新高考高中数学核心知识点全透视专题15.3应用导数研究函数的性质(精讲精析篇)(原卷版+解析)

专题15.3应用导数研究函数的性质（精讲精析篇）一、核心素养1.考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．二、考试要求1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.三、主干知识梳理（一）导数与函数的单调性1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（二）导数与函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．（三）导数与函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、真题展示1．（2023·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（）A． B．C． D．2．（2023·全国高考真题）函数的最小值为______.考点01判断或证明函数的单调性【典例1】（2023·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；【典例2】（2023·全国高二课时练习）设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数.（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的单调性.【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．考点02求函数的单调区间【典例3】（2023·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．考点03利用函数的单调性解不等式【典例4】（2023·全国高二课时练习）函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________.【典例5】（2023·全国高二单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，，，则不等式的解集为______．【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．考点04利用函数的单调性比较大小【典例6】【多选题】（2023·辽宁大连·高三期中）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（）A． B．C． D．【典例7】（2023·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（）A． B．C． D．【总结提升】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．考点05根据函数的单调性求参数【典例8】（2023·北京市第十二中学高三月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．或 B． C．或 D．【典例9】(2023年高考北京)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．考点06利用导数研究函数的图象【典例10】（2023·全国高一专题练习）函数的图象可能是（）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【典例11】(2023·浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A． B．C． D．【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.考点07利用导数研究函数的极值【典例12】（2023·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．【典例13】(2023·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（）．A． B． C． D．【典例14】(2023年文北京卷）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.1.两点说明：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．3.由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．考点08利用导数研究函数的最值【典例15】（2023·北京市第一六一中学高三月考）已知函数，曲线在处的切线经过点.（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）设，求在区间上的最大值和最小值.【典例16】（2023·全国高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.【规律方法】1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：第一步，求函数在(a，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．考点09函数极值与最值的综合问题【典例17】（2023·福建省福州格致中学高三月考）已知函数，.（1）当时，若直线是函数的图象的切线，求的最小值；（2）设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.【典例18】（2023·北京高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．巩固提升1．(2023·江苏高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（）A．是极大值，是极小值；B．没有最大值，也没有最小值；C．有最大值，没有最小值；D．有最小值，没有最大值.2．（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．3．（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时()A． B． C． D．4．（2023·河南高三月考（文））已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a5.(2023·全国高考真题（文））函数的图像大致为A． B．C． D．6.（2023·山东奎文�潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞）7.【多选题】（2023·全国高二课时练习）(多选题)已知定义在R上的函数f(x)，其导函数y＝f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A．f(b)>f(a) B．f(d)>f(e)C．f(a)>f(d) D．f(c)>f(e)8.（2023·全国高三专题练习）设函数，．求函数的单调递增区间.8．（2023·全国高考真题（文））已知函数．（1）讨论的单调性；9.(2023·北京高考真题（理））设函数，曲线在点处的切线方程为，（1）求，的值；（2）求的单调区间.10.（2023年高考全国Ⅲ卷理）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.专题15.3应用导数研究函数的性质（精讲精析篇）一、核心素养1.考查利用导数求函数的单调区间或讨论函数的单调性以及由函数的单调性求参数范围，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．2.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养．3.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养．二、考试要求1.了解函数单调性和导数的关系，会用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.2.了解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大值、极小值，会求闭区间上函数的最大值、最小值，会用导数解决某些实际问题.三、主干知识梳理（一）导数与函数的单调性1.在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.在上为增函数．在上为减函数．2.利用导数研究函数的单调性的方法步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③由（或）解出相应的的取值范围，当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减增函数.（二）导数与函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．（三）导数与函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．二、真题展示1．（2023·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（）A． B．C． D．答案：D分析：由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，当时，，与图象不符，排除C.故选：D.2．（2023·全国高考真题）函数的最小值为______.答案：1分析：由解析式知定义域为，讨论、、，并结合导数研究的单调性，即可求最小值.【详解】由题设知：定义域为，∴当时，，此时单调递减；当时，，有，此时单调递减；当时，，有，此时单调递增；又在各分段的界点处连续，∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；∴故答案为：1.考点01判断或证明函数的单调性【典例1】（2023·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；答案：（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：，在上的根为：，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.【典例2】（2023·全国高二课时练习）设函数f(x)＝alnx＋，其中a为常数.（1）若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；（2）讨论函数f(x)的单调性.答案：（1）x－2y－1＝0；（2）答案见解析.分析：（1）先求出的值，得出切点坐标，再求出的值，得到切线的斜率，从而得到切线方程.

（2）先求出，对二次函数的开口方向，判别式进行分类讨论即可.【详解】(1)由题意知a＝0时，，x∈(0，＋∞).此时f′(x)＝.可得f′(1)＝，又f(1)＝0，所以曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为x－2y－1＝0.(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋＝.当a≥0时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增.当a<0时，令g(x)＝ax2＋(2a＋2)x＋a，由于＝(2a＋2)2－4a2＝4(2a＋1)，①当时，，f′(x)＝≤0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.②当时，<0，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减.③当－时，>0.设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个零点，则x1＝，x2＝，由x1＝＝，所以x∈(0，x1)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，x∈(x1，x2)时，g(x)>0，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，x∈(x2，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当时，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当时，函数f(x)在，上单调递减，在上单调递增.【总结提升】1.利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，易错点是忽视函数的定义域.2.当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．讨论的标准有以下几种可能：(1)f′(x)＝0是否有根；(2)若f′(x)＝0有根，求出的根是否在定义域内；(3)若在定义域内有两个根，比较两个根的大小．考点02求函数的单调区间【典例3】（2023·全国高考真题（理））已知且，函数．（1）当时，求的单调区间；（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．答案：（1）上单调递增；上单调递减；（2）.分析：（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.【详解】（1）当时，,令得,当时，,当时，,∴函数在上单调递增；上单调递减；（2）,设函数,则,令，得,在内,单调递增；在上,单调递减；,又，当趋近于时，趋近于0，所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,所以的取值范围是.【总结提升】利用导数求函数单调区间的方法(1)当导函数不等式可解时，解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0求出单调区间．(2)当方程f′(x)＝0可解时，解出方程的实根，按实根把函数的定义域划分区间，确定各区间f′(x)的符号，从而确定单调区间．(3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据f′(x)结构特征，利用图象与性质确定f′(x)的符号，从而确定单调区间．温馨提醒：所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并集“∪”及“或”连接，只能用“，”“和”字隔开．考点03利用函数的单调性解不等式【典例4】（2023·全国高二课时练习）函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为________.答案：分析：不等式的解集即为函数的单调减区间，根据根据函数的图像求出单调减区间，即可得出答案.【详解】解：根据函数图像可知，函数在和上递减，所以不等式≤0的解集为.故答案为：.【典例5】（2023·全国高二单元测试）已知函数是定义在上的偶函数，，，则不等式的解集为______．答案：分析：构造函数，利用导数可得函数的单调性，结合及函数的奇偶性，即可求得不等式的解集.【详解】令，则，当时．由，得，所以函数在上是减函数，函数是定义在上的偶函数，，，是定义在上的奇函数，在上递减，又，，则的大致图象如图所示：时，，时，，根据函数的奇偶性知，时，，时，，当时，等价于，当时，不成立，不等式的解集为，所以不等式的解集是．故答案为：.【总结提升】比较大小或解不等式的思路方法(1)根据导数计算公式和已知的不等式构造函数，利用不等关系得出函数的单调性，即可确定函数值的大小关系，关键是观察已知条件构造出恰当的函数．(2)含有两个变元的不等式，可以把两个变元看作两个不同的自变量，构造函数后利用单调性确定其不等关系．考点04利用函数的单调性比较大小【典例6】【多选题】（2023·辽宁大连·高三期中）设是函数的导数，若，且，，则下列各项正确的是（）A． B．C． D．答案：BD分析：据条件可以作出的图象，据此可判断出是单调递增函数，且增的越来越慢，据此可知导函数为单调递减函数，同时根据导数的几何意义做出相应的切线和割线，判断即可．【详解】解：对于A，因为，所以函数是单调递增函数，又无法比较的大小，所以无法判断的大小关系，故A错误；又，，，故的图象“上凸”，做出草图如下：可知的图象从左向右增长的越来越慢，故是单调递减函数，所以，故B正确；又（2），（3）分别表示，（2），，（3）处切线的斜率，表示割线的斜率，做出，两点处的切线（直线①，③，割线（直线②如图，可知，故C错误，D正确．故选：BD．【典例7】（2023·新泰市第二中学高三其他）【多选题】已知定义在()上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（）A． B．C． D．答案：CD【解析】分析：构造函数，然后利用导数和已知条件求出在()上单调递减，从而有，，据此转化化简后即可得出结论.详解：设，则，因为()时，，所以()时，，因此在()上单调递减，所以，，即，.故选：CD.【总结提升】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．考点05根据函数的单调性求参数【典例8】（2023·北京市第十二中学高三月考）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（）A．或 B． C．或 D．答案：C分析：由题可求导函数，利用导函数与单调性的关系可得在恒成立，即求.【详解】由题意，在恒成立，则，又，∴在恒成立，∴即在恒成立，∴，综上，或.故选：C.【典例9】(2023年高考北京)设函数（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a=________；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是___________．答案：【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【总结提升】由函数的单调性求参数的取值范围的方法(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围．(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，从而转化为不等式问题，求出参数的取值范围．(3)若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I上含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求出参数的取值范围．考点06利用导数研究函数的图象【典例10】（2023·全国高一专题练习）函数的图象可能是（）A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④答案：C分析：分别讨论，，三种情况，利用导数判断单调性，结合①②③④即可得正确选项.【详解】当时，，此时图象为④，故④正确；，当时，由可得，恒成立，恒成立，此时在，，上单调递减，此时为图③，故③正确；当时，恒成立，定义域为，由可得：；由可得或，所以此时在单调递减，在上单调递增，在上单调递减，此时为图②，故②正确；综上所述：函数的图象可能是②③④，故选：C.【典例11】(2023·浙江高考真题）函数的图像如图所示，则函数的图像可能是A． B．C． D．答案：D【解析】原函数先减再增，再减再增，且位于增区间内，因此选D．【规律方法】函数图象的辨识主要从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.考点07利用导数研究函数的极值【典例12】（2023·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（）A． B． C． D．答案：D分析：先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.当时，由时，，画出的图象如下图所示：由图可知，，故.综上所述，成立.故选：D【典例13】(2023·全国高考真题（理））若是函数的极值点，则的极小值为（）．A． B． C． D．答案：A【解析】由题可得，因为，所以，，故，令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递减，所以的极小值为，故选A．【典例14】(2023年文北京卷）设函数.（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为0，求a；（Ⅱ）若在处取得极小值，求a的取值范围.答案：（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）因为，所以.，由题设知，即，解得.（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）得.若a>1，则当时，；当时，.所以在x=1处取得极小值.若，则当时，，所以.所以1不是的极小值点.综上可知，a的取值范围是.方法二：.（1）当a=0时，令得x=1.随x的变化情况如下表：x1+0−↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.（2）当a>0时，令得.①当，即a=1时，，∴在上单调递增，∴无极值，不合题意.②当，即0<a<1时，随x的变化情况如下表：x1+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极大值，不合题意.③当，即a>1时，随x的变化情况如下表：x+0−0+↗极大值↘极小值↗∴在x=1处取得极小值，即a>1满足题意.（3）当a<0时，令得.随x的变化情况如下表：x−0+0−↘极小值↗极大值↘∴在x=1处取得极大值，不合题意.综上所述，a的取值范围为.【总结提升】1.两点说明：（1）可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同；（2）若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．2.求函数f(x)极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．3.由函数极值求参数的值或范围．讨论极值点有无(个数)问题，转化为讨论f′(x)＝0根的有无(个数)．然后由已知条件列出方程或不等式求出参数的值或范围，特别注意：极值点处的导数为0，而导数为0的点不一定是极值点，要检验极值点两侧导数是否异号．考点08利用导数研究函数的最值【典例15】（2023·北京市第一六一中学高三月考）已知函数，曲线在处的切线经过点.（1）求实数的值；（2）求的单调区间；（3）设，求在区间上的最大值和最小值.答案：（1）；（2）在区间上单调递增，在区间单调递减；（3）最大值为，最小值为.分析：（1）求导，代入可得切线斜率，又，求解即可；（2）代入，故，分，讨论导函数正负即可；（3）结合（2）中单调性可得，，令，求导分析单调性即可比较和0的大小.【详解】（1）的导函数为，所以，依据题意，有，即，解得.（2）由（1）得，当时，，，所以，单调递增，当时，，，所以，单调递减，所以在区间上单调递增，在区间单调递减.（3）由（2）得在区间上单调递增，在区间单调递减，因为，所以最大值为，设，其中，则，所以在区间上单调递增，所以，即，故最小值为.【典例16】（2023·全国高考真题（文））已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，记在区间的最大值为，最小值为，求的取值范围.答案：(1)见详解；(2).【解析】(1)对求导得.所以有当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；当时，区间上单调递增；当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.(2)若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为.而，故所以区间上最大值为.所以，设函数，求导当时从而单调递减.而，所以.即的取值范围是.若，在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为而，故所以区间上最大值为.所以，而，所以.即的取值范围是.综上得的取值范围是.【规律方法】1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤：第一步，求函数在(a，b)内的极值；第二步，求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)；第三步，将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．考点09函数极值与最值的综合问题【典例17】（2023·福建省福州格致中学高三月考）已知函数，.（1）当时，若直线是函数的图象的切线，求的最小值；（2）设函数，若在上存在极值，求a的取值范围.答案：（1）-1；（2）.分析：（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义即可用表示出，得到的函数关系式，再利用导数判断该函数的单调性即可求出最小值；（2）根据极值存在的条件，由可得在上有变号根，由函数的单调性和图象即有或，解出不等式组即可求解．【详解】（1）设切点坐标为，，切线斜率，又，，令，解得，解得，在上递减，在上递增.，的最小值为-1.（2）因为，，.设，则由，得.当时，，当时，.在上单调递增，在上单调递减.且，，.显然.结合函数图象可知，若在上存在极值，则或解得故a的取值范围为.【典例18】（2023·北京高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．答案：（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.分析：（1）求出、的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由可求得实数的值，然后利用导数分析函数的单调性与极值，由此可得出结果.【详解】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.【总结提升】求解函数极值与最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小范围．(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．巩固提升1．(2023·江苏高三专题练习）下列关于函数的结论中，正确结论是（）A．是极大值，是极小值；B．没有最大值，也没有最小值；C．有最大值，没有最小值；D．有最小值，没有最大值.答案：C分析：先函数进行求导，在令解出，再结合导函数的符号分析出极大值与极小值.【详解】由，得，令，则，解得或，当或时，，当时，，所以是极小值，是极大值，所以A错误；因为是极小值，且当时，恒成立，而是极大值,也是最大值，所以有最大值，没有最小值，所以C正确，BD错误.故选：C2．（2023·西藏拉萨中学高三月考（文））在上可导的函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为（）A． B．C． D．答案：A分析：根据单调性导数的关系得出和的解集，然后可得题设不等式的解集．【详解】由题意的解集为，，的解集为，或，所以或．故选：A．3．（2023·广西南宁·高三模拟预测（理））某制药公司生产某种胶囊，其中胶囊中间部分为圆柱，且圆柱高为l，左右两端均为半球形，其半径为r，若其表面积为S，则胶囊的体积V取最大值时()A． B． C． D．答案：A分析：由圆柱和球的表面积公式将l用r和S表示出来，再代入圆柱体积和球体积公式，表示出胶囊的体积V，利用求导求出V的最大值及此时r的值.【详解】依题意，，故，当时，，取最大值．故选：A4．（2023·河南高三月考（文））已知函数，记，，，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．b＜a＜c D．b＜c＜a答案：C分析：先判断函数的奇偶性，然后根据导函数的符号求出函数的单调区间，利用函数的单调性即可得出答案.【详解】解：因为，所以函数为偶函数，，当时，，所以函数在上递增，则，所以，所以.故选：C．5.(2023·全国高考真题（文））函数的图像大致为A． B．C． D．答案：D【解析】分析：根据函数图象的特殊点，利用函数的导数研究函数的单调性，由排除法可得结果.详解：函数过定点，排除，求得函数的导数，由得，得或，此时函数单调递增，排除，故选D.6.（2023·山东奎文�潍坊中学高二月考）【多选题】设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，f′（x），g'（x）为其导函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g'（x）＜0且g（﹣3）＝0，则使得不等式f（x）g（x）＜0成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞,﹣3） B．（﹣3,0） C．（0,3） D．（3,+∞）答案：BD【解析】∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴f