2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点10函数的零点问题(精练)(原卷版+解析)

第10练函数的零点问题eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)题组A基础过关练1．(2023·安徽·安庆一中高三期末（文））函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．2．(2023·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习（文））用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．4．(2023·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高三专题练习）表示不超过x的最大整数，例如，．若是函数的零点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．46．(2023·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所在的区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和7．(2023·新疆·三模（文））函数的零点个数为_________．8．(2023·全国·高三专题练习）存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．9．(2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪10．(2023·全国·高三专题练习（理））设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．11．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（

）．A． B．C． D．12．(2023·陕西·长安一中模拟预测（文））已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（

）A． B．C． D．13．(2023·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．314．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（

）A． B． C． D．15．(2023·浙江省江山中学模拟预测）已知函数当时，函数有_________个零点；记函数的最大值为，则的值域为_________．16．(2023·江苏泰州·模拟预测）若正实数a，b满足，则函数的零点的最大值为（

）A． B． C．2 D．317．(2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（

）A． B．C． D．18．(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．19.(2023·汕头质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))20．(2023·重庆·三模）已知函数则函数的零点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个题组B能力提升练21．(2023·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（

）个零点A．4 B．5 C．6 D．722．(2023·全国·高三专题练习（理））设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．23．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.24．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．25．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．26．(2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．27．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数的最大值为2，若方程在区间内有四个实数根，，，，且，则（

）A． B． C． D．28．(2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则方程在内的所有根之和为__________.29．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．530．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，它们的零点的大小顺序为（

）A． B． C． D．31．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（

）A． B． C． D．32．(2023·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知，，，则（

）A． B． C． D．33．(2023·重庆南开中学模拟预测）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（

）A． B． C． D．34．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．35．(2023·全国·东北师大附中模拟预测（理））已知为函数的零点，，，则、、的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．36．(2023·四川广安·模拟预测（文））已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（

）A．10 B．12 C．32 D．3337．(2023·河南安阳·模拟预测（理））关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称

②在区间单调递减③的极大值为0

④有3个零点其中所有正确结论的编号为（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④38．(2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，（），则（

）A．， B．， C． D．题组C培优拔尖练39．(2023·天津市新华中学高三阶段练习）已知，设函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．40．(2023·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．41．(2023·全国·高三专题练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．42．(2023·湖北·模拟预测）已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是__________.43．(2023·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数，其中，，恒成立，且在区间上恰有个零点，则的取值范围是______________．44．(2023·上海·模拟预测）已知函数存在实数，且有，使得，则的最小值是________.45．(2023·江西赣州·二模（理））若函数有零点，则a的取值范围是（

）A．[，] B．C．（0，） D．（，+∞）46．(2023·江西·南昌市八一中学三模（文））已知函数，若在存在零点，则实数值可以是（

）A． B． C． D．47．(2023·河南河南·三模（理））已知函数（），若在上有零点，则实数的取值范围为______．48．(2023·全国·二模（理））已知函数，则函数的各个零点之和为______；若方程恰有四个实根，则实数的取值范围为______．49．(2023·全国·模拟预测（文））已知函数方程的不等实根个数不可能是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．6个第10练函数的零点问题eq\o\ac(○,通)eq\o\ac(○,关)eq\o\ac(○,练)题组A基础过关练1．(2023·安徽·安庆一中高三期末（文））函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【解析】由已知得为上的递增函数，，，，，由零点存在定理可知，在区间存在零点，故选：.2．(2023·河南焦作·一模（理））设函数的零点为，则（

）A． B． C． D．【解析】易知在R上单调递增且连续．由于，，，当时，，所以．故选：B3．(2023·全国·高三专题练习（文））用二分法求方程在区间[2，3]内的实根，由计算器可算得，，，那么下一个有根区间为_________．【解析】，，，所以下一个有根区间为.故答案为：4．(2023·全国·高三专题练习）设，则在下列区间中函数不存在零点的区间是（

）A． B． C． D．【解析】为连续函数，，，根据零点存在性定理可知，内存在零点；，，，同理可知：区间，区间上都存在零点，区间上没有零点故选：D5．(2023·全国·高三专题练习）表示不超过x的最大整数，例如，．若是函数的零点，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】因为函数在定义域上连续的增函数，且，又∵是函数的零点，∴，所以，故选：B．6．(2023·全国·高三专题练习）函数的零点一定位于下列哪个区间内（

）A． B． C． D．【解析】解不等式得或，所以函数的定义域为，因为，，，，，所以，所以根据零点的存在性定理得在区间上必有零点，所以函数的零点一定位于区间内.故选：C6．(2023·全国·高三专题练习）二次函数的部分对应值如下表：-3-2-1012346-4-6-6-46可以判断方程的两根所在的区间是（

）A．和 B．和C．和 D．和【解析】由表格可知：，所以，结合零点存在性定理可知：二次函数的零点所在区间为和，所以方程的两根所在的区间是和，故选：A.7．(2023·新疆·三模（文））函数的零点个数为_________．【解析】当时，有一个零点；当时，，无零点，故函数的零点个数为1个故答案为：18．(2023·全国·高三专题练习）存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．【解析】令（）是增函数，，由对勾函数性质在上递减，在上递增，所以时，，此时，因此有唯一零点，则零点为，，时，有解，时，则，且．综上．故选：A．9．(2023·全国·高三专题练习）若函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内存在一个零点，则a的取值范围是（

）A． B． C．（－∞，－1） D．（－∞，－1）∪【解析】当a＝0时，f（x）＝1与x轴无交点，不合题意，所以a≠0；函数f（x）＝3ax＋1－2a在区间（－1，1）内是单调函数，所以f（－1）·f（1）＜0，即（5a－1）（a＋1）＞0，解得a＜－1或a＞.故选：D.10．(2023·全国·高三专题练习（理））设是函数的两个极值点，若，则实数a的取值范围是______．【解析】,因为是函数的两个极值点，且，所以是方一元二次方程的两个实根，且，所以，即，解得.故答案为：11．(2023·浙江·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则（

）．A． B．C． D．【解析】函数，，的零点，即为与，，的交点，作出与，，的图象，如图所示，可知故选：C12．(2023·陕西·长安一中模拟预测（文））已知函数，，的零点分别为、、，则、、的大小顺序为（

）A． B．C． D．【解析】因为函数、均为上的增函数，故函数为上的增函数，因为，，所以，，因为函数、在上均为增函数，故函数在上为增函数，因为，，所以，，由可得，因此，.故选：A.13．(2023·陕西·西安铁一中滨河高级中学高三阶段练习（理））函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【解析】当时，则函数的零点个数为函数与函数，的交点个数作出两个函数的图象如下图所示，由图可知，当时，函数的零点有两个，当时，，即当时，函数的零点有一个.综上，函数的零点有三个.故选：D14．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟预测（文））若为奇函数，且是的一个零点，则一定是下列哪个函数的零点（

）A． B． C． D．【解析】是奇函数，且是的一个零点，所以，把分别代入下面四个选项，对于A，，不一定为0，故A错误；对于B，，所以是函数的零点，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D不正确；故选：B.15．(2023·浙江省江山中学模拟预测）已知函数当时，函数有_________个零点；记函数的最大值为，则的值域为_________．【解析】当时，，当时，，则，当时，，则，所以当时，函数有2个零点；令，则，当时，，当时，，所以函数在上递增，在上递减，所以，当时，，当时，，令，则，如图，分别作出函数和的图象，由图可知，函数的最大值为，即的值域为.故答案为：2；.16．(2023·江苏泰州·模拟预测）若正实数a，b满足，则函数的零点的最大值为（

）A． B． C．2 D．3【解析】，则则，整理得而，当且仅当时等号成立∴，解得：或故选：D．17．(2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（

）A． B．C． D．【解析】对于A选项，，则，由，即，，因此，存在“自足点”，A满足条件；对于B选项，，则，由，可得，其中，令，则，，所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；对于C选项，，则，其中，因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项，，则，由，可得，因为，，所以，，所以，方程无实解，D选项不满足条件.故选：D.18．(2023·黑龙江·双鸭山一中高三期末（理））函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【解析】,由对数函数和幂函数的性质可知，函数在时为单调增函数，，，，，因为在内是递增，故，函数是连续函数，由零点判断定理知，的零点在区间内，故选：B．19.(2023·汕头质检)若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有零点，则实数a的取值范围是()A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(5,2))) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有实数解，即a＝x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))上有解，设t＝x＋eq\f(1,x)，x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，则t的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))．所以实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(10,3)))．故选D20．(2023·重庆·三模）已知函数则函数的零点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】当时，，因为，所以舍去；当时，或，满足.所以或.函数的零点个数为2个.故选：C题组B能力提升练21．(2023·海南省直辖县级单位·三模）设函数定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，，则函数有（

）个零点A．4 B．5 C．6 D．7【解析】的零点个数即的图象交点个数.因为为奇函数，故关于原点对称，故关于对称，又为偶函数，故关于对称，又当时，，画出图象，易得函数的图象有6个交点故选：C22．(2023·全国·高三专题练习（理））设函数，若互不相等的实数、、满足，则的取值范围是_________．【解析】作出函数的图象，设，如下图所示：二次函数的图象关于直线对称，则，由图可得，可得，解得，所以，.故答案为：.23．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若，，，互不相等，且，则的取值范围是_______.【解析】由解析式知：在上递减且值域为，在上递增且值域为，在上递减且值域为，在上递增且值域为.∴的草图如下，令且，则，，，为与的交点横坐标，由图知：，且，∴(注意基本不等式的等号不能取)，又，∴：由对勾函数的单调性知，在上递增，∴，即.综上，的范围为.故答案为：24．(2023·全国·高三专题练习（文））已知函数，当时，有，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】当时，，作出函数的图象如下图所示：设，由图可知，当时，直线与函数的图象有三个交点，由，解得，因为，因此，.故选：B.25．(2023·全国·南京外国语学校模拟预测）已知函数，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】（1）当a<0时，，令，得，或（舍去），令，得，令，得，若函数有三个零点，则，无解，即不可能有三个零点；（2）当a=0时，，由（1）知有，或，三个零点，满足题意；（3）当a>0时，，当时有一个零点，是函数的一个零点，所以当时函数只有一个零点，令，得，或（舍去），令，得，即不论a取大于0的何值，是函数的一个零点，故有三个零点，综上，实数a的取值范围是故选:A26．(2023·山东烟台·三模）已知函数，若方程有且仅有三个实数解，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】作出函数的图象如图：依题意方程有且仅有三个实数解，即与有且仅有三个交点，因为必过，且，若时，方程不可能有三个实数解，则必有，当直线与在时相切时，设切点坐标为，则，即，则切线方程为，即，切线方程为，且，则，所以，即当时与在上有且仅有一个交点，要使方程有且仅有三个的实数解，则当时与有两个交点，设直线与切于点，此时，则，即，所以，故选：B27．(2023·云南师大附中高三阶段练习（文））已知函数的最大值为2，若方程在区间内有四个实数根，，，，且，则（

）A． B． C． D．【解析】，由题知，且，解得，于是．方程在区间内的实数根，即为在区间内的图象与直线的交点的横坐标，如图所示，令，解得，即函数的对称轴为，由图象的对称性可知，，，即，所以，故选：B．28．(2023·全国·高三专题练习）已知定义在上的奇函数满足，当时，，则方程在内的所有根之和为__________.【解析】因为，所以的图象关于直线对称，又函数在为奇函数，且当时，，由此画出在区间上的图象如下图所示.，由图可知，与图象的个交点，其中两个关于直线对称，两个关于直线对称，所以方程在内的所有根之和为.故答案为：29．(2023·黑龙江·大庆实验中学模拟预测）已知定义域为R的偶函数满足，当时，，则方程在区间上所有解的和为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【解析】因为函数满足，所以函数的图象关于直线对称，又函数为偶函数，所以，所以函数是周期为2的函数，又的图象也关于直线对称，作出函数与在区间上的图象，如图所示：由图可知，函数与的图象在区间上有8个交点，且关于直线对称，所以方程在区间上所有解的和为，故选：A.30．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，它们的零点的大小顺序为（

）A． B． C． D．【解析】，，，，，，作出函数，，的图象及直线，由图象可得，，，所以．故选：B．31．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小为（

）A． B． C． D．【解析】令，则，得，即，令，则，得，即，因为函数在上为增函数，且，所以在区间存在唯一零点，且，综上，，故选：B32．(2023·安徽·蚌埠二中模拟预测（理））已知，，，则（

）A． B． C． D．【解析】设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知．；设函数，易知在上递增，，，即，由零点存在定理可知，；设函数，易知在上递减，，，因为，由函数单调性可知，，即.故选:A．33．(2023·重庆南开中学模拟预测）已知实数a，b，c满足，则下列不等式一定不成立的为（

）A． B． C． D．【解析】由的图象如下：由图知：当时，，D可能；当时，，B可能；当时，，A可能.故选：C34．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知函数，，的零点分别为a，b，c则a，b，c的大小顺序为（

）A． B．C． D．【解析】由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：D35．(2023·全国·东北师大附中模拟预测（理））已知为函数的零点，，，则、、的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【解析】因为，，所以，，所以.因为在上单增，所以.因为为函数的零点，所以因为为增函数，为增函数，所以为增函数，所以有且仅有一个零点a.又，因为，所以,所以；，因为，所以，所以；由零点存在定理，可得：.所以，，所以.因为在上单调递增，所以因为，所以，而，所以.因为在上单调递增，所以所以.故选：B36．(2023·四川广安·模拟预测（文））已知数列为等比数列，若，为函数的两个零点，则（

）A．10 B．12 C．32 D．33【解析】因为，为函数的两个零点，所以，所以或所以，当时，，，当时，，，所以，.故选：B37．(2023·河南安阳·模拟预测（理））关于函数有下述四个结论：①的图象关于直线对称

②在区间单调递减③的极大值为0

④有3个零点其中所有正确结论的编号为（

）A．①③ B．①④ C．②③④ D．①③④【解析】函数的定义域为，对于①，，则，，的图象关于直线对称，①正确；对于②，当时，，在单调递增，②不正确；对于③，当时，，在单调递减，当时，，在上单调递增，在上单调递减，又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；对于④，由得：，即或，解得或，于是得有3个零点，④正确，所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D38．(2023·全国·高三专题练习）已知是自然对数的底数，关于的方程有两个不同的解，（），则（

）A．， B．， C． D．【解析】设，则有两个不同的零点，当时，，则，所以在单调递减，又，，所以；当时，，则，令，即，所以时，，所以在单调递增，又，，所以，又，∴，，又，故选项A、B、C错误，选项D正确.故选：D.题组C培优拔尖练39．(2023·天津市新华中学高三阶段练习）已知，设函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因关于x的方程恰有两个互异的实数解，则有：有两个不同的实根且无实根，或与各有一个实根，或无实根且有两个不同的实根，当时，，函数为增函数，则函数在上最多一个零点，有两个不同的实根不成立，当函数在上有一个零点时，必有，即，此时，，因此，当时，函数在上确有一个零点，方程必有一个实根，当，时，，函数，而函数对称轴，即在上单调递减，又，即在上必有一个零点，因此，方程必有一个实根，于是得当时，与各有一个实根，若方程无实根，必有，此时方程有两个不同的实根，函数在上有两个零点，当且仅当，解得，于是得当时，有两个不同的实根且无实根，综上得：当或时，方程恰有两个互异的实数解，所以实数a的取值范围是.故选：D.40．(2023·天津·南开中学模拟预测）已知函数，若恰有两个零点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】∵，则二次函数有两个零点若恰有两个零点，则，得此时无零点，则，解得则若无零点，则，得此时有两个零点，则，得则若有且仅有一个零点，则得，或，得或，经检验不合题意则此时有且仅有一个零点，则，解得且则且综上所述：故选：B．41．(2023·全国·高三专题练习）设函数，有四个实数根，，，，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】由分段函数知：时且递减；时且递增；时，且递减；时，且递增；∴的图象如下：有四个实数根，，，且，由图知：时有四个实数根，且，又，由对数函数的性质：，可得，∴令，且，由在上单增，可知，所以故选：A42．(2023·湖北·模拟预测）已知函数有3个不同的零点，则实数的取值范围是__________.【解析】∵，由，可得，∴，或，对于函数在上单调递增，又，∴存在，