2025高考备考数学知识点第4讲　余弦定理、正弦定理

第4讲余弦定理、正弦定理课标要求命题点五年考情命题分析预测借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理.利用正、余弦定理解三角形2023新高考卷ⅠT17；2023新高考卷ⅡT17；2023全国卷乙T4；2023全国卷甲T16；2022新高考卷ⅠT18；2022新高考卷ⅡT18；2022全国卷甲T16；2021全国卷甲T8；2021全国卷乙T15；2021新高考卷ⅠT19；2021浙江T14；2020全国卷ⅠT16；2020全国卷ⅡT17；2020全国卷ⅢT7；2020新高考卷ⅠT17；2019全国卷ⅠT17；2019全国卷ⅡT15；2019全国卷ⅢT18本讲每年必考，主要考查正、余弦定理的应用，如求解三角形的边长、角度、周长、面积等问题，也会作为方法求解其他章节问题，难度中等.预计2025年高考命题稳定，备考时要重视正、余弦定理的应用.判断三角形的形状2021新高考卷ⅡT18与面积、周长有关的问题2023全国卷乙T18；2022全国卷乙T17；2022新高考卷ⅡT18；2022北京T16；2021北京T16；2021新高考卷ⅡT18；2020全国卷ⅡT17；2019全国卷ⅢT18学生用书P1221.余弦定理、正弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理余弦定理正弦定理内容a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝①c2＋a2－2cacosB；c2＝②a2＋b2－2abcosC.asinA＝bsinB＝csinC＝变形cosA＝b2cosB＝④c2＋cosC＝⑤a2＋（1）a＝2RsinA，b＝⑥2RsinB，c＝⑦2RsinC；（2）sinA＝a2R，sinB＝⑧b2R，sinC＝⑨c（3）a∶b∶c＝⑩sinA∶sinB∶sinC；（4）a＋b＋csinA2.在△ABC中，若已知角A，B所对的边a，b和角A，则解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＜bsinAa＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数无解⑪一解⑫两解⑬一解一解无解3.三角形中常用的面积公式△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.则：（1）S＝12ah（h表示边a（2）S＝12absinC＝⑭12acsinB＝⑮12bcsin（3）S＝12r（a＋b＋c）（r表示三角形⑯内切圆的半径）常用结论三角形中的常见结论（1）在△ABC中，A＋B＋C＝π.变形：A＋B2＝π（2）在△ABC中，a＞b⇔A＞B⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.（3）任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.（4）在△ABC中，sin（A＋B）＝sinC；cos（A＋B）＝－cosC；tan（A＋B）＝－tanC；sinA＋B2＝cosC2；cosA（5）在△ABC中，角A，B，C成等差数列⇔B＝π3，A＋C＝2（6）在斜△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.（7）在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB（射影定理）.1.以下说法正确的是（A）A.在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB的充要条件B.在△ABC中，若b2＋c2＞a2，则△ABC为锐角三角形C.在△ABC中，若sin2A＝sin2B，则△ABC为等腰三角形D.三角形中的三边之比等于相应的三个内角之比解析易知A正确；对于B，当b2＋c2－a2＞0时，只能说明角A为锐角，△ABC不一定为锐角三角形，故B错误；对于C，若sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝π2，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，三角形中的三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比，故D错误2.[2021全国卷甲]在△ABC中，已知B＝120°，AC＝19，AB＝2，则BC＝（D）A.1 B.2 C.5 D.3解析由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cosB，得BC2＋2BC－15＝0，解得BC＝3或BC＝－5（舍去）.故选D.3.[多选]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则符合下列条件的△ABC有且只有一个的是（AC）A.a＝2，b＝1，A＝45° B.a＝1，b＝2，c＝3C.b＝c＝1，B＝45° D.a＝1，b＝2，A＝100°解析对于A，由正弦定理得1sinB＝2sin45°，所以sinB＝12，又a＞b对于B，a＋b＝c，构不成三角形；对于C，b＝c＝1，所以B＝C＝45°，A＝90°，所以满足条件的三角形只有一个；对于D，a＜b，所以A＜B，而A＝100°，所以没有满足条件的三角形.4.已知2a＋1，a，2a－1是钝角三角形的三边，则实数a的取值范围是（2，8）.解析∵2a＋1，a，2a－1是三角形的三边，∴2a+1>0，a>0，2a－1>0，解得a＞12.显然2a＋1是三角形的最大边，则要使2a＋1，a，2a－1构成三角形，需满足a＋2a－1＞2a＋1，解得a＞2.设最大边对应的角为∴a2＋（2a－1）2－（2a＋1）2＜0，即a2－8a＜0，解得0＜a＜8.又a＞2，∴a的取值范围是（2，8）.5.在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于23.解析设△ABC中，角A，B，C对应的边分别为a，b，c.由题意及余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝16+c2－122×4×c＝12，解得c＝2，所以S△学生用书P124命题点1利用正、余弦定理解三角形例1（1）[2023全国卷乙]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若acosB－bcosA＝c，且C＝π5，则B＝（CA.π10 B.π5 C.3π10解析因为acosB－bcosA＝c，所以由正弦定理得sinA·cosB－sinBcosA＝sinC＝sin（B＋A），则2sinBcosA＝0.在△ABC中，sinB≠0，则cosA＝0，A＝π2，所以B＝π－A－C＝π－π2－π5＝（2）[2021全国卷乙]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为3，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝22.解析由题意得S△ABC＝12acsinB＝34ac＝3，则ac＝4，所以a2＋c2＝3ac＝3×4＝12，所以b2＝a2＋c2－2accosB＝12－2×4×12＝8，则b＝方法技巧应用正、余弦定理的解题技巧（1）求边：利用正弦定理变形公式a＝bsinAsinB等或余弦定理a2＝b2＋c2－2bc（2）求角：利用正弦定理变形公式sinA＝asinBb等或余弦定理变形公式cosA＝（3）利用式子的特点转化：若出现a2＋b2－c2＝λab的形式，则用余弦定理；若等式两边是关于边或角的正弦的齐次式，则用正弦定理.训练1（1）[全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝（AA.6 B.5 C.4 D.3解析由题意及正弦定理得b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝－（2）[全国卷Ⅰ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinB＋sinA·（sinC－cosC）＝0，a＝2，c＝2，则C＝（B）A.π12 B.π6 C.π4 解析因为sinB＋sinA（sinC－cosC）＝0，所以sin（A＋C）＋sinA·sinC－sinA·cosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC（sinA＋cosA）＝0.因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1.因为A∈（0，π），所以A＝3π4，由正弦定理得sinC＝c·sinAa＝2×222＝12，又0命题点2判断三角形的形状例2在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，c－a2c＝sin2B2，则△ABCA.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形解析由cosB＝1－2sin2B2，得sin2B2＝1－cosB2，所以c－解法一由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝ac，即a2＋c2－b2＝2a2，所以a2＋b解法二由正弦定理得cosB＝sinAsinC，又sinA＝sin（B＋C）＝sinBcosC＋cosBsinC，所以cosBsinC＝sinBcosC＋cosBsinC，即sinBcosC＝0，又sinB≠0，所以cosC＝0，又角C为△ABC的内角，所以C＝π2，所以命题拓展[变条件]将例2中的条件“c－a2c＝sin2B2”改为“sinAsinB＝ac，（b＋c＋a）（b＋c－a）＝解析因为sinAsinB＝ac，所以由正弦定理得ab＝ac，所以b＝c.又（b＋c＋a）（b＋c－a）＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝bc2bc＝12.方法技巧判断三角形形状的方法（1）化为边：通过正、余弦定理将角化边，利用因式分解、配方等得出边之间的关系进行判断.判断技巧：a2＋b2＜c2cosC＜0C为钝角三角形为钝角三角形a2＋b2＝c2cosC＝0C为直角三角形为直角三角形a2＋b2＞c2cosC＞0C为锐角无法判断（只有C为最大角时才可得出三角形为锐角三角形）（2）化为角：通过正、余弦定理将边化角，通过三角恒等变换公式、三角形的内角和定理得出角的大小或角之间的关系.注意（1）不能随意约掉公因式，要移项、提取公因式，否则会有遗漏一种形状的可能.（2）注意挖掘隐含条件，在变形过程中注意角的范围对三角函数值的影响.训练2[2021新高考卷Ⅱ]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积.（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求a；若不存在，说明理由.解析（1）由2sinC＝3sinA及正弦定理，得2c＝3a.又c＝a＋2，所以a＝4，c＝6，所以b＝a＋1＝5.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－又A∈（0，π），所以sinA＝74所以S△ABC＝12bcsinA＝12×5×6×74（2）存在.由题意知c＞b＞a，要使△ABC为钝角三角形，需cosC＝a2＋b2－c2得0＜a＜3.因为a为正整数，所以a＝1或a＝2.当a＝1时，b＝2，c＝3，此时不能构成三角形；当a＝2时，b＝3，c＝4，满足题意.综上，存在正整数a＝2，使得△ABC为钝角三角形.命题点3与面积、周长有关的问题角度1面积问题例3[2023全国卷乙]在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1.（1）求sin∠ABC；（2）若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积.解析（1）由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝22＋12＋2×2×1×12＝7，得BC＝7由正弦定理得ACsin∠ABC＝BCsin∠BAC，则sin∠ABC＝（2）解法一如图，由sin∠ABC＝2114，得tan∠ABC＝35又tan∠ABC＝DAAB＝DA2，所以DA＝故△ADC的面积为12DA·AC·sin（120°－90°）＝12×235×1×解法二S△ABC＝12AC·AB·sin∠BAC＝12×1×2×32＝32，S△ADCS故△ADC的面积为15S△ABC＝15×32方法技巧与面积有关问题的解题思路1.利用面积公式S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsin2.与面积有关的问题，一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和角的转化.角度2周长问题例4[2022全国卷乙]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinCsin（A－B）＝sinBsin（C－A）.（1）证明：2a2＝b2＋c2；（2）若a＝5，cosA＝2531，求△ABC的周长解析（1）解法一由sinCsin（A－B）＝sinBsin（C－A）可得，sinCsinAcosB－sinCcosAsinB＝sinB·sinCcosA－sinBcosCsinA，结合正弦定理asinA＝bsinB＝csinC可得accosB－bccosA＝bccosA－abcosabcosC＝2bccosA.由余弦定理得a2＋c2－b22＋a2＋b2－c22＝b2＋解法二因为A＋B＋C＝π，所以sinCsin（A－B）＝sin（A＋B）sin（A－B）＝sin2Acos2B－cos2Asin2B＝sin2A（1－sin2B）－（1－sin2A）sin2B＝sin2A－sin2B.同理有sinBsin（C－A）＝sin（C＋A）sin（C－A）＝sin2C－sin2A，所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A，由正弦定理可得2a2＝b2＋c2.（2）由（1）及a2＝b2＋c2－2bccosA得，a2＝2bccosA，所以2bc＝31.因为b2＋c2＝2a2＝50，所以（b＋c）2＝b2＋c2＋2bc＝81，得b＋c＝9，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝14.方法技巧与周长有关问题的解题思路（1）若边长易求，直接求出边长，进而求出周长；（2）若边长不易求，可利用整体思想，构造以两边长的和为未知数的方程求解，进而求出周长.训练3[2022北京高考]在△ABC中，sin2C＝3sinC.（1）求∠C；（2）若b＝6，且△ABC的面积为63，求△ABC的周长.解析（1）因为sin2C＝3sinC，所以2sinCcosC＝3sinC.因为C∈（0，π），所以sinC≠0，所以cosC＝32，C＝π（2）因为△ABC的面积S＝12absinC＝12×a×6×12＝63，所以a＝由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝48＋36－72＝12，所以c＝23，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝43＋6＋23＝6（3＋1）.学生用书P126射影定理的应用例5[2023四川遂宁三诊]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若ca＝1+cosC2－cosA，c＝4，C＝π3，则△A.23 B.43 C.12 D.16解析解法一（射影定理法）由ca＝1+cosC2－cosA得2c＝a＋acosC＋ccosA，则由射影定理可得a＋因为c＝4，所以a＋b＝2c＝8，又C＝π3，所以由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝所以△ABC的面积为12absinC＝12absinπ3＝34ab＝4解法二由正弦定理及ca＝1+cosC2－cosA所以sinA＋sinAcosC＝2sinC－cosAsinC，所以sinA＋sinAcosC＋cosAsinC＝2sinC，即sinA＋sin（A＋C）＝2sinC，所以sinA＋sinB＝2sinC，由正弦定理得a＋b＝2c.后同解法一.方法技巧射影定理：在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，则a＝bcosC＋ccosB，b＝acosC＋ccosA，c＝acosB＋bcosA.训练4[2023济南历城二中5月模拟]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3bcosC＋3ccosB＝5asinA，且A为锐角，则当a2bc取最小值时，a2b＋c解析由3bcosC＋3ccosB＝5asinA及射影定理得3a＝5asinA，可得sinA＝35，又A是锐角，所以cosA＝45，则由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－85bc，则a2bc＝b2＋c2－85bcbc＝b2＋c此时a2＝25b2，即a＝105b，所以a2b1.[命题点1/2023南京市二模]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsinA＋B2＝csinB，则角C的大小为（A.π6 B.π3 C.2π3解析∵bsinA＋B2＝csinB，∴sinBcosC2＝sinCsinB，又sinB＞0，∴cosC2＝sinC＝2sinC2cosC2.∵C2∈（0，π2），∴cosC2＞0，∴sinC2＝122.[命题点1/浙江高考]在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝23，则AC＝213，cos∠MAC＝23913解析由∠B＝60°，AB＝2，AM＝23，及余弦定理可得BM＝4，因为M为BC的中点，所以BC＝8.解法一在△ABC中，由余弦定理可得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠B＝4＋64－2×2×8×12＝52，所以AC＝213.在△AMC中，由余弦定理得cos∠MAC＝AC2＋A解法二过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D，则BD＝4，AD＝2，CD＝43，所以在Rt△ADC中，AC2＝CD2＋AD2＝48＋4＝52，得AC＝213.以下同解法一.3.[命题点1/2024杭州市质检]已知四边形ABCD是一个圆的内接四边形，如图，若AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.（1）求线段BD的长；（2）若∠BPD＝π3，求PB＋PD的取值范围解析（1）由题意知，A＋C＝π，（圆的内接四边形的一个性质是对角互补）所以cosA＝cos（π－C）＝－cosC.根据余弦定理BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC，得BD2＝5－4cosA，BD2＝13－12cosC.所以5－4cosA＝13－12cosC，所以cosC＝12所以BD＝7.（2）解法一因为BD2＝PB2＋PD2－2PB·PDcos∠BPD＝PB2＋PD2－PB·PD＝（PB＋PD）2－3PB·PD≥（PB＋PD）2－3·（PB＋PD）24（提示：此处用到了PB·PD＝（PB＋所以（PB＋PD）2≤28，所以PB＋PD≤27（当且仅当PB＝PD时取等号）.所以7＜PB＋PD≤27.（注意：三角形中两边之和大于第三边）解法二由题意知∠BPD＝π3，设∠PBD＝θ，则∠PDB＝2π3由正弦定理PBsin∠PDB＝PDsin可得PBsin（2π3－θ）＝PDsinθ＝BDsinπ3＝273＝221所以PB＋PD＝2213[sinθ＋sin（2π3－θ）]＝27sin（θ＋因为0＜θ＜2π3，所以π6＜θ＋π所以27sin（θ＋π6）∈（7，27].所以7＜PB＋PD≤27.4.[命题点2/全国卷Ⅱ]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2（π2＋A）＋cosA＝5（1）求A；（2）若b－c＝33a，证明：△ABC是直角三角形解析（1）由已知得sin2A＋cosA＝54即cos2A－cosA＋14＝所以（cosA－12）2＝0，cosA＝1由于0＜A＜π，故A＝π3（2）由正弦定理及已知条件可得sinB－sinC＝33sinA由（1）知B＋C＝2π3，所以sinB－sin（2π3－B）＝即12sinB－32cosB＝12，sin（B－π3由0＜B＜2π3，得B＝π2，则△5.[命题点3/2024长春市质量监测（一）]在△ABC中，AD为BC边上的中线，BD＝3，AD＝7，tan∠BAD＝32（1）求△ABC的面积；（2）若AE＝107AD，求∠解析（1）由tan∠BAD＝32，可得sin∠BAD＝21在△ABD中，由BD＝3，AD＝7，结合正弦定理BDsin∠BAD＝ADsin∠ABD，得解得sin∠ABD＝1，所以∠ABD＝90°，从而AB＝AD2－B在△ABC中，AB＝2，BC＝2BD＝23，∠ABC＝90°，所以△ABC的面积S＝12×2×23＝23（2）以B为坐标原点，BC，BA的方向分别为x轴，y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系，则B（0，0），A（0，2），C（23，0），D（3，0），所以AD＝（3，－2）.由AE＝107AD得AE＝（1037所以E（1037，－从而EB＝（－1037，67），EC＝（4所以cos＜EB，EC＞＝EB·EC｜EB||EC｜＝－103学生用书·练习帮P3201.[2024湖北模拟]在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若a＝3，b＝13，B＝60°，则c＝（D）A.1 B.2 C.3 D.4解析由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝9＋c2－3c＝13，即c2－3c－4＝0，解得c＝－1（舍去）或c＝4，∴c＝4.故选D.2.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2，b＝3，cosB＝74，则A＝（AA.π6 B.π3 C.5π6 解析在△ABC中，cosB＝74，所以sinB＝1－cos2B＝34，又a＝2，b＝3，所以由正弦定理可得sinA＝a·sinBb＝2×343＝3.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知csinA＝3acosC，c＝23，ab＝8，则a＋b的值是（A）A.6 B.8 C.4 D.2解析由csinA＝3acosC及正弦定理可得sinCsinA＝3sinAcosC，因为sinA≠0，所以sinC＝3cosC，可得tanC＝3，又C∈（0，π），所以C＝π3.又c＝23，ab＝8，所以由余弦定理可得12＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝（a＋b）2－24，所以a＋b＝6.故选4.在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，则sin∠ADC的值为（C）A.1+33 B.1+24 C.1+解析因为在△ABC中，D为边BC上一点，AD＝6，BD＝3，∠ABC＝45°，所以由正弦定理得3sin∠BAD＝6sin45°，所以sin∠BAD＝24，因为AD＞BD，所以∠BAD＜45°，所以cos∠BAD＝144，所以sin∠ADC＝sin（∠BAD＋45°）＝22×（245.[设问创新/多选]黑板上有一道解三角形的习题，求解过程是正确的，但一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝2，……，解得B＝60°.根据以上信息，你认为下面哪个选项可以作为这个习题的其余已知条件？（ABD）A.b＝23，C＝90° B.A＝30°，c＝4C.b＝23，A＝30° D.b＝23，c＝4解析对于A，因为a＝2，b＝23，C＝90°，所以tanB＝ba＝232＝3，又0°＜B＜180°，所以B＝60°，故对于B，因为a＝2，A＝30°，c＝4，所以根据正弦定理得asinA＝csinC，即2sin30°＝4sinC，所以sinC＝1，又0°＜C＜180°，所以C对于C，因为a＝2，b＝23，A＝30°，所以根据正弦定理得2sin30°＝23sinB，所以sinB＝32，又0°＜B＜180°，且b＞a，所以B对于D，因为a＝2，b＝23，c＝4，所以根据余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac＝22＋42－（23）226.[多选]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列条件能判断△ABC是钝角三角形的有（BC）A.a＝6，b＝5，c＝4B.AB·BC＝2aC.a－bD.b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC解析A选项，由a＞b＞c知A＞B＞C，又因为b2＋c2＝41＞36＝a2，所以A是锐角，故A不正确.B选项，由AB·BC＝－accosB＝2a，得cosB＜0，所以B为钝角，故B正确.C选项，由a－bc＋b＝sinCsinA＋sinB及正弦定理得a－bc＋b＝ca＋b，得b2＋c2－aD选项，由正弦定理得，已知条件等价于sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC，易知sinB·sinC≠0，所以sinBsinC＝cosBcosC，即cos（B＋C）＝0，又因为0＜B＋C＜π，故B＋C＝π2，所以A＝π－（B＋C）＝π2，故D7.[2024河北唐山一中段考]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A＝π6，（1＋3）c＝2b，则B＝7π解析解法一在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－3bc，又b＝1+32c，所以a＝22c，由正弦定理得asinA＝csinC，所以sinC＝casinA＝2·sinπ6＝22.因为c＜b，所以C为锐角，C＝π4解法二在△ABC中，由（1＋3）c＝2b及正弦定理得（1＋3）sinC＝2sinB，因为A＝π6，所以（1＋3）sin（5π6－B）＝2sinB，展开得1+32cosB＋3+32sinB＝2sinB，化简整理得tanB＝1+31－3＝tanπ4＋tan8.[2024青岛模拟]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知A＝60°，b＋c＝6，且△ABC的面积为3，则△ABC的内切圆的半径为3－2.解析由题意得△ABC的面积S＝12bcsinA＝34bc＝3，故bc＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝（b＋c）2－3bc＝24，所以a＝26，△ABC的周长为6＋26.设△ABC的内切圆半径为r，则12（a＋b＋c）r＝12×（6＋26）r＝3，所以r＝9.[角度创新]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cosA，则△ABC的形状为钝角三角形解析已知cb＜cosA，由正弦定理，得sinCsinB＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin（A＋B）＜sinBcosA，即sinB·cosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinsinA＞0，于是有cosB＜0，即B为钝角，所以△ABC是钝角三角形.10.[2024惠州市一调]在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＋bcosA＝3asinB.（1）求A；（2）若a＝21，b＝4，求△ABC的面积.解析（1）由正弦定理，得sinB＋sinBcosA＝3sinAsinB.∵sinB＞0，∴3sinA－cosA＝1，得sin（A－π6）＝1∵A∈（0，π），∴A－π6∈（－π6，5π6），∴A－π6＝π（2）解法一将a＝21，b＝4，A＝π3代入余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得21＝16＋c2－4c，解得c＝5或c＝－1（舍）∴S△ABC＝12bcsinA＝12×4×5×32＝即△ABC的面积为53.解法二由正弦定理asinA＝得21sinπ3＝4sinB，解得由a＞b，得B∈（0，π2∴cosB＝1－sin2∴sinC＝sin（A＋B）＝sinAcosB＋sinBcosA＝32×217＋2＝57∴S△ABC＝12absin＝12×21×4×＝53，即△ABC的面积为53.11.[2024江西模拟]在△ABC中，D是BC的中点，且AB＝3，AC＝2，AD＝3，则△ABC是（C）A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.无法确定解析解法一在△ABD中，由余弦定理AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，得9＝3＋BD2－23BD·cos∠ADB，在△ACD中，由余弦定理AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，得4＝3＋DC2－23DC·cos∠ADC，又cos∠ADB＝－cos∠ADC，BD＝DC，所以两式相加得BD2＋DC2＝7，所以BD＝DC＝142，所以BC＝14.在△ABC中，由余弦定理得cos∠BAC＝AB2＋AC2－B解法二延长AD到E使AD＝DE，连接BE，CE，则四边形ABEC是平行四边形，AE＝2AD，所以AE2＋BC2＝2（AB2＋AC2），所以BC2＝14＞AB2＋AC2，则△ABC为钝角三角形.故选C.解法三因为D是BC的中点，所以AD＝12（AB＋AC），两边同时平方得AD2＝14（AB＋AC）2＝14（AB2＋2AB·AC＋AC2），即3＝14（9＋2×3×2cos∠BAC＋4），解得cos∠BAC＝－112.[2024湖北部分学校联考]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，b＝3，BD为AC边上的中线，BD＝2，且acosC－2bcos∠ABC＋ccosA＝0，则△ABC的面积为（C）A.2 B.78 C.738 解析解法一由acosC－2bcos∠ABC＋ccosA＝0，可得acosC＋ccosA＝2bcos∠ABC＝b，∴cos∠ABC＝12，∵∠ABC是三角形的内角，∴∠ABC＝π3.易知BD2＝12（BC2＋BA2）－14AC2，即4＝12（a2＋c2）－14×32，解得a2＋c2＝252，可得ac＝a2＋c2－322cos∠ABC＝72，∴解法二∵acosC－2bcos∠ABC＋ccosA＝0，∴sinAcosC－2sin∠ABCcos∠ABC＋sinCcosA＝0，∴sin（A＋C）－2sin∠ABCcos∠ABC＝0，即sin∠ABC－2sin∠ABCcos∠ABC＝0，易知sin∠ABC≠0，∴cos∠ABC＝12在△ABC中，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos∠ABC，得9＝a2＋c2－ac，∵BD＝12（BC＋BA），∴｜BD｜2＝14（｜BC｜2＋｜BA｜2＋2BC·BA），即4＝14（a2＋c2＋ac），可得ac＝72，∴S△ABC＝1213.[多选]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，则下列结论正确的是（ABD）A.sinA∶sinB∶sinC＝7∶5∶3B.CA·AB＞0C.若c＝6，则△ABC的面积是15D.若b＋c＝8，则△ABC外接圆的半径是7解析在△ABC中，由于（b＋c）∶（c＋a）∶（a＋b）＝4∶5∶6，所以可设b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k，求得a＝7k2，b＝5k2，c＝3k2，所以a∶b∶c＝7∶5∶3，由正弦定理可知A正确；cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12＜0，故CA·AB＝－bccosA＞0，故B正确；若c＝6，可得k＝4，则b＝10，又因为sinA＝1－cos2A＝32，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×10×6×32＝153，故C错误；若b＋c＝8，则k＝2，可得a＝7，设△ABC外接圆的半径为14.[2024海南定安中学开学考试]如图，已知平面四边形ABCD存在外接圆，且AB＝5，BC＝2，cos∠ADC＝45.（1）求△ABC的面积；（2）若DC＝DA，求△ADC的周长.解析（1）因为平面四边形ABCD存在外接圆，所以∠ABC＝π－∠ADC，cos∠ABC＝－cos∠ADC＝－45又∠ABC∈（0，π），所以sin∠ABC＝1－cos2∠ABC所以S△ABC＝12AB×BC×sin∠ABC＝12×5×2×3（2）在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝45，所以AC＝35.在△ADC中，由余弦定理得AC2＝DA2＋DC2－2DA·DC·cos∠ADC，又DC＝DA，则45＝DA2＋DA2－85DA2＝25DA2，解得DA＝DC＝所以