2023-2024学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年上海市嘉定区封浜高级中学高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=4−i3−5i(i为虚数单位)，则复数z在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知a=(1,2)，向量b为单位向量，(a+b)⋅A.55 B.−55 3.函数y=2sinx−cosx(x∈R)的最小正周期为(

)A.2π B.π C.3π2 D.4.下列关于平面基向量的说法中，正确的是(

)

①平面内不平行的任意两个向量都可以作为一组基向量；

②基向量中的向量可以是零向量；

③平面内基向量一旦确定，该平面内的向量关于基向量的线性分解形式是唯一确定的．A.① B.② C.①、③ D.②、③二、填空题：本题共12小题，共54分。5.AB+BA6.已知a=(1,2)，b=(1,3)，则a⋅b7.已知复数z1=1+3i，z2=3+2i，则8.已知关于x的实系数二次方程x2+bx+c=0的一根为1−i(其中i是虚数单位)，则b+c=______．9.正方体ABCD−A1B1C1D10.已知a=(1,0)，b=(3,4)，则向量a在向量b方向上的投影向量为______(用坐标表示)．11.给出下列命题：

①书桌面是平面；

②平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点；

③如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合.正确的是______(填写序号)．12.已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下列四个说法：

①m//n，m⊥α，n⊥β⇒α//β；

②α/​/β，m⊂α，n⊂β⇒m/​/n；

③m⊥n，m/​/α⇒n/​/α；

④α/​/β，m/​/n，m⊥α⇒n⊥β，

其中正确的序号是______．13.已知复数z满足|z−1+2i|=1，则|z|的最小值为______．14.已知向量a=(1,1),b=(2,−1)，若a+b与2a+λ15.将函数y=3cos(2x+π3)的图象向右平移φ(0<φ<π2)16.如图，在四面体A−BCD中，AC=2,BD=2,AC与BD所成的角为45°，M，N分别为AB，CD的中点，则线段MN的长为______．三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题14分)

已知i是虚数单位，复数z=(m2−m−2)+(m2−3m+2)i，m为实数．

(1)当实数m满足什么条件时，z为纯虚数．

(2)若复数18.(本小题14分)

如图，底面ABCD为菱形，点P是平面ABCD外一点，且PD⊥平面ABCD，E、F分别是为PD，PC的中点．

(1)求证：EF/​/平面PAB；

(2)若AB=1，∠DAB=60°，PD=22，求直线BE与平面ABCD所成角的大小．19.(本小题14分)

已知向量a=(−3,1)，b=(1,−2)，m=a+kb(k∈R)．

(1)若m与向量2a−b垂直，求实数k的值；

(2)20.(本小题18分)

如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

(1)求证：AB/​/平面A1DCB1；

(2)求直线A21.(本小题18分)

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b2+c2−bc=a2．

(Ⅰ)求角A的大小；

(Ⅱ)若b=2，sinC=17．

(i)求参考答案1.A

2.B

3.A

4.C

5.0

6.7

7.二

8.0

9.45°

10.(911.③

12.①④

13.514.(−1,2)∪(2,+∞)

15.5π1216.22或17.解：(1)由复数z=(m2−m−2)+(m2−3m+2)i是纯虚数，则m2−m−2=0m2−3m+2≠0，解得m=−1；

18.解：(1)证明：因为E、F分别是为PD，PC的中点，

所以EF/​/DC，又因为AB//DC，

所以EF/​/AB，

因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，

所以EF/​/平面PAB；

(2)因为ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=1，

所以三角形ABD为等边三角形，

故BD=AB=1，

又PD=22，所以DE=2，

因为PD⊥平面ABCD，

所以∠EBD就是直线BE与平面ABCD所成角，

在直角三角形EDB中，

tan∠EBD=EDBD=21=219.解：(1)m=a+kb=(−3+k,1−2k)，2a−b=(−7,4)．

∵m与向量2a−b垂直，

∴m⋅(220.(1)证明：因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可知AB/​/A1B1，

而AB⊄平面A1DCB1，A1B1⊂平面A1DCB1，

所以AB/​/平面A1DCB1；

(2)解：如图，连接A1D，BD，

在正方体ABCD−A1B1C1D1中，可知A1B1/​/CD，A1B1=CD，

所以四边形A1B1CD是平行四边形，所以A1D/​/B1C，

所以∠DA1B(或