天水一中2020-2021学年高二数学上学期开学考试卷附答案解析

天水一中2020-2021学年高二数学上学期开学考试卷

一、单选题

1.cos3卫的值是()

3

A1n1「也n6

2222

2.在△ABC中，若上乂=2,则△ABC的形状()

cos3a

A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形

3.已知向量Q=(i,coso)，b=(5,3),若则cos2a=()

771616

AA•-_-_-_-_-_DR.-_-_-_V「._-_-_-_u.-n------___

25252525

4.若团二:tan20°+tan40°+>/3tan20°tan40°，贝！1m=

V3「石

A.—GRD.73

33

5.已知ABC中，内角A,3,C的对边分别为若""z+cZ-Acbcud,则ABC的面积()

A.—B.1C.&D.2

2

6.已知向量。与。的夹角为g,|a|=2,g|=l,贝ij,一2。|=()

A.4B.3C.2D.1

7.函数〃x)=2sin3x+°)(◎>(),的部分图象如图所示，则①、。的值分别是()

8.若tana=2,贝I]sin2a-cos2a的值为(

4433

555

9.若sin=一，则cos的值为(

6

171718

TiTi19

10.设函数/(x)=sin2x+百cos2x,则下列结论正确的是()

A.函数/(x)的图象关于直线x=W对称

B.函数/(x)的图象关于点(£,0)对称

4

C.把函数/(X)的图象向左平移2个单位，得到一个偶函数的图象

D.函数的最小正周期为不，且在［0,上为增函数

二、填空题

11.已知a与人为两个不共线的单位向量，若向量“+人与向量%-匕垂直，则实数%=

1uun।uun

12.如图所示，在A8CD中，已知AB=3,AD=2,Zfi4£>=120°.若AE=—AB,BF=-BC,

32

则AFDE=•

13.在AABC中，内角A,B,C所对应的边长分别为“，b,c,且cosC=2也，/?cosA+acos6=2,

则AABC的外接圆面积为.

14.已知函数〃x)=2sin2x+Gasin2x的最大值为3,则实数。的值为.

三、解答题

15.在ABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,c.已知4c=Z?+4acosB.

(1)求sinA；

(2)若a=4,且b+c=6,求AHC的面积.

16.已知某单位全体员工年龄频率分布表，经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数

相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如下：

[35,[40,

年龄(岁)[25,30)[30,35)[45,50)[50,55)合计

40)45)

人数(人)61850311916140

(II)求该单位男女职工的比例；

(ID)若从年龄在［25,30)岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职

工的概率.

17.已知函数/(x)=sin2ox+Gsin<yxsin13x+|J(<y>())的最小正周期为兀.

(I)求。的值；

(II)求函数/(x)在区间O,y上的取值范围.

18.ABC中，已知2cos2，=WsinA.

23

(1)求A；

(2)已知a=2,求A6c周长的取值范围.

解析

天水一中2020-2021学年高二数学上学期开学考试卷

一、单选题

1.cos3卫的值是（）

3

1C也

A.—B.--C.--D.---

2222

【答案】B

【分析】直接利用三角函数的诱导公式化简求值.

16兀47r47rTIJI|

【详解】解：cos-----=COS（4"d-----）=COS——=COS（"H——）=—cos—=——・

333332

故选：B.

一,_cosAb,、

2.在△ABC中，若---则△ABC的形状（）

cos3a

A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.不能确定D.等腰三角形

【答案】B

・'辽…।—ecosAhsinB

【详解】由正弦定理，得-----=—=-----,

cosBasinA

/.sinAcosA=sinBcosBsiri2A=sin2B，

又因为4,Bw（O,乃），

71

所以2A=2B或2A+25=万，即A=3或A+3=—>

2

所以AA3C是等腰三角形或直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题主要考查利用正弦定理、二倍角的正弦公式及三角形内角和定理判断三角形形状，属于中档

题.判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内

角之间的关系进行判断；（2）利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的

关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.

3.已知向量。=（i,cosa），b=（5,3）,若则cos2a=（）

771616

A.——B.—C.—D.------

25252525

【答案】A

3

【分析】由）〃可求得cosa=g，根据二倍角公式即可求得结果.

【详解】由题意，因为Q=(l,cosa)，b=(5,3)»ab9

3

所以3—5cosa=0,即cosa=《，

所以cos2a=2cos2a-1=2x(。］-1=一~—

l5j25

故选：A

【点睛】本题主要考查了向量的共线定理的应用，以及三角函数的基本关系式的化简、求值，属于基础题.

4.=tan200+tan40°+>/3tan20°tan40°，则帆=

A.一百B.3C.D.石

33

【答案】D

【分析】由条件利用两角和的正切公式，求得机的值.

【详解1''m-tan20°+tanAO"+gfa〃20"伍〃40"

=tan(20°+40°)(1-tan20°tan40°)+百tan20°tan40°

=百(1-tan200tan40°)+百tan20°tan400=百，

故选D.

【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，灵活变形是关键，属于基础题.

5.已知ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若/=^+「2—岳，历=4,则A5c的面积()

A.—B.1C.J3D.2

2

【答案】C

iA

【分析】由余弦定理得cosA=—,进而可得sinA=火，再由三角形的面积公式求得答案.

22

序AM_4211

【详解】Va2=b2+c2-bc,AcosA^-

2bc2bc2

由Ae(0,%),可得A=生，sinA=且，

32

/.SABC=g/jcsinA=6.

故选：C

【点睛】本题考查了余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题.

6.已知向量。与力的夹角为。，|。|=2,|以=1,则卜一24=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】由模长公式可得卜一2)卜J5-4a2+4片，代入已知数据计算可得.

TT

【详解】解：向量。与人的夹角为\a\=2,\b\=\,

|a-2Z>|=yl(a-2b)2=\a~-4a-b+4b

=4x2xlxg+4x『=2

故选：C.

7.函数/(x)=2sin(&x+0)(0>(),|同的部分图象如图所示，则①、。的值分别是()

【答案】D

【分析】利用正弦函数的周期性可得J3T=——3乃，进而求得。，再利用x=5—万时取得最大值可求得夕值.

4412

【详解】由图观察可知，函数的周期T满足一=——，由此可得了=——=7i,解得。=2,

44co

S7T

函数表达式为/(x)=2sin(2x+°).又•••当X=p时,取得最大值2,

2sin(2.^^+s]=2,可得胃5兀+°]+2&万(左eZ),V-^<(p<^-,

6

取左=0,得s=q

故选：D.

【点睛】本题考查由＞=Asin（5+9）的部分图象确定函数解析式，考查正弦函数的周期性和最值，属于

基础题.

8,若tana=2,贝!Isin2a-cos2a的值为（）

443

A.-B.一一C.-D

555

【答案】C

【分析】利用二倍角公式，然后弦化切，即可利用已知条件计算求值.

【详解】解：tana=2,

.c22sinacosa-cos2a2tana-13

.".sin2a-cos-a=-------；-----------；-------=-----；-------=—•

sin-a+cos-atarra+15

故选：C.

【点睛】本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，

三角函数求值问题中已知tana求关于sina,cosa的代数式的值时一般利用弦公切后直接代入tana求

值，在关于sina,cosa的齐次式中，常常用弦公切的方法转化为tana的式子.

（曰_,=%,则cos（26+?）的值为（）

18

D.

19

【答案】A

【分析】根据诱导公式得sin7,再根据二倍角的余弦公式求解即可.

6

sine-6)=sin传+夕)=\

【详解】解:

.(3万12(371y117

cos2。H-----=1-2sin--------F0=1—2x—=—

I4)<8)3618

故选：A.

【点睛】本题主要考查二倍角的余弦公式，属于基础题.

10.设函数/（x）=sin2x+百cos2x,则下列结论正确的是（）

TT

A.函数/（幻的图象关于直线x对称

B.函数/(x)的图象关于点(£,0)对称

4

C.把函数/(X)的图象向左平移展个单位，得到一个偶函数的图象

D.函数/(x)的最小正周期为万，且在[0,3上为增函数

6

【答案】C

TE

【分析】由条件可得/(x)=2sin(2x+§),再利用正弦函数的单调性、正弦函数图象的对称性，

y=Asin(g+e)的图象变换规律，判断各个选项是否正确，从而得出结论.

【详解】解：由于函数/0)=$1112*+>/5<：0$2犬=25姑(2_¥+。)，

TTTT

当x=\时，求得/(x)=o,不是最值，故函数F(X)的图象不关于直线x=g对称，故排除A.

当》=工时，求得/(x)=l,故函数f(x)的图象不关于点(f,0)对称，故排除B.

44

把函数/(%)的图象向左平移二个单位，得到函数y=2sin[2*+2)+刍=2sin(2x+2)=2cos2x的图

121232

象，显然所得函数为偶函数，故C正确.

由xe[0,刍，可得"+工€[工，«],故/仅)薪x)+-在[0,刍上不是增函数，故。不正确.故

633336

排除D，

故选：C.

【点睛】方法点睛：本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的单调性、正弦函数图象的对称性，

y=Asin(&x+⑴)的图象变换规律.

正弦型函数的对称性问题：/(x)=Asin3x+。)，若/(%)=0,则(%，0)是/(x)图象的一个对称中心,

若/(%)=A或/(/)=一A(最值)，则x=x0是f(x)图象的一条对称轴.

二、填空题

11.已知。与人为两个不共线的单位向量，若向量4+6与向量电-匕垂直，则实数左=.

【答案】1

【分析】根据数量积的定义，垂直的两个向量数量积为0,因此列式：(。+人)(垢-6)=0,由数量积运

算律计算可得.

【详解】解：向量Q+Z?与向量3垂直，

它们的数量积为零，即：(a+。)(垢)=0

22

ka+{k-V)a-b-b=0,

a与b为两个单位向量，

•■cT—b~—1

所以(*)式化为:k-l+(k-l)ab=Q,

即:(k-l)(l+a-b)=0,

单位向量。与人不共线，

•ab^-\>即1+a•〃/0

攵=1.

故答案为：1.

【点睛】易错点睛：本题给出两个特殊的向量，在已知它们垂直的基础之上，求参数%的值，着重考查了

单位向量、共线向量和向量的数量积等概念，解题中要交待由于。与人为两个不共线的单位向量，则

a-bw—l，即1+夕6/0,否则解题过程不完整，这也是易错的地方.

(uun]uun

12.如图所示，在A8C。中，已知AB=3,AD=2,ZBAD=12Q°.若=—BF=-BC,

32

则AFDE=•

7

【答案】一

2

【分析】用AB,AO作为基底表示出后再求数量积.

【详解】解：AB8中，AB=3,AD=2，NB4Z)=120°；

iuuu]uun

AE^-AB,BF=—BC,

32

AF=AB+BF=AB+-BC=AB+-AD,

22

DE^DA+AE^-AD+-AB=-AB-AD-,

33

1112512

AFDE=(AB+-AD)-(-AB-AD)^-AB--ABAD--AD

23362

1517

=-x32——x3x2xcosl20°——X22=-.

3622

7

故答案为：一.

2

【点睛】方法点睛：本题考查向量的线性运算的应用，向量模的运算的应用，向量的运算，一般可选取两

个不共线的向量（己知长度和夹角）为基底，其他向量都用基底表示，然后进行数量积运算、线性运算，

从而易得结论.

13.在AABC中，内角A,B,C所对应的边长分别为a,b,c,KcosC=—,人cosA+acos6=2,

3

则AABC的外接圆面积为.

【答案】9兀

1n科1

【分析】根据正弦定理得到sin（A+5）=sinC=q,再根据cosC=工计算sinC=z得到答案.

R33

【详解】由正弦定理知：/?cosA+tzcosB=2R-sinB-cosA+2R-sinAcosB=2,

1n/Q1

即sin（A+B）=sinC=—,cosC=-----，sinC=-,

R33

即R=3.故S=TTR2-94.

故答案为94

【点睛】本题考查了正弦定理.，外接圆面积，意在考查学生的计算能力.

14.已知函数/（x）=2sin2x+J§asin2x的最大值为3,则实数。的值为.

【答案】±1

【分析】先化简函数的解析式得〃x）=J3a2+1sin（2x+e）+1,再解方程J3a?+1+1=3即得解•

【详解】由题得/（x）=2sin2x+6asin2x=l—cos2x+6asin2x=>/5?nsin（2x+9）+l,其中

t百

tun（p-------»

3a

所以/（X）的最大值为，3a2+1+1=3,

解得a=±1.

故答案为：±1.

【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查三角函数的图象和性质的应用，意在考查学生对这些知识

的理解掌握水平.

三、解答题

15.在ABC中，角A，B,C所对的边分别为“，b>c.已知4c=/?+4acos6.

(1)求sinA；

(2)若a=4,且。+c=6,求ABC的面积.

【答案】(1)sinA=—；(2)厉.

4

【分析】(1)利用正弦定理的边角互化可得4sinC=sin3+4sinAcos3,再利用三角形的内角和性质

以及两角和的正弦公式即可求解.

(2)利用余弦定理可得/=〃+/-2〃ccos4=S+c)2—2儿?(1+cosA),代入求出仇*=8,再根据

三角形的面积公式即可求解.

【详解】解:(1)因为4c=Z?+4acosB,所以4sinC=sinB+4sinAcosB,

所以4sin(A+8)=sin3+4sinAcos3,所以4cosAsin5=sin3,

因为sinBwO,所以cosA='，所以sinA=巫.

44

(2)由余弦定理可得a?=b2+c2-2bccosA=(b+c)2—2bc(l+cosA)，

因为a=4,b+c=6,所以36-*0c=16,所以ZJC=8.

2

故ABC的面积为,bcsinA=1x8x15=JF.

224

【点睛】本题考查了正弦定理的边角互化、余弦定理以及三角形的面积公式，考查了运算求解能力，属于

基础题.

16.已知某单位全体员工年龄频率分布表，经统计，该单位35岁以下的青年职工中，男职工和女职工人数

相等，且男职工的年龄频率分布直方图和如下：

[35,[40,

年龄(岁)[25,30)[30,35)[45,50)[50,55)合计

40)45)

人数(人)61850311916140

（II）求该单位男女职工的比例；

（ffl）若从年龄在［25,30）岁的职工中随机抽取两人参加某项活动，求恰好抽取一名男职工和一名女职

工的概率.

Q

【答案】I）a=0.02（II）4：3（III）—

【分析】（I）利用频率和为1可得结果；（H）由（I）中求出的a及频率分布直方图可以求出35岁以

下男职工的数量，进而得到所有男职工的数量，即可求男女职工比例；（HI）求出该组男女职工的数量，

然后代入古典概型计算可得.

【详解】（1）由男职工的年龄频率分布直方图可得：

（＜7+0.01+0.04+0.08+0.025+0.025）x5=1.

所以a=0.02.

（II）该单位［25,35）岁职工共24人，由于［25,35）岁男女职工人数相等，所以［25,35）岁的男职工共

12人.由（1）知，男职工年龄在［25,35）岁的频率为0.15,

所以男职工共有蔡=80人，

所以女职工有140-80=60人，

所以男女比例为4：3.

（III）由男职工的年龄频率分布直方图可得：男职工年龄在［25,30）岁的频率为0.05.

由（2）知，男职工共有80人，所以男职工年龄在［25,30）岁的有4人，分别记为4,4,A?,4.

又全体员工年龄在［25,30）岁的有6人，所以女职工年龄在［25,30）岁的有2人，分别记为耳，坊.

从年龄在25~30岁的职工中随机抽取两人的结果共有（A，A?）,（4，A）,（4，4），

（4，用）,（A,与）,（％,4）,⑷,4）,（4,4），（4，刀），（4，4），（4，4），（4，刀）,

（4用）,（4也）,（旦15种情况，

,B2）

其中一男一女的有（4,4）,（4,82），（4用），（4，做，（4用），（4也）,

（4,用,（儿也）8种情况,

Q

所以恰好抽取一名男职工和一名女职工的概率为百.

【点睛】本题主要考查了频率分布直方图、古典概型的概率计算等知识，采用列举事件包含的基本事件的

个数的方法时，要做到不重不漏.本题属于基础题.

17.

已知函数/(X)=sir>2tyx+gsin0xsin(<yx+3)((y>0)的最小正周期为无.

(I)求。的值：

271

(II)求函数/(X)在区间0,y上的取值范围.

【答案】(I)。=1

'3一

(II)0,-

_2_

【解析】

(1)因/(x)=sin2cox+V3sincoxsin(a)x+—)=--cos4-5/3sincoxcoscox

1

=

2--cos2a)x+—sinwx=-+sin(20