数列的基本知识与概念

专题23数列的基本知识与概念

【考点预测】

1.数列的概念

(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集｛1,2，…，〃｝)

为定义域的函数为=/(〃)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值.

(3)数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和通项公式法.

2.数列的分类

(1)按照项数有限和无限分：

递增数列：an+l>a„

递减数列：a„+l>a„

(2)按单调性来分:

常数列：。向=q=。(常数)

摆动数列

3.数列的两种常用的表示方法

(1)通项公式：如果数列｛4｝的第"项与序号w之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫

做这个数列的通项公式.

(2)递推公式：如果已知数列｛可｝的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项与

它的前一项(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.

【方法技巧与总结】

(1)若数列伍“｝的前”项和为S“，通项公式为％,则可=4.

IS”-%，n>2，neN

注意：根据S“求勺时，不要忽视对〃=1的验证.

(2)在数列伍“｝中，若a,,最大，则卜,若氏最小，则’”"《I

【题型归纳目录】

题型一：数列的周期性

题型二：数列的单调性

题型三：数列的最大(小)项

题型四：数列中的规律问题

题型五：数列的最值问题

【典例例题】

题型一：数列的周期性

例1.已知无穷数列｛%｝满足q,+2=KH-4j(xeN*),且4=1,a2=x(xeZ),若数列｛4｝的前2020项中

有100项是0,则下列哪个不能是x的取值()

A.1147B.1148C.-1142D.-1143

【答案】B

【分析】

当xNO时，分别令x=l,2,3,L,可求出数列｛《,｝的前2020项中0的个数，进而得出规律，可求出满足题意

的x的取值；当x<0时，分别令x=-l,-2,-3,L,可求出数列｛q｝的前2020项中0的个数，进而得出规律，

可求出满足题意的x的取值.

【详解】

①当X20时，

若x=0,则数列｛为｝的各项为1,0,1』,0,1」,0,1,1,

此时数列｛%｝为周期数列，周期为3,由2020=3x673+1,

可知数列｛《,｝的前2020项中有673项为0；

若x=l,则数列｛《,｝的各项为1」,0J1,0,I」,。,L,

此时数列｛4｝为周期数列，周期为3,由2020=3x673+1,

可知数列｛4｝的前2020项中有673项为0；

若x=2,则数列｛4｝的各项为1,2,1』,0,l,l,0,l,l,0,L,

此时数列｛4｝从第3项开始为周期数列，周期为3,

由2020=2+2018=2+3x672+2,可知数列｛%｝的前2020项中有672项为0；

若x=3,则数列｛4｝的各项为1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此时数列｛4｝从第4项开始为周期数列，周期为3,

由2020=3+2017=3+3x672+1,可知数列｛a,,｝的前2020项中有672项为0；

若x=4,则数列｛q｝的各项为1,4,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此时数列｛《,｝从第6项开始为周期数列，周期为3,

由2020=5+2015=5+3x671+2,可知数列｛q｝的前2020项中有671项为0；

依次类推，可知当x=2(673-100)=1146,或x=1147时，

数列｛q｝的前2020项中有100项是0；

②当x<0时，

若x=-I,则数列｛4｝的各项为1,-1,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此时数列｛%｝从第7项开始为周期数列，周期为3,

1112020=6+2014=6+3x671+1,可知数列｛%｝的前2020项中有671项为0；

若x=—2,则数列｛%｝的各项为1,-2,3,5,2,3,1,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此时数列｛%｝从第9项开始为周期数列，周期为3,

山2020=8+2012=8+3x670+2,可知数列｛〃”｝的前2020项中有670项为0；

若x=—3,则数列｛a,,｝的各项为1,—3,4,7,3,4,1,3,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此时数列｛%｝从第10项开始为周期数列，周期为3,

由2020=9+2011=9+3x670+1,可知数列｛叫的前2020项中有670项为0：

若x=-4,则数列｛4｝的各项为1,-4,5,9,4,5,1,4,3』,2,1,1,0,1,1,0,1,1,0,L,

此时数列｛/｝从第12项开始为周期数列，周期为3,

由2020=11+2009=11+3x669+2,可知数列｛q｝的前2020项中有669项为0；

L

依次类推，可知当x=-2(671—100)=-1142,或X=—1143时，

数列｛q｝的前2020项中有100项是0.

综上所述，若数列佃,｝的前2020项中有.100项是0,

则x可取的值有1146,1147,-1142,-1143.

故选:B.

【点睛】

本题考查无穷数列，解题的关键是通过条件4+2=|4m-4」(xeN*)探究数列｛为｝的性质，利用赋值法分别令

*=1,2,3,1和》=-1,-2,-3,1,可分别求出数列｛%｝的前2020项中0的个数，进而得出规律.考查学生的

推理能力与计算求解能力，属于难题.

例2.若卜]表示不超过X的最大整数(如[2.5]=2,[4]=4,-2.5]=-3),已知尸

T°a,,T(〃eN*,”2:2),贝1也。|9=()

A.2B.5C.7D.8

【答案】B

【分析】

求出自，瓦,%,比,么，h6,判断出｛"｝是一个以周期为6的周期数列，求出即可.

【详解】

2

解：a„=-xlO".4=q,b=an-10an_t(neN,n>2),

.一「20,一_200,_c。

■.42]-f-^-]—2-b],%—[7]—28,

4=28—10x2=8,

同理可得：«,=285,4=5;4=2857,b4=7；《=28571,々=1.4=285714,b6=4；%=2857142,4=2,....

b温=b“.

故｛4｝是一个以周期为6的周期数列，

则％W=坛3如3=4=5.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列的判断和取整函数的应用.

例3.数列｛%｝满足4=2,。向=*,其前”项积为7“，则几等于()

A.一B.—C.6D.—6

66

【答案】D

【分析】

依次代入n=L2,3,4可得｛4｝是以4为周期的周期数列，由的“Nq+3=1可推导得到结果.

【详解】

1+6Z.-1+4,11+/1

当九=1时，^2=:二一3；当〃=2时，a3~\~=~T；当〃=3时，a4=~;_=T；当〃=4时，

1一41一。221—〃33

6=岩=2；....••数列｛4｝是以4为周期的周期数列，

44+4+2为+3=2X(-3)XXg=1("eN)

;.[o=%a9aM=的2=2x(-3)=-6.

故选：D.

例4.若数列｛叫满足4=2々=2,且限=1。,出-端，则｛%｝的前100项和为()

A.67B.68C.134D.167

【答案】B

【分析】

由题意得4=2,%=1，根据。”+2=同“-"”|，列举数列的项，得到数列从第2项起，3项一个循环求解.

【详解】

因为q=24=2,

所以。=2吗=1，

因为%+2=|%+|-4|，

所以数列的项依次为2,1,1,0,1,1,0,…，

所以从第2项起，3项一个循环，

所以｛。0｝的前100项的和为2+33x（l+l+0）=68,

故选：B.

2a,0<a<-,

Mrt.2

例5.数列｛%｝满足，='右4=g,则生⑼等于（）

2as工a“<L

1234

A.-B.C.-D.一

555

【答案】B

【分析】

根据数列定义求出数列的前几项后得出数列是周期数列，从而求值.

【详解】

因为q=（2<不1，所以％=]4，%=]3，％=；1，%2=；，所以数列具有周期性,周期为4,所以%⑼=%=；2.

J/JJJJJ

故选：B.

【点睛】

本题考查数列的周期性，此类问题的解法是由定义求出数列的前几项，然后归纳出周期性.

例6.己知数列｛%｝满足，a„=:（%；2）,（〃仁也〃>1）,若qe（2,3）且记数列｛q｝的前"项和为5”,

[J—。〃一1（%一1”

若5,“=2019,贝1）52（）19的值为（）

【答案】C

【分析】

根据递推公式可逐个代入计算，得出数列｛《｝的周期为4,再根据S,“=2019与前两项的范围可求得a=|,

再分组求和求解Szoig即可.

【详解】

—2+a”]（a”]>2）,

设4=。（2<。<3）,由>八'（“wN得〃2=。-2€（0,1）,/=3-4=5-"€（2,3）,

3-«„_i2）

=a3-2=3-aG(0,1),4=3-a4=ae(2,3).

故数列｛4｝的周期为4,即可得凡+4=4,,%+/+%+4=6.

Sm=a^+a2++am=336x6+3=2019,又q=〃(2<Q<3),tz2=^-2G(0,1).

a+(〃-2)=3,BPiz=—.

2

2019=504x4+3,ax+a2+a3=a+3=^-,

。/116059

/.S2019=504x64-y=-^-.

故选：C.

【点睛】

本题考查数列分组求和、分类讨论方法，考查推理能力与计算能力，考查逻辑推理与数学运算核心素养.属

于中档题.

例7.(2022.广东汕头•三模)已知数列｛4｝中，4=-；，当〃>1时，4,=1—二，则的。22=()

144

A.—B.-C.5D.—

455

【答案】B

【解析】由题意得：%=1--=5,%=1--=-,a4=1--=则数列｛q｝的周期为3,贝U

6Z|CI-)Da、4

4

«2022=«674x3=«3=--

故选:B.

例8.(2022•河北•沧县中学高三阶段练习)己知数列小｝中，4i=aj4i+l(〃N2),4=2,则为)等于()

A.—B.!C.-1D.2

22

【答案】D

【解析】解：；4=2,a,-=a“q_1+l(〃N2),

：.a„=l--—(n>2),

an-\

a,=1-2=-1,%=1一(-1)=2,a5=1-^=—,

-22

二数列｛4｝是以3为周期的周期数列，10=3x3+1,...40=4,

故选：D.

题型二：数列的单调性

m"~g,n>10

例9.（2022•四川达州•二模（理））已知单调递增数列｛q｝满足/=<则实数〃?的取值

范围是（）

A.[12,y)B.(1,12)C.(1,9)D.[9,+00)

【答案】B

m>1m>

2m,八…2m

【解析】｛4｝为单调递增数列，一+1>0,即v—+l>o,解得：1<根<12,

9

’2m八八―

4o>。9m>---F1x9—21

19)

即实数加的取值范围为（1,12）.

故选：B.

例10.（2022•河南温县第一高级中学高三阶段练习（文））已知函数/==3,X’7,若数列｛叫

[a,x>7

满足4,=/（现〃eN'）且｛叫是递增数列，则实数。的取值范围是（）

A.件3）B.川C.（2,3）D.[2,3）

【答案】C

【解析】因为数列｛%｝是单调递增数列，则函数/（司=优-6在（7,内）卜.为增函数，可得">1,

函数〃x）=（3-a）x-3在[1,7）上为增函数，可得3-a>0,可得a<3,

且有死<g,即7（3—。）—3=18—7。</<，即“2+7〃一18>0,解得“<一9或a>2.

综上所述，2<a<3.

故选：C.

例11.（2022•浙江•高三专题练习）已知数列｛%｝的首项为4=1,a2=a,Kan+）+a„=2n+l（n>2,neN'）,

若数列他“｝单调递增，则”的取值范围为（）

A.\<a<2B.2<a<3

「35八13

C.—<a<—D.—<a<—

2222

【答案】C

【解析】当"22,“eN*时，4*1+4=2〃+1（1）,因此有a=+《,*i=2〃+3（2）,

（2）-（1）得：4+2-4=2,说明该数列从第2项起，偶数项和奇数项都成等差数列，且它们的公差都是2,

由a„+f+a„=2n+\可得：a3=5-a,a4=a+2,

因为数列｛《,｝单调递增，所以有4<%</<知，

35

QP\<a<5-a<a+2.解得：—<a<—,

22

故选：C

例12.（2022・全国•高三专题练习）已知等比数列前"项和5“满足S,,=l-A-3"“（AeR）,数列也｝是

递增的，且a=A"+8〃，则实数5的取值范围为（）

2B.[-1,-HO)C.(-l,+oo)D.[-；，+8

A.一二■，+8

【答案】C

【解析】解：因为等比数列｛q｝前〃项和S”满足S“=l-A-3"“（AeR）,

所以q=$=l-9A,

a2=S2-S1=(1-27A)-(1-9A)=-18A,

%=S3一邑=(1-81A)-(1-27A)=-54A,

因为等比数列｛%｝中％2=4%，

所以(-18A)2=(1-9A)(-54A),解得A=g或A=0(舍去)，

所以包=[〃2+助，

因为数列出｝是递增的，

所以2+1=g("+l)2+B(〃+l)_g"2_B">0,

21

所以8>-二，

33

因为“eN”,所以8>-1,

故选：C

.、I—a)〃+2,〃>8/八

例13.(2022•全国•高三专题练习(理))已知数列｛a,,｝满足/=(3J(〃eN*),若对于任意〃eN*

a"-7,n<8

都有4,>“向，则实数”的取值范围是（）

A.（0《）B.（0,1]C.分

【答案】C

【解析】

0<。<1

由条件可得<--4<0,解出即可.

3

；一°b9+2

a>

【详解】

因为对于任意〃eN*都有7+1»

解得;

x9+2

故选：C

例14.(2022・全国•高三专题练习)设数列｛〃“｝的通项公式为《,="2+加，若数列“｝是单调递增数列，则

实数6的取值范围为()

A.(―2,+co)B.[—2,+00)C.(—3,+°0)D.(-°0,—3)

【答案】C

【解析】

由数列｛七｝是单调递增数列，可得。e-6>0,从而有人>-2〃-1恒成立，由〃eN+，可求得匕的取值范围.

【详解】

由数列&｝是单调递增数列,所以a„+i-a„>0,

2

HP(n+1)+b(n+\)—rr—hn=2n+\+b>0,即b>—2”一1(??eN+)恒成立，

又数列｛-(2"+l)｝是单调递减数列，所以当”=1时，-(2〃+1)取得最大值-3,所以匕>一3.

故选：C.

【方法技巧与总结】

解决数列的单调性问题的3种方法

作差比较法根据％+1一耳的符号判断数列｛%｝是递增数列、递减数列或是常数列

根据也3〃>0或。“<0)与1的大小关系进行判断

作商比较法

数形结合法结合相应函数的图象直观判断

题型三：数列的最大(小)项

例15.已知数列｛a,,｝的首项为1,且％="（%+l）（〃eN*）,则册的最小值是（）

A.4B.1

2

C.2D.3

【答案】B

【分析】

根据用=〃（""+1）得出（〃+1）4川-na,=n,然后通过累加法求出a.，根据均值不等式及〃wM,

n+12n2

即可求出结果.

【详解】

由4tM=得（〃+l）a“+i=«

n+1

所以nan=—(〃-1)an_x+(n-1)^_,-(n-2)an_2++羽一q+q

…/、/、(1+〃一1)(〃一1)n(n-\]

则”=(〃-1)+(〃-2)++1+1=^-----/——^+1=-^-^+1

5T1n

所以%=------+-=—+

2n2774-2

当且仅当〃=血时等号成立，因为"wN+,故取/或生最小，又%=%=1，所以。〃的最小值为1

故选：B

【点睛】

思路点睛：本题通过累加法求数列通项公式，根据均值不等式及求得最值.

例16.已知数列｛q｝满足4=10,也乜=2,则%的最小值为（）

nn

A.2-y1（）-1B.—C.—D.—

234

【答案】C

【分析】

先根据累加法得4=〃2-“+10,进而得&=〃+W_i,再结合函数f（x）=x+W_i的单调性即可得当”=3

nnx

时，组的最小值为毕.

【详解】

解：由也二%=2得4+L%=2〃，

n

所以=2（〃_1）,a„_l-a„_2=2（n-2）,a„_2-a„_3=2（n-3）,,a3-a2=2x2,a2-a,=2x1,

累加上述式子得：4一4=2[("-1)+5-2)+仇—3)++2+1]=〃(〃—1),

所以4=〃2-〃+10,(n>2),

检验已知〃=1时，/=〃2-〃+10满足.

故％-〃+10,^-=724---1,

nn

由于函数〃x)=x+J-l在区间仅，河)上单调递减，在(标,M)上单调递增:，

又因为XEN",当〃=3时，」=3+半一1=学，当〃=4时，—=4+^-1=^-,

n33"42

所以2的最小值为理

n3

故选：C.

例17.已知数列｛4｝的前"项和S“，且S“-%=(〃-1)2,2=£,则数列｛〃,｝的最小项为()

3〃

A.第3项8.第4项C.第5项。.第6项

【答案】A

【分析】

由S,与4的关系4=S,-S“T(">D化简即可求出S“及a”,可得2,分析单调性即可求解.

【详解】

：.S„-a„=S^,贝iJS”,=(〃一l)2,即S"="(〃eN*),

dn—1V—(H—1)"=2〃-1.

易知2>o,

."2?/二垃〃4

4

bfl(n+1)n+\

当叵>1时，〃>G+1,

n+1

；.当1V〃<3时，b„>b„+l,

当〃N3时，W

.,,1,32

又8=5也=而

二当〃=3时，可有最小值.

故选：A

例18.已知数列U｝的前〃项和5„=2/-1In,数列｛I%I｝的前“项和却则区的最小值一

n

【答案】5

【分析】

由S“和S,-的关系求出数列｛〃“｝的通项公式，再根据正负表示出数列｛|q|｝的通项公式为

\a„\=\'」,求出力并表示出上，再分别求出1W和""时的最小值，即可判断上的最

11[A4/z-14,«>4nn

小值.

【详解】

由题意，数列｛q｝的前〃项和5„=2/-12〃(〃wN*),

所以q=£=2-12=-10,

当〃22时，4-,7=2〃2-12〃-[2(〃-1)2-12(〃-1)卜4〃-14,

当〃=1时，4xl-14=-10=tz1,

所以勺=4〃-14,

当1工〃43时，。〃<。，当4之4时,a”>。,

..[14—4n,1<n<3

所以MH,“，

11[4n-\4,n>4

数列｛&I｝的前/项和北,

丁f-2/?2+12/:,l<n<3

所以7K2/一⑵+36,〃“‘

当1工〃43时，—=—2n+12,当〃=3时，，*的最小值为6；

nn

当”24时，乙=2〃+史一12,

nn

由对勾函数的性质，当〃=4时，”有最小值5；

n

综上所述，”的最小值为5

n

故答案为：5

【点睛】

本题主要考查由S,,求数列通项公式的求法、等差数列前"项和公式、对勾函数的应用，是一道综合性很强

的题目，考查学生分析转化能力和计算能力，属于难题.

例19.数列n=\,2),中的最小项的值为.

【答案】言

【分析】

构造函数/（力=?，利用函数单调性分析最大值，得出数列｛标｝的最大项，即可得解.

【详解】

考虑函数"x）=/，/（同=上詈，

当0<x<e时，r（x）=W^>°，当x>e时，r（x）=W^<0,

所以“X）=岑在（0,e）单调递增，在（e,内）单调递减，

即"x）=ln/=ln正在（0，e）单调递增,在（e,4w）单调递减,

所以y=在（0,e）单调递增，在（自转）单调递减，

।2

8<9,8s<甲而〈班

所以数列｛叼的最大项为近，所以｛*｝的最小项为9.

故答案为：丧

【点睛】

此题考查求数列中的最小项，利用函数单调性讨论数列的最大项和最小项，涉及导函数处理单调性问题.

【方法技巧与总结】

求数列的最大项与最小项的常用方法

（1）将数列视为函数外幻当xe"时所对应的一列函数值，根据/（x）的类型作出相应的函数图象，

或利用求函数最值的方法，求出/（X）的最值，进而求出数列的最大（小）项.

（2）通过通项公式a.研究数列的单调性，利用（〃士2）确定最大项，利用（n>2）

确定最小项.

（3）比较法：若有4+「4=，（〃+1）-"〃）>0或4>0时也>1,则/+//，则数列MJ是递增数

列，所以数列｛"”｝的最小项为4=/（I）；若有a„+l-an=/（n+l）-/（«）<0或>0时④-<I,则

a„

a,l+]<a„,则数列｛4｝是递减数列，所以数列｛4｝的最大项为q=/⑴.

题型四：数列中的规律问题

例20.蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂

巢的截面图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表

A.353w2+3/7-1

B.363n2-3n+l

C.373n2-3n+l

D.383n2+3n-l

【答案】C

【分析】

结合图形中的规律直接求出八4)和f(5),进而总结出递推公式”22时，./"(")-/(〃-1)=6(〃-1),利用累

加法即可求出结果.

【详解】

由图中规律可知："4)=37,

所以/(2)—/⑴=7—1=6,

/(3)-/(2)=19-7=2x6,

/(4)-/(3)=37-19=3X6,

/⑸—-(4)=61-37=4x6,

因此当“22时，/(«)-/(«-1)=6(«-1),

所以/(«)=[/(«)-f(n-1)]+[f\n-l)-/(n-2)]++[/(2)-/(1)]+/(I)

=6x[(«-l)+(n-2)++2+1]+1

=6x-^——^+1

2

=—3/z+1>

经检验当〃=1时，符合/(〃)=3〃2-3〃+1,所以”〃)=3"2-3"+1,

故选：C.

例21.由正整数组成的数对按规律排列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),

(4,1),(1,5),(2,4),….若数对(九〃)满足(>-2)H-2=2021,则数对(U")排在()

A.第386位B.第193位C.第348位D.第174位

【答案】D

【分析】

先求出肛〃的值，再根据数对的特点推出数对（利,〃）的位置

【详解】

解：按规律把正整数组成的数对分组：第1组为（1,1）,数对中两数的和为2,共1个数对；第2组为（1,

2）,（2,1）,数对中两数和为3,共2个数对;第3组为（1,3）,（2,2）,（3,1）,数对中两数的和为4,

共3个数；……，第〃组为（1,〃）,（2,〃-1）,一,（n,1）,数对中两数的和为〃+1,共“个数，

由（机2_2）./_2=2021,得（＞-2）W=2023,

m2—2=7[m=3

因为2023=7x289,所以《，，解得〈一，

.1=289[〃=17

所以利+〃=20,

1g1Q

在所有数对中，两数之和不超过19的有1+2+3+…+18=三二x=171个，

所以在两数和为20的第1个数（I,19）,第2个为（2,18）,第3个为（3,17）,

所以数对（3,17）排在第174位，

故选：。

【点睛】

关键点点睛：此题考查简单的合情推理，考查等差数求和，解题的关键是由（＞-2）./?-2=2021,得

（病-2'/=2023,解出的值，考查计算能力，属于中档题

例22.已知“整数对”按如下规律排列：（1,1）.（1,2）,（2,1）,（1,3）,（2,2）,（3,1）,（1,4）,（2,3）,（3,2）,（4,1）,...,则第68个“整

数对"为（）

A.（1,12）B.（3,10）C.（2,11）D.（3,9）

【答案】C

【分析】

设“整数对”为。〃）（加〃eN*）,由己知可知点列的排列规律是优+〃的和从2开始，依次是3,4,

其中，〃依次增大，可依次求得总对数，从而可得选项.

【详解】

设“整数对''为（，"，”）（机，〃eN*）,由已知可知点列的排列规律是帆+〃的和从2开始，依次是3,4.....

其中加依次增大.

当加+"=2时只有1个（1，1）；

当租+”=3时有,2个（1,2）,（2,1）；

当机+〃=4时有3个（1,3）,（2,2）,（3,1）；

当帆+〃=12时有11个(1,11),(2,10),…,(11,1)；

其上面共有1+2+3++u=llx（；tll）=66个数对.

所以第67个“整数对”为（M2）,第68个“整数对''为（2,11）,

故选：C.

【点睛】

本题考查知识迁移运用：点列整数对，关键在于理解和探索其规律，属于中档题.

例23.将正整数排列如下：

1

23

456

78910

1112131415

则图中数2020出现在

A.第64行3列B.第64行4列C.第65行3列D.第65行4列

【答案】B

【分析】

计算每行首个数字的通项公式，再判断2020出现在第几列，得到答案.

【详解】

每行的首个数字为：1,2,4,7,11...

at=l,an-an_t=n-l

利用累加法：

/、/、/、[c1—1）,

a„=（an-«„-1）+（«„-1-a,,_2）+…+（。2-%）+4=M-1+«-2+1+1=---+1

计算知：%=2017

数2020出现在第64行4列

故答案选B

【点睛】

本题考查了数列的应用，计算首数字的通项公式是解题的关键.

题型五：数列的最值问题

例24.（2022•北京市第十二中学高三期中）已知数列｛《,｝满足/="+三，则数列｛可｝的最小值为（）

n

3457「

A.—B.—C.8V2D.12

【答案】A

【解析】〃x)=x+?在倒，4旬上单调递减，在(4应收)上单调递增，

...当x=〃("eN*)时，/(%n=min{/(5)J(6)},

-,，心u3257，小.3234、34

又“5)=5+彳=不，“6)=6+不=§,.•"(〃)*=§,

即〃“=〃+二32的最小值为34

n3

故选：A.

例25.(2022.全国•高三专题练习)已知数列{4},《,二1则下列说法正确的是()

n。~+4n-一1

A.此数列没有最大项B.此数列的最大项是如

C.此数列没有最小项D.此数列的最小项是生

【答案】B

【解析】令—川，则〃=，+1,>=(r+i)2+；(,+/广再上'

当r=0时，y=o

1

y=

当r>0时，f+4+6,由双勾函数的知识可得N在(0,2)上单调递增，在(2,物)上单调递减

t

所以当r=2即〃=3时，y取得最大值，

所以此数列的最大项是。3,最小项为4=0

故选：B.

例26.(2022・河南高三阶段练习(理))在数列{%}中，4=1,(«eN+>«>2),则色号的

最小值是()

133

A.—B.-C.1D.—

242

【答案】C

【解析】由题意可得4=(%—j)+(%-八)+•••+(%-4)+4J"?T一】、]：萼，

当〃=1时，4=1满足上式，则++.

M+12("+1)2[_n+\_

因为"GN卡,

所以"+IN2,

2

所以(〃+1)4——23,

2

则（〃+1）+-----1>2,

H+1

故9N!X2=1,当且仅当〃=1时，等号成立.

77+12

故选：C

例27.（2022・辽宁•高三阶段练习）若数列｛4｝满足%=2"j,7；=W2-q,则的最小值为（）

A.2一9B.2ToC.2-"D.2T2

【答案】B

【解析】因为a,,=2"i>0,

所以log,Tn=log2q+log2a2+...+log2a„.

2

=log2a„=n-4n.

若％有最小值，则log?4有最小值，

令240,ljllJ0<n<4,

所以当〃=3或〃=4时，］,的最小值为2To.

故选：B

例28.（2022・全国•高三专题练习）若数列｛《,｝满足4=13,an+l-a„=n,则冬的最小值为（）

2314

4.—8.—

53

C.V26--D.13

2

【答案】A

【解析】由题意可知，。“=4+（。2-4）++（%-。“一1）=13+1+2++（n—1）=13+——1）,

又丁=；X+?—g在（°'而）上递减，在（屈'4-00）上递增，

且5<庄<6，

…11311,13123

〃=5时,-n-\-----=-x5H-----=—；

2n22525

…113111311423

〃=6时，—nd-----=-X6H----------=—>—,

2n226235

故选：A.

例29.（2022・全国•高三专题练习）设为=-2/+13〃-16,则数列｛4｝中最大项的值为（）

1313

A.—B.5C.6D.—

42

【答案】B

【解析】解：=-2（力一：）2+=+?,

4848

.〃eM，.,.当〃=3时，。“取到最大值5.

故选：B.

例30.（2022•浙江•高三专题练习）已知数列｛4｝的通项公式为4,=〃2-11〃+0,出是数列｛。,J的最小项,

n

则实数〃的取值范围是（）

A.[Y0,—25]B.[Y0,0]

C.[-25,25]D.[-25,0]

【答案】D

【解析】解：由题意可得〃2-11〃+0225-55+9,

n5

整理.得（〃一5）（〃-6）2空出，

5n

当〃44时，不等式化简为〃25〃（〃-6）恒成立，所以。2-25,

当“26时，不等式化筒为。45〃（〃-6）恒成立，所以“V0,

综上，-25<a<0,

所以实数。的取值范围是[-25,0],

故选：D

【过关测试】

—•、单选题

1.（2022.陕西.交大附中模拟预测（理））函数定义如下表，数列｛x,J（〃eN）满足/=2,且对任意的

自然数"均有x,i=/（七），则々必=（）

X12345

51342

A.1B.2C.4D.5

【答案】B

【解析】由已知可得先=/（2）=1,%=/（1）=5,x,=/（5）=2,X4=/（2）=1,L,

以此类推可知，对任意的“eN*,九3=%，

2022=3x673+3,所以，x2O22=Xi=2.

故选：B.

2.（2022•内蒙古赤峰•模拟预测（理））大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用

于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量

总和，其中一列数如下：0,2,4,8,12,18,24,32,40,50......按此规律得到的数列记为｛%｝,

其前八项和为3,给出以下结论：①%I=2〃2_2〃；②182是数列｛4｝中的项；③⑸=210；④当〃为偶

数时，S,,+2-2S"M+S“=〃+2（〃€N.）.其中正确的序号是（）

A.①②B.②③C.①④D.③④

【答案】C

【解析】数列｛《,｝的偶数项分别为2,8,18,32,50,L,

通过观察可知心”=21,同理可得%-=2n2-2n,

—,〃为奇数

所以2?,

〃为偶数

2

因为%=红尸=220,所以①正确，③错误；

212

由---=182»解得〃=，365，由幺=182,解得〃

22

又因为所以方程都无正整数解，所以182不是｛q｝中的项，故②错误.

当〃为偶数时，S,,+2—2S,用+S.=（S,,+2—S，G—（S.M—S,,）