人教版高中数学选择性必修第一册知识要点复习总结

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第1章空间向量与立体几何

§1.1空间向量及其运算

1.空间向量基本概念

空间向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.

长度(模)：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模，记为问或I福卜

零向量：长度为。的向量叫作零向量，记为0.

单位向量：模为1的向量叫作单位向量.

相反向量：与向量。长度相等而方向相反的向量，叫作。的相反向量，记为一〃.

共线向量(平行向量)：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫

作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.

相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.

2.空间向量的线性运算

空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘，其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.

3.共线、共面向量基本定理

(1)直线/的方向向量：在直线/上取非零向量Z,与向量Z平行的非零向量称为直线/的方向向量.

(2)共线向量基本定理：

对任意两个空间向量片"(^6),al1b的充要条件是存在实数；I,使3=4.

(3)共面向量：

如果表示向量£的有向线段次所在的直线。4与直线/平行或重合，那么称向量£平行于直线/.

如果直线0A平行于平面a或在平面a内，那么称向量。平行于平面a.

平行于同一个平面的向量，叫作共面向量.

(4)共面向量基本定理:如果两个向量〃，b不共线，那么向量p与向量〃，b共面的充要条件是存在唯

一的有序实数对使〃=xa+yB.

4.空间向量的数量积

(1)向量的夹角：已知两个非零向量在空间任取一点。，作0田=2,而=九则NA03叫作向

—•—•-*-*—*•

量匕的夹角，记作＜。,匕＞.如果＜。,〃＞=一,那么向量。,。互相垂直，记作a_L〃.

2

(2)数量积定义：已知两个非零向量4,5,则卜帆8$＞叫作的数量积，记作。・坂.

即\^\cos＜a,h＞.

(3)数量积的性质：

aLboa-b=O

a-a=a-acos<%a>=⑼.

(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：

a-b=b-a(交换律):

(a+B)・C=Q.C+B.C(分酉己律).

推论：6+弓=@+2£.叼彳，R+4伍—圻第2—W

(5)向量的投影向量：

向量。在平面a内的投影向量与向量。的夹角就是向量。所在直线与平面a所成的角.

§1.2空间向量基本定理

1.空间向量基本定理

如果三个向量a,瓦c不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(%,y,z).使得

p=xa+yb-vzc.

2.基底与正交分解

(1)基底:如果三个向量反。不共面，那么我们把｛a,B,c)叫作空间的一个基底，瓦。都叫作基向量.

⑵正交分解：

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用

力耳表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫作把空间向量进行正交分解.

§1.3空间向量及其运算的坐标表示

1.空间直甭坐标系

在空间选定点0和一个单位正交基底｛7,.

以点。为原点，分别以2的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴.y轴、z轴，

它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,。叫作原点，i,/,I都叫作坐标向量,

通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.

空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.

2.空间向量的坐标

在空间直角坐标系0孙z中i,为坐标向量.给定任一向量。4,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

0A=xa+yb+zc.有序实数组(x,y,z)叫作向量04在空间直角坐标系Oxyz中的坐标.记作

OA=(x,y,z).(x,y,z)也叫点A在空间直角坐标系中的坐标.记作A(x,y,z).

3.空间向量运算的坐标表示

设a=(西，y,zj石=(w，%，Z2)，则：

(Da+B=(玉+%2，乂+%，4+Z2),

(2)a-b=(xf-x2,-y2,z,-z2),

(3)Aa=(Axl,Ayl,Azl').

4.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示

(1)a//Uoa=XboX\=AX2,y=A,y2,zl=Az2,

(2)a-Lb<=>a-b=O<=>x]x2+y]y2-^z]z2=0,

5.空间两点间的距离公式

设《(王，X,Z|),£(9,Z2),则68=他一办了+⑶一行+仁一疗

§1.4空间向量的应用

1.平面的法向量：直线/_La,取直线/的方向向量。，称。为平面的法向量.

2.空间中直线、平面的平行

(D线线平行：若晨区分别为直线4的方向向量，则

/J/。<=>///4<=>三丸£凡使得％=/I4-

(2)线面平行：1殳〃直线7的方向向量，〃是平面a的法向量，/za,则

法2：在平面a内取一个非零向量〃，若存在实数x,使得〃=xa,且/aa,则///a.

法3：在平面a内取两个不共线向量a,若存在实数x,y,使得〃=xa+yB,且/(Za,则///a.

(3)面面平行:设勺，4分别是平面a,，的法向量，则

al/(3on、/In10m九eR,使得勺=4%.

3.空间中直线、平面的垂直

(1)线线垂直：若％,〃2分别为直线4,4的方向向量，则4-L4o“i-Lu2<^>u^u2=0.

(2)线面垂直：设〃直线/的方向向量，〃是平面。的法向量，则/_La=〃//〃u>mX£H,使得

u=An.

法2：在平面a内取两个不共线向量若。•〃=~〃=0.则/_La.

(3)面面垂直：设勺，“分别是平面。，尸的法向量，则aJ■分_L4<=>“•％=0.

4.用空间向量研究距离、夹角问题

⑴点到直线的距离：已知A,5是直线/上任意两点，P是/外一点，PQ.LI,则点P到直线/的

距离为PQ=厢「荷=丽『一APAB\

(2)求点到平面的距离

已知平面a的法向量为几,A是平面a内的任一点，P是平面a外一点，过点P作则平面a的垂

Ap.IJ

线/,交平面。于点。，则点尸到平面a的距离为PQ=-pj-.

(3)直线与直线的夹角

若用，巧分别为直线//的方向向量，。为直线4,4的夹角，则cos8=kos</z”〃2>|=i^iFj.

(4)直线与平面的夹角

设〃1是直线/的方向向量，n2是平面a的法向量，直线与平面的夹角为。.则

(5)平面与平面的夹角

平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90的二面角称

为这两个平面的夹角.

若〃1,&分别为平面尸的法向量，。为平面％尸的夹角，则cos^=|cos<nvn2>|=告々.

第2章直线和圆的方程

§2.1直线的倾斜角与斜率

1.倾斜角与斜率：

倾斜角：当直线/与x轴相交时，以x轴为基准，x轴正向和直线/向上的方向之间所成的角a叫直线

的倾斜角，取值范围为0°Wav180°.

斜率：直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用％来表示.

斜率女公式：如果直线经过两点4cxp%）,《（£,%），（%工9），则％=tana=—.

x2-x1

直线的方向向量：斜率为k的直线的一个方向向量是（1,%）,若斜率为k的直线的一个方向向量的坐标为

（x,y）,则％=

x

2.两条直线平行和垂直的判定

斜率分别为却质的两条不重合的直线4/2，有4/〃2O%]=22.

斜率分别为*左2的两条直线有/1=—1・

§2.2直线的方程

1.直线方程：

⑴点斜式：y-y（）=k{x-x0）（不能表示斜率不存在的直线）

⑵斜截式：y=kx+h（不能表示斜率不存在的直线，b是直线与y轴的交点纵坐标（即y轴上的截距））

⑶两点式：―—―=――百-（西。工2，%。必）

必一,马一人

⑷截距式：—+—=1（〃,/?是直线在羽）轴上的截距，且awO,Z?wO）

ab

⑸一般式：Ax+By+C=O（A,3不同时为0）

2.给定直线方程判断直线的位置关系：

（一）对于直线/1:y=k]x+b],l2:y=k2x+b2有：

ki—k）

（i）ij/1,；

仇hb2

（2）/[和，2相交=&]W&2；

（3）4和4重合=<1&;

b\=b2

（4）/j±l2=k，2=—1.

（二）对于直线/:Ax+5y+C=O：

（1）与直线/:Ar+5y+C=O垂直的一个向量为（A,8）,平行的一个向量为（民一A）.

7,:Ax+Ry+C.=0,

(2)对于直线।।।有:

12:A2X+B2y4-C2=0

4层=43]

i}m20<

81G=B2cl

§和4相交0A1B2w4瓦;

l}±Z2oA4+8]层=0.

§2.3直线的交点坐标与距离公式

(1)两点间距离公式：

已知片(工|,%)，4(々,当)，则由《1=J(%2-尤1)2+(为一%)2・

(2)点到直线距离公式：

\Axa+Byn+Cl

P(x。，打)到直线l:Ax+By+C=0的距离d为:d=J~」

VA2+B2

(3)两平行线间的距离公式:

/,：Ax+By+G=。与12：Ar+By+C?=。间的距离d为:

§2.4圆与方程

1.圆的方程：

⑴标准方程：(x-a)2+(y-b)2=/(其中圆心为(出㈤，半径为八)

⑵一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.(D2+E2-4F>0).

§2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

1.直线Ax+8y+C=0与圆(x-a)2+(y-0)2=尸的位置关系：(d表示圆心到直线的距离)

d>厂。相离oA<0；

d=r。相切oA=0；

d<r<=>相交u>A>0.

2.直线和圆相交弦长公式：/=2"一/(壮表示圆心到直线的距离)

3.两圆位置关系：d=\O}O2\

(1)外离：d>R+r；

(2)外切：d=R+r：

(3)相交：R-r<d<R+r•,

(4)内切：d=R—r(/?>r):

(5)内含：d<R-r(R>r.

第3章圆锥曲线的方程

§3.1椭圆

平面内与两个定点耳、工的距离的和等于常数2a（大于|F；g|=2c）的点的

定义

轨迹叫椭圆，两个定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

十一A

图形

22

标准方程/+5=1（0>〃>。）

范围-a<x<a^-b<y<b

4（-。,0）、A（a,O）A（o,-。）、4（0,。）

顶点

4（0,_与、用（0,。）

B卜＞0）、B2（b,o）

轴长长轴的长=加短轴的长=北

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点耳（一孰0）、玛（c,0）耳（0,-c）、鸟（O,c）

焦距忻用=2c

关系c1-a1-b1

易户产（。（…

离心率e4r

2,e

焦点三角形面积SA^=6tan-（。=/耳咽）

,2

通径过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：|〃"'|=一

x2

弦长公式4（石,%）,5（%2）2），4卸=J1+Z［玉一/I=Jl+公y］（i-x2）-4XJX2

§3.2双曲线

平面内与两个定点耳、工的距离的差的绝对值等于非零常数2a（小于|65|=2c）的

定义

点的轨迹叫双曲线，两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

§3.3抛物线

y2-2Pxy2=-2px=2pyx2=~2py

标准方程

（〃>。）（P>°）（P>°）（〃>o）

顶点（0,0）

离心率e=l

对称轴X轴y轴

范围x>0x<0y>oywo

尸GM心，-

焦点喉《。用

准线方程X=——x_p.y=T

22-2

通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：|””[=2〃

焦点弦长

|AB|=玉+&+p

公式

参数P的

参数〃表示焦点到准线的距离，〃越大，开口越阔

几何意义

高中数学选择性必修第一册

第一章空间向量与立体几何

一、知识要点

1、空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫作向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）向量具有平移不变性

2、空间向量的运算

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

0B—0A+AB-a+b;BA=OA—OB-a—b;OP=Aa（2eR）

运算律：（1）加法交换律：a+h=h+a（2）加法结合律：3+B）+e=d+（〃+i）

（3）数乘分配律：A.（a+b'）=Aa+Ab

运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则

3、共线向量

(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫作共线向

量或平行向量，五平行于记作之〃3。

(2)共线向量定理：空间任意两个向量刁、b(^#0),五〃B存在实数儿使5=筋。

(3)三点共线：A、B、C三点共线＜=＞而=九就

；＜=＞OC=xOA+yOB(其中x+y=l)

(4)与一。共线的单位向量为下11

4、共面向量

(1)定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫作共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

(2)共面向量定理：如果两个向量祇5不共线，力与向量M石共面的条件是存在实数x,y

使力=xa+ybo

(3)四点共面：右A、B、C、P四点共面＜=＞AP=xAB+yAC

＜=＞OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1)

5、空间向量基本定理：如果三个向量2瓦0不共面，那么对空间任一向量夕，存在一个唯

一的有序实数组x,y,z,使7=x@+y5+zd。

若三向量4,前不共面，我们把他,6,口叫作空间的一个基底，叫作基向量，空间

任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数

x,y,z,OP=xOA+yOB+zOCo

6、空间向量的直角坐标系：

(1)空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系O-Dz中，对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使

OA=xi+yi+^k＞有序实数组(x,y,z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作

A(x,y,z),x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。

注：①点A(x,y,z)关于x轴的的对称点为(x,-y,-z),关于xoy平面的对称点为(x,y,-z).即

点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y轴上的点设为。y,o),

在平面yOz中的点设为(0,y,z)

(2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底，用

表示。空间中任一向量3=x；+y]+zE=(x,y,z)

(3)空间向量的直角坐标运算律：

①若4=(4,%,%)，5=(4也也)，

贝!Ja+b=(a1+bt,a2+b2,ai+bi)，a-b-^-b^a,-b2,ay-b3)>24=(鸡,鸡,物)(义€/?)，

ab=a]bx+a2b2+q4，

a//bc=>a[=汕1，%=电,%=WER)，+a2b?+64=0

②若A(x，x，Z]),B(x2,y2,z2),

则AB=(x2-xi,y2-yl,z2-zl)

一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的

坐标。

③定比分点公式：若A(x”y,Z1),B(x2,y2,z2),AP=APB,则点P坐标为

(西+&2,必+'丫?,4+乃2)。推导：设p(x,y,z)贝心-瓦)，-m2-4)=447，比-取2-2),显然，

1+41+41+4

当P为AB中点时，p卢+为必+,也4+z

2'2'2

④\A.BC^,A(x1,y,,z1?,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),三角形重心P坐标为

X,+X2+X3%+必+>3Z1+Z2+Z3)

3'2'2

⑤M8C的五心：

—>—>

内心p：内切圆的圆心，角平分线的交点。&组+49)(单位向量)

ABAC

外心P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PA=PB=PC

—>—>—>—>—>—>

垂心P：高的交点：（移项，内积为0,则垂直）

重心P：中线的交点，三等分点（中位线比）AP=^AB+AC）

中心：正三角形的所有心的合一。

（4）模长公式：若〃=（4，%，/），石=（乙也也），

则|a|=yja-a=+/,\b\==Qb：+b；+b；

（5）夹角公式：工（£彷=工=/3+吟+地。

M8C中①通•/>0<=>A为锐角②丽•就<0<=>A为钝角，钝角△

（6）两点间的距离公式:若A（X”M，Z］）,B（x2,y2,z2）,

222

则|A61=JAB-=y］（x2-x｛）+（y2-yt）+（z2-zt）,或

dA.B=J（%f）2+（%-y）2+（Z2-4）2

7、空间向量的数量积。

（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量反日，在空间任取一点。，作方=昆丽=5,

则NAOB叫作向量。与B的夹角，记作〈万,5>；且规定0用<1万>4万，显然有<土石>=<1①>；

若<a,B>=巴,则称G与5互相垂直，记作：albo

2

（2）向量的模：设砺=1,则有向线段囱的长度叫作向量G的长度或模，记作：|利。

（3）向量的数量积：已知向量圆5,则|万|.出|.cos<〃,5>叫作的数量积，记作必6,

即5•B=|。|.由.cos<a,b>

（4）空间向量数量积的性质：

（1）a-e=］a\cos<a,e>（2）a±b<^>a-b=0（3）\a\1=a-a

（5）空间向量数量积运算律：

①（2彷・5=%（万-5）=1・（几5）。（2）a-b=b-a（交换律）。（3）a（b+c）=a-b+a-c（分配律）。

④不满足乘法结合律：（〃•〃）c丰a（b・c）

二、空间向量与立体几何

1、线线平行O两线的方向向量平行

线面平行O线的方向向量与面的法向量垂直

面面平行O两面的法向量平行

2、线线垂直（共面与异面）o两线的方向向量垂直

线面垂直。线与面的法向量平行

面面垂直<=>两面的法向量垂直

3、线线夹角（9（共面与异面）［0",90,o两线的方向向量丁丁的夹角或夹角的补角，

->T

cos6=cose"］,/>

线面夹角6［0\90J：求线面夹角的步骤:先求线的方向向量而与面的法向量7的夹角，

若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角.sin6=cos<A>了>

面面夹角（二面角）若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量

［大的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角.COS6=±COS<［，2>

4、点面距离人：求点P（7）,%）到平面a的距离：在平面a上去一点Q（x,y）,得向量而.；

计算平面a的法向量〃;।尸窘T

线面距离（线面平行）：转化为点面距离

面面距离（面面平行）：转化为点面距离

第二章直线和圆的方程

一、直线方程

1、直线的倾斜角：一条直线向上的方向与I轴正方向所成的最小正角叫作这条直线的倾斜

角，其中直线与X轴平行或重合时，其倾斜角为0,故直线倾斜角的范围是

0°<ay180°（0<aY"）.

注：①当a=90。或X2=XI时，直线/垂直于x轴，它的斜率不存在.

②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线

都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.

2、直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.

特别地，当直线经过两点（。,0）,（0期，即直线在x轴，y轴上的截距分别为a网.0,"0）时,

直线方程是：三+上=1.

ab

注：若y=-*2是一直线的方程，则这条直线的方程是广-*2,但若

尸-齐-2心0）则不是这条线.

附：直线系：对于直线的斜截式方程丫=履+人当&口均为确定的数值时，它表示一条

确定的直线，如果上。变化时，对应的直线也会变化.①当b为定植，k变化时，它们表示

过定点（0,b）的直线束.②当火为定值，b变化时，它们表示一组平行直线.

3、（1）两条直线平行：

/闻的两条直线平行的条件是：①/,和/2是两条不重合的直线.②在Z,和/2的斜率都

存在的前提下得到的.因此，应特别注意，抽掉或忽视其中任一个"前提"都会导致结论的

错误.

（一般的结论是：对于两条直线“2,它们在y轴上的纵截距是打力2,则/回2=5的，且

济动2或/1，，2的斜率均不存在，即A|82=8|A2是平行的必要不充分条件，且（7产。2）

推论：如果两条直线/1,，2的倾斜角为a1，a2则0/2<=>czl=fl:2•

（2）两条直线垂直：

两条直线垂直的条件：①设两条直线力和a的斜率分别为加和的，则有/J/2=&42=T这

里的前提是/],%的斜率都存在.②且右的斜率不存在或“2=。，且。的斜率不

存在.（即A|82+A28|=0是垂直的充要条件）

4、直线的交角：

（1）直线L到&的角（方向角）；直线乙到%的角，是指直线L绕交点依逆时针方向旋转

到与乙重合时所转动的角见它的范围是（。,万），当。*90。时tan，=±&.

1+k}k2

（2）两条相交直线0与％的夹角：两条相交直线.与G的夹角，是指由乙与乙相交所成的

四个角中最小的正角。，又称为L和％所成的角，它的取值范围是0,5，当8x90。，则有

k?-k\

1+攵/2

5,过两直线『:产+2'+^二。的交点的直线系方程4x+&y+a+4A2X+/y+C2）=0U为参

数，A2X+82»+C2=0不包括在内）

6、点到直线的距离：

（1）点到直线的距离公式:设点尸（x°,y°）,直线/:/+协+C=0,P到/的距离为d,则有

,|-4x0+By0+C|

a=--/—.

VA2+B2

注：

①两点Pl（Xl,yi）、P2（X2,y2）的距离公式：|<〃|=1（々-4）2+（乃-%）2.

特例：点P（x,y）到原点。的距离：|OP|=Jx2+y2

②定比分点坐标分式。若点p（x,y）分有向线段而所成的比为制肝=2两其中Pi（xi,yi）,P2（x2,y2）.

mil厂.+&2M+办2

'1+A"1+A

特例，中点坐标公式；重要结论，三角形重心坐标公式。

③直线的倾斜角（0°<«<180°）,斜率:A=tana

④过两点65,凶）,£（々，为）的直线的斜率公式：％二".U,*%2）

七一七

当玉=%,%，为（即直线和x轴垂直）时，直线的倾斜角a=90。，没有斜率

（2）两条平行线间的距离公式：设两条平行直线/|：Ar+B），+G=0/2：Ar+By+C2=0（GwC2）,

它们之间的距离为“，则有"=p-g].

7A2+B2

注：直线系方程

①与直线：Ax+By+C=0平行的直线系方程是：AA+By+m=O.(R,C^m).

②与直线：AA+B>+C=0垂直的直线系方程是：Bx-Ay+m=O.(meR)

③过定点(xi,yi)的直线系方程是：A(x-Xi)+B(y-yi)=O(A,B不全为0)

@)过直线/i、b交点的直线系方程：(AiX+Biy+Ci)+入(A2X+B2/+C2)=0(AE1R)注：该直

线系不含12.

7、关于点对称和关于某直线对称：

(1)关于点对称的两条直线一定是平行直线，且这个点到两直线的距离相等.

(2)关于某直线对称的两条直线性质：若两条直线平行，则对称直线也平行，且两直线

到对称直线距离相等.

若两条直线不平行，则对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分

线.

(3)点关于某一条直线对称，用中点表示两对称点，则中点在对称直线上(方程①)，过

两对称点的直线方程与对称直线方程垂直(方程②)①②可解得所求对称点.

注：①曲线、直线关于一直线(尸±x+8)对称的解法：y换x,x换y.例：曲线f(x,y)=0

关于直线y=x-2对称曲线方程是f(y+2,x-2)=0.

②曲线C:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线方程是f(a-x,2b-y)=0.

二、圆的方程

1、(1)曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程,(x,y)=0的实

数建立了如下关系：

①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.

②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.

那么这个方程叫作曲线方程；这条曲线叫作方程的曲线(图形).

(2)曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程/(x,y)=0的一种关

系，曲线上任一点(x,y)是方程/(x,y)=0的解；反过来，满足方程7(x,y)=0的解所对应的点

是曲线上的点.

注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0,那么点Po(xo,y)线C上的充要条件是f(x°,yo)=O

2、圆的标准方程：以点C(a,b)为圆心，『为半径的圆的标准方程是(x-a)2+(yd)2=户.

特例：圆心在坐标原点，半径为广的圆的方程是：r+y2r2.

注：特殊圆的方程：①与I轴相切的圆方程(x-a)2+(y±b)2=/[r=W，圆心(a,b)或

②与y轴相切的圆方程*±a)2+(y-»2=/[r=时,圆心(a,〃)或(-〃/)]

③与1轴y轴都相切的圆方程a±a)2+(y±a)2=/任=同,圆心(±〃,±a)]

3、圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0.

当。2+炉7尸>。时，方程表示一个圆，其中圆心半径,•=包三三.

V22；2

当Z52+E2-4尸=0时，方程表示一个点卜

当。2+5_4尸Y0时，方程无图形(称虚圆).

注：①圆的参数方程：F=：+rcos,(。为参数).

22

②方程Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=G表示圆的充要条件是：8=0且A=CHO且

D2+E2-4AF>0.

③圆的直径或方程：已知A(X[,yi)8(X2，y2)n(xTi)(xr2)+(y-yi)(y-y2)=。(用向量

可征).

4、点和圆的位置关系：给定点"(人，打)及圆C：(x-4)2+(y-份2=/.

①”在圆C内o(x()-a)2+(y()T7)2Yr2②M在圆C上。(与-")，(汽-加2=户

③“在圆C外。(々-。产+的-炉下产

5、直线和圆的位置关系：

设圆圆C:(x-a)2+(y-b)2K2(»0)；直线/：Av+By+C=O(A2+B2^O)；

圆心CM到直线/的距离d=劭+q.

22

>IA+B

①”=「时，/与C相切；

附：若两圆相切，则卜””X+E/+%=0n相减为公切线方程.

22=

x+y+D2x+E2y+F2^

②dY/■时，/与C相交；

22!=

C]:x+y+Dlx+Ely+F]=O(Di-D2)x+(Ei—E2)y+(F\—F'2)^

C

附：公共弦方程：设^^D2X+E2y+Fi=Q有两个交点，则其公共弦方程为

③•时，/与C相离.

附：若两圆相离，则卜了+"+&+-产相减为圆心0。2的连线的中与线方程.

22;，

[x+y+D2x+E2y+f2=0

由代数特征判断:方程组tx工厂

用代入法，得关于X(或y)的一元二次方程,

其判别式为△，则：△=(5=/与C相切；AAOO/与C相交；AYOO/与C相离.

注：若两圆为同心圆则―+产+£)[X+E]y+F]=O,x2+y2+£)2x+E2y+尸2=0相减，不表示直线.

6、圆的切线方程：圆r+y2r2的斜率为&的切线方程是y=fcv±加涯r过圆1+y2+Dx+Ey+F=0

上一点P(Xo,No)的切线方程为：x°x+y°y+D詈+E手+F=o.

2

①一般方程若点(xo，加)在圆上,则(x-a)(xo-a)+(y-b)(y0-b)=R.特别地，过圆

222

x+y=r上一点P(x0,y0)的切线方程为与》+丫()丫=户.

月一打二艘修一。)

②若点(x°,yo)不在圆上，圆心为(a,b)则匹上竺曳1，联立求出发=＞切线方程.

V/?2+i

7、求切点弦方程：方法是构造图，则切点弦方程即转化为公共弦方程.如图：ABCD四类

共圆.已知0(9的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0…①又以ABCD为圆为方程为

(x-XA)(x-a)+(y-)，A)(x-b)=%2…②

22

川=(3。)：(以5.③,所以BC的方程即③代②，①②相切即为所求.

三、曲线和方程

1、曲线与方程：在直角坐标系中，如果曲线C和方程/(x,y)=O的实数解建立了如下的关系：

①曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=O的解(纯粹性)；

②方程f(x,y)=O的解为坐标的点都在曲线C上(完备性)。则称方程/(x,y)=0为曲线C的方

程，曲线C叫作方程f(x,y)=O的曲线。

2、求曲线方程的方法：.

①直接法：建系设点，列式表标，简化检验;②参数法;③定义法，④待定系数法.

第三章圆锥曲线方程

一、椭圆方程

1、椭圆方程的第一定义：平面内与两个定点FLF2的距离的和等于定长(定长通常等于2a,

且2a＞FiF2)的点的轨迹叫椭圆。

|PF1|+|PF2|=2a＞|下岛|方程为椭圆,

\PF{\+\PF2\=2ay|尸1厂2〔无轨迹，

忙6|+|%=2a=归岛|以0尸2为端点的线段

(1)①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在X轴上：=+4=1(心"0).

a2b2

中心在原点，焦点在y轴上:VX

力+萨=1（。A。A0）•

注：以上方程中的大小。＞。＞0,其中〃=〃一。2；

2221

〜xyX

在二炉=1和14-=1两个方程中都有。>人>0的条件，要分清焦点的位置，只

a

要看一和/的分母的大小。

22

②一般方程：Ax+By=1(A>0,B0).

③椭圆的标准方程：/+£=1的参数方程为kA：：(一象限。应是属于OY”?.

(2)椭圆的性质

①顶点：(±〃。)(0,土勿或(0,土〃)(功,0).

②轴：对称轴：X轴，y轴；长轴长2a,短轴长2/7.

③焦点：(-c,O)(c,O)或(0-c)(0,c).

z22

④焦距：\FlF2\=2c,c=yla-b.

22

⑤准线：X=±生或y=±j.

CC

⑥禺心率：e=£(OYeYl).

a

[E«>c>0,回0<e<l,且e越接近1,c就越接近”，从而6就越小，对应的椭圆越扁；

反之，e越接近于0,c就越接近于0,从而b越接近于a,这时椭圆越接近于圆。当且仅

当。=8时，c=0,两焦点重合，图形变为圆，方程为/+

⑦焦(点)半径：

22

设P(Xo，yo)为椭圆彳+一=1(“30)上的一点，尸2为左、右焦点，则

归/7]]=〃+勿0，归/引=〃_勿0=

„22

设P(x0,y0)为椭圆—+^-=l(a>/?>0)上的一点，FI;F2为上、下焦点，则

\PFi\=a+ey0,\PF2\=a-ey0=>

22

由椭圆第二定义可知：|。用=e(x()+—)=a+ex()(x()Y0),\pF2\=e(------x0)=ex(-a(x0>-0)

归结起来为"左加右减

注意：椭圆参数方程的推导：得N(acosabsin，)f方程的轨迹为椭圆.

公岑(一1)和(1)

⑧通径：垂直于X轴且过焦点的弦叫作通径.坐标:

aLcia

r2v2

⑨焦点三角形的面积：若P是椭圆：a+力=1上的点.B，&为焦点，若“产2=。，则

A/巧尸2的面积为从tan?（用余弦定理与|S|+|P尸2|=2。可得）。若是双曲线，则面积为

/?2cot—

2。

22_______

（3）共离心率的椭圆系的方程：椭圆0>0）的离心率是e==，方

心b2a

22

程「+==次是大于0的参数，”》/>>（））的离心率也是e=£我们称此方程为共离心率的椭

a2b2a

圆系方程.

2、椭圆的第二定义：平面内到定点F的距离和它到一条定直线L（F不在L上）的距离的

比为常数e（0<e<l）的点的轨迹叫作椭圆。其中定点F为椭圆的焦点，定直线L为椭圆

焦点F相应的准线。

二、双曲线方程

1、双曲线的第一定义:平面内到到两个定点Fi,F2的差的绝对值等于定长（定长通常等于

2a,且2a<FF2）的点的轨迹叫作双曲线。（||尸耳|-|P鸟||=2a点

仍尸卜附2卜2”巴尸2|方程为双曲线

仍尸卜依2卜2办忻尸21无轨迹

|附卜附2||=2。=|尸岛|以片，尸2的一个端点的一条射线

2222

（1）①双曲线标准方程：j-二=1（4,6>0）,=-\=l（〃,bA0）.

a"b~ab'

一般方程：AX2+Q2=1（AC^0）.

（2）①焦点在X轴上：

222

顶点：（4,0）,（-4,0）焦点：（c,0）,（-c,0）准线方程户土'^—渐近线方程：±±2=0或三-三=。

caha2b2

焦点在y轴上：

顶点：（0,-0,（0,a）.焦点：（0,c）,（0,-c）.准线方程：y=±M.渐近线方程：上±：=0或

cab

4-4=°*参数方程：产广，或叱

a1b[y=0tan夕[y=asec0

②轴x,y为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c.

③离心率e，.④准线距网i（两准线的距离）；通径空.

aca

22

⑤参数关系c2』2+/,e=£.⑥焦（点）半径公式：对于双曲线方程j-A=l

aab

（尸产2分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

"长加短减"原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带

符号计算，而双曲线不带符号）

四户］|=一00-〃

［:构成满足|M%|-|MFJ=2a

•户21=_勿()+〃

=eyQ-a

/2I=

\M户］|=—eyo+6Z