微探究小专题2　特殊四边形中的定值与最值问题课件北师大版数学九年级上册

第一章特殊平行四边形微探究小专题2特殊四边形中的定值与最值问题

问题探究思考问题：过菱形对角线上一点向两邻边作垂线，求两条垂线段的和如图，在边长为10的菱形

ABCD

中，对角线

BD

＝16，则菱形的面积

是

.若

O

是线段

BD

上的动点(不与点

B

，

D

重合)，

OE

⊥

AB

于点

E

，

OF

⊥

AD

于点

F

，则

OE

＋

OF

＝

⁠.96

9.6

【解析】如图，连接

AC

，交

BD

于点

H

.

∵边长为10的菱形

ABCD

，对角线

BD

＝16，

∴

AC

＝2

AH

＝12.

如图，连接

AO

.

∵

OE

⊥

AB

于点

E

，

OF

⊥

AD

于点

F

，∴

S△

ABD

＝

S△

ABO

＋

S△

AOD

，

∴16×6＝10(

OE

＋

OF

).∴

OE

＋

OF

＝9.6.【变式1】将“垂直”变为“中点”如图，菱形

ABCD

的两条对角线

AC

和

BD

的长分别为6和8，

M

，

N

分

别是边

BC

，

CD

的中点，

P

是对角线

BD

上一点，则

PM

＋

PN

的最小

值为(

B

)A.7B.5C.4D.3B【解析】如图，作点

M

关于

BD

的对称点

Q

，连接

NQ

，交

BD

于点

P

，

连接

MP

，此时

MP

＋

NP

的值最小.∵四边形

ABCD

是菱形，∴

AC

⊥

BD

，∠

QBP

＝∠

MBP

，即点

Q

在

AB

上.∵

MQ

⊥

BD

，∴

AC

∥

MQ

.

∵

M

为

BC

的中点，∴

Q

为

AB

的中点.∵

N

为

CD

的中点，四边形

ABCD

是菱形，∴

BQ

∥

CD

，

BQ

＝

CN

.

∴四边形

BQNC

是平行四边形.∴

NQ

＝

BC

.

即

NQ

＝5，∴

MP

＋

NP

＝

QP

＋

NP

＝

NQ

＝5.【变式2】将“中点”变为“任意一点”如图，在菱形

ABCD

中，

AB

＝2，∠

A

＝120°，

P

，

Q

，

K

分别为线段

BC

，

CD

，

BD

上的任意一点，则

PK

＋

QK

的最小值为(

C

)A.1B.4C.

D.

＋1C【解析】如图，作点

P

关于

BD

的对称点P'，过点P'作P'Q⊥

CD

于点

Q

，

交

BD

于点

K

，连接

PP'，∵四边形

ABCD

是菱形，∴点P'在

AB

上，由轴对称的性质可知，

PK

＝

P

'

K

.

∴

PK

＋

QK

≥P'Q，当P'，

K

，

Q

三点共线时，

PK

＋

QK

的值最小，最

小值为

CD

边上的高.∵∠

DAB

＝120°，∴∠

ADC

＝60°.过点

A

作

AM

⊥

CD

于点

M

，∴∠

DAM

＝30°.

【变式3】将“菱形”变为“矩形”如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝6，∠

ABD

＝60°，

E

是边

AD

上的一个

动点，

F

是对角线

BD

上一个动点，连接

BE

，

EF

，则

BE

＋

EF

的最小

值是(

B

)A.6B.6

C.12D.12

B【解析】如图，作点

B

关于

AD

的对称点

B

'，连接

B

'

A

，过点

B

'作

B

'

F

⊥

BD

于点

F

，交

AD

于点

E

.

由对称性，可得

B

'

E

＝

BE

，∴

BE

＋

EF

≥

B

'

F

.

∴当B'，

E

，

F

三点共线，且B'F⊥

BD

时，

BE

＋

EF

的值最小，即B'F

的长.∵

AB

＝6，∠

ABD

＝60°，

【变式4】将“两线段共点”变为“两线段中的一对端点之间的距离是

定值”如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝5，

BC

＝2，

G

是

AD

的中点，线段

EF

在边

AB

上左右滑动.若

EF

＝1，则

GE

＋

CF

的最小值为(

B

)A.4B.5C.4＋

D.

B【解析】如图，作点

G

关于

AB

的对称点G‘，在

CD

上截取

CH

＝1，连

接HG’交

AB

于点

E

，在

EB

上截取

EF

＝1，此时

GE

＋

CF

的值最小.∵

CH

＝

EF

＝1，

CH

∥

EF

，∴四边形

EFCH

是平行四边形.∴

EH

＝

CF

.

∴

G

'

H

＝

EG

'＋

EH

＝

GE

＋

CF

.

∵

AB

＝

CD

＝5，

BC

＝

AD

＝2，

G

是

AD

的中点，∴DG'＝

AD

＋AG'＝2＋1＝3，

DH

＝5－1＝4.

【变式5】将“求和”变为“求差”如图，在正方形

ABCD

中，

AB

＝4，

AC

与

BD

交于点

O

，

N

是

AO

的中

点，点

M

在

BC

边上，且

BM

＝3，

P

为对角线

BD

上一点，则

PM

－

PN

的最大值为

⁠.1

【解析】如图所示，以

BD

为对称轴作点

N

的对称点

E

，连接

PE

，

ME

.

根据轴对称的性质可知，

PN

＝

PE

，∴

PM

－

PN

＝

PM

－

PE

≤

ME

，

当

P

，

E

，

M

三点共线时，取“＝”.

又∵

BM

＝3，∴

CM

＝

BC

－

BM

＝1.

本题主要考查了正方形的性质以及最短路线问题，凡是涉及最短距

离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数

情况要作点关于某直线的对称点.

∴

PM

∥

AB

∥

CD

，∠

CME

＝90°.∵∠

NCM

＝45°，∴△

ECM

为等腰直角三角形.∴

CM

＝

ME

＝1，即

PM

－

PN

的最大值为1.思路点拨

专题进阶小练1.如图，在菱形

ABCD

中，∠

B

＝45°，

E

，

F

分别是边

CD

，

BC

上的

动点，连接

AE

，

EF

，

G

，

H

分别为

AE

，

EF

的中点，连接

GH

.

若

GH

的最小值为3，则

BC

的长为(

B

)A.6B.6

C.6

D.8第1题图B1234【解析】如图，连接

AF

.

∴要使

GH

最小，只要

AF

最小.当

AF

⊥

BC

时，

AF

最小，∵

GH

的最小值为3，∴

AF

＝6.∵∠

B

＝45°，∴∠

BAF

＝45°.∴

BF

＝

AF

＝6.

12342.如图，在矩形

ABCD

中，

AB

＝6，

AD

＝8，且有一点

P

从点

B

沿着

BD

往点

D

移动，若过点

P

作

AB

的垂线交

AB

于点

E

，过点

P

作

AD

的垂

线交

AD

于点

F

，则

EF

的长度最小为

⁠.第2题图

1234【解析】如图，连接

AP

.

∵

PE

⊥

AB

，

PF

⊥

AD

，∴∠

AEP

＝∠

AFP

＝90°.∵四边形

ABCD

是矩形，∴∠

BAD

＝90°.∴四边形

AEPF

为矩形.∴

AP

＝

EF

.

∴要求

EF

的最小值就是求

AP

的最小值.1234∵点

P

从点

B

沿着

BD

往点

D

移动，∴当

AP

⊥

BD

时，

AP

取最小值.在Rt△

BAD

中，∵∠

BAD

＝90°，

AB

＝6，

AD

＝8，

12343.如图，已知四边形

ABCD

是正方形，

AB

＝4，

E

为对角线

AC

上一动

点，连接

DE

，过点

E

作

EF

⊥

DE

交

BC

于点

F

，以

DE

，

EF

为邻边作

矩形

DEFG

，连接

CG

.

(1)求证：矩形

DEFG

是正方形；(1)证明：如图，过点

E

作

EM

⊥

BC

于点

M

，作

EN

⊥

CD

于点

N

.

1234∵四边形

ABCD

是正方形，∴∠

BCD

＝90°，∠

ECN

＝45°.∴∠

EMC

＝∠

ENC

＝∠

BCD

＝90°，且

NE

＝

NC

，∴四边形

EMCN

为正方形.∴

EN

＝

EM

.

又∵四边形

DEFG

是矩形，∴∠

DEN

＋∠

NEF

＝∠

MEF

＋∠

NEF

＝90°.∴∠

DEN

＝∠

MEF

.

又∵∠

DNE

＝∠

FME

＝90°，∴△

DEN

≌△

FEM

(ASA).∴

ED

＝

EF

.∴矩形

DEFG

为正方形.1234(2)探究：

CE

＋

CG

的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不

是，请说明理由.(2)解：

CE

＋

CG

的值是定值.∵矩形

DEFG

为正方形，∴

DE

＝

DG

，∠

EDC

＋∠

CDG

＝90°.∵四边形

ABCD

是正方形，∴

AD

＝

DC

，∠

ADE

＋∠

EDC

＝90°.∴∠

ADE

＝∠

CDG

.

1234

12344.如图，在菱形

ABCD

中，

AB

＝4，∠

BAD

＝120°，△

AEF

为等边三

角形，点

E

，

F

分别在菱形的边

BC

，

CD

上移动，且

E

，

F

不与

B