,25)＝eq\f(11,25)＋eq\f(2,25)i.答案eq\f(11,25)＋eq\f(2,25)i13.解析高二年级学生人数占总数的eq\f(3,10)，样本量为50，则应从高二年级抽取50×eq\f(3,10)＝15(名)学生.答案1514.解析所求平均数为2eq\o(x,\s\up6(－))＋1＝2×5＋1＝11.答案1115.解(1)因为向量a，b反向，又b＝(－1，－2).所以设a＝λb＝λ(－1，－2)＝(－λ，－2λ)，λ＜0.由a·b＝－20得－1×(－λ)＋(－2)×(－2λ)＝－20，所以λ＝－4，所以a＝(4，8).(2)因为b·c＝(－1，－2)·(2，1)＝－1×2＋(－2)×1＝－4，所以(b·c)a＝－4(4，8)＝(－16，－32)16.解(1)法一由题设知，2sinBcosA＝sin(A＋C)＝sinB，因为sinB≠0，所以cosA＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).法二由题设可知，2b·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋c·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，于是b2＋c2－a2＝bc，所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2).由于0<A<π，故A＝eq\f(π,3).(2)法一因为eq\o(AD,\s\up6(→))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AC,\s\up6(→)),2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(AC,\s\up6(→))2＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋4＋2×1×2×cos\f(π,3)))＝eq\f(7,4)，所以|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(7),2)，从而AD＝eq\f(\r(7),2).法二因为a2＝b2＋c2－2bccosA＝4＋1－2×2×1×eq\f(1,2)＝3，所以a2＋c2＝b2，B＝eq\f(π,2).所以BD＝eq\f(\r(3),2)，AB＝1，所以AD＝eq\r(1＋\f(3,4))＝eq\f(\r(7),2).17.（1）设分数内的频率为，根据频率分布直方图，则有，解得.所以频率分布直方图为（2）因为在分数内的频率值最大，所以众数为；以中位数为准做一条垂直于横轴的直线，这条直线将频率分布直方图分为面积相等的两部分，因为，所以中位数在内，因为分数内的频率为0.3，而，所以中位数在区间中从左数处，所以中位数为；平均数为，故本次考试成绩的众数为75；中位数为；平均数为71.18(1)证明如图，连接A1B.在△A1BC中，因为E和F分别是BC和A1C的中点，所以EF∥BA1.又因为EF⊄平面A1B1BA，BA1⊂平面A1B1BA，所以EF∥平面A1B1BA.(2)证明因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC.因为AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，所以BB1⊥平面ABC，又AE⊂平面ABC，从而BB1⊥AE.又因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BCB1，所以AE⊥平面BCB1.19.解(1)由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面A1ABB1，得CD⊥平面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距离为CD＝eq\r(BC2－BD2)＝eq\r(5).(2)如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1∥AA1∥CC1.又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，又A1D，DD1⊂平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角.因CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1，所以AB1⊥CD，又已知AB1⊥A1C