全国理数第55课 推理与证明

第55课推理与证明

1.归纳推理的应用

a.与数有关的归纳推理

(1)(2018湖南长沙测试，5分)已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,

3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…，按规律，第600

个整数对为.

答案：(5.31)

解析：由题意得，(1,1),两数的和为2,共1个；

(1,2),(2,1),两数的和为3,共2个；

(1,3),(2,2),(3,1),两数的和为4,共3个；

(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),两数的和为5,共4个……

由此猜想：和为"的有序整数对有(〃一1)个.

V1+2H------卜(〃_1)='2，

...当〃=33时,1+2+34------卜32=528,

当”=34时，1+2+3H-----F32+33=528+33=561,

当”=35时，1+2+3H-----F34=561+34=595.

:第595个整数对后面的有序整数对依次为(1,35),(2,34),(3,33),(4,32),(5,

31),

.•.第600个整数对为(5,31).

(2)(2015山东，5分)观察下列各式：

(^=4。；

011

C3+C3=4；

C50+C51+C5』42;

C70+C71+C7?+C73=43;

照此规律，当"GN*时，

C2„-l+CL-1+CL-1+•"+C2«-l=------------------------

答案：4""

解析:照此规律，可以看出等式左侧最后一项,组合数的上标与等式右侧的塞指数相同，

当"GN*时,C.T+C"+C"4卜C笈1=4*1.

b.与图形有关的归纳推理

(3)(经典题，9分)如图55-2所示，图(1)是棱长为1的小正方体，图(2),(3)是由这样

的小正方体摆放而成.按照这样的方法继续摆放，由上而下分别将第1层，第2层，…，第

n层的小正方体的个数记为Sn,解答下列问题：

0

(1)

(I)按照要求填表：

n(n-Y]

答案：(1)10(11)55(III)'2-

解析：(1)图(1)有1层，第1层正方体的个数为Si=l；

图(2)有2层，第2层正方体的个数为S2=1+2；

图(3)有3层，第3层正方体的个数为53=1+2+3；

依次类推，第4个图有4层，第4层正方体的个数为54=1+2+3+4=10.

(II)由(I)猜想：第10个图有10层，第10层正方体的个数为Sio=l+2+3+4+5+6

10x(10+1)

+10=——-----=55.

2

(III)由(I)猜想：第n个图有n层，第n层正方体的个数为Sn=l+2+3+4+5+6+…

2.类比推理的应用

(4)(2019汇编，5分)下面给出的类比推理中，结论正确的有.

①若数列｛。“｝是等差数列，氏=[(q+怎+…+诙)，则数列｛儿｝也是等差数列；类比推

出：若数列｛0｝是各项都为正数的等比数列，&产中eg…c”,则数列｛”,｝也是等比数列；

②a,6为实数，若层+〃=0,则。=6=0；类比推出：zi，Z2为复数，若zJ+z22=0,

则Zl=Z2=0;

③若a,b,cGR,则(ab)c=a(6c)；类比推出：若a,b,c为三个向量，贝！](a/>c=a­S-c)；

④在平面内，三角形的两边之和大于第三边；类比推出：在空间中，四面体的任意三个

面的面积之和大于第四个面的面积；

⑤若三角形周长为/,面积为S,则其内切圆半径「=牛；类比推出：若三棱锥表面积为

S,体积为匕则其内切球半径厂=3午V；

72

⑥尸为椭圆金+方=1(6>0)上异于左、右顶点4,人2的任意一点，则直线M与班的

1v2，

斜率之积为定值一方类比推出：尸为双曲线务一方=1（6>0）上异于左、右顶点4,4的任意

一点，则直线即与外2的斜率之积为定值自

答案：①④⑤⑥

解析：①正确：在由等差数列的性质类比推理等比数列的性质时，我们一般的思路有:

由加法类比推理乘法，由减法类比推理除法，由算术平均数类比推理几何平均数等.故我们

可以类比推出：数列｛4｝也是等比数列，这里若数列｛c.｝是各项都为正数的等比数列，设公

比为4，则dn=―~n=也1・c,qi=V（C］）"，+"3++（”1）=

nIn（n-1）-n-1I

，（C]"qF-=q产=q（尸）2

，故｛4｝是公比为'厂的等比数列；

②错误：在复数集C中，取Zi=l,Z2=i,则满足zf+z5=0,但是不满足ZI=Z2=O,故

错误；

③错误：对于非零向量a,b,c,因为与c共线，0（>c）与a共线，所以当a,c

不共线时，（a协）-c=03・c）不成立；

④正确：在四面体中，三个侧面的面积都大于在底面上投影的面积，而三个投影的面积

之和大于或等于底面面积，故三个侧面的面积之和一定大于底面面积；

⑤正确：设三棱锥的四个面的面积分别为Sl，S2,S3,S4，由于内切球的球心到各面的

距离等于内切球的半径r,所以丫二上.厂+^^厂+^^厂+gs"=gsr,所以内切球半径7=噂;

⑥正确：设尸（如阿，则错误！一错误！=1,

所以yo=^xo-2b2）.

因为4（一0）,AzN5b，0）,所以女己&kp&=-'./>=错误!=错误！=错误!.

故结论正确的有①④⑤⑥.

3.演绎推理的应用

a.三段论推理

（5）（经典题,5分）有一段“三段论”推理是这样的：函数；（无）在定义域内可导，如果/（xo）

=0,那么x=xo是函数兀0的极值点.因为凡r）=%3满足/<0）=0,所以x=0是函数兀v）=

V的极值点，以上推理中（）

A.大前提错误B.小前提错误

C.推理形式错误D.结论正确

答案：A

解析：大前提“函数处0在定义域内可导，如果/（xo）=O,那么》=尤0是函数ZU）的极值

点”，不是真命题.正确的表述是“函数在定义域内可导，如果/<xo）=o,且满足在x

=xo两侧尸（无）异号，那么尤=尤0是函数兀0的极值点”.故选A.

b.假言推理

（6）（2017全国II,5分）甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老

师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，

给丁看甲的成绩.看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，贝1（）

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

答案：D

解析：四人所知道的只有自己看到的成绩和老师所说的话及最后甲说的话.从而可以推

理：

给甲看乙、丙的成绩，甲不知道自己的成绩，说明乙、丙的成绩是一优一良.否则，假

定乙、丙的成绩都是优，则甲的成绩是良；假定乙、丙的成绩都是良，则甲的成绩是优，那

么甲就知道自己的成绩了.给乙看丙的成绩，上面已经推出乙、丙的成绩是一优一良，所以

乙知道自己的成绩和丙的成绩，即乙知道两人的成绩.给丁看甲的成绩，因为乙、丙的成绩

是一优一良，则甲、丁的成绩也是一优一良，丁看到甲的成绩，所以丁知道自己的成绩和甲

的成绩，即丁知道两人的成绩.故选D.

随堂普查练55I

1.（2018山东一模，5分）对大于1的自然数机的三次基可用奇数进行以下方式的“分

「13

"7

裂"：23=］；,15

9,43=<，…，仿此，若加的“分裂”数中有一个是73,则根的

J1

<19

值为.

答案：9

解析：由题意，可得加的“分裂”数为加个连续奇数，设小的“分裂”数中第一个

数为am,则由题意可得的―a2=7—3=4=2X2,四一的=13—7=6=2乂3,…，

(4+2m-2)(m—2)

=2（m—1）,以上m—2个式子相加可得am~ail)(m—2),

2

a2+(〃z+l)(〃z-2)=/〃2—"z+l(wt23,wzGN),

・•・当m=9时，麴=73,即73是93的“分裂”数中的第一个.・••加的值为9.

1119

2.（2018吉林期中，5分）在△ABC中，不等式彳+元+72=成立；在四边形A5CD中,

£）U71

不等式:+得+1+:2黑成立；在五边形A8C0E中，）+焉+1+:+袅要成立.猜想在〃

ADCD171AB。D乜511

边形中，成立的不等式为（）

A4十-4-十I----十--\-A-^,"~兀

n2

B-X+…+如

(〃+1)71

及2

号+£+…+R(〃一2)71

D./+太+•••+£》H2

(九+2)71

答案：C

解析：通过观察，发现不等式左边为多边形的各个内角的倒数之和，右边的分子为边数

的平方，分母为多边形的内角和，而〃边形的内角和为伽一2）兀，故猜想在九边形中成立的

不等式为打丹…•故选c

3.（2018安徽池州模拟，5分）分形几何学是美籍法国数学家曼德尔布罗特在20世纪70

年代创立的一门新学科，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.图

55-6按照»•'的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是

（）

C.144个D.233个

答案：B

解析：设第〃行中实心圆点的个数为斯，则见=0,。2=1.当时,an=an-i+an-2,

故各行中实心圆点的个数依次为0,1，1，2,3,5,8,13,21,34,55,89,--所以的2

=89,即第12行中实心圆点的个数为89.

4.（经典题，5分）己知△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,则有a=ocosB

+Z?-cosC；类比上述结论，写出下列条件下的结论：四面体尸一ABC中，△ABC,AE4B,

△PBC,APCA的面积分别是S,Si，S2,S3,二面角P-AB-C,P-BC~A,P-CA~B

分别记为a,p,y,则S=.

答案：Sicos<z+52cos夕+S3cosy

解析：平面几何中：在AABC中，有a=c-cosB+b-cosC,类比这一性质，可以推出：

立体几何中：在四面体P-A2C中，△ABC,/\PAB,APBC,△PCA的面积分别为S,

Si，S2,S3,二面角P—AB~C,P—BC—A,P—CA—2依次为a,0,y,则Sicosa+S2cos或

+S3cosy.

5.（2018商丘模拟，5分）下面三段话可组成“三段论”，则“小前提”是（）

①因为指数函数>=炉3>1）是增函数；

②所以y=2"是增函数；

③而y=2*是指数函数.

A.①B.②C.①②D.③

答案：D

解析：三段话写成三段论是：

大前提：因为指数函数>=优（。>1）是增函数，

小前提：而y=2”是指数函数，

结论：所以y=2*是增函数.故选D.

6.（2018广西南宁联考，5分）甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是

知识分子.已知丙的年龄比知识分子大，甲的年龄和农民不同，农民的年龄比乙小，根据以

上情况，下列判断正确的是（）

A.甲是工人，乙是知识分子，丙是农民

B.甲是知识分子，乙是农民，丙是工人

C.甲是知识分子，乙是工人，丙是农民

D.甲是农民，乙是知识分子，丙是工人

答案:C

解析：由题意可知丙不是知识分子，甲不是农民，乙不是农民，所以丙是农民，丙的年

龄比乙小，比知识分子大，所以乙不是知识分子，只能甲是知识分子，所以乙是工人，故选

C.

普查讲55n直接证明与间接证明

4.直接证明的两种基本方法

a.分析法

(7)(2018河南模拟，8分)设非等腰△ABC的内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c,

113

且A,B,C成等差数列，用分析法证明：一彳+一\=—上.

a-bc~ba~b+c

答案：见证明过程

113

证明：要证明一——,

a-bc~ba~b+c

r.(a+c-2A)3

只要证明-----------=,I,

(a-b)(c-b)a-b+c

只要证明(a+c—26)(a—b+c)=3(a—b)(c—6),

只要证明(a+c—6)2—b(a+。一力=3(ac+〃-6c—。匕)，

只要证明a2+c2—Z?2=ac,(5分)

口加、_a~+c*~b~1

只要证rr1明clCOSB=-----------=77,

2ac2

只要证明2=60。，

考虑到A+B+C=180。，

所以只要证明A+C=2B,即证A,B,C成等差数列.

因为A,B,C成等差数列，故结论成立.(8分)

b.综合法

(8)(2017江苏，14分)如图55-9,在三棱锥4一28中，BC±BD,平面ABD±

平面BCZ),WE,F(E与A,。不重合)分别在棱4D,BD±,且EFL4D

图55-9

求证：(I)EF〃平面ABC；

答案：见证明过程

证明：在平面A3。内，因为EF±AD,所以EP〃AB(3分)

又因为平面ABC,ABc5?®ABC,所以EP〃平面A8C.(5分)

(II)AD±AC.

答案：见证明过程

证明：因为平面ABO_L平面BCD平面A3。C平面BCu平面BCD,8C_LB£),

所以BC_L平面ABD.(8分)

因为AOu平面AB。，(9分)

所以BC_L4。，(10分)

5LABLAD,BCCiAB=B,A8u平面ABC,BCu平面ABC,

所以A。J_平面ABC,(13分)

又因为ACu平面ABC,所以AZ)_LAC.(14分)

c.分析法和综合法的综合应用

(9)(经典题，12分)设a,b,c为任意三角形的三边长，I^a+b+c,S^ab+bc+ca,

试证：3SW/2<4S.

答案：见证明过程

证明：I—a+b+c,S—ab+bc+ca,

I2—(a+b+c)2—a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)—a2+b2+c^+lS.

故要证3SWP<4S,

只需证3S^a2+&2+c2+2S<4S,

即只需证S^a1+b2+c1<2S.O分)

欲证

只需证ci1b1c1-ab—be—ca^Q,

即只需证(4+〃-2ab)+(ZJ2+c2—26c)+(c2+cz2—2ca)^0,

即只需证3—6)2+(b—c)2+(c—a)2.0,

显然成立，；.a2+〃+c22s.(7分)

欲证a2+Z>2+c2<2S,

只需证cr-\-tr-\-c2-2ab—2bc—2ca<3

即要证(a2-ab—。。)+(匕2-'be—ba)+(c2—c。一cb)<0,即要证a(a~b—c)+b(b-c—

a)+c(c—a—Z?)<0.

"."a,b,c为任意三角形的三边长，.'.a>0,b>0,c>0,且a<b+c,b<c+a,c<a

+b,

/.a(a~b—c)<0,b(b—c—a)<0,c｛c~a—b)<Q,

/.a(a-b-c)+b(b-c—a)+c(c-a—b)<0成立,

.,.a2+b2+c2<2S.

综上可知，成立，

于是原不等式成立.(12分)

5.间接证明——反证法

a.用反证法证明结论是否定形式的命题

(10)(经典题，12分)等差数列｛斯｝的前几项和为S〃,。1=1+小,S3=9+3隹

(I)求数列｛斯｝的通项斯与前n项和Sn；

答案：an=2n+y[2—l,Sn=n(n+y[2)

解：(I)设等差数列的公差为a

[勾=也+1,

由已知得厂解得d=2.(2分)

13〃i+3d=9+3也，

=—

ana\-\~(〃-1)J=^2+1+2(n1)=2几—1,

n(〃]+斯)几]+2〃+^^一])।厂、

Sn~~5=0=〃(〃+72).

综上，an=2n+yf2~l,S.=n（n+柩.（5分）

（II）设与=呼5GN*）,求证：数列2.｝中任意不同的三项都不可能成等比数列.

答案：见证明过程

证明：由（I）知&=〃（"+啦），

,,也=誉="+也（6分）

假设数列仍”｝中存在三项坛,bq,br（p,q,r互不相等）成等比数列，则仍=%如

即（q+例2=g+M&+g），

即q2+2&q+2=pr+/⑦+r）+2,

即（炉一pr）+也（2q—p—r）=0.（9分）

q2—pr=0,

,:p,q,rGN*,

2q—p—r=0f

1---J=pr,即⑦一r）2=0,:・p=r,与pWr矛盾，

・•・数列｛勿｝中任意不同的三项都不可能成等比数列.（12分）

b.用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的命题

（11）（经典题，8分）若x>0,y>0且x+y>2,求证：中<2和虫<2中至少有一个成立.

答案：见证明过程

证明：假设牛<2,牛1<2均不成立，

%y

则—22,丁N2.（3分）

Ay

又•・5>0,y>0，，l+y22x,l+x22y,（5分）

/.1+%+1+y22y+2x,

.,.x+yW2,这和已知条件x+y>2相矛盾，（7分）

・•・假设不成立，

・・・原命题成立.（8分）

C.用反证法证明“唯一性”问题

（12）（2018河南信阳模拟，12分）已知函数/U）=hw,函数g（x）=±

（I）证明：函数/（x）=/（x）—ga）在（0,+8）上为增函数；

答案：见证明过程

证明：根据题意知F（x）=lnx—丁x>0.

设为，X2是（0，+8）上的任意两个数，且即<%2，

则F（xi）-F（X2）=IDA-1-ln.x2+T；-7-=In^+^T-7.（3分）

A2A142人'1人2

VX2>Xl>0,

X[Xl~X2

不<°，•此。

X],Xl~X2rr

•e-In—+<0,即E(XI)<F(X2),

人2AJA2

・・・丑%）在（0,+8）上是增函数.（6分）

（II）用反证法证明：危）=2的解是唯一的.

答案：见证明过程

证明：・・7（e2）=lne2=2,・・3%）=2的解是存在的.（7分）

假设式x）=2有两个不同的解处，血，xi>0,x2>0,

则危1）=加2）=2,即lnxi=lnx2=2,（9分）

Inxi—lnx2=0,即ln*=0,

•*---=b即％1=X2，与矛盾，（11分）

X2

・・犹%）=2的解是唯一的,（12分）

d.用反证法证明条件较少型命题

(13)(2018大连校级期中,8分)已知/+分=2,求证：a+b^2.

答案：见证明过程

证明：(法一)假设〃+6>2,

则〃3+庐=3+份(〃2——+庐)>2(。2——+庐),

而而+庐=2,故a2—ab+b2<l,

.\l+ab>a2+b2^2ab,当且仅当a=b时取等号，

•\ab<l,(4分)

tz2+Z?2<1+«/?<2,

(a+b)2=*++2ab<2+2ab<4,

••a~\~b<^2.

这与假设矛盾，故〃+bW2.(8分)

(法二)假设〃+b>2,则〃>2—。，

故2=〃3+分>(2一份3+庐,《分)

即2>8—128+6庐，即3—1)2<0,这与事实不符，

从而〃+Z?W2.(8分)

(法三)假设〃+人>2,则(。十33〉8,

即tz3+Z?3+3afe(a+Z?)>8.

又,.・〃3+力3=2,・・.2+3。仇。+/?)>8,

即3ab(a+b)>6f

.•.4Z?(Q+Z?)>2.(4分)

又•:c^+bi=(a+b\a2—ab+b2)=2,

ab(a+0)>(〃+b)(4~ab+Z?2),

2222

/.ab>a—ab-\-bf即0>a—2ab+b,

(a—/?)2Vo,这与事实不符，.,.〃+/?W2.(8分)

6.数学归纳法

a.对数学归纳法步骤的认识

（14）（2018陕西宝鸡模拟,5分）用数学归纳法证明不等式1+升1/1一+击1>骨1275-*,

〃2处）成立，起始值如至少应取为（）

A.7B.8

C.9D.10

答案：B

解析：不等式的左边=-7=2-21-\

1一5

当”=8时，不等式的左边=2—2>8=2—

当”=7时，不等式的左边=2—21々=2—2-6=封，

所以要使不等式成立，”的值最小为8,

所以起始值至少应取为8,故选B.

（15）（2018河北调研，5分）用数学归纳法证明1+；+；+~+97<〃伽6：^*,〃>1）时,

由"=网心4）时不等式成立推证〃=4+1时，左边应增加的项数是（）

A.2blB.2*—1C.2kD.2*+1

答案：C

解析：当〃=%时，左边=I+T+£H——二，有2*—1项；

当九=%+1时，左边=l+T+gH---'二）----12*+1-1，有2人1—1项，

所以增加了2人1-1—（2*—1）=2*（项）.

b.利用数学归纳法证明恒等式

ciny

（16）（经典题，10分）已知函数%（劝=二［。>0）,设方（尤）为方T（X）的导数，"GN*.

（I）求2力4）+荆。的值；

答案：一1

xcosx-sinx_cosxsmx

解fUT.,（法一）由已知得力（%）=弁（%）=2—~

XXX

cosxsinx

于是方a）=/i'a）=

xx2

-%sinx-cosxx2cosx-2xsinx

-sinx2cosx2sinx

------------------；—十——；—

(法二)・・•弁(x)=----,xfi)(x)=sinx,

x

则两边求导，得[xfi)(x)],=(sinxy.

又••工⑴为人T(X)的导数，〃£N*,

yb(x)+V；(x)=cos%,(2分)

两边再同时求导，得才i(x)+炕(x)=—sinx,

将代入上式，得4仔)+%($=-1.(4分)

(II)证明：对任意底N*,等式辰闾+%(刖告都成立.

答案：见证明过程

证明：由(I),得加元)+坊。)=(：05%=5由[%+]),2/j(x)+xfi(x)=—sinx=sin(x+7i),

对上式两边同时求导，得3万(x)+9(x)=—cosx=sin[%+1],

对上式两边同时求导，得钠(x)+m(%)=sinx=sin(x+27i),

(〃兀)

猜想：班-1(%)+劝2。)=5皿卜+耳J对任意〃£N*恒成立.(6分)

下面用数学归纳法证明等式成立.

①当几=1时，弁0）+切。）=$111,+3）成立；

（7分）

②假设〃=网%21,且左£N*）时等式成立，

（左兀、

即lrfk-i（x）+xfk（x）=sm\x+—1.

丁[桃T（X）+珑（X）]'=桃-1'（X）+戊（X）+xfk（x）=（k+l^（x）-F

又[sin[x+g]]'=cos（x+（x+g

（左兀）（71k7l\':左+1）兀、

=cosX-\---=sin——FXH-----=sinx+-

I2J（22JI2J

'(k+1)兀、

・••当〃=k+1(%21,且左£N*)时，等式(女+1派(%)+求+i(x)=sin%+---也成

I2)

立.(9分)

(}271]

由①②，得班-i(x)+M(x)=sin卜+5■J对任意几£N*恒成立.

令尤甘

71^2

得nfn-]\±COS4=±»

...对任意WGN*,等式I班T图+第(矶=乎都成立.(10分)

C.利用数学归纳法证明不等式

(17)(经典题，12分)函数/(x)=ln(x+l)—不二(a>l).

(I)讨论犬x)的单调性；

答案：(I)当1<“<2时，函数於)在(一1,/一2G，(0,+8)上是增函数，在02—2°,

0)上是减函数；当。=2时，函数&x)在(-1,+8)上是增函数；当。>2时，函数兀r)在

(-1,0),(a2-2a,+8)上是增函数，在(°,片一2。)上是减函数

解：(I)根据题意可知函数危)的定义域为(-1,+8),

1a(x+a)—ax

且fa尸干—-(%+«)2

(x+q)2—〃2(x+1)^2+2〃%+/一〃2%一〃2

(x+1)(x+〃)2(九+1)(龙+〃)2

x[x~(〃2—2〃)1八

=(叶1)(叶。)"2分)

①当1V〃V2时，—Ka2—2〃<0,若.£(—1,a2—2a),

则/(%)>0,・••函数y(x)在(一1,4―2〃)上是增函数；

若工£(次一2〃，0),则一(x)V0,

・•・函数兀0在(层一2〃，0)上是减函数；

若工£(0,+°°),则/(%)>0,

二函数7U)在(0,+8)上是增函数.

②当片2时，一尸(什1)[+2)2—

此时函数“X)在(-1,+8)上是增函数.

③当〃>2时，次―2〃>0,若工£(—1,0),则/<x)>0,・,•函数在(-1,0)上是增

函数；

若一£(0,a2—2d),则尸(%)V0,

・•・函数/(%)在(0,2〃)上是减函数；

若九£(〃2—2〃，+°°),则/(%)>0,

二.函数1次)在(次一2Q,+8)上是增函数.

综上，当1<。<2时，函数«x)在(一1,a1-2d),(0,+8)上是增函数，在(4一200)

上是减函数；

当。=2时，函数尤)在(-1,+8)上是增函数；

当a>2时，函数«r)在(一1,0),(a2-2a,+8)上是增函数，在(0,标一?“)上是减函

数.(5分)

、23

(II)设“1=1,a”+i=ln(a“+l),证明：

答案：见证明过程

证明：由(I)知，当a=2时，函数人乃在(-1,十8)上是增函数，

...当xG(0,+8)时，八》)>八0)=0,

2x

即ln(x+l)>%+2(x>0).

又由(I)知，当〃=3时，危)在(0,3)上是减函数，

3%

・••当x£(0,3)时，/(工)<八0)=0,即ln(x+l)<^.(7分)

下面用数学归纳法证明2斯W士3成立.

〃十2九十2

2

①当〃=1时，由已知得］V〃i=l,故结论成立.

②假设当n=k(k2\且k£N*)时，结论成立，

口口2,)3

即而〈公W干，

23

则当n=k+l时，・・・0VFVF<3,

々十2上十2

2.2

/2।\Z+22

**•^k+1—1D(<2A；+D>lnQ+2+lJ>-2=~k~\~3,(1。分)

k+2+2'

4,k+2_3

。无+i=ln(a)t+l)Wln|

,3~k+3!

A+2+J

23

即当〃=Z+1时，"7£<<%+1・五£成立，

左十3左十3

综上，由①②可知，对任何“GN*结论都成立.(12分)

d.利用数学归纳法证明猜想命题

(18)(2015江苏，10分)已知集合乂={1,2,3},Y„={1,2,3,…„N*),设

S”={(a，b)|a整除b或b整除a,a^X,b^Yn},令/i>)表示集合所含元素的个数.

(I)写出穴6)的值;

答案：八6)=13

解：(1)当”=6时，S"={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,

2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,6)},；.火6)=13.(2分)

(II)当"N6时，写出黄〃)的表达式，并用数学归纳法证明.

答案：当"三6时，

〃+2+

九+2+

〃+2+

»=<昨N*）

〃+2+

〃+2+

n-l,〃一2

川+2+，n=6t+5

23

解：当时,

,（n.n\

n+2+l2+3〃=6b

,,fn~1,n~A,

n+2+l-~~-h〃=6/+l,

〃=61+2,

（卢N*）

n=6t+3,

,,（n-l,〃一2、,

j+2+1——+~3-n=6t~\-5

（4分）下面用数学归纳法证明：

①w=6时，犬6）=6+2+当+与=13,结论成立；

②假设〃=网后6,左GN*）时，结论成立，那么”=4+1时，S*+i在S*的基础上新增加

的元素在（1,左+1）,（2,左+1）,（3,左+1）中产生，分以下情形讨论：

a.若左+1=63则1,2,3均能整除上+1,所以激+1）=/因+3,而左=6«—1）+5,

（k一1/一2、k-\-1k-\-1

所以人左）=左+2+（—^+丁）所以＜4+1）=/a）+3=（4+1）+2+亍+丁,结论成立；

b.若上+l=6f+l,则1能整除k+1,而2,3不能整除上+1,所以五女+1）=黄幻+1,

（kkk

而k=6ty所以#上）=左+2+0+2|,所以/（左+1）=7（%）+1=女+2+]+,+1=（左+1）+2+

（女+1）-1（左+1）-1

2+3:结论成立;

c.若上+1=6/+2,则1,2能整除攵+1,而3不能整除Z+1,所以大左+1）=/（左）+2,

（k—1k——1、k——1k——1

而归=6r+1,所以1女）=左+2+«—+-^二|,所以人女+1）=黄左）+2=Z+2+-^-+-y2

k~\-1（左+1）—2,,.、

=（女+1）+2+~^—+-----------,结论成立;

d.若左+l=6，+3,贝Ijl,3能整除k+1,而2不能整除k+1,所以|女+1)=黄左)+2,

而攵=6/+2,所以1%)=%+2+修+，^),所以必+1)=和0+2=%+2+3+J^+2=(Z+

(Z+1)—1k-\~1/工、人—、

1)+2+-----------------+-T-，结论成立；

e.若上+1=6/+4,则1,2能整除左+1,而3不能整除Z+1,所以大女+1)=大左)+2,

(k——1Ak——1k

而k=6t+3,所以7(%)=3+2+(2所以7(Z+l)=/(Z)+2=A:+2+e-+w+2=(Z+

左+1(Z+1)—1.、

l)+2+-y~+-----------------,结论成立；

f.若％+1=6/+5,则1能整除Z+1,而2,3不能整除k+1,所以X%+1)=/(%)+1,

(kk—]、kk—]

而％=6f+4,所以/(左)=4+2+(5+—^—)所以/(4+1)=大左)+1=4+2+5+~+1=(左+

屋+1)-1,。+1)-2

1)+2+------2---------+--------§--------，结论成立.

(n.ri\

〃+2+2+3n=6t,

(n-1।〃一1、,

几+2+3\fILUi11，

<21

g〃一2)

〃+2+<2+3J,〃=6，+2,

综上，f(〃)=<3N*)

n+2+,〃=6f+3,

(n,"一。

〃+2+2।3),〃„uA0।-f,

(n-\।〃一2\’「

j+2+12I3J，〃6/十5,

对满足“26的正整数〃均成立.（10分）

随堂普查练55II

1.（2018吉黑两省八校联考，12分）（I）当无>1时，求证:

答案：见证明过程

证明：要证2X2+/>2X+《,

只需证Zf+lAZR+x,

即证2%3（无一1）>了一1.

"：x>l,即X—1>0,...只需证

：尤>1,；.2必>2>1,

故2炉+委>2_¥+9得证.（3分）

令$c=t,：尤>1,

+5>2尤+:对任意的x>l都成立,

.•・2/+">2/+；,即2x+：>2噌+十.

从而2x2+^2>2x+^>2y[x+^.（6分）

（11）若〃。，用反证法证明：函数危）=xe*—凉（%>0）无零点.

答案：见证明过程

证明：假设当时，函数兀v）=xF—以21>0）有零点，则危）=0在（0,+8）上有解,

即〃=£在（0,+8）上有解.（7分）

F（%—]）

设g（x）=-（x>0）,则g，（x）=------p------U>0）,

当0<x<l时，g'（无）<0,；.g（x）在（0,1）上递减；

当x>l时，g'（x）>0,；.g（尤）在（1,+8）上递增.

••g（尤）》g（x）加"-g（D—e,..aNe,

但这与条件a<e矛盾,

故假设不成立，即原命题得证.（12分）

72

2.（2018山东临沂期末，8分）已知椭圆，+$=l（a>b>0）,A,B是椭圆上不同的两个

。2-〃〃2一62

点，线段A3的垂直平分线与x轴相交于点尸（配，0）.证明：—

答案：见证明过程

证明:设A（xi，yi）,3（x2,》2）.

•・・线段AB的垂直平分线与x轴相交，

••AB不垂直于x轴，即为W%2.

又交点为尸（沏，0）,且陷|=|尸3|,

（xi—xo）2+yi=（X2—xo）2+j2.@（2分）

VA,3在椭圆上，

・••田=〃一官印货=/一次.（4分）

??后一"

将上式代入①,得2（%2—X1）XO=（X2—X1）—^2—

%1+工2/一庐

e.*xi7^X2>.*.XO=2，-U一,②（6%）

V—a^xi^a,—QW九2W〃，且用力及，

-2a<x\+^2<2a,

〃2—02c^—b2

^^<无0<•（8分）

3.（2018山西模拟，5分）现有3个命题：

Pl：函数y（x）=lgx—|无一2|有2个零点；

P2：面值为3分和5分的邮票可支付任何”（">7,"GN）分的邮资；

p3：若a+6=c+d=2,ac+M>4,则a,b,c,d中至少有1个为负数.

那么，这3个命题中，真命题的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

答案：D

解析：对于pi,由图可知y=lgx与y=|x—2|的图像有2个交点，所以函数式x)=lg尤

一|x—2|有2个零点，pi正确；

对于P2，对"(〃>7,wGN)可分三种情况，即"=3左一1,n—3k,n—3k+l,其中kGZ

且％23.因为34一1=3(左一2)+5,3k=3k,