高三数学一轮复习第八章解析几何第6课时直线与椭圆学案

第6课时直线与椭圆[考试要求]1．理解直线与椭圆的位置关系，掌握其判断方法.2．会借助方程的思想解决直线与椭圆相交的综合问题．考点一直线与椭圆的位置关系1．点P(x0，y0)与椭圆的位置关系(1)点P(x0，y0)在椭圆内⇔x0(2)点P(x0，y0)在椭圆上⇔x(3)点P(x0，y0)在椭圆外⇔x02．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.[常用结论]椭圆上一点处的切线方程点P(x0，y0)在椭圆x2a2+y2b2＝1(a[典例1]已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：x24+y22＝1.试问当(1)有两个不同的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点．[解]将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组y=2x+m将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③方程③根的判别式Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝-8(1)当Δ＞0，即－32＜m＜32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．(3)当Δ＜0，即m＜－32或m＞32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l与椭圆C没有公共点．(1)研究直线和椭圆的位置关系，一般转化为研究直线方程与椭圆方程组成的方程组解的个数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．跟进训练1(多选)(2024·河北邯郸模拟)已知直线l：y＝x＋m与椭圆C：x2A．若C与l至少有一个公共点，则m≤22B．若C与l有且仅有两个公共点，则m<22C．若m＝32，则C上到l的距离为5的点只有1个D．若m＝－2，则C上到l的距离为1的点只有3个BCD[联立y=x+m，x26+y22=1，消去y得4x2对于A，令Δ＝128-m2≥0，则－22≤m≤对于B，令Δ＝128-m2>0，则有m对于C，令直线l与椭圆C相切，则Δ＝128-即m＝±22，直线y＝x＋32与y＝x－22的距离d＝32对于D，如图，直线y＝x－2与y＝x－22和y＝x的距离均为1，因此，C上到l的距离为1的点只有3个，正确．故选BCD.]考点二弦长及中点弦问题设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1+k2|x1－x2|＝1+k2x1+x22-4x1x2或|AB特别地，过椭圆的焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦称为椭圆的通径．无论焦点在x轴上还是在y轴上，椭圆的通径长均为2b[常用结论](1)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝－b2(2)若M(x0，y0)是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的弦AB(AB不平行于y轴)的中点，则有kAB·kOM弦长问题[典例2](2023·黑龙江哈尔滨一模)已知椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>(1)求椭圆E的方程；(2)若直线m过椭圆E的右焦点和上顶点，直线l过点M(2，1)且与直线m平行．设直线l与椭圆E交于A，B两点，求AB的长度．[解](1)由题意知，e＝22，所以a＝2c，b＝c，设椭圆E的方程为x将点P(2，6)代入得b2＝8，a2＝16，所以椭圆E的方程为x2(2)由(1)知，椭圆E的右焦点坐标为(22，0)，上顶点坐标为(0，22)，所以直线m的斜率为k＝22因为直线l与直线m平行，所以直线l的斜率为－1，所以直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，联立x216+y28=1，y=-x+3，可得3x2－12x＋2＝0，Δ＝120>0，x所以|AB|＝1+k2x1+【教师备用】已知M，N分别为椭圆E：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM(1)求椭圆E的标准方程；(2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，证明：12AB[解](1)由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c，又因为a2＝b2＋c2，所以b＝3c，因为点P1，32所以1a2+94b2＝1，解得a所以椭圆E的标准方程为x2(2)证明：当l与x轴重合时，|AB|＝|CD|＝4，所以12AB当l不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，由x24+y23=1，x=my+1则y1＋y2＝-6m3m2+4，y1故|AB|＝1+＝1+＝12×m2圆心O到直线l的距离为1mCD24＝4－所以12AB+CD24＝3m中点弦问题[典例3](1)(多选)直线l过点M(2，1)且与椭圆x2＋4y2＝16相交于A，B两点，若M为弦AB的中点，则直线l的斜率为()A．－12B．1(2)已知直线x－3y＋1＝0与椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)交于A，B两点，且线段AB的中点为A．13B．23C．3(1)A(2)D[(1)法一(方程组法)：易知直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为y－1＝k(x－2)．由y-1=kx-2，x2+4y2=16，得(4k2＋1)x设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝82又M为弦AB的中点，所以x1+x解得k＝－12，且满足Δ故选A.法二(点差法)：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为M(2，1)为弦AB的中点，所以x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，所以x12+4两式相减，得x1即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0，所以y1-y2x1-即kAB＝－12，满足Δ法三(中点转移法)：设直线l与椭圆的一个交点为A(x，y)．因为弦AB的中点为M(2，1)，所以另一个交点为B(4－x，2－y)．因为A，B两点都在椭圆上，所以x①－②，得x＋2y－4＝0.显然点A的坐标满足这个方程．代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故直线l的方程为x＋2y－4＝0，kl＝－12(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点M(x0，y0)．∵x12两式相减可得x1把x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，y1-y2x1-x2∴e＝1-b21.解答弦长问题及中点弦问题的注意点求弦长的前提是直线和椭圆相交，可利用弦长公式计算；对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ＞0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．2．设直线的两种方式(1)正设：如果直线过y轴上一定点(0，b)，且斜率存在，可设直线方程为y＝kx＋b；(2)反设：如果直线过x轴上一定点(a，0)，且斜率不为0，可设直线方程为x＝ty＋a.这两种方程都有自己的优点和缺点，注意区分使用．直线反设，常用情景：①直线过x轴上一定点；②核心条件转化后的式子含有y1＋y2或y1y2；③需要讨论斜率不存在的情况．跟进训练2已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的焦距为42，短轴长为2，直线l过点P(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l的斜率为1，求弦AB的长；(3)若过点Q1，12的直线l1与椭圆C交于E，G两点，且Q是弦EG的中点，求直线[解](1)依题意，椭圆C的半焦距c＝22，而b＝1，则a2＝b2＋c2＝9，所以椭圆C的方程为x29＋y(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，依题意，直线l的方程为y＝x＋3，由y=x+3，x2+9y2=9，解得x1＝－125，x2＝－3，因此，|AB|＝1+12·|x1－x2所以弦AB的长是32(3)显然，点Q1，12在椭圆C内，设E(x3，y3)，G(x4，y4)，因为E，G则x32+9y32=9，x42+9y42=9，两式相减得(x3－x4)(x而Q是弦EG的中点，即x3＋x4＝2且y3＋y4＝1，则有2(x3－x4)＋9(y3－y4)＝0，于是得直线l1的斜率为y3-y4x3-x4＝－29，直线l1的方程为y－12＝－29(x考点三直线与椭圆的综合问题[典例4]已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b，0<b<2)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆上，MF2⊥F1F2，若(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于P点，设PA＝λ1AF2，PB＝λ2BF2，试判断[解](1)设椭圆C的焦距为2c，因为△MF1F2的周长为6，面积为32所以2a+2c=6联立①②得2[(3－c)2－c2]c＝3(3－c)，所以4c2－7c＋3＝(c－1)(4c－3)＝0，所以c＝1或34当c＝34时，a＝94，b＝a2当c＝1时，a＝2，b＝a2-c所以椭圆C的标准方程为x2(2)由题可得直线斜率存在，由(1)知F2(1，0)，设直线l的方程为y＝k(x－1)，则联立y=kx-1，x24+y23=1，消去y，整理得(3＋4设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝8k23+4k2，x1又F2(1，0)，P(0，－k)，则PA＝(x1，y1＋k)，AF2＝(1－x1，－y由PA＝λ1AF2，可得x1＝λ1(1－x所以λ1＝x1同理可得λ2＝x2所以λ1＋λ2＝x11-x1+x21所以λ1＋λ2为定值－83(1)求解直线与椭圆的综合问题的基本思想是方程思想，即根据题意，列出有关的方程，利用代数的方法求解．为减少计算量，在代数运算中，经常运用设而不求、整体代入的方法．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情况．跟进训练3(2024·江苏泰州模拟预测)已知l1，l2是过点(0，2)的两条互相垂直的直线，且l1与椭圆Γ：x24＋y2＝1相交于A，B两点，l2与椭圆Γ相交于C，(1)求直线l1的斜率k的取值范围；(2)若线段AB，CD的中点分别为M，N，证明直线MN经过一个定点，并求出此定点的坐标．[解](1)根据题意可知直线l1，l2的斜率均存在且不为0，设直线l1，l2分别为y＝kx＋2，y＝－1kx联立y=kx+2，x24+y2=1，由Δ＝(16k)2－4×12(4k2＋1)>0，得4k2>3，则k<－32或k>3同理4-1k2>3，则－233所以k的取值范围为-2(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)得(4k2＋1)x2＋16kx＋12＝0，所以x1＋x2＝－16k4则xM＝x1+x所以yM＝kxM＋2＝－8k24则M-8k同理N8kk2+4，2k2k2化简整理得y＝k2-15kx＋25课后习题(四十七)直线与椭圆1．(人教A版选择性必修第一册P114例7改编)直线y＝x＋1与椭圆x2A．相交 B．相切C．相离 D．无法判断A[法一：联立直线与椭圆的方程得y=x+1，x25+y24Δ＝100－4×9×(－15)＞0，所以直线与椭圆相交．法二：直线过点(0，1)，而0＋14即点(0，1)在椭圆内部，所以直线与椭圆相交．]2．(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知斜率为1的直线l过椭圆x24＋y2＝1的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦A．45B．65C．8C[由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为(3，0)，则直线l的方程为y＝x－3，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y=x-3，x24+y2Δ＝(－83)2－4×5×8＝32＞0，则x1＋x2＝835，x1·x2＝所以|AB|＝1+k2·x1即弦AB的长为853．(人教B版选择性必修第一册P173习题2－8AT4改编)若直线y＝kx＋2与椭圆x23+-63，63[把y＝kx＋2代入x23+y22＝1，消去y并整理得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，由题意得Δ＝(12k)2－4×(2＋3k2)4．(人教A版选择性必修第一册P116习题3.1T13改编)若点P是椭圆E：x24＋y2＝1上的动点，则点P到直线x－y－35＝0的距离的最小值是______，此时，点10455，-55[设直线l1：整理得5x2＋8mx＋4m2－4＝0.则Δ＝64m2－4×54m2-4＝0，解得当m＝－5时，直线l与直线l1之间的距离d＝-5+35当m＝5时，直线l到直线l1之间的距离d＝5+352所以点P到直线l的最小距离是10.此时5x2－85x＋16＝0，解得x＝45将x＝455代入x－y－5＝0，得y＝－则点P的坐标为455．(2023·山东潍坊一模)已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线A．63 B．C．23 D．A[易知以线段A1A2为直径的圆的方程为x2＋y2＝a2，由圆心(0，0)到直线bx－ay＋2ab＝0的距离d＝2abb2+a2＝a，得a2＝3b2，所以C的离心率e6．(多选)已知椭圆x24+y23＝1，设一个点始终在此椭圆内运动，这个点从一个焦点出发沿直线经椭圆壁反弹后沿直线经过另一个焦点，再经椭圆壁反弹后沿直线回到这个焦点，称这个过程为一次“活动”，记此点进行n次“活动”的总路程为anA．a3＝14 B．a5＝40C．a10－a8＝8 D．4a4＝3a6ACD[由题意知：一次“活动”的路程为4a＝8，故n次“活动”的总路程为an＝8n，所以a3＝24，a5＝40，a10－a8＝80－64＝16，4a4＝128≠3a6＝144，故选ACD.]7．(多选)(2023·云南昆明二模)已知椭圆C：x24+y22＝1，F1，F2分别为C的左、右焦点，P为C上一点，且PF1⊥F1F2，若PFA．△PF1Q的周长为8 B．∠F1PF2<πC．△QF1F2的面积为24 D．|F1Q|＝AD[由题意，在椭圆C：x24+y22＝1中，a＝2，b＝c＝2，△不妨设P在x轴上方，则P(－2，1)，|PF1|＝1，|PF2|＝2a－|PF1|＝3，cos∠F1PF2＝13<1所以∠F1PF2>π3设|F2Q|＝m，|F1Q|＝4－m，在△PF1Q中，|F1P|2＋|PQ|2－2|F1P|·|PQ|·13＝|F1Q|2得1＋(m＋3)2－2×1×(m＋3)×13＝(4－m)2⇒m＝3所以|F1Q|＝175，故D正确；|QF2|＝15|PF所以S△QF1F2＝15S△故C错误．故选AD.]8．(2023·海南三模)已知椭圆C：x216+y27＝1，F为椭圆C的左焦点，A为椭圆C的右顶点，B为椭圆C上一点．若4|23[在椭圆C：x216+y27＝1中，a＝4，b＝则F(－3，0)，A(4，0)，所以|AF|＝7，由4|AF|＝7|BF|，得|BF|＝4，由|BF|＝a，可知B为椭圆C短轴的一个端点，所以|AB|＝a2+b2＝故答案为23.]9．(2024·湖南邵阳模拟预测)设椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为33，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线与椭圆交于A，B54[△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a∵直线lAB：y＝3(x＋c)，∴点F2(c，0)到直线AB的距离d＝3c，设△ABF2的内切圆半径为r，又|AB|＝5，∵S△ABF2＝12×5×3c＝12×4a×r∴r＝54，故答案为510．直线l：x＋y－1＝0与椭圆C：x24+y22＝1交于A，B两点，椭圆C103[将直线l的方程与椭圆C的方程联立x24+y22=1设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝43，x1x2＝－2所以|AB|＝1+k2x1+由椭圆C的方程知点P(2，0)，故点P到直线l：x＋y－1＝0的距离d＝2+0-11所以△ABP的面积为S＝12|AB|·d＝12×4511．(2024