高考数学一轮复习【考点题型归纳讲练】导学案（新高考专用）第3课时等比数列(原卷版+解析)

第3课时等比数列编写：廖云波【回归教材】1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝.(2)前n项和公式：.3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝＝.(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.4.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．

【典例讲练】题型一等比数列的基本量【例1-1】在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和q；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【例1-2】已知等比数列的前项和为，且满足，，则（

）A． B．9 C． D．27归纳总结：【练习1-1】设是公比为的等比数列，且.则（

）A． B． C．8 D．11【练习1-2】等比数列的前项和为，若，，则___________.题型二等比数列的性质【例2-1】已知是等比数列，若，且，则（

）A．10 B．25 C．5 D．15【例2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．归纳总结：【练习2-1】【多选题】在正项等比数列{an}中，已知，，则（

）A． B． C． D．n＝12【练习2-2】已知等比数列，，是方程的两根，则（

）A．8 B．10 C．14 D．16题型三等比数列的最值问题【例3-1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A． B．C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值归纳总结：【练习3-1】【多选题】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的题型四等比数列的判定【例4-1】在数列中，已知各项都为正数的数列满足.(1)证明数列为等比数列；(2)若，，求的通项公式.【例4-2】已知数列满足，且．(1)若，证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．归纳总结：【练习4-1】记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；【完成课时作业（三十九）】

【课时作业（三十九）】A组础题巩固1．正项等比数列中，，则（

）A．1 B． C．3 D．2．已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．33．等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或124．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-25．已知数列满足，，则的前10项和等于（

）A． B． C． D．6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．7．在正项等比数列中，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（

）A． B． C． D．19．等比数列中的项，是函数的极值点，则（

）A．3 B． C． D．10．【多选题】已知是数列的前项和，且，则（

）A．数列为等比数列B．数列为等比数列C．D．11．记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为.12．若等比数列的各项均为正数，且，则.13．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．14．在数列中，，其中．(1)设，证明数列是等比数列；(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．B组挑战自我1．【多选题】已知等比数列的公比为，且，记的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（

）A．当时，递减 B．当时，C．当时， D．当时，2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．3．规定摸球试验规则如下：盒子中装有一个白球和两个红球，每人有放回地任取一个，摸到白球得1分，摸到红球得2分．(1)已知有n个人参加了这个摸球试验，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求；(2)已知若干人参加了这个摸球试验，记这些人的合计得分恰为n分的概率为，证明为等比数列，并求数列的通项公式．4．已知数列中，，．正项等比数列的公比，且满足，．(1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；(2)如果，求的前n项和为；(3)若存在，使成立，求实数的取值范围．第3课时等比数列编写：廖云波【回归教材】1.等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为eq\f(an＋1,an)＝q(n∈N*，q为非零常数)．(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即G是a与b的等比中项⇒a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.2.等比数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1qn－1.(2)前n项和公式：.3.等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，则am·an＝ap·aq＝aeq\o\al(2,k).(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{aeq\o\al(2,n)}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列．(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk.4.等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式还可以改写为，当且时，是指数函数，是指数型函数，因此数列的图象是函数的图象上一些孤立的点．当或时，是递增数列；当或时，是递减数列；当时，为常数列；当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号．

【典例讲练】题型一等比数列的基本量【例1-1】在等比数列中，(1)已知，，求；(2)已知，，求和q；(3)已知，，求；(4)已知，，求．【答案】(1)；(2)，，或，；(3)9；(4)±4.【分析】(1)；(2)根据等比数列通项公式进行计算即可；(3)；(4)设等比数列公比为q，根据已知条件和等比数列通项公式列出方程组即可求解.(1)等比数列中，，，；(2)等比数列中，，，，；当时，，当时，，，或，；(3)等比数列中，，，，；(4)等比数列中，设公比为q，∵，，∴，两式相除并化简得，，解得或，当时，，，当时，，，综上，或．【例1-2】已知等比数列的前项和为，且满足，，则（

）A． B．9 C． D．27【答案】D【分析】利用等比数列前项和公式，结合，求出该等比数列的公比，最后利用等比数列的通项公式进行求解即可.【详解】设该等比数列的公比为，当时，因为，，所以有，所以，当时，，显然不成立，故选：D归纳总结：【练习1-1】设是公比为的等比数列，且.则（

）A． B． C．8 D．11【答案】B【分析】先利用题给条件求得等比数列的首项，再利用等比数列前n项和公式去求的值【详解】是公比为的等比数列，且.则，解之得，则故选：B【练习1-2】等比数列的前项和为，若，，则___________.【答案】或【分析】根据等比数列通项公式和前项和公式，列出方程，求出等比数列的公比，再根据等比数列的通项公式，即可求出结果.【详解】设等比数列的公比为，因为，，所以，则，解得或，又，所以或.故答案为：或.题型二等比数列的性质【例2-1】已知{an}是等比数列，若an>0，且a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，则a3＋a5＝（

）A．10 B．25 C．5 D．15【答案】C【分析】根据等比数列的性质，由题中条件，可求出.【详解】因为是等比数列，，所以，即，因为，所以.故选：C【例2-2】等比数列的前n项和为，已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据为等比数列可求的值.【详解】因为且为等比数列，故为等比数列，故，解得，故选：B.归纳总结：【练习2-1】【多选题】在正项等比数列{an}中，已知，，则（

）A． B． C． D．n＝12【答案】BD【分析】由题可得，再由，得到，即可求解.【详解】设数列的公比为q，由，可得，又由，所以AC错误；因为可得，所以，解得，所以BD正确.故选：BD.【练习2-2】已知等比数列，，是方程的两根，则（

）A．8 B．10 C．14 D．16【答案】B【分析】根据韦达定理写出，再根据等比数列的性质即可得到答案【详解】，是方程的两根根据等比数列的性质有：故选：B题型三等比数列的最值问题【例3-1】设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（

）A． B．C．数列存在最大值 D．是数列中的最大值【答案】D【分析】根据题意可得，，所以在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.再分析每一个选项即可求解.【详解】因为是公比为的等比数列，且，，，所以，，所以，所以在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于.对于A：因为，所以，故A不正确；对于B：，故B不正确；对于C：根据上面的分析，等比数列中每一项都为正值，所以无最大值，所以数列无最大值，故C不正确；对于D：因为在等比数列中，从到的每一项都大于，从开始后面所有的项的值都小于且大于，所以是数列中的最大值，故D正确.故选：D.归纳总结：【练习3-1】【多选题】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，，．给出下列结论其中正确的结论是（

）A． B． C．的值是中最大的 D．T99的值是Tn中最大的【答案】ABD【分析】运用等比数列的定义和等比数列的性质根据题目条件逐项分析即得.【详解】对于A，，，即，，又，又，，且，，故A正确；对于B，，，即，故B正确；对于C，由于，而，故有，故C错误；对于D，由题可知，所以当时，，即，当时，，即，∴T99的值是Tn中最大的，故D正确.故选：.题型四等比数列的判定【例4-1】在数列中，已知各项都为正数的数列满足.(1)证明数列为等比数列；(2)若，，求的通项公式.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据等比数列的定义分析即可.（2）由（1）可得的通项公式，构造求.（1）各项都为正数的数列满足，得，即所以数列是公比为的等比数列；（2）因为，，所以，由（1）知数列是首项为，公比为的等比数列，所以，于是，又因为，所以，即.【例4-2】已知数列满足，且．(1)若，证明：数列是等比数列；(2)求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题意得，根据等比数列的定义，即可得证.（2）由（1）可得，根据分组求和法，结合等差数列、等比数列求和公式，即可得答案.（1）因为，所以，所以，即，又，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）可得，所以，所以前项和归纳总结：【练习4-1】记是公差不为的等差数列的前项和，已知，，数列满足，且．(1)求的通项公式；(2)证明数列是等比数列，并求的通项公式；【答案】(1)(2)证明见解析，【分析】（1）设公差为，结合等差数列通项和求和公式可构造方程组求得，进而得到；（2）由已知递推关系式可得，由此可得证得数列为等比数列；结合等比数列通项公式推导可得；（3）分别验证时，不等式成立；当时，采用放缩法可得，依此对不等式进行放缩，结合等比数列求和公式可证得当时不等式成立，由此可得结论.(1)设等差数列的公差为，由得：，解得：，.(2)由（1）知：，则，由得：，，数列是以为首项，为公比的等比数列，，.【完成课时作业（三十九）】

【课时作业（三十九）】A组础题巩固1．正项等比数列中，，则（

）A．1 B． C．3 D．【答案】C【分析】由等比数列的性质知：，即可求出答案.【详解】由等比数列的性质知：，因为为正项等比数列，所以.故选：C.2．已知等比数列的前3项和为168，，则（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】设等比数列的公比为，易得，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列的公比为，若，则，与题意矛盾，所以，则，解得，所以.故选：D.3．等比数列的前n项和为，若，，则（

）A．24 B．12 C．24或－12 D．－24或12【答案】A【分析】根据等比数列片段和性质得到方程，求出，再检验即可；【详解】解：因为等比数列的前n项和为，所以，，成等比数列，因为，，所以，解得或，因为，所以，则．故选：A4．在等比数列中，已知前n项和，则a的值为（

）A．1 B．-1 C．2 D．-2【答案】B【分析】利用成等比数列列方程，化简求得的值.【详解】，由于是等比数列，所以，即.故选：B5．已知数列满足，，则的前10项和等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】运用等比数列求和公式计算即可.【详解】由题，，所以，所以是公比的等比数列，，；故选：C.6．已知等比数列的前项和为，且公比，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意可得出关于、的值，可求得、的值，再利用等比数列的求和公式可求得.【详解】由等比数列的性质可知，因为，则，由已知可得，可得，，则，因此，.故选：B.7．在正项等比数列中，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据给定的等式，利用等比数列的性质计算作答.【详解】在等比数列中，，于是得，而，所以.故选：C8．已知等差数列的前n项和为，若，，成等比数列，则公比为（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】利用等差数列的性质及等比中项可得，进而可得，即得.【详解】设等差数列的公差为，则，，，∴，∴，解得，∴，即公比为1.故选：D.9．等比数列中的项，是函数的极值点，则（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到，然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，，则时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，于是x=1和x=3是函数的两个极值点，故，是的两个根，所以，所以，又，所以，，设公比为，，所以.故选：D.10．【多选题】已知是数列的前项和，且，则（

）A．数列为等比数列B．数列为等比数列C．D．【答案】AB【分析】由，分别得到，，然后逐项判断.【详解】由，得，又，所以数列是首项为1，公比为的等比数列，则正确；由，得，又，所以数列是首项为7，公比为4的等比数列，则正确；，相减可得，所以，则错误；，，则错误．故选：AB．11．记等比数列的前n项和为Sn，若，则的公比为______【答案】-1【分析】先将公比假设为，接着对与1进行讨论，分别求出的值即可求出答案【详解】因为是等比数列，设的公比为，若时，由可得，整理得，因为，所以即，解得(舍去)或，因为，所以，若时，，，所以舍去，综上所述，，故答案为：-112．若等比数列的各项均为正数，且，则.【答案】.【详解】由得，所以【点睛】等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形.在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.13．已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．14．在数列中，，其中．(1)设，证明数列是等比数列；(2)记数列的前n项和为，试比较与的大小．【答案】(1)证明见解析；(2)答案见解析.【分析】（1）由已知得，代入给定等式并变形，再利用等比数列定义判断作答.（2）利用分组求和法求出，作与的差，构造新数列并判断其单调性即可推理作答.(1)，由得：，而，则，整理得，而，所以数列是首项为3，公比为3的等比数列.(2)由（1）知，，于是得，，因此，，令，显然数列是递增数列，而，即时，，，当时，，所以，当时，，当时，.B组挑战自我1．【多选题】已知等比数列的公比为，且，记的前项和为，前项积为，则下列说法正确的是（

）A．当时，递减 B．当时，C．当时， D．当时，【答案】BCD【分析】由，，得到，即可判断A错误；利用等比数列的通项公式和基本不等式求解，可判定B正确；分类讨论与1的大小关系，可判定C正确；分析出的特征，得到，可判定D正确.【详解】对于A中，因为，，所以，所以递增，所以A错误.对于B中，当时，，当且仅当时等号成立，所以B正确.对于C中，当时，递增，因为，所以当时，；当时，，所以当或时，最小，所以，故C正确.对于D中，当时，是摆动数列，偶数项为正，奇数项为负，递减，因为，所以当或时，最大，的前2022项中有1011项为正，1011项为负，所以，所以恒成立，所以D正确.故选：BCD.2．已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，若，，成等差数列，则______，最小值为______．【答案】

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8【分析】根据等差中项可求出；利用，，成等比数列，结合基本不等式可得最小值.【详解】因为，，成等差数列，所以，所以，又因为各项均为正数的等比数列的前n项和为，所