陕西省宝鸡市陇县第二高级中学2023-2024学年高一下学期第三次教学质量检测 数学试题【含答案】

陇县第二高级中学2023～2024学年第二学期高一年级第三次教学质量检测数学全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：必修第二册第六章～第八章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设，则（

）A．， B．，C．， D．，2．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（

）A．相同的向量 B．模相等的向量C．共线向量 D．共起点的向量3．已知向量，，且，，，则（

）A．8 B．9 C． D．4．如图，一个水平放置的平面图形的直观图是边长为2的正方形，则原图形的周长是（

）A．16 B．12 C． D．5．若直线平面，则下列说法正确的是（

）A．l仅垂直平面内的一条直线 B．l仅垂直平面内与l相交的直线C．l仅垂直平面内的两条直线 D．l与平面内的任意一条直线垂直6．在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（

）A．无解 B．有一解C．有两解 D．解的个数不确定7．如图，某市人民广场正中央有一座铁塔，为了测量塔高，小胡同学先在塔的正西方点C处测得塔顶的仰角为，然后从点C处沿南偏东方向前进140米到达点D处，在D处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度是（

）A．70米 B．80米 C．90米 D．100米8．如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列命题是假命题的是（

）A． B．C．若，则 D．若，则10．是两个平面，是两条直线，有下列四个命题其中正确的命题有（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等11．如图，在棱长为1的正方体中，点是线段上的一点，则下列说法正确的是（

）

A．直线与平面所成的角为定值B．平面C．三棱锥的体积为定值D．直线与直线所成的角为定值三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为.13．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为.14．一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.15．用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥，所得的截面三角形称为圆锥的轴截面，也称为圆锥的子午三角形.如图，圆锥底面圆的半径是4，轴截面的面积是4.(1)求圆锥的母线长；(2)过圆锥的两条母线，作一个截面，求截面面积的最大值.16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.（1）求的值（2）若，求的值.17．如图，在四棱锥中，，，，设，分别为，的中点，.

(1)证明：平面；(2)证明：平面平面.18．如图，在等腰三角形中，是线段上的动点（异于端点），.(1)若是边的中点，求的值；(2)当时，请确定点的位置.19．在四棱锥中，是等边三角形，四边形ABCD是矩形，，，，E是棱PD的中点．(1)求证：；(2)求二面角的正切值．1．A【分析】由复数乘法运算和复数的相等可直接求得结果.【详解】由得：，，.故选：A.2．B【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.故选：B3．C【分析】依题意可得，再根据及平面向量数量积的运算律计算可得；【详解】解：因为，所以，所以故选：C4．A【分析】根据斜二测画法分析运算.【详解】在直观图中，，可得原图形是平行四边形，其底边长2，高为，则另一边长为，所以原图形的周长为．故选：A.5．D【分析】根据线面垂直的定义分析判断即可【详解】因为若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直．所以ABC错误，D正确，故选：D6．C【分析】利用正弦定理解出再根据，得到，可得角有两个解.【详解】由正弦定理，得，解得.因为，所以.又因为，所以或，故此三角形有两解.故选：C.7．A【分析】先由题意得出，，再在中，由余弦定理即可求解.【详解】由题，所以，故在中，由余弦定理得，所以即，（舍去）或，故铁塔的高度是70米.故选：A.8．C【分析】取的中点，的中点为，连接，可得四边形是平行四边形，可得∥,同理可得∥.可得面面平行，进而得出P点的轨迹.【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，则∥，，且∥，，可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，且平面，平面，可得∥平面，同理可得：∥平面，且，平面，可知平面∥平面，又因为P点是正方形内的动点，平面，所以点在线段上，由题意可知：，可得，所以P点的轨迹长度为.故选：C.9．CD【分析】对于A，直接求复数的模判断，对于B，利用复数的乘方的周期性化简，对于C，由复数的性质分析判断，对于D，举例判断.【详解】对于A，，A正确，对于B，，B正确，对于C，对于虚数不能比较大小，C错误，对于D，当时，，所以D错误.故选：CD10．BCD【分析】运用长方体模型，找出符合条件的直线和平面，即可判断A；运用线面平行的性质定理和线面垂直的性质定理，即可判断B；运用面面平行的性质定理，即可判断C；由平行的传递性及线面角的定义，即可判断D．【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误：如图，不妨设为直线m，为直线n，所在的平面为，所在的平面为，显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，故A错误；对于B，设过直线的某平面与平面相交于直线，则，由知，从而，故B正确；对于C，如果，则，故C正确；对于D，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，故D正确.故选：BCD.11．BCD【分析】由分别在或时，直线与平面所成角不同，可判定A错误；利用线面平行的判定定理，证得平面，可判定B正确；证得平面，得到点到平面的距离为定值，可判定C正确；利用线面垂直的判定定理，证得平面，进而得到，可判定D正确.【详解】对于A中，当分别在或时，显然直线与平面所成角不同，所以A错误；对于B中，平面即为平面，又为，且平面，平面，所以平面，所以B正确；对于C中，因为，平面，平面，所以平面，所以点到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，所以C正确；对于D中，在正方形中，可得，在正方体中，平面，因为平面，所以，又因为，且平面，所以平面，因为平面，所以，所以D正确.故选：BCD.

12．【分析】化简求出，再代模长公式即可求解【详解】由，故答案为：13．150°【分析】根据向量垂直数量积等于，结合已知条件求出的值，利用向量夹角公式即可求解.【详解】由，得，即，因为，所以，所以，又，所以向量与的夹角为150°.故答案为：150°14．324【分析】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，可求得截面的面积，由柱体的体积公式即可求得预制件的体积.【详解】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．所以（平方米），设该预制件的高为h，则该预制件的体积（立方米）．故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土．故答案为：324.15．(1)(2)【分析】（1）借助轴截面面积可得其高，即可得其母线长；（2）借助面积公式可得夹角为时，截面面积取最大值.【详解】（1）轴截面的面积为，所以，所以圆锥的母线长；（2）在轴截面中，，，，，的面积，当时，截面面积有最大值，最大值为.16．（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理可得结果；（2）先由三角恒等变换求得，再由正弦定理可得结果.【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以；（2）由（1）知，所以，又，所以，由正弦定理得.17．(1)证明见解析；(2)证明见解析.【分析】（1）连接，利用三角形中位线及平行四边形性质证得，再利用线面平行的判定推理即得.（2）由（1）的信息，利用线面平行的判定、面面平行的判定推理即得.【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得，而，，则，四边形为平行四边形，因此，而平面，平面，所以平面.

（2）由，得是的中点，而为中点，则，又平面，平面，于是平面，由（1）知，，而平面，平面，因此平面，又平面，所以平面平面.18．(1)(2)是线段靠近处的四等分点【分析】（1）用、作为基底分别表示、，结合数量积运算即可.（2）设，则，结合数量积运算即可.【详解】（1）由题意知，由于是边的中点，因此，因此.（2）不妨设，因此，又，所以解得，即，故是线段靠近处的四等分点.19．(1)证明见解析(2)2【分析】（1）取PA的中点F，证得和，得到平面，则，进而证得平面，即可证得；（2）根据题意，证得平面，得到，过作的垂线，证得平面，得到，得出二面角的大小为，在直角中，即可求解.【详解】（1）证明：如图所示，取PA的中点F，连接BF，EF，因为是等边三角形，F是PA的中点，所以，又因为F是PA的中点，E是棱PD