平面向量的概念 导学案一-人教A版高中数学必修第二册

6.1平面向量的概念

学习目标

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示：

2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；

3.并会区分平行向量、相等向量和共线向量.

4.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.

5.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.

重占难占

9—%

1.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.

2.教学难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.

知识梳理

1.(1)向量：既有,又有的量叫做向量.

(2)数量：只有,没有的量称为数量.

2.向量的几何表示

(1)的线段叫做有向线段.它包含三个要素：、、.

(2)向量可以用表示.向量牯的大小，也就是向量辐的(或称_),记

作.向量也可以用字母a,6,c,…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,

例如翁，cb.

3.向量的有关概念

零向量长度为______的向量，记作一

单位向量长度等于一个单位的向量

方向_________的非零向量

平行向量

向量a、力平行，记作______

(共线向量)

规定：_____与任一向量平行

长度______且方向_____的向量

相等向量

向量〃与b相等，记作______

学习过程

一、探索新知

(一)向量的实际背景与概念

1.问题：在物理中，位移与路程是同一个概念吗？为什么？

2.(1)向量与数量的定义：

既有,又有的量叫做向量(物理学中称为矢量)；

只有，没有的量叫做数量(物理学中称为标量).

注意：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；向量具有大小和方向这双

重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.

练习1：下列量不是向量的是()

(1)质量(2)速度(3)位移(4)力(5)加速度

(6)面积(7)年龄(8)身高

(-)向量的几何表示

探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？

1.有向线段的定义

在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB具有方向,

具有的线段叫做有向线段.

如图，以A为起点、B为终点的有向线段记作AB.

线段AB的长度也叫做有向线段标的长度，记作|布|.

思考：一条有向线段由哪几个基本要素所确定？

2.向量的几何表示

画图时，我们常用有向线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出.其中有向线段的长度表示

向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

3.向量的表示方法：

一般可用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如A8、CO。

若表示向量的有向线段没有标注起点和终点字母，向量也可用黑体字母a,b,c,…（书写时用注意

用a,O,c…表示）.

注意：（1）.向量:与起点无关.用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置.数学中的向量也叫自由

向量.

（2）.有向线段与向量的区别：

有向线段：三要素：起点、大小、方向。

向量:可选任意点作为向量的起点、有大小、有方向。

4.向量的模

向量蕊的大小，就是向量而的长度（或模），记作或记作。

思考：向量的模可以为0吗？可以为1吗？可以为负数吗？

5.零向量：长度为0的向量，记作6.

单位向量：长度等于1个单位的向量.

说明：（1）零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.

故零向量的方向是任意的，单位向量的方向具体而定.

（2）注意：向量是不能比较大小的，但向量的模（是正数或零）是可以进行大小比较的.

例1.在图中，分别用向量表示A地至B、C两地的位移，并根据图中的比例尺，并求出A地至B、

C两地的实际距离（精确到1km）

.

（三）.相等向量与共线向量

思考1：向量由其模和方向所确定.对于两个向量a,b,就其模等与不等，方向同与不同而言，有

哪几种可能情形？

1.平行向量定义：

①方向或的非零向量叫平行向量；②我们规定。与任一向量.

说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a、b、c平行，记作a〃方〃c.

2.相等向量定义：

长度且方向的向量叫相等向量.

说朋：（1）向量a与6相等，记作a=6；（2.）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零

向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

3.共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无

去）..

b.bra-

OAB

说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系：（2）共线向量可.以相互平

行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

练习2;

填空：

（1）平行向量是否一定方.向相同？（）

（2）不相等的向量是否一定不平行？（）

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？（）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？（）

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？（）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？（）

例2.如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，

（1）写出图中的共线向量；

（2）分别写出图中与向量苏、0B,无相等的向量.

达标格测

1.下列说法中正确的个数是（）

①身高是一个向量；

②/AOB的两条边都是向量；

③温度含零上和零下温度，所以温度是向量;

④物理学中的加速度是向量.

A.0B.IC.2D.3

2.设e2是两个单位向量，则下列结论中正确的是（）

A.ei=e2B.ei//e2C.同尸㈤D.以上都不对

3.（多选题）在下列判断中，正确的是（）

A.长度为0的向量都是零向量；

B.零向量的方向都是相同的：

C.单位向量的长度都相等；

D.单位向量都是同方向；

E.任意向量与零向量都共线.

4.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相

等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向

量.正确的命题是.

5.如图所示，四边形48C。是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量显相等的向量.

课堂小结

这节课你的收获是什么？

参考答案:

（-）1.不是，位移既有大小，又有方向，路程只有大小。

2.练习：（1）（6）（7）（8）

（二）1.思考：三个要素：起点、方向、长度.

4.可以为0,1,不能为负数。

解：而表示A地至B地的位移,且I而_______:

例L冠表示A地至C地的位移，且I而I、.

（三）思考：模相等，方向相同；模相等，方向不相同；

模不相等，方向相同；模不相等，方向不相同；

牛刀小试：（1）不一定（2）不一定（3零向量

（4）零向量（5）平行向量（6）长度相等且方向相同

（7）不一定

例解：（DQA.CB.DO,而是共线向量；2，

OB,DC,EO.亦是共线向量t

OC,AB.ED,而是共线向量.

（2）OA=CB=DOi

OB=DC=W;

OC=AB=ED=FO.

达标检测

1.【解析】只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②③错误.④正确.

【答案】B

2.【解析】单位向量的模都等于1个单位，故C正确.

【答案】C

3.【解