2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市浦东新区华东师大二附中高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列函数中，既是定义域内单调增函数，又是奇函数的是(

)A.f(x)=tanx B.f(x)=x−1x

C.f(x)=x−cosx 2.数字串2024，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则sin(a2A.12 B.−12 C.3.设f(x)=ax2+bx+c，(a,b,c∈R).已知关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，则关于x的方程f(f(x))=0A.只有纯虚数根 B.只有实数根

C.有两个实数根，两个纯虚数根 D.既没有实数根，也没有纯虚数根4.对于集合A中的任意两个元素x，y，若实数d(x,y)同时满足以下三个条件：

①“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”

②d(x,y)=d(y,x)

③对任意z∈A，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(y,z)

则称d(x,y)为集合A上的距离，记为dA.对于命题P、命题Q，下列说法正确的是(

)

命题P：d(x,y)=|x−y|为dR

命题Q：d(x,y)=|sinx−siny|为A.命题P是真命题，命题Q是假命题 B.命题P是假命题，命题Q是真命题

C.命题P和命题Q都是真命题 D.命题P和命题Q都是假命题二、填空题：本题共12小题，共54分。5.函数y=−x6.已知复数z=2+i，则log5|z|=______．7.在(x+1x)6的展开式中，常数项为______.(8.已知平面直角坐标系xOy中，A(1,3)，B(2,−4)，则三角形AOB面积为______．9.已知随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，则p=

．10.已知向量a=(−1,2),b=(x2,2)，且cos11.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，其中m、n∈N.若这两组数据的中位数相等，平均数也相等，则mn=______．

12.已知α，β为锐角，sin(2α+β)=4sinβ，则tan(α+β)tanα13.已知P(A)=0.6，P(B|A)=0.5，P(B|A−)=0.2，那么P(B)=14.设l1、l2、l3为空间中三条不同的直线，若l1与l2所成角为α=π6，l1与l315.已知椭圆方程为x2a2+y16.在数列{an}中，若存在两个连续的三项ai，ai+1，ai+2与aj，aj+1，aj+2相同(i≠j)，则称{an}是“3阶可重复数列”.已知给定项数为m(m∈N,m≥4)的数列{an}三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知函数f(x)=cos2x+3sinxcosx−12．

(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；

(Ⅱ)若f(x)在区间18.(本小题14分)

2021年5月12日，2022北京冬奥会和冬残奥会吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”亮相上海展览中心.为了庆祝吉祥物在上海的亮相，某商场举办了赢取冰墩墩、雪容融吉祥物挂件答题活动.为了提高活动的参与度，计划有的人只能赢取冰墩墩挂件，另外的人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，每位顾客若只能赢取冰墩墩挂件，则记1分，若既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，则记2分，假设每位顾客能赢取冰墩墩挂件和赢取雪容融挂件相互独立，视频率为概率．

(1)从顾客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；

(2)从顾客中随机抽取n人(n∈N∗)，记这n人的合计得分恰为n+1分的概率为Pn，求19.(本小题14分)

如图所示，在底半径为R、高为H(H,R为定值，且H≤R)的圆锥内部内接一个底半径为r、高为ℎ的圆柱，甲、乙两位同学采用两种不同的方法来解决.甲采用圆柱底面与圆锥底面重合的“竖放”方式(图甲)，乙采用圆柱母线与圆锥底面直径重合的“横放”方式(图乙)．

(1)设V1、V2分别“竖放”、“横放”时内接圆柱的体积，用内接圆柱的底半径r为自变量分别表示V1、V2；

(2)试分别求V1、V2的最大值(V1)max20.(本小题18分)

满足一定条件的全体直线组成集合M，集合M的包络曲线E定义为：集合M中的每一条直线都是曲线E上某点处的切线，且曲线E上的每一点处的切线都是集合M中的某条直线．

(1)若圆E：x2+(y−2)2=1是集合M={l|l：mx+ny=1，m，n∈R}的包络曲线，求m，n满足的关系式；

(2)求证：集合A={l|l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0，(a∈R)}的包络曲线E为：y=x2；

(3)在(2)的条件下，过曲线E上A，B两点作曲线E的切线l1，l2，21.(本小题18分)

函数F(x)的定义域为D⊆R，如果存在t∈D，使得F(t)=t，称t为F(x)的一个不动点.函数g(x)=ex+(1−e)x−a(a∈R,e为自然对数的底数)，定义在R上的函数f(x)满足f(−x)+f(x)=x2，且当x≤0时，f′(x)<x．

(1)求证：f1(x)=f(x)−12x2为奇函数；

(2)当a变化时，求函数g(x)答案解析1.D

【解析】解：对于A，f(x)=tanx为奇函数，在定义域内不单调，不符合题意；

对于B，f(x)=x−1x，定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=−f(x)，所以f(x)为奇函数，

在(−∞,0)和(0,+∞)上分别单调递增，不符合题意；

对于C，f(x)=x−cosx，f(−x)=−x−cos(−x)=−x−cosx≠−f(x)，故函数不是奇函数，不符合题意；

由排除法可知选项D符合题意．

故选：D．2.D

【解析】解：根据题意，数字串2024，经过一步之后为404，经过第二步之后为303，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即a=123，

则sin(a2π+π6)=sin(123π2+π3.D

【解析】解：因为f(x)=ax2+bx+c(a、b、c∈R)，关于x的方程f(x)=0有纯虚数根，

可设为x=mi(m≠0,m∈R)，

所以a(mi)2+bmi+c=0，所以−am2+bmi+c=0，

所以bm=0，c=am2，所以b=0，a≠0，a、c同号，

所以f(x)=ax2+c(a≠0,a,c∈R)，

所以f(f(x))=a(ax2+c)2+c=a(a2x4+2acx2+c2)+c=a3x4+2a2cx2+ac2+c=0，

令x4.A

【解析】解：对于命题P，当x，y∈R时，①d(x,y)=|x−y|=0，即x=y；

若x=y，则d(x,y)=|x−y|=|x−x|=0，所以“d(x,y)=0”的充要条件为“x=y”，故

②d(x,y)=|x−y|=|y−x|=d(y,x)；

③对任意z，x，y∈R，|x−y|=|(x−z)+(z−y)|≤|x−z|+|z−y|，故命题P为真命题．

对于命题Q，当x，y∈R时，d(x,y)=|sinx−siny|，即d(x,y)=|sinx−siny|=0，

即sinx=siny，此时若x=0，y=π，则x≠y，故命题Q为假命题．

故选：A．

直接根据新定义对命题P，Q判断即可得出所求的答案．

本题考查命题的真假判断，考查学生的逻辑思维能力，属中档题．5.[−2,3)

【解析】解：y=−x2+x+6|x−3|，

则−x2+x+6≥0|x−3|≠0，解得−2≤x<3，

故函数的定义域为6.12【解析】解：由题意，|z|=4+1=5，

则log5|z|=log57.20

【解析】解：Tk+1=C6kx6−kxk=C6kx6−2k．

令6−2k=0得，k=38.5

【解析】解：A(1,3)，B(2,−4)，

则|AB|=(1−2)2+(3+4)2=52，

kAB=3−(−4)1−2=−7，

故直线AB的方程为y−3=−7(x−1)，即7x+y−10=0，

点O到直线的距离d=9.13【解析】【分析】本题考查离散型随机变量的分布列的期望以及方差的求法，考查计算能力．

直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】

解：随机变量X服从二项分布B(n,p)，若E(X)=30，D(X)=20，

可得np=30，np(1−p)=20，则p=13，

故答案为：10.±1

【解析】解：因为向量a=(−1,2),b=(x2,2)，

所以a⋅b=4−x2，|a|=5，|b|=4+x411.38【解析】解：根据茎叶图知，乙的中位数是12×(32+34)=33，所以m=3，

所以甲的平均数是13×(27+33+39)=33，

所以14×(20+n+32+34+38)=33，解得n=8；

所以mn=38．

故答案为：12.53【解析】解：已知α，β为锐角，sin(2α+β)=4sinβ，

则sin[(α+β)+α]=4sin[(α+β)−α]，

即sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα=4sin(α+β)cosα−4cos(α+β)sinα，

即3sin(α+β)cosα=5cos(α+β)sinα，

则tan(α+β)tanα=5313.0.38

【解析】解：因为P(A)=0.6，所以P(A−)=0.4，

因为P(B|A)=P(AB)P(A)=0.5，所以P(AB)=0.5P(A)=0.3，

因为P(B|A−)=P(A−B)P(A14.[π【解析】解：设l1、l2、l3相交于点S.如图：

根据题意构造两个圆锥，其中底面圆心为O，轴SO所在直线为l1，

小圆锥的母线所在直线为l2，轴截面SCD；

大圆锥的母线所在直线为l3，轴截面SAB，

且A，B，C，D，O在一条直线上．

由题意∠OSC=∠OSD=α，∠OSA=∠OSB=β，又0≤α<β≤π4，

可知∠CSD<∠ASB<π2，由图可知，当l2移动到SD，l3移动到SB时，

可得l2与l3所成角的最小，最小值为∠DSB=β−α=π4−π6=π12；

当l2移动到SC，l3移动到SB时，

可得l2与l3所成角的最大，最大值为∠CSB=β+α=π415.3【解析】解：椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，双曲线方程为x2m2−y2n2=1(m>0,n>0)，

若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，

可得椭圆的焦点坐标F2(c,0)，F1(−c,0)，正六边形的一个顶点A(c2,32c).

AF116.11

【解析】解：因为数列{an}的每一项只可以是0或1，所以连续3项共有23=8种不同的情况，

若m=11，则数列{an}中有9组连续3项，则这其中至少有两组按次序对应相等，

即项数为11的数列{an}一定是“3阶可重复数列”；

若m=10，数列0，0，1，0，1，1，1，0，0，0不是“3阶可重复数列”，

则3≤m<10时，均存在不是“3阶可重复数列”的数列{an}，

所以，要使数列{an}一定是“3阶可重复数列”，则m的最小值为11．

17.解：(Ⅰ)函数f(x)=cos2x+3sinxcosx−12

=cos2x+12+32sin2x−12

=sin(2x+π6)，

函数f(x)的单调递增区间满足：

−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z，

解得−【解析】本题考查函数的单调递增区间，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．

(Ⅰ)函数f(x)=cos2x+3sinxcosx−12=cos2x+12+32sin2x−18.解：(1)由题意可得，X的所有可能取值为3，4，5，6，

∴P(X=3)=(13)3=127，P(X=4)=C3X3456P1248∴E(X)=3×127+4×29+5×49+6×827=5；

(2)∵这n人的合计得分恰为n+1分，则其中有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，

∴Pn=Cn【解析】(1)由X的取值，计算相应的概率，得到分布列，利用公式计算数学期望；

(2)n人的合计得分恰为n+1分，有且只有1人既能赢取冰墩墩挂件又能赢取雪容融挂件，计算概率，用错位相减法求数列前项和．

本题主要考查离散型随机变量分布列及数学期望，错位相减求和法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.解：(1)如图，设AC=H，CB=R，DE=x，EF=y，

根据三角形相似得，xR=H−yH=1−yH，

则x=R(1−yH),y=H(1−xR)，

①若圆柱“竖放”，则x=r，ℎ=y，

所以ℎ=H(1−rR)(0<r<R)，

故V1=πr2ℎ=πr2H(1−rR)=πH(r2−r3R)(0<r<R)；

②若圆柱“横放”，则x=ℎ2,y=2r，

所以ℎ=2R(1−2rH)(0<r<H2)，

故V2=πr2ℎ=πr22R(1−2rH)=2πR(r2−2r3H)(0<r<H2)；

(2)①因为V1=πH(r2−r3R)(0<r<R)，

则V1′=πH(2r−3r2R)

【解析】(1)设AC=H，CB=R，DE=x，EF=y，利用三角形相似，求出x，分别求解圆柱“竖放”和圆柱“横放”中的高ℎ，然后由体积公式求解即可；

(2)利用导数研究函数的单调性，确定函数的最值，作差比较大小即可．

本题考查了空间几何体的理解与应用，利用导数研究函数单调性以及函数最值的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于中档题．20.解：(1)由定义可知，mx+ny=1与x2+(y−2)2=1相切，

则圆E的圆心(0,2)到直线mx+ny=1的距离等于1，

即d=|2n−1|m2+n2=1，

化简得：m2=3n2−4n+1；

证明：(2)在y=x2上任取一点Q(x1,x12)，则y′=2x，

所以y=x2在该点处的切线斜率为k=2x1，

则y=x2在Q(x1,x12)点处的切线方程为：y=2x1x−x12，

即2x1x−y−x12=0，

令直线族l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0中的2(a−1)=2x1，

则直线为2x1x−y−x12=0，

所以该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线，

而对任意l：2(a−1)x−y−(a−1)2=0都是抛物线在点(a−1,(a−1)2)处的切线，

所以集合A={l|l：2(a−1)