高考数学一轮复习考点探究与题型突破第06讲函数及其表示(原卷版+解析)

第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的，如果对于集合A中的一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的．3．函数的表示法表示函数的常用方法有、图像法和．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．考点1函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）2．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（

）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个2．(2023·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)=3．(2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与考点2函数的定义域[名师点睛]1．根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．2．求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．[典例]1．(2023·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．2．(2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数＋的定义域为（

）A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)2．(2023·全国·高三专题练习）函数()的定义域是（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．(2023·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.7．(2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_________．8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．考点3函数解析式[名师点睛]函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)联立方程组法：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[典例]1.(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．2．(2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．（1）f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x－3；（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝（）A．x2+4x B．x2+4 C．x2+4x﹣6 D．x2﹣4x﹣13．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．4．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．5．(2023·山东济南·二模）已知函数，则______．6．(2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________7．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______8．(2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.9．(2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则___________.10．(2023·全国·高三专题练习）（1）已知是二次函数且，，求；（2）已知，求.考点4分段函数[名师点睛]1．分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后对讨论结果求并集．[典例]1．(2023·广东梅州·二模）设函数，则（

）A．2 B．6 C．8 D．102．(2023·山东潍坊·模拟预测）设函数，则（

）A． B． C． D．3．(2023·浙江省江山中学高三期中）已知，函数若，则_______.4．(2023·湖南湘潭·三模）已知，且，函数，若，则___________，的解集为___________.[举一反三]1．(2023·山东·济南一中高三阶段练习）已知函数,则（

）A．2 B．9 C．65 D．5132．(2023·重庆八中模拟预测）已知函数，则（

）A． B． C． D．3．(2023·安徽安庆·二模）已知函数且，则（

）A． B． C． D．4．(2023·福建三明·模拟预测）已知函数，则___________.5．(2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.6．(2023·浙江省临安中学模拟预测）设，若，则__________，__________.7．(2023·浙江·湖州中学高三阶段练习）已知函数fx=ex,x≤18．(2023·浙江·高三专题练习）已知则______；若，则的取值范围是______.9．(2023·浙江浙江·二模）设，函数．则________；若，则实数的取值范围是________．第6讲函数及其表示1．函数的概念一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.2．函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．考点1函数的概念[名师点睛]（1）函数的定义要求非空数集A中的任何一个元素在非空数集B中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B中有可能存在与A中元素不对应的元素.（2）构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）下列四个图像中，是函数图像的是（

）A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）答案：C【解析】根据函数的定义，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，显然只有（2）不满足.故选：C.2．（2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）下列各组函数中，，是同一函数的是（

）A．，B．，C．，D．，答案：D【解析】解：对于A选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于B选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于C选项，的定义域为，的定义域为，故不满足；对于D选项，，的定义域均为，对应关系均为，故是同一函数.故选：D[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线的交点个数（

）A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个答案：B【解析】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点，若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B.2．(2023·天津市西青区张家窝中学高三阶段练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．y=x-1和y= B．y=x0和y=1C．f(x)=x2和g(x)=(x+1)2 D．f(x)=和g(x)=答案：D【解析】对于A，函数y=x-1定义域是R，函数y=定义域是，A不是；对于B，定义域是，函数y=1定义域是R，B不是；对于C，和对应法则不同，C不是；对于D，f(x)=和g(x)=定义域都是，并且对应法则相同，D是.故选：D3．(2023·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（

）A．与 B．与C．与 D．与答案：D【解析】对于A：定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项A不正确；对于B：定义域为，的定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项B不正确；对于C：的定义域为，定义域为，定义域不同不是同一个函数，故选项C不正确；对于D：由可得，解得：，所以的定义域为，由可得，所以函数的定义域为且，所以两个函数定义域相同对应关系也相同是同一个函数，故选项D正确，故选：D.考点2函数的定义域[名师点睛]1．根据具体的函数解析式求定义域的策略已知解析式的函数，其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合，求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组)，得出不等式(组)的解集即可．2．求抽象函数的定义域的策略(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．3．求函数定义域应注意的问题(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4.已知函数的定义域求参数问题的解题步骤(1)调整思维方向，根据已知函数，将给出的定义域问题转化为方程或不等式的解集问题；(2)根据方程或不等式的解集情况确定参数的取值或范围．[典例]1．(2023·北京·模拟预测）函数的定义域是_______．答案：【解析】由题意可得，，解之得则函数的定义域是故答案为：2．(2023·全国·高三专题练习）若函数的定义域是，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为函数的定义域是，所以.故选：D.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为(－2,0)，则的定义域为（

）A．(－1,0) B．(－2,0) C．(0,1) D．答案：C【解析】由题设，若，则，∴对于有，故其定义域为.故选：C4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】∵的定义域为，∴只需分母不为即可，即恒成立，（1）当时，恒成立，满足题意，（2）当时，，解得，综上可得.故选：B.[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）函数＋的定义域为（

）A． B．(－∞，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞) D．(3，＋∞)答案：C【解析】要使函数＋有意义，则所以，解得且，所以函数＋的定义域为∪(3，＋∞).故选：C.2．(2023·全国·高三专题练习）函数()的定义域是（

）A． B． C． D．答案：A由题意，得，则，即，∴.故选：A.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A． B． C． D．答案：B【解析】由，得，所以，所以．故选：B．4．(2023·全国·高三专题练习）定义域是一个函数的三要素之一，已知函数定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由抽象函数的定义域可知，，解得，所以所求函数的定义域为.故选A.5．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意得：在上恒成立.即时，恒成立，符合题意，时，只需，解得：，综上：，故选：C.6．(2023·上海市奉贤中学高三阶段练习）函数的定义域为___________.答案：【解析】解：由，得，所以，所以函数的定义域为，故答案为：7．(2023·全国·高三专题练习）函数的定义域是，则的取值范围是_________．答案：【解析】由题意可得在上恒成立．①当时，则恒成立，符合题意；②当时，则，解得．综上可得，∴实数的取值范围为．故答案为：.8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为R，则a的范围是________．答案：【解析】当时，，即定义域为R；当，要使的定义域为R，则在上恒成立，∴，解得，综上，有，故答案为：考点3函数解析式[名师点睛]函数解析式的求法(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，则可用待定系数法．(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(4)联立方程组法：已知关于f(x)与feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．[典例]1.(1)已知f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)，则f(x)的解析式为________________．(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．(3)已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝2x，则f(x)的解析式为________．答案：(1)f(x)＝x2－1(x≥1)(2)f(x)＝x2－x＋3(3)f(x)＝2x【解析】(1)方法一(换元法)：令eq\r(x)＋1＝t，则x＝(t－1)2，t≥1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．方法二(配凑法)：f(eq\r(x)＋1)＝x＋2eq\r(x)＝x＋2eq\r(x)＋1－1＝(eq\r(x)＋1)2－1.因为eq\r(x)＋1≥1，所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥1)．(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，又f(0)＝c＝3，所以f(x)＝ax2＋bx＋3，所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a＝4，,4a＋2b＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，))所以函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－x＋3.(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，所以f(x)＝2x.2．(2023·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数f(x)的解析式．（1）f(x)是一次函数，且满足f(f(x))=4x－3；（2）已知f(x)满足2f(x)+f()=3x，求f(x)的函数解析式．（3）已知f(0)＝1，对任意的实数x，y都有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)．【解】（1）因为f(x)是一次函数，所以设，所以，又因为f(f(x))=4x－3，所以，故，解得或，所以或；（2）将代入，得，因此，解得.(3)令x＝0，得f(－y)＝f(0)－y(－y＋1)＝1＋y2－y=，所以f(y)＝y2＋y＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为（

）A． B．C． D．答案：A【解析】令，则，所以，所以，故选：A.2．(2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x﹣1）＝x2+2x﹣3，则f（x）＝（）A．x2+4x B．x2+4 C．x2+4x﹣6 D．x2﹣4x﹣1答案：A【解析】，所以.故选：A3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】令为，则，与联立可解得，．故选：D．4．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．答案：AD设，由题意可知，所以，解得或，所以或.故选：AD.5．(2023·山东济南·二模）已知函数，则______．答案：【解析】解：因为，所以，.故答案为：.6．(2023·全国·高三专题练习）已知，且为一次函数，求_________答案：或.【解析】因为为一次函数，所以设，所以，因为，所以恒成立，所以，解得：或，所以或，故答案为：或.7．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则的解析式为_______答案：【解析】令，则，且，所以，所以，故答案为：.8．(2023·全国·高三专题练习）设函数f(x)对x≠0的一切实数都有f(x)＋2f()＝3x，则f(x)＝_________.答案：【解析】因为，可得，由，解得.故答案为：.9．(2023·全国·高三专题练习）已知定义域为R的函数满足，则___________.答案：【解析】因为，所以，同除以2得，两式相加可得，即.故答案为：.10．(2023·全国·高三专题练习）（1）已知是二次函数且，，求；（2）已知，求.【解】（1）∵f（x）为二次函数，∴f（x）＝ax2+bx+c

（a≠0），∵f（0）＝c＝2，∵f（x+1）﹣f（x）＝x﹣1，∴2ax+a+b＝x﹣1，∴a，b，∴f（x）x2x+2．（2）∵，①，∴f（）+2f（x），②①-②×2得：﹣3f（x）＝x，∴考点4分段函数[名师点睛]1．分段函数的求值问题的解题思路(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．2．分段函数与方程、不等式问题的求解思路依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后对讨论结果求并集．[典例]1．(2023·广东梅州·二模）设函数，则（

）A．2 B．6 C．8 D